left{frac{d}{d x}left(x^x+x^{x+1}+x^{x+2}righ | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$ है।हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$ होता है।$x^{x+1}$ के लिए,माना $y = x^{x+1}$,तो $\ln

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$e^e(2e^2+4e+3)$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$ है।हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$ होता है।$x^{x+1}$ के लिए,माना $y = x^{x+1}$,तो $\ln y = (x+1)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+1}) = x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$।$x^{x+2}$ के लिए,माना $y = x^{x+2}$,तो $\ln y = (x+2)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+2}{x} = \ln x + 1 + \frac{2}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+2}) = x^{x+2}(\ln x + 1 + \frac{2}{x})$।अब,$x=e$ पर मान ज्ञात करने पर:$\frac{d}{dx}(x^x)|_{x=e} = e^e(1 + \ln e) = e^e(1+1) = 2e^e$।$\frac{d}{dx}(x^{x+1})|_{x=e} = e^{e+1}(\ln e + 1 + \frac{1}{e}) = e^{e+1}(2 + \frac{1}{e}) = 2e^{e+1} + e^e = e^e(2e+1)$।$\frac{d}{dx}(x^{x+2})|_{x=e} = e^{e+2}(\ln e + 1 + \frac{2}{e}) = e^{e+2}(2 + \frac{2}{e}) = 2e^{e+2} + 2e^{e+1} = e^e(2e^2+2e)$।इनका योग करने पर: $e^e(2 + 2e + 1 + 2e^2 + 2e) = e^e(2e^2 + 4e + 3)$।

$\left\{\frac{d}{d x}\left(x^x+x^{x+1}+x^{x+2}\right)\right\}_{x=e} = \text{?}$

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