Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Hindi

(D) दिया गया है $f(x) = \log(\sec x + \tan x)$।
$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [\log(\sec x + \tan x)]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x)$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x)$
अंश से $\sec x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x}$
$f^{\prime}(x) = \sec x$
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $\Delta = E - 1$,इसलिए $\Delta^{2} = (E - 1)^{2} = E^{2} - 2E + 1$.
दी गई अभिव्यक्ति $\left(\frac{\Delta^{2}}{E}\right) x^{3} = \left(\frac{E^{2} - 2E + 1}{E}\right) x^{3}$ है।
यह सरल होकर $(E - 2 + E^{-1}) x^{3}$ हो जाता है।
ऑपरेटरों को लागू करने पर: $E(x^{3}) = (x+1)^{3}$,$-2(x^{3}) = -2x^{3}$,और $E^{-1}(x^{3}) = (x-1)^{3}$।
इनका योग करने पर: $(x+1)^{3} - 2x^{3} + (x-1)^{3}$।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1) - 2x^{3} + (x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)$।
समान पदों को जोड़ने पर: $(x^{3} - 2x^{3} + x^{3}) + (3x^{2} - 3x^{2}) + (3x + 3x) + (1 - 1) = 6x$।

(D) दी गई श्रेणी चरघातांकी फलन $e^{x}$ के लिए मैकलॉरिन श्रेणी विस्तार है।
$y = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots = e^{x}$.
अब,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x})$.
चूंकि $e^{x}$ का अवकलज $e^{x}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}$.
$y$ के मूल व्यंजक को परिणाम में वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = y$.

(D) दिया गया है $y = (x^x)^x$.
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{mn}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = x^{x \cdot x} = x^{x^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = \log(x^{x^2}) = x^2 \log x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 \log x)$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot (2x) = x + 2x \log x$.
$\frac{dy}{dx} = y(x + 2x \log x) = x^{x^2} \cdot x(1 + 2 \log x)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = x \cdot x^{x^2}(1 + 2 \log x)$.

(A) दिया गया है,$y=x^{n} \log x+x(\log x)^{n}$।
दोनों पदों पर गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^n \log x) + \frac{d}{dx}(x(\log x)^n)$
$= (x^n \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot nx^{n-1}) + (x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} + (\log x)^n \cdot 1)$
$= (x^{n-1} + nx^{n-1} \log x) + (n(\log x)^{n-1} + (\log x)^n)$
$= x^{n-1}(1 + n \log x) + (\log x)^{n-1}(n + \log x)$।

(C) माना $u = e^x$ और $v = \sqrt{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष $u$ और $v$ का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{du}{dx} = e^x$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$v$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज है:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{e^x}{1/(2\sqrt{x})} = 2\sqrt{x} e^x$.

(A) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\frac{5x-x}{1+5x \cdot x}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}-x}{1+\frac{3}{2}x}\right)$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = (\tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)) + (\cot^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2}))$.
चूंकि $\cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)$,प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$y = \tan^{-1}(5x) - 2\tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(5x)) - 2\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) + 0 - 0$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2} - \frac{2}{1+x^2}$.
नोट: $\cot^{-1}\left(\frac{3-2x}{2+3x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2+3x}{3-2x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}+x}{1-\frac{2}{3}x}\right) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x)$ होता है।
अतः,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2}$.

(A) दिया गया है $f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}(\sec x + \tan x)$.
इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$,$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}\right]$
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right)$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}\right) = \tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right]$
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) dx = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.
अतः,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x) = \tan^{-1}(\sec x + \tan x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}{\cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)} = \frac{\cos(x/2) + \sin(x/2)}{\cos(x/2) - \sin(x/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$.
अतः,$f^{\prime}(x) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
अब,$f(x) = \int f^{\prime}(x) dx = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $0 = 0 + 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x^2 + \pi x}{4}$.
$x = 1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{1^2 + \pi(1)}{4} = \frac{\pi+1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज $f'(x) = \frac{-1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \times \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$ होगा।
$f'(x) = \frac{-1}{1 + \cos 2x} \times \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \times (-\sin 2x \times 2)$।
$f'(x) = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$2x = \frac{\pi}{3}$ होगा।
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin(\pi/3)}{(1 + \cos(\pi/3))\sqrt{\cos(\pi/3)}}$।
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}/2}{(1 + 1/2)\sqrt{1/2}} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3/2)(1/\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$।

