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Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · Continuity and Differentiation · Derivative at a point, Standard differentiation
493+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 493 questions in Hindi
251
Medium
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि $p, q, r$ निश्चित शून्येतर स्थिरांक हैं): $\frac{p x^{2}+q x+r}{x}$
Solution
माना $f(x) = \frac{p x^{2}+q x+r}{x}$.
हम अंश के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करके फलन को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = \frac{p x^{2}}{x} + \frac{q x}{x} + \frac{r}{x} = p x + q + r x^{-1}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(p x) + \frac{d}{dx}(q) + \frac{d}{dx}(r x^{-1})$.
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = p(1) + 0 + r(-1)x^{-2}$.
अतः,$f'(x) = p - \frac{r}{x^{2}}$.
हम अंश के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करके फलन को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = \frac{p x^{2}}{x} + \frac{q x}{x} + \frac{r}{x} = p x + q + r x^{-1}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(p x) + \frac{d}{dx}(q) + \frac{d}{dx}(r x^{-1})$.
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = p(1) + 0 + r(-1)x^{-2}$.
अतः,$f'(x) = p - \frac{r}{x^{2}}$.
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Medium
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $\frac{a}{x^{4}}-\frac{b}{x^{2}}+\cos x$,जहाँ $a$ और $b$ स्थिर शून्येतर अचर हैं।
Solution
(N/A) माना $f(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} + \cos x$.
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ और त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^{-4}) - \frac{d}{dx}(bx^{-2}) + \frac{d}{dx}(\cos x)$
$f'(x) = a(-4x^{-5}) - b(-2x^{-3}) - \sin x$
$f'(x) = -\frac{4a}{x^{5}} + \frac{2b}{x^{3}} - \sin x$.
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ और त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^{-4}) - \frac{d}{dx}(bx^{-2}) + \frac{d}{dx}(\cos x)$
$f'(x) = a(-4x^{-5}) - b(-2x^{-3}) - \sin x$
$f'(x) = -\frac{4a}{x^{5}} + \frac{2b}{x^{3}} - \sin x$.
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Easy
फलन $4 \sqrt{x} - 2$ का अवकलज ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि $a, b, c, d, p, q, r, s$ निश्चित शून्येतर स्थिरांक हैं और $m, n$ पूर्णांक हैं।)
Solution
(N/A) माना $f(x) = 4 \sqrt{x} - 2$ है।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4 \sqrt{x} - 2)$
$= \frac{d}{dx}(4 \sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(2)$
$= 4 \frac{d}{dx}(x^{1/2}) - 0$
$= 4 \left( \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} \right)$
$= 2 x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4 \sqrt{x} - 2)$
$= \frac{d}{dx}(4 \sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(2)$
$= 4 \frac{d}{dx}(x^{1/2}) - 0$
$= 4 \left( \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} \right)$
$= 2 x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.
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Difficult
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए (यह मान लिया जाए कि $a, b, c, d, p, q, r$ और $s$ निश्चित शून्येतर अचर हैं और $m$ तथा $n$ पूर्णांक हैं): $(ax + b)^n (cx + d)^m$
Solution
(N/A) माना $f(x) = (ax + b)^n (cx + d)^m$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$.
माना $u(x) = (ax + b)^n$ और $v(x) = (cx + d)^m$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$u'(x) = n(ax + b)^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}(ax + b) = n(ax + b)^{n-1} \cdot a = na(ax + b)^{n-1}$.
इसी प्रकार,$v'(x) = m(cx + d)^{m-1} \cdot \frac{d}{dx}(cx + d) = m(cx + d)^{m-1} \cdot c = mc(cx + d)^{m-1}$.
अब,इन मानों को गुणन नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = (ax + b)^n \cdot [mc(cx + d)^{m-1}] + (cx + d)^m \cdot [na(ax + b)^{n-1}]$.
उभयनिष्ठ पदों $(ax + b)^{n-1}$ और $(cx + d)^{m-1}$ को बाहर निकालने पर:
$f'(x) = (ax + b)^{n-1} (cx + d)^{m-1} [mc(ax + b) + na(cx + d)]$.
अतः,अवकलज $(ax + b)^{n-1} (cx + d)^{m-1} [mc(ax + b) + na(cx + d)]$ है।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$.
माना $u(x) = (ax + b)^n$ और $v(x) = (cx + d)^m$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$u'(x) = n(ax + b)^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}(ax + b) = n(ax + b)^{n-1} \cdot a = na(ax + b)^{n-1}$.
इसी प्रकार,$v'(x) = m(cx + d)^{m-1} \cdot \frac{d}{dx}(cx + d) = m(cx + d)^{m-1} \cdot c = mc(cx + d)^{m-1}$.
अब,इन मानों को गुणन नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = (ax + b)^n \cdot [mc(cx + d)^{m-1}] + (cx + d)^m \cdot [na(ax + b)^{n-1}]$.
उभयनिष्ठ पदों $(ax + b)^{n-1}$ और $(cx + d)^{m-1}$ को बाहर निकालने पर:
$f'(x) = (ax + b)^{n-1} (cx + d)^{m-1} [mc(ax + b) + na(cx + d)]$.
अतः,अवकलज $(ax + b)^{n-1} (cx + d)^{m-1} [mc(ax + b) + na(cx + d)]$ है।
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निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $\operatorname{cosec} x \cot x$.
Solution
(N/A) माना $f(x) = \operatorname{cosec} x \cot x$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$.
यहाँ,$u(x) = \operatorname{cosec} x$ और $v(x) = \cot x$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) = -\operatorname{cosec} x \cot x$ और $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\operatorname{cosec}^2 x$.
गुणन नियम लागू करने पर:
$f'(x) = \operatorname{cosec} x (-\operatorname{cosec}^2 x) + \cot x (-\operatorname{cosec} x \cot x)$
$f'(x) = -\operatorname{cosec}^3 x - \operatorname{cosec} x \cot^2 x$
$f'(x) = -\operatorname{cosec} x (\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x)$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$.
यहाँ,$u(x) = \operatorname{cosec} x$ और $v(x) = \cot x$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x) = -\operatorname{cosec} x \cot x$ और $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\operatorname{cosec}^2 x$.
गुणन नियम लागू करने पर:
$f'(x) = \operatorname{cosec} x (-\operatorname{cosec}^2 x) + \cot x (-\operatorname{cosec} x \cot x)$
$f'(x) = -\operatorname{cosec}^3 x - \operatorname{cosec} x \cot^2 x$
$f'(x) = -\operatorname{cosec} x (\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x)$.
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निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos x}{1+\sin x}$
Solution
माना $f(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$ है।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(1+\sin x) \frac{d}{dx}(\cos x) - (\cos x) \frac{d}{dx}(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{(1+\sin x)(-\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2}$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f'(x) = \frac{-\sin x - 1}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-1}{1+\sin x}$
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(1+\sin x) \frac{d}{dx}(\cos x) - (\cos x) \frac{d}{dx}(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{(1+\sin x)(-\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2}$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f'(x) = \frac{-\sin x - 1}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2}$
$f'(x) = \frac{-1}{1+\sin x}$
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फलन $\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution
माना $f(x) = \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ है।
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(\sin x - \cos x) \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x) \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{(\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x) - (\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-(\sin x - \cos x)^2 - (\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x) - (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ है:
$f'(x) = \frac{-(1 - 2\sin x \cos x) - (1 + 2\sin x \cos x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-1 + 2\sin x \cos x - 1 - 2\sin x \cos x}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-2}{(\sin x - \cos x)^2}$
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(\sin x - \cos x) \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x) \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{(\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x) - (\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-(\sin x - \cos x)^2 - (\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x) - (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ है:
$f'(x) = \frac{-(1 - 2\sin x \cos x) - (1 + 2\sin x \cos x)}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-1 + 2\sin x \cos x - 1 - 2\sin x \cos x}{(\sin x - \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{-2}{(\sin x - \cos x)^2}$
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निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $\frac{\sec x-1}{\sec x+1}$
Solution
माना $f(x) = \frac{\sec x - 1}{\sec x + 1}$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके फलन को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{\frac{1}{\cos x} + 1} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{2 \sin^2(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} = \tan^2(x/2)$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $f(x) = \tan^2(x/2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 \tan(x/2) \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \tan(x/2) \sec^2(x/2)$.
वैकल्पिक रूप से,$\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ पर भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(1 + \cos x)(\sin x) - (1 - \cos x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{\sin x + \sin x \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{(1 + \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{2 \sin x}{(1 + \cos x)^2}$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके फलन को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{\frac{1}{\cos x} + 1} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{2 \sin^2(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} = \tan^2(x/2)$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $f(x) = \tan^2(x/2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 \tan(x/2) \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \tan(x/2) \sec^2(x/2)$.
वैकल्पिक रूप से,$\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ पर भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(1 + \cos x)(\sin x) - (1 - \cos x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{\sin x + \sin x \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{(1 + \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{2 \sin x}{(1 + \cos x)^2}$.