(D) दिया गया है $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \cdot x \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
$x = 1$ पर,$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \sec(\frac{\pi}{4}) \cdot 1 \cdot \frac{1}{1+1^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
वैकल्पिक रूप से,मान लीजिए $\tan^{-1} x = \theta$,तो $\tan \theta = x$. चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए $\sec \theta = \sqrt{1+x^2}$.
अतः,$y = \sqrt{1+x^2}$.
तब $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
$x = 1$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) माना कि $y = \sqrt{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}}$.
चेन रूल का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)$.
आंतरिक पद के लिए भागफल नियम (quotient rule) लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) = \frac{(1+\tan x)(-\sec^2 x) - (1-\tan x)(\sec^2 x)}{(1+\tan x)^2} = \frac{-\sec^2 x - \tan x \sec^2 x - \sec^2 x + \tan x \sec^2 x}{(1+\tan x)^2} = \frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}$.
अब,इस मान को वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}} \cdot \left(\frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}\right) = \frac{-\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan x} \cdot (1+\tan x)^{3/2}}$.

(B) दिया गया है $y = \cos(\sin x^2)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x^2)$
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x$
अब,$x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin(\frac{\pi}{2})) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए पूरे व्यंजक का मान:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(1) \cdot 0 \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{2}} = 0$।

(C) दिया गया है $f(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$.
मान लीजिए $f'(1) = a$ और $f''(2) = b$.
तब $f(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 6x + 2a$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 6(1) + 2a = 6 + 2a$.
चूंकि $f'(1) = a$,इसलिए $a = 6 + 2a$,जिसका अर्थ है $a = -6$.
अब,$f'(x) = 6x + 2a$ का पुनः अवकलन करने पर,हमें $f''(x) = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$f''(2) = 6$.
चूंकि $f''(2) = b$,इसलिए $b = 6$.
$a = -6$ और $b = 6$ को $f(x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f(x) = 3x^2 + 2(-6)x + 6 = 3x^2 - 12x + 6$.

(C) दिया गया है $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर,$f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 f^{\prime}(1)$ प्राप्त होता है।
$f^{\prime}(x)$ में $x=1$ रखने पर:
$f^{\prime}(1)=3(1)^2+2(1) f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2) \Rightarrow f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)=-3$ (समीकरण $I$).
$f^{\prime \prime}(x)$ में $x=2$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)+2 f^{\prime}(1) \Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=12+2 f^{\prime}(1)$ (समीकरण $II$).
समीकरण $II$ से $f^{\prime \prime}(2)$ का मान समीकरण $I$ में रखने पर:
$f^{\prime}(1)+12+2 f^{\prime}(1)=-3 \Rightarrow 3 f^{\prime}(1)=-15 \Rightarrow f^{\prime}(1)=-5$.
अब,समीकरण $II$ का उपयोग करके $f^{\prime \prime}(2)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(2)=12+2(-5)=12-10=2$.
अंत में,$f(x)$ में $x=2$ रखकर $f^{\prime}(1)$ और $f^{\prime \prime}(2)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f(2)=2^3+2^2(-5)+2(2)+6 = 8-20+4+6 = -2$.

(D) दिया गया है $8 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+5 \dots (i)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है $8 f\left(\frac{1}{x}\right)+6 f(x)=\frac{1}{x}+5 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से और $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$32 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+20 \dots (iii)$
$18 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+15 \dots (iv)$
समीकरण $(iii)$ में से $(iv)$ घटाने पर:
$14 f(x)=4x-\frac{3}{x}+5 \implies f(x)=\frac{1}{14}\left(4x-\frac{3}{x}+5\right)$
अतः $f'(x)=\frac{1}{14}\left(4+\frac{3}{x^2}\right)$
$x=-1$ पर:
$f(-1)=\frac{1}{14}(-4+3+5)=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
$f'(-1)=\frac{1}{14}(4+3)=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$
दिया गया है $y=x^2 f(x)$,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx}=2x f(x)+x^2 f'(x)$
$x=-1$ पर:
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-1}=2(-1)f(-1)+(-1)^2 f'(-1)$
$= -2\left(\frac{2}{7}\right) + 1\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{7} + \frac{1}{2} = \frac{-8+7}{14} = -\frac{1}{14}$

(D) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x)f^{\prime}(x)$।
$x=1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1)f^{\prime}(1)$।
दिया गया है कि $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$,इसलिए:
$f(f(1)) = f(1) = 1$ और $f(f(f(1))) = f(1) = 1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) + 2(1)(3) = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$।

(C) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$।
$x=1$ पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1) \cdot f^{\prime}(1)$।
दिया गया है कि $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=5$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot 5 + 2(1)(5)$।
चूंकि $f(1)=1$,इसलिए $f(f(1)) = f(1) = 1$।
$= f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot 5 + 10$।
$= 5 \cdot 5 \cdot 5 + 10 = 125 + 10 = 135$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = e^{x} g(x)$ है।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot g(x) + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$.
यह $f^{\prime}(x) = e^{x} g(x) + e^{x} g^{\prime}(x) = e^{x} (g(x) + g^{\prime}(x))$ के रूप में सरल होता है।
अब,अवकलज व्यंजक में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(0) = e^{0} (g(0) + g^{\prime}(0))$.
चूंकि $g(0) = 4$ और $g^{\prime}(0) = 2$ दिया गया है,और हम जानते हैं कि $e^{0} = 1$:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot (4 + 2) = 6$.

(C) हम जानते हैं कि शिफ्ट ऑपरेटर $E$ को $E = 1 + \Delta$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\Delta$ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है।
अतः,$(1+\Delta)^{n} f(a) = E^{n} f(a)$.
शिफ्ट ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार,$E^{n} f(a) = f(a+nh)$.
इसलिए,$(1+\Delta)^{n} f(a) = f(a+nh)$.

(B) दिया गया है कि $f(x) = e^{x} g(x)$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$f^{\prime}(x) = e^{x} g^{\prime}(x) + e^{x} g(x)$.
$x = 0$ रखने पर:
$f^{\prime}(0) = e^{0} \cdot g^{\prime}(0) + e^{0} \cdot g(0)$.
चूंकि $e^{0} = 1$,$g^{\prime}(0) = 1$,और $g(0) = 2$ है:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2$.
$f^{\prime}(0) = 1 + 2 = 3$.

(A) हम जानते हैं कि $\Delta \log f(x) = \log f(x+h) - \log f(x) = \log \left[\frac{f(x+h)}{f(x)}\right]$.
चूंकि $f(x+h) = (1 + \Delta) f(x)$,इसलिए $\Delta \log f(x) = \log \left[\frac{(1 + \Delta) f(x)}{f(x)}\right] = \log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right]$.
दूसरे पद के लिए,$\Delta^{2}(3^{x}) = (E - 1)^{2} 3^{x} = (E^{2} - 2E + 1) 3^{x}$.
$= E^{2}(3^{x}) - 2E(3^{x}) + 3^{x} = 3^{x+2} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{x}$.
$= 3^{x}(9 - 6 + 1) = 4 \cdot 3^{x}$.
दोनों पदों को जोड़ने पर,परिणाम $\log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right] + 4 \cdot 3^{x}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=k(\cos x-\sin x)$।
अवकलन में $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर: $f^{\prime}(0)=k(\cos 0-\sin 0)=k(1-0)=k$।
चूंकि $f^{\prime}(0)=3$,हमें $k=3$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x)$ ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x)$ का समाकलन करें:
$f(x)=\int 3(\cos x-\sin x) \, dx = 3(\sin x+\cos x)+C$।
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए शर्त $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=15$ का उपयोग करें:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3(\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2})+C = 3(1+0)+C = 3+C$।
$3+C=15$ रखने पर,हमें $C=12$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)=3(\sin x+\cos x)+12$।

(C) व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{G(x)-G(1)}{x-1}$,$x=1$ पर $G(x)$ का अवकलज (derivative) दर्शाता है,जिसे $G'(1)$ कहते हैं।
दिया गया है $G(x) = -\sqrt{25-x^{2}}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$G'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{25-x^{2}}} \cdot (-2x) = \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}$।
$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$G'(1) = \frac{1}{\sqrt{25-(1)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{24}}$।