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Medium
फलन $\sin^{n} x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
Solution
(N/A) माना $y = \sin^{n} x$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $\sin^{n} x$ को एक संयुक्त फलन $f(g(x))$ के रूप में मानते हैं,जहाँ $f(u) = u^{n}$ और $g(x) = \sin x$.
श्रृंखला नियम के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.
यहाँ,$\frac{df}{du} = n u^{n-1} = n(\sin x)^{n-1}$ और $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = n(\sin x)^{n-1} \cdot \cos x$.
इस प्रकार,$\frac{d}{dx}(\sin^{n} x) = n \sin^{n-1} x \cos x$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $\sin^{n} x$ को एक संयुक्त फलन $f(g(x))$ के रूप में मानते हैं,जहाँ $f(u) = u^{n}$ और $g(x) = \sin x$.
श्रृंखला नियम के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.
यहाँ,$\frac{df}{du} = n u^{n-1} = n(\sin x)^{n-1}$ और $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = n(\sin x)^{n-1} \cdot \cos x$.
इस प्रकार,$\frac{d}{dx}(\sin^{n} x) = n \sin^{n-1} x \cos x$.
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Medium
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए (यह माना गया है कि $a, b, c, d, p, q, r$ और $s$ निश्चित शून्येतर स्थिरांक हैं और $m$ तथा $n$ पूर्णांक हैं): $\frac{a+b \sin x}{c+d \cos x}$
Solution
माना $f(x) = \frac{a+b \sin x}{c+d \cos x}$ है।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(c+d \cos x) \frac{d}{dx}(a+b \sin x) - (a+b \sin x) \frac{d}{dx}(c+d \cos x)}{(c+d \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{(c+d \cos x)(b \cos x) - (a+b \sin x)(-d \sin x)}{(c+d \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{bc \cos x + bd \cos^2 x + ad \sin x + bd \sin^2 x}{(c+d \cos x)^2}$
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \frac{bc \cos x + ad \sin x + bd(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(c+d \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{bc \cos x + ad \sin x + bd}{(c+d \cos x)^2}$
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(c+d \cos x) \frac{d}{dx}(a+b \sin x) - (a+b \sin x) \frac{d}{dx}(c+d \cos x)}{(c+d \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{(c+d \cos x)(b \cos x) - (a+b \sin x)(-d \sin x)}{(c+d \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{bc \cos x + bd \cos^2 x + ad \sin x + bd \sin^2 x}{(c+d \cos x)^2}$
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \frac{bc \cos x + ad \sin x + bd(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(c+d \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{bc \cos x + ad \sin x + bd}{(c+d \cos x)^2}$
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Medium
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि $a, b, c, d, p, q, r$ और $s$ निश्चित शून्येतर अचर हैं और $m$ और $n$ पूर्णांक हैं): $\frac{\sin (x+a)}{\cos x}$
Solution
माना $f(x) = \frac{\sin (x+a)}{\cos x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left[ \frac{u}{v} \right] = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = \sin (x+a)$ और $v = \cos x$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} [\sin (x+a)] = \cos (x+a)$ और $\frac{d}{dx} [\cos x] = -\sin x$.
इन मानों को भागफल नियम के सूत्र में रखने पर:
$f'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos (x+a) - \sin (x+a) \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{\cos x \cos (x+a) + \sin x \sin (x+a)}{\cos^2 x}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = x+a$ और $B = x$:
$f'(x) = \frac{\cos ((x+a) - x)}{\cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{\cos a}{\cos^2 x}$
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left[ \frac{u}{v} \right] = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = \sin (x+a)$ और $v = \cos x$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} [\sin (x+a)] = \cos (x+a)$ और $\frac{d}{dx} [\cos x] = -\sin x$.
इन मानों को भागफल नियम के सूत्र में रखने पर:
$f'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos (x+a) - \sin (x+a) \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{\cos x \cos (x+a) + \sin x \sin (x+a)}{\cos^2 x}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = x+a$ और $B = x$:
$f'(x) = \frac{\cos ((x+a) - x)}{\cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{\cos a}{\cos^2 x}$
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Medium
फलन $f(x) = x^{4}(5 \sin x - 3 \cos x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution
माना $f(x) = x^{4}(5 \sin x - 3 \cos x)$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$:
$f'(x) = x^{4} \frac{d}{dx}(5 \sin x - 3 \cos x) + (5 \sin x - 3 \cos x) \frac{d}{dx}(x^{4})$
$f'(x) = x^{4}(5 \cos x - 3(-\sin x)) + (5 \sin x - 3 \cos x)(4x^{3})$
$f'(x) = x^{4}(5 \cos x + 3 \sin x) + 4x^{3}(5 \sin x - 3 \cos x)$
$f'(x) = 5x^{4} \cos x + 3x^{4} \sin x + 20x^{3} \sin x - 12x^{3} \cos x$
$x^{3}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = x^{3}(5x \cos x + 3x \sin x + 20 \sin x - 12 \cos x)$
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$:
$f'(x) = x^{4} \frac{d}{dx}(5 \sin x - 3 \cos x) + (5 \sin x - 3 \cos x) \frac{d}{dx}(x^{4})$
$f'(x) = x^{4}(5 \cos x - 3(-\sin x)) + (5 \sin x - 3 \cos x)(4x^{3})$
$f'(x) = x^{4}(5 \cos x + 3 \sin x) + 4x^{3}(5 \sin x - 3 \cos x)$
$f'(x) = 5x^{4} \cos x + 3x^{4} \sin x + 20x^{3} \sin x - 12x^{3} \cos x$
$x^{3}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = x^{3}(5x \cos x + 3x \sin x + 20 \sin x - 12 \cos x)$
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Easy
फलन $(x^{2}+1) \cos x$ का अवकलज ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि $a, b, c, d, p, q, r, s$ निश्चित शून्येतर स्थिरांक हैं और $m, n$ पूर्णांक हैं।)
Solution
(N/A) माना $f(x) = (x^{2}+1) \cos x$ है।
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$:
$f'(x) = (x^{2}+1) \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \frac{d}{dx}(x^{2}+1)$
$f'(x) = (x^{2}+1)(-\sin x) + \cos x(2x)$
$f'(x) = -x^{2} \sin x - \sin x + 2x \cos x$
अतः,अवकलज $2x \cos x - (x^{2}+1) \sin x$ है।
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$:
$f'(x) = (x^{2}+1) \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \frac{d}{dx}(x^{2}+1)$
$f'(x) = (x^{2}+1)(-\sin x) + \cos x(2x)$
$f'(x) = -x^{2} \sin x - \sin x + 2x \cos x$
अतः,अवकलज $2x \cos x - (x^{2}+1) \sin x$ है।
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निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए (यह माना गया है कि $a, b, c, d, p, q, r$ और $s$ निश्चित शून्येतर स्थिरांक हैं और $m$ और $n$ पूर्णांक हैं): $(ax^{2} + \sin x)(p + q \cos x)$
Solution
माना $f(x) = (ax^{2} + \sin x)(p + q \cos x)$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$.
यहाँ,$u(x) = ax^{2} + \sin x$ और $v(x) = p + q \cos x$.
$f'(x) = (ax^{2} + \sin x) \frac{d}{dx}(p + q \cos x) + (p + q \cos x) \frac{d}{dx}(ax^{2} + \sin x)$.
$f'(x) = (ax^{2} + \sin x)(-q \sin x) + (p + q \cos x)(2ax + \cos x)$.
$f'(x) = -q \sin x(ax^{2} + \sin x) + (p + q \cos x)(2ax + \cos x)$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$.
यहाँ,$u(x) = ax^{2} + \sin x$ और $v(x) = p + q \cos x$.
$f'(x) = (ax^{2} + \sin x) \frac{d}{dx}(p + q \cos x) + (p + q \cos x) \frac{d}{dx}(ax^{2} + \sin x)$.
$f'(x) = (ax^{2} + \sin x)(-q \sin x) + (p + q \cos x)(2ax + \cos x)$.
$f'(x) = -q \sin x(ax^{2} + \sin x) + (p + q \cos x)(2ax + \cos x)$.