(C) माना $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$ होता है।
$x^{x+1}$ के लिए,माना $y = x^{x+1}$,तो $\ln y = (x+1)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+1}) = x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$।
$x^{x+2}$ के लिए,माना $y = x^{x+2}$,तो $\ln y = (x+2)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+2}{x} = \ln x + 1 + \frac{2}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+2}) = x^{x+2}(\ln x + 1 + \frac{2}{x})$।
अब,$x=e$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^x)|_{x=e} = e^e(1 + \ln e) = e^e(1+1) = 2e^e$।
$\frac{d}{dx}(x^{x+1})|_{x=e} = e^{e+1}(\ln e + 1 + \frac{1}{e}) = e^{e+1}(2 + \frac{1}{e}) = 2e^{e+1} + e^e = e^e(2e+1)$।
$\frac{d}{dx}(x^{x+2})|_{x=e} = e^{e+2}(\ln e + 1 + \frac{2}{e}) = e^{e+2}(2 + \frac{2}{e}) = 2e^{e+2} + 2e^{e+1} = e^e(2e^2+2e)$।
इनका योग करने पर: $e^e(2 + 2e + 1 + 2e^2 + 2e) = e^e(2e^2 + 4e + 3)$।

(A) $x \in [1.2, 1.9]$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ अचर है क्योंकि $1 \le x < 2$ है।
विशेष रूप से,अंतराल $[1.2, 1.9]$ में किसी भी $x$ के लिए,$[x] = 1$ होता है।
चूंकि $f(x) = 1$ अंतराल $[1.2, 1.9]$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सतत और अवकलनीय है।
एक अचर फलन का अवकलज शून्य होता है,इसलिए सभी $x \in [1.2, 1.9]$ के लिए $f'(x) = 0$ होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $y = \operatorname{cosec}^{-1}(e^x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^x))$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{d u}(\operatorname{cosec}^{-1} u) = \frac{-1}{|u| \sqrt{u^2 - 1}}$ होता है।
यहाँ,$u = e^x$,इसलिए $\frac{d u}{d x} = e^x$ है।
श्रृंखला नियम लागू करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{|e^x| \sqrt{(e^x)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{d x}(e^x)$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^x > 0$ होता है,इसलिए $|e^x| = e^x$ होगा।
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{e^x \sqrt{e^{2 x} - 1}} \cdot e^x$
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$.
सबसे पहले,$f\left(\frac{1}{x}\right)$ ज्ञात करें:
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) + 4 = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$.
अब,इसे $x^3$ से गुणा करें:
$x^3 \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = x^3 \left(\frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4\right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$.
अंत में,$x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d}{dx}(4 + 3x + 3x^2 + 4x^3) = 0 + 3 + 6x + 12x^2 = 12x^2 + 6x + 3$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{1000}$ है।
यह $1001$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।
श्रेणी का योग $f(x) = \frac{x^{1001} - 1}{x - 1}$ है,जहाँ $x \neq 1$ है।
$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करते हैं: $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$.
यहाँ $u = x^{1001} - 1$ और $v = x - 1$ है,इसलिए $u^{\prime} = 1001x^{1000}$ और $v^{\prime} = 1$ है।
$f^{\prime}(x) = \frac{(1001x^{1000})(x - 1) - (x^{1001} - 1)(1)}{(x - 1)^2}$.
अब,$x = -1$ रखने पर:
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001(-1)^{1000})(-1 - 1) - ((-1)^{1001} - 1)}{(-1 - 1)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001 \times 1)(-2) - (-1 - 1)}{(-2)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{-2002 - (-2)}{4} = \frac{-2002 + 2}{4} = \frac{-2000}{4} = -500$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ होती है।
दी गई अभिव्यक्ति $E = 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)-4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)$ है।
इसे $E = - (4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right) - 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$E = - \cos \left(3 \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)\right) = - \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x^{\circ}\right)$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin(\theta)$,इसलिए $E = -(-\sin(3x^{\circ})) = \sin(3x^{\circ})$।
अब,हमें $E$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करना है।
सबसे पहले,$x^{\circ}$ को रेडियन में बदलें: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180}$ रेडियन।
अतः,$E = \sin\left(3 \times \frac{\pi x}{180}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right)$।
अब,$\frac{d}{dx} \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right) = \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right) \times \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{60}\right) = \frac{\pi}{60} \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right)$।
वापस डिग्री में बदलने पर,$\frac{\pi x}{60} = 3x^{\circ}$।
इस प्रकार,अवकलज $\frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $y = \sqrt{3} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right)$ है।
इस व्यंजक को $2$ से गुणा और भाग करके पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \right)$।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ है:
$y = 2 \left( \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \cos \left(\frac{\pi}{6} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \sin \left(\frac{\pi}{6} \right) \right)$।
$y = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2} \right)$।
चूँकि $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$,इसलिए $y = 2 \cos(2x)$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos 2x) = 2 \times (- \sin 2x) \times 2 = -4 \sin 2x$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दी गई श्रेणी चरघातांकी फलन $y = e^x$ का विस्तार है।
हम जानते हैं कि $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$ होता है।
अतः,$y = e^x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = e^x$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = y$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin 2x$ के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x)$
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\sin(ax)$ का अवकलज $a \cos(ax)$ होता है:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) सबसे पहले,कोण को डिग्री से रेडियन में बदलें: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$.
अतः,$\sec(x^{\circ}) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
मान लीजिए $f(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,अवकलन $f'(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right) \tan\left(\frac{\pi x}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$ होगा।
$x = 30$ पर,$f'(30) = \sec\left(\frac{30\pi}{180}\right) \tan\left(\frac{30\pi}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$.
इसे सरल करने पर $f'(30) = \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \times \frac{\pi}{180}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$f'(30) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \frac{\pi}{180} = \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{270}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $y = \frac{2^x + 3^x}{4^x} = \frac{2^x}{4^x} + \frac{3^x}{4^x} = \left(\frac{2}{4}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,सूत्र $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$ का उपयोग करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right) + \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^x\right)$
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \log \frac{1}{2} + \left(\frac{3}{4}\right)^x \log \frac{3}{4}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $y = 3^{1-2 x}$ का अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) और सूत्र $\frac{d}{d x}(a^u) = a^u \cdot \log a \cdot \frac{d u}{d x}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 3$ और $u = 1 - 2x$ है।
सबसे पहले,घातांक का अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d}{d x}(1 - 2x) = -2$।
अब,सूत्र लागू करें:
$\frac{d}{d x}(3^{1-2 x}) = 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot \frac{d}{d x}(1 - 2x)$
$= 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot (-2)$
$= -2 \cdot 3^{1-2 x} \log 3$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $y = 5 \sin x + 6 \cos x$।
सबसे पहले,अवकलज $y_1 = \frac{dy}{dx} = 5 \cos x - 6 \sin x$ ज्ञात करें।
अब,$y^2 + (y_1)^2$ की गणना करें:
$y^2 = (5 \sin x + 6 \cos x)^2 = 25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x$।
$(y_1)^2 = (5 \cos x - 6 \sin x)^2 = 25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$y^2 + (y_1)^2 = (25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x) + (25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x)$।
$y^2 + (y_1)^2 = 25(\sin^2 x + \cos^2 x) + 36(\cos^2 x + \sin^2 x)$।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$y^2 + (y_1)^2 = 25(1) + 36(1) = 61$।

(A) माना $y = e^{\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x}+\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}$.
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,पहला पद $e^{\pi/2}$ हो जाता है,जो एक अचर है। अचर का अवकलज $0$ होता है।
अब,शेष पदों का अवकलन करें: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right]$.
पहले भाग के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
दूसरे भाग के लिए: $\frac{d}{dx} \left( \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $\frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \sqrt{a^2-x^2}$.

(A) $f(x) = \sin(x^2) + \cos(x^2)$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $u = x^2$,तो $\frac{du}{dx} = 2x$ होगा।
अवकलन इस प्रकार है: $\frac{d}{dx}(\sin(u) + \cos(u)) = \frac{d}{du}(\sin(u) + \cos(u)) \cdot \frac{du}{dx}$.
$= (\cos(u) - \sin(u)) \cdot 2x$.
$u = x^2$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2x(\cos(x^2) - \sin(x^2))$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $y = \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$ है।
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके व्यंजक का विस्तार करने पर:
$y = (\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$
$y = x + 2 + \frac{1}{x}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2) + \frac{d}{d x}(x^{-1})$
$\frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{-2}$
$\frac{d y}{d x} = 1 - \frac{1}{x^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $\theta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$ है। तब $\cot \theta = \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$।
आधार $\sqrt{2+x}$ और लंब $\sqrt{2-x}$ वाले समकोण त्रिभुज के लिए,कर्ण $\sqrt{(\sqrt{2+x})^2 + (\sqrt{2-x})^2} = \sqrt{2+x+2-x} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{2+x}}{2}$।
अब,व्यंजक $\frac{d}{d x}\left[\cos ^2 \theta\right] = \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{\sqrt{2+x}}{2}\right)^2\right]$ हो जाता है।
$= \frac{d}{d x}\left(\frac{2+x}{4}\right) = \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{4}\right) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1$ है।
$f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{100x^{99}}{100} + \frac{99x^{98}}{99} + \dots + \frac{2x}{2} + 1$।
इसे सरल करने पर,हमें $f'(x) = x^{99} + x^{98} + \dots + x + 1$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलज में $x = 0$ रखने पर:
$f'(0) = 0^{99} + 0^{98} + \dots + 0 + 1 = 1$।