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निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $\frac{4x + 5 \sin x}{3x + 7 \cos x}$
Solution
माना $f(x) = \frac{4x + 5 \sin x}{3x + 7 \cos x}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(3x + 7 \cos x) \frac{d}{dx}(4x + 5 \sin x) - (4x + 5 \sin x) \frac{d}{dx}(3x + 7 \cos x)}{(3x + 7 \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{(3x + 7 \cos x)(4 + 5 \cos x) - (4x + 5 \sin x)(3 - 7 \sin x)}{(3x + 7 \cos x)^2}$
अंश का विस्तार करने पर:
$= \frac{(12x + 15x \cos x + 28 \cos x + 35 \cos^2 x) - (12x - 28x \sin x + 15 \sin x - 35 \sin^2 x)}{(3x + 7 \cos x)^2}$
$= \frac{12x + 15x \cos x + 28 \cos x + 35 \cos^2 x - 12x + 28x \sin x - 15 \sin x + 35 \sin^2 x}{(3x + 7 \cos x)^2}$
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,इसलिए $35(\cos^2 x + \sin^2 x) = 35$:
$= \frac{35 + 15x \cos x + 28 \cos x + 28x \sin x - 15 \sin x}{(3x + 7 \cos x)^2}$
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{(3x + 7 \cos x) \frac{d}{dx}(4x + 5 \sin x) - (4x + 5 \sin x) \frac{d}{dx}(3x + 7 \cos x)}{(3x + 7 \cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{(3x + 7 \cos x)(4 + 5 \cos x) - (4x + 5 \sin x)(3 - 7 \sin x)}{(3x + 7 \cos x)^2}$
अंश का विस्तार करने पर:
$= \frac{(12x + 15x \cos x + 28 \cos x + 35 \cos^2 x) - (12x - 28x \sin x + 15 \sin x - 35 \sin^2 x)}{(3x + 7 \cos x)^2}$
$= \frac{12x + 15x \cos x + 28 \cos x + 35 \cos^2 x - 12x + 28x \sin x - 15 \sin x + 35 \sin^2 x}{(3x + 7 \cos x)^2}$
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,इसलिए $35(\cos^2 x + \sin^2 x) = 35$:
$= \frac{35 + 15x \cos x + 28 \cos x + 28x \sin x - 15 \sin x}{(3x + 7 \cos x)^2}$
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Easy
फलन $\frac{x^{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin x}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution
माना $f(x) = \frac{x^{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin x}$ है।
भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x^{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$ और $v = \sin x$ है:
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \left[ \frac{\sin x \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) - x^{2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)}{\sin^{2} x} \right]$
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \left[ \frac{\sin x(2x) - x^{2}(\cos x)}{\sin^{2} x} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{x \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) (2 \sin x - x \cos x)}{\sin^{2} x}$
भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x^{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$ और $v = \sin x$ है:
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \left[ \frac{\sin x \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) - x^{2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)}{\sin^{2} x} \right]$
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \left[ \frac{\sin x(2x) - x^{2}(\cos x)}{\sin^{2} x} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{x \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) (2 \sin x - x \cos x)}{\sin^{2} x}$
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फलन $\frac{x}{1+\tan x}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Solution
माना $f(x) = \frac{x}{1+\tan x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = x$ और $v = 1 + \tan x$.
$\frac{du}{dx} = 1$ और $\frac{dv}{dx} = \sec^2 x$.
इन मानों को भागफल नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = \frac{(1 + \tan x)(1) - (x)(\sec^2 x)}{(1 + \tan x)^2}$.
अतः,$f'(x) = \frac{1 + \tan x - x \sec^2 x}{(1 + \tan x)^2}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = x$ और $v = 1 + \tan x$.
$\frac{du}{dx} = 1$ और $\frac{dv}{dx} = \sec^2 x$.
इन मानों को भागफल नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = \frac{(1 + \tan x)(1) - (x)(\sec^2 x)}{(1 + \tan x)^2}$.
अतः,$f'(x) = \frac{1 + \tan x - x \sec^2 x}{(1 + \tan x)^2}$.
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Easy
निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $\frac{x}{\sin^{n} x}$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।
Solution
माना $f(x) = \frac{x}{\sin^{n} x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = x$ और $v = \sin^{n} x$.
$\frac{du}{dx} = 1$ और $\frac{dv}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos x$ (श्रृंखला नियम द्वारा)।
इन मानों को भागफल नियम के सूत्र में रखने पर:
$f'(x) = \frac{\sin^{n} x (1) - x (n \sin^{n-1} x \cos x)}{(\sin^{n} x)^2}$.
$f'(x) = \frac{\sin^{n} x - n x \sin^{n-1} x \cos x}{\sin^{2n} x}$.
अंश से $\sin^{n-1} x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = \frac{\sin^{n-1} x (\sin x - n x \cos x)}{\sin^{2n} x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{\sin x - n x \cos x}{\sin^{n+1} x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = x$ और $v = \sin^{n} x$.
$\frac{du}{dx} = 1$ और $\frac{dv}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos x$ (श्रृंखला नियम द्वारा)।
इन मानों को भागफल नियम के सूत्र में रखने पर:
$f'(x) = \frac{\sin^{n} x (1) - x (n \sin^{n-1} x \cos x)}{(\sin^{n} x)^2}$.
$f'(x) = \frac{\sin^{n} x - n x \sin^{n-1} x \cos x}{\sin^{2n} x}$.
अंश से $\sin^{n-1} x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = \frac{\sin^{n-1} x (\sin x - n x \cos x)}{\sin^{2n} x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{\sin x - n x \cos x}{\sin^{n+1} x}$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f(x)$ सभी वास्तविक $x$ और $y$ के लिए सर्वसमिका $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy^2 + x^2y$ को संतुष्ट करता है। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = 1$ है,तो $f'(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$8$
B
$9$
C
$10$
D
$12$
Solution
(C) दी गई सर्वसमिका $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy^2 + x^2y$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$।
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$।
दी गई सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$f(x+h) = f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h$।
इस मान को अवकलज के सूत्र में रखने पर:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(h)}{h} + xh + x^2 \right)$।
चूंकि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = 1$ (दिया गया है),इसलिए $f'(x) = 1 + 0 + x^2 = 1 + x^2$।
अतः,$f'(3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$।
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$।
दी गई सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$f(x+h) = f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h$।
इस मान को अवकलज के सूत्र में रखने पर:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(h)}{h} + xh + x^2 \right)$।
चूंकि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = 1$ (दिया गया है),इसलिए $f'(x) = 1 + 0 + x^2 = 1 + x^2$।
अतः,$f'(3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$।
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ सभी $x, y \in R$ के लिए समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ को संतुष्ट करता है और किसी भी $x \in R$ के लिए $f(x) \neq 0$ है। यदि फलन $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है और $f'(0)=3$ है,तो $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}(f(h)-1)$ का मान ....... है।
A
$3$
B
$6$
C
$5$
D
$4$
Solution
(A) दिया गया कार्यात्मक समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है।
$x=0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ होता है।
$f(x+y)=f(x)f(y)$ में $x=0, y=0$ रखने पर $f(0)=f(0)^2$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(x) \neq 0$,इसलिए $f(0)=1$ होगा।
अवकलज की परिभाषा में $f(0)=1$ रखने पर,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f'(0)=3$,इसलिए $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 3$ होगा।
$x=0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ होता है।
$f(x+y)=f(x)f(y)$ में $x=0, y=0$ रखने पर $f(0)=f(0)^2$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(x) \neq 0$,इसलिए $f(0)=1$ होगा।
अवकलज की परिभाषा में $f(0)=1$ रखने पर,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f'(0)=3$,इसलिए $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 3$ होगा।
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f, R$ पर परिभाषित कोई फलन है और यह शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$,सभी $(x, y) \in R$ के लिए संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 1$ है,तो:
A
$f(x), R$ में कोई भी मान ले सकता है
B
$f(x) < 0, \forall x \in R$
C
$f(x) = 0, \forall x \in R$
D
$f(x) > 0, \forall x \in R$
Solution
(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$ है।
दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर ($x \neq y$ के लिए),हमें $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq |x - y|$ प्राप्त होता है।
$x \to y$ सीमा लेने पर,हमें $\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq \lim_{x \to y} |x - y|$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \leq 0$ है।
चूंकि निरपेक्ष मान ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।
वह फलन जिसका अवकलज हर जगह शून्य होता है,एक अचर फलन होता है,इसलिए $f(x) = C$ है।
$f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।
चूंकि $1 > 0$,इसलिए सही कथन $f(x) > 0, \forall x \in R$ है।
दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर ($x \neq y$ के लिए),हमें $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq |x - y|$ प्राप्त होता है।
$x \to y$ सीमा लेने पर,हमें $\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq \lim_{x \to y} |x - y|$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \leq 0$ है।
चूंकि निरपेक्ष मान ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।
वह फलन जिसका अवकलज हर जगह शून्य होता है,एक अचर फलन होता है,इसलिए $f(x) = C$ है।
$f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।
चूंकि $1 > 0$,इसलिए सही कथन $f(x) > 0, \forall x \in R$ है।
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MediumMCQ
मान लीजिए $f(x)$,$x=a$ पर एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f^{\prime}(a)=2$ और $f(a)=4$ है। तो $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a}$ का मान ...... है।
A
$2a + 4$
B
$4 - 2a$
C
$2a - 4$
D
$a + 4$
Solution
(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(a) = 2$ और $f(a) = 4$ है।
हमें $L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{x f(a) - a f(x)}{x - a}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके लोपिटल नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{d}{dx}(x f(a) - a f(x))}{\frac{d}{dx}(x - a)}$
$L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(a) - a f^{\prime}(x)}{1}$
$x = a$ रखने पर:
$L = f(a) - a f^{\prime}(a)$
$L = 4 - a(2) = 4 - 2a$.
हमें $L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{x f(a) - a f(x)}{x - a}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके लोपिटल नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{d}{dx}(x f(a) - a f(x))}{\frac{d}{dx}(x - a)}$
$L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(a) - a f^{\prime}(x)}{1}$
$x = a$ रखने पर:
$L = f(a) - a f^{\prime}(a)$
$L = 4 - a(2) = 4 - 2a$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ को $f(x) = x^{3} + x - 5$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $g(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f(g(x)) = x, \forall x \in R$,तो $g^{\prime}(63)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{49}$
B
$\frac{3}{49}$
C
$\frac{43}{49}$
D
$\frac{91}{49}$
Solution
(A) दिया गया है $f(x) = x^{3} + x - 5$.
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$.
चूंकि $f^{\prime}(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और इसलिए व्युत्क्रमणीय है।
दिया गया है $f(g(x)) = x$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$,जिसका अर्थ है $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$।
$g^{\prime}(63)$ ज्ञात करने के लिए,हमें वह $x$ ज्ञात करना होगा जिसके लिए $f(x) = 63$ हो।
$x^{3} + x - 5 = 63 \Rightarrow x^{3} + x - 68 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = 4$ रखने पर,$4^{3} + 4 - 5 = 64 + 4 - 5 = 63$ प्राप्त होता है। अतः,$g(63) = 4$ है।
अब,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{f^{\prime}(g(63))} = \frac{1}{f^{\prime}(4)}$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$,इसलिए $f^{\prime}(4) = 3(4)^{2} + 1 = 3(16) + 1 = 48 + 1 = 49$ है।
अतः,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{49}$।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$.
चूंकि $f^{\prime}(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और इसलिए व्युत्क्रमणीय है।
दिया गया है $f(g(x)) = x$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$,जिसका अर्थ है $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$।
$g^{\prime}(63)$ ज्ञात करने के लिए,हमें वह $x$ ज्ञात करना होगा जिसके लिए $f(x) = 63$ हो।
$x^{3} + x - 5 = 63 \Rightarrow x^{3} + x - 68 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = 4$ रखने पर,$4^{3} + 4 - 5 = 64 + 4 - 5 = 63$ प्राप्त होता है। अतः,$g(63) = 4$ है।
अब,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{f^{\prime}(g(63))} = \frac{1}{f^{\prime}(4)}$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$,इसलिए $f^{\prime}(4) = 3(4)^{2} + 1 = 3(16) + 1 = 48 + 1 = 49$ है।
अतः,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{49}$।
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MediumMCQ
मान लीजिए $f(x)$ एक बहुपद फलन है जैसे कि $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$. तो,$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$-15$
B
$-60$
C
$60$
D
$15$
Solution
(A) दिया गया है $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$.
चूंकि सीमा $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ मौजूद है,इसलिए $f(1)=0$ होना चाहिए।
यदि $f(1)=0$ है,तो सीमा का मान $f^{\prime}(1)$ के बराबर है।
दिए गए समीकरण में $x=1$ रखने पर: $f(1)+f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 1^{5}+64 = 65$.
चूंकि $f(1)=0$,इसलिए $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$.
दिए गए समीकरण का अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x) = 5x^{4}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$.
चूंकि $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$,इसलिए $65+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$,जिससे $f^{\prime \prime \prime}(1) = -60$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x) = 20x^{3}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$.
पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x)+f^{(5)}(x) = 60x^{2}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+f^{(5)}(1) = 60$.
चूंकि $f(x)$ $5$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+g$.
तब $f^{(5)}(x) = 120a$. समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$ से,मुख्य गुणांक $a=1$.
अतः $f^{(5)}(x) = 120$.
$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+120 = 60$ का उपयोग करने पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = -60$.
$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$ से,$f^{\prime \prime}(1) + (-60) = 20$,जिससे $f^{\prime \prime}(1) = 80$ प्राप्त होता है।
अंत में,$f^{\prime}(1) = 65 - f^{\prime \prime}(1) = 65 - 80 = -15$.
चूंकि सीमा $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ मौजूद है,इसलिए $f(1)=0$ होना चाहिए।
यदि $f(1)=0$ है,तो सीमा का मान $f^{\prime}(1)$ के बराबर है।
दिए गए समीकरण में $x=1$ रखने पर: $f(1)+f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 1^{5}+64 = 65$.
चूंकि $f(1)=0$,इसलिए $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$.
दिए गए समीकरण का अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x) = 5x^{4}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$.
चूंकि $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$,इसलिए $65+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$,जिससे $f^{\prime \prime \prime}(1) = -60$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x) = 20x^{3}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$.
पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x)+f^{(5)}(x) = 60x^{2}$.
$x=1$ पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+f^{(5)}(1) = 60$.
चूंकि $f(x)$ $5$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+g$.
तब $f^{(5)}(x) = 120a$. समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$ से,मुख्य गुणांक $a=1$.
अतः $f^{(5)}(x) = 120$.
$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+120 = 60$ का उपयोग करने पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = -60$.
$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$ से,$f^{\prime \prime}(1) + (-60) = 20$,जिससे $f^{\prime \prime}(1) = 80$ प्राप्त होता है।
अंत में,$f^{\prime}(1) = 65 - f^{\prime \prime}(1) = 65 - 80 = -15$.
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AdvancedMCQ
मान लीजिए $P$ एक शून्येतर बहुपद है ताकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $P(1+x)=P(1-x)$ और $P(1)=0$ है। मान लीजिए $m$ सबसे बड़ा पूर्णांक है ताकि $(x-1)^m$ ऐसे सभी $P(x)$ को विभाजित करता है। तो,$m$ का मान है
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) दिया गया है कि $P(x)$ एक शून्येतर बहुपद है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए $P(1+x)=P(1-x)$ और $P(1)=0$ को संतुष्ट करता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P'(1+x) = -P'(1-x)$.
$x=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P'(1) = -P'(1) \implies 2P'(1) = 0 \implies P'(1) = 0$.
चूंकि $P(1)=0$ और $P'(1)=0$,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-1)^2$ को $P(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए।
यह जांचने के लिए कि क्या $m$ बड़ा हो सकता है,$P(x) = (x-1)^2$ पर विचार करें। यह $P(1+x) = (1+x-1)^2 = x^2$ और $P(1-x) = (1-x-1)^2 = (-x)^2 = x^2$ को संतुष्ट करता है। अतः,$P(1+x)=P(1-x)$ सत्य है।
इसलिए,सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ताकि $(x-1)^m$ ऐसे सभी $P(x)$ को विभाजित करे,वह $2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P'(1+x) = -P'(1-x)$.
$x=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P'(1) = -P'(1) \implies 2P'(1) = 0 \implies P'(1) = 0$.