(A) दिया गया है $f(x+y)=f(x)f(y)$.
$x=0, y=5$ रखने पर,हमें $f(5)=f(0)f(5)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(5)=3 \neq 0$,इसलिए $f(0)=1$ है।
अब,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h)-f(5)}{h}$.
दिए गए फलन समीकरण का उपयोग करने पर,$f(5+h)=f(5)f(h)$.
अतः,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5)f(h)-f(5)}{h} = f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
चूँकि $f(0)=1$,यह $f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f(5)f^{\prime}(0)$ है।
मान रखने पर,$f^{\prime}(5) = 3 \times 2 = 6$.

(D) दिया गया फलन $y = f(x^2 + 2)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 2)$
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot (2x)$
अब,$x = 1$ पर अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(1^2 + 2) \cdot (2 \cdot 1)$
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(3) \cdot 2$
दिया गया है कि $f'(3) = 5$,अतः इस मान को रखने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 5 \cdot 2 = 10$

(A) परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f(x)$ सम है यदि $f(-x) = f(x)$ हो।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$
$f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$
$-f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
चूंकि $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$,इसलिए अवकलज $f^{\prime}(x)$ एक विषम फलन है।

(B) दिया गया फलन: $g(x) = \frac{x^{200}}{200} + \frac{x^{199}}{199} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 5$।
$g'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$g'(x) = \frac{200x^{199}}{200} + \frac{199x^{198}}{199} + \dots + \frac{2x}{2} + 1 + 0$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$g'(x) = x^{199} + x^{198} + \dots + x + 1$।
अब,अवकलज में $x = 0$ रखने पर:
$g'(0) = 0^{199} + 0^{198} + \dots + 0 + 1$।
$g'(0) = 1$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 3 + |x|$ है।
हम जानते हैं कि $|x|$ का अवकलज इस प्रकार होता है:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3 + |x|) = \frac{d}{dx}(|x|) = \text{sgn}(x)$
जहाँ $\text{sgn}(x)$ साइनम फलन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
फलन $f'(x)$,$x = 0$ पर अपरिभाषित है।
$f'(x)$ के मानों को देखने पर,यह केवल दो मान लेता है: $x > 0$ के लिए $1$ और $x < 0$ के लिए $-1$।
अतः,इस फलन $f'(x)$ का न्यूनतम मान $-1$ है।

(C) दिया गया है $y = \frac{\cos x}{1+\sin x}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(-\sin x)(1+\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-(\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x)}{(1+\sin x)^2}$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} = \frac{-1}{1+\sin x}$. यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
अब,त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $\frac{-1}{1+\sin x}$ को सरल बनाने पर:
$1+\sin x = 1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)} = -\frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$. यह विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।
इस प्रकार,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} + \cos x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}$ और $\cos x$ का अवकलज $-\sin x$ का उपयोग करते हैं।
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx}(ax^{-4} - bx^{-2} + \cos x)$
$= a(-4x^{-5}) - b(-2x^{-3}) - \sin x$
$= -\frac{4a}{x^{5}} + \frac{2b}{x^{3}} - \sin x$
इसे $ma + nb - p$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$m = -\frac{4}{x^{5}}$,$n = \frac{2}{x^{3}}$,और $p = \sin x$.

(C) $y = (\cos x^{2})^{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot (2x)$
$\frac{dy}{dx} = -4x \sin x^{2} \cos x^{2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -2x(2 \sin x^{2} \cos x^{2}) = -2x \sin 2x^{2}$