चूंकि $P(1)=0$ और $P'(1)=0$,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-1)^2$ को $P(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए।
यह जांचने के लिए कि क्या $m$ बड़ा हो सकता है,$P(x) = (x-1)^2$ पर विचार करें। यह $P(1+x) = (1+x-1)^2 = x^2$ और $P(1-x) = (1-x-1)^2 = (-x)^2 = x^2$ को संतुष्ट करता है। अतः,$P(1+x)=P(1-x)$ सत्य है।
इसलिए,सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ताकि $(x-1)^m$ ऐसे सभी $P(x)$ को विभाजित करे,वह $2$ है।
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DifficultMCQ
अवकलनीय फलन $f: R - \{0\} \rightarrow R$ के लिए,मान लीजिए $3 f(x) + 2 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - 10$ है,तो $\left|f(3) + f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$7$
B
$\frac{33}{5}$
C
$\frac{29}{5}$
D
$13$
Solution
(D) दिया गया समीकरण: $3 f(x) + 2 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - 10$ (समीकरण $1$)
$x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर: $3 f\left(\frac{1}{x}\right) + 2 f(x) = x - 10$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x} - 30$
$4 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x - 20$
पहले में से दूसरा समीकरण घटाने पर:
$5 f(x) = \frac{3}{x} - 2x - 10$
$f(x) = \frac{3}{5x} - \frac{2x}{5} - 2$
अब,$f(3)$ ज्ञात करें:
$f(3) = \frac{3}{5(3)} - \frac{2(3)}{5} - 2 = \frac{1}{5} - \frac{6}{5} - 2 = -1 - 2 = -3$
$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = -\frac{3}{5x^2} - \frac{2}{5}$
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)$ की गणना करें:
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{5(1/16)} - \frac{2}{5} = -\frac{48}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{50}{5} = -10$
अंत में,$\left|f(3) + f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)\right|$ की गणना करें:
$|-3 + (-10)| = |-13| = 13$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर: $3 f\left(\frac{1}{x}\right) + 2 f(x) = x - 10$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x} - 30$
$4 f(x) + 6 f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x - 20$
पहले में से दूसरा समीकरण घटाने पर:
$5 f(x) = \frac{3}{x} - 2x - 10$
$f(x) = \frac{3}{5x} - \frac{2x}{5} - 2$
अब,$f(3)$ ज्ञात करें:
$f(3) = \frac{3}{5(3)} - \frac{2(3)}{5} - 2 = \frac{1}{5} - \frac{6}{5} - 2 = -1 - 2 = -3$
$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = -\frac{3}{5x^2} - \frac{2}{5}$
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)$ की गणना करें:
$f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{5(1/16)} - \frac{2}{5} = -\frac{48}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{50}{5} = -10$
अंत में,$\left|f(3) + f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)\right|$ की गणना करें:
$|-3 + (-10)| = |-13| = 13$
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^k$,$x \in R$ है। यदि $2f(2) + f'(2) = 119(2)^n + 1$ है,तो $n$ का मान $..........$ है।
A
$9$
B
$10$
C
$8$
D
$7$
Solution
(B) दिया गया है $f(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^k = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 10x^{10}$।
हम जानते हैं कि $f'(x) = \sum_{k=1}^{10} k^2 x^{k-1}$।
अतः,$f(2) = \sum_{k=1}^{10} k(2^k)$ और $f'(2) = \sum_{k=1}^{10} k^2(2^{k-1})$।
सर्वसमिका $g(x) = \sum_{k=1}^{10} x^k = \frac{x(1-x^{10})}{1-x}$ पर विचार करें।
$g(x)$ का अवकलन करने पर,हमें $g'(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^{k-1} = f(x)/x$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$f(x) = x g'(x)$।
तब $f'(x) = g'(x) + x g''(x)$।
अतः,$2f(2) + f'(2) = 2(2g'(2)) + (g'(2) + 2g''(2)) = 5g'(2) + 2g''(2)$।
वैकल्पिक रूप से,$\sum k x^k$ के योग के गुण का उपयोग करते हुए,$n=10$ के लिए $f(x) = \frac{x(1-(n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है।
$x=2$ पर मान रखने पर,$f(2) = \frac{2(1-11(2^{10}) + 10(2^{11}))}{(1-2)^2} = 2(1 - 11(1024) + 20480) = 2(1 - 11264 + 20480) = 2(9217) = 18434$।
$f'(2)$ की गणना करके और मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2f(2) + f'(2) = 119(2^{10}) + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 10$।
हम जानते हैं कि $f'(x) = \sum_{k=1}^{10} k^2 x^{k-1}$।
अतः,$f(2) = \sum_{k=1}^{10} k(2^k)$ और $f'(2) = \sum_{k=1}^{10} k^2(2^{k-1})$।
सर्वसमिका $g(x) = \sum_{k=1}^{10} x^k = \frac{x(1-x^{10})}{1-x}$ पर विचार करें।
$g(x)$ का अवकलन करने पर,हमें $g'(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^{k-1} = f(x)/x$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$f(x) = x g'(x)$।
तब $f'(x) = g'(x) + x g''(x)$।
अतः,$2f(2) + f'(2) = 2(2g'(2)) + (g'(2) + 2g''(2)) = 5g'(2) + 2g''(2)$।
वैकल्पिक रूप से,$\sum k x^k$ के योग के गुण का उपयोग करते हुए,$n=10$ के लिए $f(x) = \frac{x(1-(n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है।
$x=2$ पर मान रखने पर,$f(2) = \frac{2(1-11(2^{10}) + 10(2^{11}))}{(1-2)^2} = 2(1 - 11(1024) + 20480) = 2(1 - 11264 + 20480) = 2(9217) = 18434$।
$f'(2)$ की गणना करके और मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2f(2) + f'(2) = 119(2^{10}) + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 10$।
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DifficultMCQ
माना एक अवकलनीय फलन $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,$f(x)-f(y) \geq \log_e\left(\frac{x}{y}\right)+x-y, \forall x, y \in(0, \infty)$ है। तो $\sum_{n=1}^{20} f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$8569$
B
$2890$
C
$1256$
D
$3564$
Solution
(B) दिया गया है $f(x)-f(y) \geq \ln x - \ln y + x - y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f(x) - x - \ln x \geq f(y) - y - \ln y$ प्राप्त होता है।
माना $g(x) = f(x) - x - \ln x$ है। तो सभी $x, y \in (0, \infty)$ के लिए $g(x) \geq g(y)$ है।
इसका अर्थ है कि $g(x)$ एक अचर फलन है,मान लीजिए $C$ है।
अतः,$f(x) - x - \ln x = C$,जिसका अर्थ है $f(x) = x + \ln x + C$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = 1 + \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\sum_{n=1}^{20} f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ की गणना करनी है।
$f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right) = 1 + \frac{1}{1/n^2} = 1 + n^2$ है।
इसलिए,$\sum_{n=1}^{20} (1 + n^2) = \sum_{n=1}^{20} 1 + \sum_{n=1}^{20} n^2$ है।
$= 20 + \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = 20 + \frac{20 \times 21 \times 41}{6}$ है।
$= 20 + 10 \times 7 \times 41 = 20 + 2870 = 2890$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f(x) - x - \ln x \geq f(y) - y - \ln y$ प्राप्त होता है।
माना $g(x) = f(x) - x - \ln x$ है। तो सभी $x, y \in (0, \infty)$ के लिए $g(x) \geq g(y)$ है।
इसका अर्थ है कि $g(x)$ एक अचर फलन है,मान लीजिए $C$ है।
अतः,$f(x) - x - \ln x = C$,जिसका अर्थ है $f(x) = x + \ln x + C$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = 1 + \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\sum_{n=1}^{20} f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ की गणना करनी है।
$f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right) = 1 + \frac{1}{1/n^2} = 1 + n^2$ है।
इसलिए,$\sum_{n=1}^{20} (1 + n^2) = \sum_{n=1}^{20} 1 + \sum_{n=1}^{20} n^2$ है।
$= 20 + \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = 20 + \frac{20 \times 21 \times 41}{6}$ है।
$= 20 + 10 \times 7 \times 41 = 20 + 2870 = 2890$ है।
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$,जहाँ $x \in R$ है। तो $f'(10)$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$109$
B
$106$
C
$103$
D
$202$
Solution
(D) दिया गया है $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$.
चरण $1$: $f(x)$ के अवकलज ज्ञात करें।
$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$
$f''(x) = 6x + 2f'(1)$
$f'''(x) = 6$
चरण $2$: स्थिरांकों का मूल्यांकन करें।
$f'''(3)$ के लिए,चूंकि $f'''(x) = 6$,इसलिए $f'''(3) = 6$ है।
$f''(2)$ के लिए,$f''(x) = 6x + 2f'(1)$ में $x=2$ रखने पर:
$f''(2) = 6(2) + 2f'(1) = 12 + 2f'(1)$।
$f'(1)$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$ में $x=1$ रखने पर:
$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1)f'(1) + f''(2) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$।
चरण $3$: समीकरणों को हल करें।
$f''(2) = 12 + 2f'(1)$ को $f'(1) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(1) = 3 + 2f'(1) + 12 + 2f'(1)$
$f'(1) = 15 + 4f'(1)$
$-3f'(1) = 15 \implies f'(1) = -5$।
अब $f''(2)$ ज्ञात करें:
$f''(2) = 12 + 2(-5) = 12 - 10 = 2$।
चरण $4$: $f'(10)$ की गणना करें।
$f'(x) = 3x^2 + 2x(-5) + 2 = 3x^2 - 10x + 2$।
$f'(10) = 3(10)^2 - 10(10) + 2 = 300 - 100 + 2 = 202$।
चरण $1$: $f(x)$ के अवकलज ज्ञात करें।
$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$
$f''(x) = 6x + 2f'(1)$
$f'''(x) = 6$
चरण $2$: स्थिरांकों का मूल्यांकन करें।
$f'''(3)$ के लिए,चूंकि $f'''(x) = 6$,इसलिए $f'''(3) = 6$ है।
$f''(2)$ के लिए,$f''(x) = 6x + 2f'(1)$ में $x=2$ रखने पर:
$f''(2) = 6(2) + 2f'(1) = 12 + 2f'(1)$।
$f'(1)$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$ में $x=1$ रखने पर:
$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1)f'(1) + f''(2) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$।
चरण $3$: समीकरणों को हल करें।
$f''(2) = 12 + 2f'(1)$ को $f'(1) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(1) = 3 + 2f'(1) + 12 + 2f'(1)$
$f'(1) = 15 + 4f'(1)$
$-3f'(1) = 15 \implies f'(1) = -5$।
अब $f''(2)$ ज्ञात करें:
$f''(2) = 12 + 2(-5) = 12 - 10 = 2$।
चरण $4$: $f'(10)$ की गणना करें।
$f'(x) = 3x^2 + 2x(-5) + 2 = 3x^2 - 10x + 2$।
$f'(10) = 3(10)^2 - 10(10) + 2 = 300 - 100 + 2 = 202$।
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f(x) = \frac{(2^x + 2^{-x}) \tan x \sqrt{\tan^{-1}(x^2 - x + 1)}}{(7x^2 + 3x + 1)^3}$ है। तो $f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\pi$
B
$0$
C
$\sqrt{\pi}$
D
$\frac{\pi}{2}$
Solution
(C) दिया गया है $f(x) = \frac{(2^x + 2^{-x}) \tan x \sqrt{\tan^{-1}(x^2 - x + 1)}}{(7x^2 + 3x + 1)^3}$.
सबसे पहले,$f(0)$ का मान निकालें:
$f(0) = \frac{(2^0 + 2^0) \tan(0) \sqrt{\tan^{-1}(0-0+1)}}{(0+0+1)^3} = 0$.
अवकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{2^h + 2^{-h}}{(7h^2 + 3h + 1)^3} \cdot \frac{\tan h}{h} \cdot \sqrt{\tan^{-1}(h^2 - h + 1)} \right]$.
सीमा लेने पर:
$f'(0) = 2 \times 1 \times \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\pi}$.
सबसे पहले,$f(0)$ का मान निकालें:
$f(0) = \frac{(2^0 + 2^0) \tan(0) \sqrt{\tan^{-1}(0-0+1)}}{(0+0+1)^3} = 0$.
अवकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{2^h + 2^{-h}}{(7h^2 + 3h + 1)^3} \cdot \frac{\tan h}{h} \cdot \sqrt{\tan^{-1}(h^2 - h + 1)} \right]$.
सीमा लेने पर:
$f'(0) = 2 \times 1 \times \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\pi}$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(0)=\frac{1}{2}$ है। यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}=\alpha$ है,तो $8 \alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$16$
B
$2$
C
$1$
D
$4$
Solution
(B) हमें सीमा $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}$ दी गई है।
हम इस व्यंजक को $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \cdot \frac{x^2}{e^{x^2}-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} = 1$,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 1$ होगा।
अब,पहले भाग $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है) पर एल-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1} = f(0)$.
चूँकि $f(0) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,हमें $\alpha = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$8 \alpha^2 = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1}{4} = 2$ होगा।
हम इस व्यंजक को $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \cdot \frac{x^2}{e^{x^2}-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} = 1$,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 1$ होगा।
अब,पहले भाग $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है) पर एल-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1} = f(0)$.
चूँकि $f(0) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,हमें $\alpha = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$8 \alpha^2 = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1}{4} = 2$ होगा।
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MediumMCQ
मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $h$ के लिए,$h(0)=0$,$h(1)=1$ और $h^{\prime}(0)=h^{\prime}(1)=2$ है। यदि $g(x)=h(e^{x}) e^{h(x)}$ है,तो $g^{\prime}(0)$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$5$
B
$3$
C
$8$
D
$4$
Solution
(D) दिया गया है कि $g(x) = h(e^x) \cdot e^{h(x)}$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{h(x)}) + e^{h(x)} \cdot \frac{d}{dx}(h(e^x))$
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(x) + e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(e^x) \cdot e^x$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g^{\prime}(0) = h(e^0) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(e^0) \cdot e^0$
$g^{\prime}(0) = h(1) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(1) \cdot 1$
दिया गया है कि $h(0)=0$,$h(1)=1$,और $h^{\prime}(0)=h^{\prime}(1)=2$:
$g^{\prime}(0) = (1) \cdot e^0 \cdot (2) + e^0 \cdot (2) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 2 + 2 = 4$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{h(x)}) + e^{h(x)} \cdot \frac{d}{dx}(h(e^x))$
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(x) + e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(e^x) \cdot e^x$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g^{\prime}(0) = h(e^0) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(e^0) \cdot e^0$
$g^{\prime}(0) = h(1) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(1) \cdot 1$
दिया गया है कि $h(0)=0$,$h(1)=1$,और $h^{\prime}(0)=h^{\prime}(1)=2$:
$g^{\prime}(0) = (1) \cdot e^0 \cdot (2) + e^0 \cdot (2) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 2 + 2 = 4$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है। हम कहते हैं कि $f$ में $PROPERTY \ 1$ है यदि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{\sqrt{|h|}}$ का अस्तित्व है और यह परिमित है,और $PROPERTY \ 2$ है यदि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h^2}$ का अस्तित्व है और यह परिमित है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1) \ f(x)=x|x|$ में $PROPERTY \ 2$ है
$(2) \ f(x)=x^{2/3}$ में $PROPERTY \ 1$ है
$(3) \ f(x)=\sin x$ में $PROPERTY \ 2$ है
$(4) \ f(x)=|x|$ में $PROPERTY \ 1$ है
$(1) \ f(x)=x|x|$ में $PROPERTY \ 2$ है
$(2) \ f(x)=x^{2/3}$ में $PROPERTY \ 1$ है
$(3) \ f(x)=\sin x$ में $PROPERTY \ 2$ है
$(4) \ f(x)=|x|$ में $PROPERTY \ 1$ है
A
$(2, 4)$
B
$(2, 3)$
C
$(1, 3)$
D
$(1, 4)$
Solution
(A) $PROPERTY \ 1$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{\sqrt{|h|}}$ की जाँच करते हैं:
$(2) \ f(x)=x^{2/3}, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2/3}-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|^{2/3}}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/6} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(2)$ सही है।
$(4) \ f(x)=|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/2} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(4)$ सही है।
$PROPERTY \ 2$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h^2}$ की जाँच करते हैं:
$(1) \ f(x)=x|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h|h|}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|}{h}$. $RHL = 1$ और $LHL = -1$ है। सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(1)$ गलत है।
$(3) \ f(x)=\sin x, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{h} = 1 \cdot \infty = \infty$. सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(3)$ गलत है।
इस प्रकार,केवल $(2)$ और $(4)$ सही हैं।
$(2) \ f(x)=x^{2/3}, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2/3}-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|^{2/3}}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/6} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(2)$ सही है।
$(4) \ f(x)=|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|-0}{|h|^{1/2}} = \lim_{h \rightarrow 0} |h|^{1/2} = 0$. यह अस्तित्व में है और परिमित है। अतः,$(4)$ सही है।
$PROPERTY \ 2$ के लिए,हम $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h^2}$ की जाँच करते हैं:
$(1) \ f(x)=x|x|, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h|h|}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{|h|}{h}$. $RHL = 1$ और $LHL = -1$ है। सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(1)$ गलत है।
$(3) \ f(x)=\sin x, f(0)=0$. $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{h} = 1 \cdot \infty = \infty$. सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$(3)$ गलत है।
इस प्रकार,केवल $(2)$ और $(4)$ सही हैं।
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MediumMCQ
यदि $y = \frac{x^{2/3} - x^{-1/3}}{x^{2/3} + x^{-1/3}}$,$x \neq 0$ है,तो $(x+1)^2 y_1 = $
A
$2$
B
$-2$
C
$-1/3$
D
$3$
Solution
(A) दिया गया है $y = \frac{x^{2/3} - x^{-1/3}}{x^{2/3} + x^{-1/3}}$.
अंश और हर को $x^{1/3}$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{x^{2/3} \cdot x^{1/3} - x^{-1/3} \cdot x^{1/3}}{x^{2/3} \cdot x^{1/3} + x^{-1/3} \cdot x^{1/3}} = \frac{x - 1}{x + 1}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$.
$y_1 = \frac{x + 1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
अतः,$(x+1)^2 y_1 = 2$.
अंश और हर को $x^{1/3}$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{x^{2/3} \cdot x^{1/3} - x^{-1/3} \cdot x^{1/3}}{x^{2/3} \cdot x^{1/3} + x^{-1/3} \cdot x^{1/3}} = \frac{x - 1}{x + 1}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$.
$y_1 = \frac{x + 1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
अतः,$(x+1)^2 y_1 = 2$.
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MediumMCQ
$y = (1-x)(2-x)(3-x) \dots (n-x)$ का $x=1$ पर अवकलज . . . . . . है।
A
$(n-1)!$
B
$n!$
C
$(-1)(n-1)!$
D
$(-n)(n-1)!$
Solution
(C) माना $y = f(x) = (1-x)(2-x)(3-x) \dots (n-x)$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए,यदि $y = u_1 u_2 u_3 \dots u_n$ है,तो $\frac{dy}{dx} = u_1' (u_2 u_3 \dots u_n) + u_1 (u_2 u_3 \dots u_n)'$ होता है।
$x=1$ पर,$(1-x)$ पद $0$ हो जाता है।
इसलिए,अवकलज में $(1-x)$ वाले सभी पद शून्य हो जाएंगे,सिवाय उस पद के जहाँ $(1-x)$ का अवकलन होता है।
माना $g(x) = (2-x)(3-x) \dots (n-x)$। तो $y = (1-x)g(x)$।
$\frac{dy}{dx} = (-1)g(x) + (1-x)g'(x)$।
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = (-1)g(1) + 0 = -g(1)$।
$g(1) = (2-1)(3-1)(4-1) \dots (n-1) = (1)(2)(3) \dots (n-1) = (n-1)!$।
अतः,$x=1$ पर $\frac{dy}{dx} = -(n-1)!$ है।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए,यदि $y = u_1 u_2 u_3 \dots u_n$ है,तो $\frac{dy}{dx} = u_1' (u_2 u_3 \dots u_n) + u_1 (u_2 u_3 \dots u_n)'$ होता है।
$x=1$ पर,$(1-x)$ पद $0$ हो जाता है।
इसलिए,अवकलज में $(1-x)$ वाले सभी पद शून्य हो जाएंगे,सिवाय उस पद के जहाँ $(1-x)$ का अवकलन होता है।
माना $g(x) = (2-x)(3-x) \dots (n-x)$। तो $y = (1-x)g(x)$।
$\frac{dy}{dx} = (-1)g(x) + (1-x)g'(x)$।
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = (-1)g(1) + 0 = -g(1)$।
$g(1) = (2-1)(3-1)(4-1) \dots (n-1) = (1)(2)(3) \dots (n-1) = (n-1)!$।
अतः,$x=1$ पर $\frac{dy}{dx} = -(n-1)!$ है।
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MediumMCQ
यदि $y = \log_{e} x^3 + 3 \sin^{-1} x + k x^2$ और $y'(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$ है,तो $k =$
A
$6$
B
$-6$
C
$2 \sqrt{3}$
D
$1$
Solution
(B) दिया गया है $y = \log_{e} x^3 + 3 \sin^{-1} x + k x^2$।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$y = 3 \log_{e} x + 3 \sin^{-1} x + k x^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $y' = \frac{3}{x} + \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}} + 2kx$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y'(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$,अतः $x = \frac{1}{2}$ को अवकलज में रखने पर:
$y'(\frac{1}{2}) = \frac{3}{1/2} + \frac{3}{\sqrt{1 - (1/2)^2}} + 2k(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{3}{\sqrt{3/4}} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{3}{\sqrt{3}/2} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{6}{\sqrt{3}} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + 2 \sqrt{3} + k = 2 \sqrt{3}$।
$k = -6$।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$y = 3 \log_{e} x + 3 \sin^{-1} x + k x^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $y' = \frac{3}{x} + \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}} + 2kx$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $y'(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$,अतः $x = \frac{1}{2}$ को अवकलज में रखने पर:
$y'(\frac{1}{2}) = \frac{3}{1/2} + \frac{3}{\sqrt{1 - (1/2)^2}} + 2k(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{3}{\sqrt{3/4}} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{3}{\sqrt{3}/2} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + \frac{6}{\sqrt{3}} + k = 2 \sqrt{3}$।
$6 + 2 \sqrt{3} + k = 2 \sqrt{3}$।
$k = -6$।
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MediumMCQ
यदि $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$ है,तो $x=1$ पर $f(f(f(x)))+(f(x))^2$ का अवकलज क्या होगा?
A
$9$
B
$12$
C
$15$
D
$33$
Solution
(D) माना $g(x) = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
हमें $g^{\prime}(1)$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$f(f(f(x)))$ का अवकलज $f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1)$ होगा।
दिया गया है $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$,मान रखने पर:
$f^{\prime}(f(f(1))) = f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(1) = 3$.
अतः,$x=1$ पर $f(f(f(x)))$ का अवकलज $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ है।
$(f(x))^2$ का अवकलज $2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $2f(1) \cdot f^{\prime}(1) = 2(1)(3) = 6$ है।
इसलिए,$g^{\prime}(1) = 27 + 6 = 33$.
हमें $g^{\prime}(1)$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$f(f(f(x)))$ का अवकलज $f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1)$ होगा।
दिया गया है $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$,मान रखने पर:
$f^{\prime}(f(f(1))) = f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(1) = 3$.
अतः,$x=1$ पर $f(f(f(x)))$ का अवकलज $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ है।
$(f(x))^2$ का अवकलज $2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$ है।
$x=1$ पर,यह $2f(1) \cdot f^{\prime}(1) = 2(1)(3) = 6$ है।
इसलिए,$g^{\prime}(1) = 27 + 6 = 33$.
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MediumMCQ
यदि $y = \tan^{-1} \left[ \frac{4 \sin 2x}{\cos 2x - 6 \sin^2 x} \right]$ है,तो $x = 0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$-8$
C
$8$
D
$-1/8$
Solution
(C) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left[ \frac{4 \sin 2x}{\cos 2x - 6 \sin^2 x} \right]$.
द्वि-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{4(2 \sin x \cos x)}{(\cos^2 x - \sin^2 x) - 6 \sin^2 x} \right] = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \sin x \cos x}{\cos^2 x - 7 \sin^2 x} \right]$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x} \right]$.
माना $f(x) = \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x}$. तब $y = \tan^{-1}(f(x))$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (f(x))^2} \cdot f'(x)$.
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = f'(0)$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$u = 8 \tan x \implies u' = 8 \sec^2 x$.
$v = 1 - 7 \tan^2 x \implies v' = -14 \tan x \sec^2 x$.
$x = 0$ पर,$u(0) = 0, u'(0) = 8, v(0) = 1, v'(0) = 0$.
$f'(0) = \frac{8(1) - 0(0)}{1^2} = 8$.
अतः,$x = 0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $8$ है।
द्वि-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{4(2 \sin x \cos x)}{(\cos^2 x - \sin^2 x) - 6 \sin^2 x} \right] = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \sin x \cos x}{\cos^2 x - 7 \sin^2 x} \right]$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x} \right]$.
माना $f(x) = \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x}$. तब $y = \tan^{-1}(f(x))$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (f(x))^2} \cdot f'(x)$.
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = f'(0)$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$u = 8 \tan x \implies u' = 8 \sec^2 x$.
$v = 1 - 7 \tan^2 x \implies v' = -14 \tan x \sec^2 x$.
$x = 0$ पर,$u(0) = 0, u'(0) = 8, v(0) = 1, v'(0) = 0$.
$f'(0) = \frac{8(1) - 0(0)}{1^2} = 8$.
अतः,$x = 0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $8$ है।
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MediumMCQ
यदि $f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\cot x} + \frac{\cos^2 x}{1+\tan x}$ है,तो $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान किसके बराबर है?
A
$0$
B
$\frac{1}{2}$
C
$-\frac{1}{2}$
D
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
Solution
(C) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\cot x} + \frac{\cos^2 x}{1+\tan x}$.
पदों को सरल करने पर:
$f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos^2 x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x}$
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x}$
$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \sin x \cos x$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = 1 - \frac{1}{2} \sin(2x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 0 - \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2 = -\cos(2x)$.
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.
पदों को सरल करने पर:
$f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos^2 x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x}$
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x}$
$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \sin x \cos x$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = 1 - \frac{1}{2} \sin(2x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 0 - \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2 = -\cos(2x)$.
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.
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View Solution290
MediumMCQ
यदि $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2(x^2)}$ है,तो $f^{\prime}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)$ का मान है
A
$\frac{\sqrt{\pi}}{6}$
B
$-\sqrt{\frac{\pi}{6}}$
C
$\frac{\pi}{\sqrt{6}}$
D
$\sqrt{\frac{\pi}{6}}$
Solution
(B) दिया गया है $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2(x^2)}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = 1 + \cos^2(x^2)$,तो $f(x) = \sqrt{u}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \cos^2(x^2))$.
अब,$\frac{d}{dx}(\cos^2(x^2)) = 2\cos(x^2) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x \sin(2x^2)$.
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{-2x \sin(2x^2)}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} = \frac{-x \sin(2x^2)}{\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}}$.
$x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ पर,$x^2 = \frac{\pi}{4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{\sqrt{1 + \cos^2(\frac{\pi}{4})}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(\frac{\pi}{2})}{\sqrt{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = -\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = 1 + \cos^2(x^2)$,तो $f(x) = \sqrt{u}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \cos^2(x^2))$.
अब,$\frac{d}{dx}(\cos^2(x^2)) = 2\cos(x^2) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x \sin(2x^2)$.
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{-2x \sin(2x^2)}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} = \frac{-x \sin(2x^2)}{\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}}$.
$x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ पर,$x^2 = \frac{\pi}{4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{\sqrt{1 + \cos^2(\frac{\pi}{4})}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(\frac{\pi}{2})}{\sqrt{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = -\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$.
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EasyMCQ
यदि $y=a \sin x+b \cos x$ (जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं),तो $y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ है
A
$x$ का एक फलन।
B
$x$ और $y$ का एक फलन।
C
$y$ का एक फलन।
D
एक स्थिरांक।
Solution
(D) दिया गया है $y=a \sin x+b \cos x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x}=a \cos x-b \sin x$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ पर विचार करें:
$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (a \sin x+b \cos x)^2+(a \cos x-b \sin x)^2$
$= (a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x + 2ab \sin x \cos x) + (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x - 2ab \sin x \cos x)$
$= a^2(\sin^2 x + \cos^2 x) + b^2(\cos^2 x + \sin^2 x)$
$= a^2(1) + b^2(1) = a^2+b^2$।
चूँकि $a$ और $b$ स्थिरांक हैं,इसलिए $a^2+b^2$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ एक स्थिरांक है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x}=a \cos x-b \sin x$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ पर विचार करें:
$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (a \sin x+b \cos x)^2+(a \cos x-b \sin x)^2$
$= (a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x + 2ab \sin x \cos x) + (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x - 2ab \sin x \cos x)$
$= a^2(\sin^2 x + \cos^2 x) + b^2(\cos^2 x + \sin^2 x)$
$= a^2(1) + b^2(1) = a^2+b^2$।
चूँकि $a$ और $b$ स्थिरांक हैं,इसलिए $a^2+b^2$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ एक स्थिरांक है।
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MediumMCQ
यदि $f(x) = \cos^{-1} x$,$g(x) = e^x$ और $h(x) = g(f(x))$ है,तो $\frac{h'(x)}{h(x)} = $
A
$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
B
$\frac{-(e)^{\cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^2}}$
C
$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} e^x$
D
$-\sqrt{1-x^2}$
Solution
(A) दिया गया है कि $f(x) = \cos^{-1} x$ और $g(x) = e^x$ है।
हम $h(x) = g(f(x)) = e^{\cos^{-1} x}$ को परिभाषित करते हैं।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(e^{\cos^{-1} x}) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$h'(x) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$।
अब,हम अनुपात $\frac{h'(x)}{h(x)}$ की गणना करते हैं:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)}{e^{\cos^{-1} x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
हम $h(x) = g(f(x)) = e^{\cos^{-1} x}$ को परिभाषित करते हैं।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(e^{\cos^{-1} x}) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$h'(x) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$।
अब,हम अनुपात $\frac{h'(x)}{h(x)}$ की गणना करते हैं:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)}{e^{\cos^{-1} x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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EasyMCQ
यदि $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$ और $f(0) = -1, f'(0) = 1$ है,तो $g'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
-$4$
B
$4$
C
-$3$
D
$3$
Solution
(A) दिया गया है $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot \frac{d}{dx}[2f(x) + 2]$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot 2f'(x)$
$g'(x) = 4 \cdot f(2f(x) + 2) \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot f'(x)$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g'(0) = 4 \cdot f(2f(0) + 2) \cdot f'(2f(0) + 2) \cdot f'(0)$
दिया गया है $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$:
$g'(0) = 4 \cdot f(2(-1) + 2) \cdot f'(2(-1) + 2) \cdot (1)$
$g'(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f'(0) \cdot 1$
$g'(0) = 4 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 1 = -4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot \frac{d}{dx}[2f(x) + 2]$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot 2f'(x)$
$g'(x) = 4 \cdot f(2f(x) + 2) \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot f'(x)$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g'(0) = 4 \cdot f(2f(0) + 2) \cdot f'(2f(0) + 2) \cdot f'(0)$
दिया गया है $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$:
$g'(0) = 4 \cdot f(2(-1) + 2) \cdot f'(2(-1) + 2) \cdot (1)$
$g'(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f'(0) \cdot 1$
$g'(0) = 4 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 1 = -4$.
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MediumMCQ
यदि $f(1)=1$ और $f^{\prime}(1)=3$ है,तो $x=1$ पर $f(f(f(x)))+(f(x))^2$ का अवकलज क्या होगा?
A
$12$
B
$19$
C
$23$
D
$33$
Solution
(D) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x)f^{\prime}(x)$.
$x = 1$ पर,हमारे पास $f(1) = 1$ और $f^{\prime}(1) = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(f(1)) = f(1) = 1$.
$f(f(f(1))) = f(1) = 1$.
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1)f^{\prime}(1)$.
$= f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) + 2(1)(3)$.
$= 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x)f^{\prime}(x)$.
$x = 1$ पर,हमारे पास $f(1) = 1$ और $f^{\prime}(1) = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(f(1)) = f(1) = 1$.
$f(f(f(1))) = f(1) = 1$.
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1)f^{\prime}(1)$.
$= f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) + 2(1)(3)$.
$= 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.
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DifficultMCQ
यदि $h(x) = \sqrt{4f(x) + 3g(x)}$,$f(1) = 4$,$g(1) = 3$,$f'(1) = 4$,और $g'(1) = 3$ है,तो $h'(1)$ ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{5}{12}$
B
$\frac{5}{2}$
C
$\frac{-5}{12}$
D
$\frac{-12}{7}$
Solution
(B) दिया गया है कि $h(x) = \sqrt{4f(x) + 3g(x)}$.
$x = 1$ पर,$h(1) = \sqrt{4f(1) + 3g(1)} = \sqrt{4(4) + 3(3)} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
अब,$x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}} \cdot \frac{d}{dx}(4f(x) + 3g(x))$
$h'(x) = \frac{4f'(x) + 3g'(x)}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}}$
अवकलन में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h'(1) = \frac{4f'(1) + 3g'(1)}{2\sqrt{4f(1) + 3g(1)}}$
दिया गया है कि $f'(1) = 4$ और $g'(1) = 3$:
$h'(1) = \frac{4(4) + 3(3)}{2(5)} = \frac{16 + 9}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
$x = 1$ पर,$h(1) = \sqrt{4f(1) + 3g(1)} = \sqrt{4(4) + 3(3)} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
अब,$x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}} \cdot \frac{d}{dx}(4f(x) + 3g(x))$
$h'(x) = \frac{4f'(x) + 3g'(x)}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}}$
अवकलन में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h'(1) = \frac{4f'(1) + 3g'(1)}{2\sqrt{4f(1) + 3g(1)}}$
दिया गया है कि $f'(1) = 4$ और $g'(1) = 3$:
$h'(1) = \frac{4(4) + 3(3)}{2(5)} = \frac{16 + 9}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
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MediumMCQ
यदि $y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1}(\cos x)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $
A
$\operatorname{cosec} x$
B
$\sin x + 1$
C
$x$
D
$\operatorname{cosec} x - 1$
Solution
(D) $y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1}(\cos x)$
चूँकि $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$,इसलिए:
$y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \right] = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{\pi}{2} - x$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 0 - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \left(\frac{x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)} - 1$
सर्वसमिका $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} - 1 = \operatorname{cosec} x - 1$
चूँकि $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$,इसलिए:
$y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \right] = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{\pi}{2} - x$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 0 - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \left(\frac{x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)} - 1$
सर्वसमिका $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} - 1 = \operatorname{cosec} x - 1$
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MediumMCQ
यदि $f(x)=\operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{10}{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}\right]$ है,तो $f^{\prime}(x)$ का मान क्या होगा?
A
$2^x \log 2$
B
$-1$
C
$\log 2$
D
$2^x$
Solution
(A) दिया गया है $f(x)=\operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{10}{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}\right]$.
गुणधर्म $\operatorname{cosec}^{-1}(u) = \sin^{-1}(1/u)$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}{10}\right]$.
इसे हम $f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6}{10} \sin \left(2^x\right)-\frac{8}{10} \cos \left(2^x\right)\right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\cos \alpha = \frac{6}{10}$ और $\sin \alpha = \frac{8}{10}$ है।
तब $f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x\right) \cos \alpha - \cos \left(2^x\right) \sin \alpha\right]$.
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x-\alpha\right)\right] = 2^x - \alpha$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^x - \alpha) = 2^x \log 2 - 0 = 2^x \log 2$.
गुणधर्म $\operatorname{cosec}^{-1}(u) = \sin^{-1}(1/u)$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}{10}\right]$.
इसे हम $f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6}{10} \sin \left(2^x\right)-\frac{8}{10} \cos \left(2^x\right)\right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\cos \alpha = \frac{6}{10}$ और $\sin \alpha = \frac{8}{10}$ है।
तब $f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x\right) \cos \alpha - \cos \left(2^x\right) \sin \alpha\right]$.
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x-\alpha\right)\right] = 2^x - \alpha$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^x - \alpha) = 2^x \log 2 - 0 = 2^x \log 2$.
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EasyMCQ
यदि $y = \log \sqrt{\tan x}$ है,तो $x = \frac{\pi}{4}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$-1$
C
$\frac{1}{2}$
D
$0$
Solution
(A) दिया गया है $y = \log \sqrt{\tan x} = \frac{1}{2} \log(\tan x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\tan x} \times \sec^2 x$.
सर्वसमिका $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ और $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{\cos x}{\sin x} \times \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2 \sin x \cos x} = \frac{1}{\sin(2x)}$.
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sin(2 \times \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{1} = 1$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\tan x} \times \sec^2 x$.
सर्वसमिका $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ और $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{\cos x}{\sin x} \times \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2 \sin x \cos x} = \frac{1}{\sin(2x)}$.
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sin(2 \times \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{1} = 1$.
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View Solution299
MediumMCQ
यदि $f$ और $g$ अवकलनीय फलन हैं जो $g^{\prime}(a)=2$,$g(a)=b$ और $f \circ g = I$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $I$ एक तत्समक फलन है,तो $f^{\prime}(b)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{3}{2}$
C
$\frac{2}{3}$
D
$2$
Solution
(A) दिया गया है कि $g(a)=b$,$g^{\prime}(a)=2$,और $f(g(x))=x$ (क्योंकि $f \circ g = I$)।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $f(g(x))=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
समीकरण में $x=a$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(g(a)) \cdot g^{\prime}(a) = 1$.
चूंकि $g(a)=b$ और $g^{\prime}(a)=2$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$f^{\prime}(b) \cdot 2 = 1$.
अतः,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{2}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $f(g(x))=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
समीकरण में $x=a$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(g(a)) \cdot g^{\prime}(a) = 1$.
चूंकि $g(a)=b$ और $g^{\prime}(a)=2$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$f^{\prime}(b) \cdot 2 = 1$.
अतः,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{2}$.
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View SolutionContinuity and Differentiation — Derivative at a point, Standard differentiation · Frequently Asked Questions
1Are these Continuity and Differentiation questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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