Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $f(x) = (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.
$(x-1)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{16}-1}{x-1}\right) = \frac{(16x^{15})(x-1) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$.
આપેલ પદ $\frac{15x^p - 16x^q + 1}{(x-1)^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 16$ અને $q = 15$ મળે છે.
આમ,$(p, q) = (16, 15)$.

(C) આપેલ છે $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.
$(1-x)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \frac{(1-x^4)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-x)(-2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}) - (1-x^{2^{n+1}})(-1)}{(1-x)^2}$
$x=0$ મુકતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{(1-0)(0) - (1-0)(-1)}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{ax} + \frac{a^2}{\sqrt{ax}}$ છે.
આપણે વિધેયને $f(x) = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^2 \cdot \sqrt{a}^{-1} \cdot x^{-1/2} = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^{3/2} \cdot x^{-1/2}$ તરીકે લખી શકીએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$f^{\prime}(x) = \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + a^{3/2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-3/2}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}} - \frac{a^{3/2}}{2x\sqrt{x}}$.
હવે,વિકલિતમાં $x = a$ મૂકતા:
$f^{\prime}(a) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} - \frac{a^{3/2}}{2a\sqrt{a}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{a^{3/2}}{2a^{3/2}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

(C) આપેલ છે કે $y = x \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ મળે.
હવે,પદ $\frac{\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x}}{x \frac{dy}{dx} - y}$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ અને $y = x \sin x$ મૂકતા:
અંશ: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = (x \cos x + \sin x) - \frac{x \sin x}{x} = x \cos x + \sin x - \sin x = x \cos x$.
છેદ: $x \frac{dy}{dx} - y = x(x \cos x + \sin x) - x \sin x = x^2 \cos x + x \sin x - x \sin x = x^2 \cos x$.
આમ,પદ $\frac{x \cos x}{x^2 \cos x} = \frac{1}{x}$ બને છે.
આપેલ છે કે $x = \alpha$ પર આ પદ $1$ છે,તેથી $\frac{1}{\alpha} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)$.
અંદરના પદના વિકલન માટે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) = \frac{(x^2+2)(2x) - (x^2+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3 + 4x - 2x^3 - 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
આમ,$f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
$x = 1$ માટે કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime}(1) = \cos \left(\cosh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right) \cdot \frac{2(1)}{(1^2+2)^2} = \frac{2}{9} \sinh \left(\frac{2}{3}\right) \cos \left(\cosh \left(\frac{2}{3}\right)\right)$.

(A) ધારો કે $u = x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1$ અને $v = x^2-3 x+5$. ગુણાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u' = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$
$v' = 2x-3$
$\frac{d}{dx}(uv) = (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})(x^2-3 x+5) + (x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1)(2 x-3)$
$= (\frac{5}{2} x^{\frac{7}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{25}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{9}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x^{\frac{7}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - 3)$
$= (\frac{5}{2} + 2) x^{\frac{7}{2}} + (-\frac{15}{2} - \frac{3}{2} - 3 - 2) x^{\frac{5}{2}} + (\frac{25}{2} + \frac{9}{2} + 3) x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$
$= \frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}} - 14 x^{\frac{5}{2}} + 20 x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$

(C) ધારો કે $y = \log \left(\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \cos \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right)$.
અંદરના ભાગનું વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right) = \frac{2x(x^2+2) - 2x(x^2+1)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3+4x-2x^3-2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
$x = \sqrt{2}$ મૂકતા,$\frac{x^2+1}{x^2+2} = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \cot \left( \sqrt{\frac{3}{4}} \right) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3/4}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{(2+2)^2} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{16} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2} \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{8 \sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે,$x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$.
યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{(1+\sqrt{y})+(1-\sqrt{y})}{(1+\sqrt{y})-(1-\sqrt{y})}$
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{2}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$,તેથી $y = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
ભાગાકારના નિયમ મુજબ:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(\frac{-2}{(1+x)^2}\right) = \frac{-4(1-x)}{(1+x)^3} = \frac{4(x-1)}{(1+x)^3}$.

(C) આપેલ છે $y=\log \left[\tan \sqrt{\frac{2^x-1}{2^x+1}}\right]$.
ધારો કે $v = \frac{2^x-1}{2^x+1}$. $x=1$ માટે,$v = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} = \frac{(2^x+1)(2^x \log 2) - (2^x-1)(2^x \log 2)}{(2^x+1)^2} = \frac{2^x \log 2 (2^x+1-2^x+1)}{(2^x+1)^2} = \frac{2 \cdot 2^x \log 2}{(2^x+1)^2} = \frac{2^{x+1} \log 2}{(2^x+1)^2}$.
$x=1$ માટે,$\left(\frac{dv}{dx}\right)_{x=1} = \frac{2^2 \log 2}{(2+1)^2} = \frac{4 \log 2}{9}$.
હવે,$y = \log(\tan \sqrt{v})$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$\frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} = \frac{\cos \sqrt{v}}{\sin \sqrt{v}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \sqrt{v}} = \frac{1}{\sin \sqrt{v} \cos \sqrt{v}} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sin(2\sqrt{v}) \cdot \sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$x=1$ માટે,$v = \frac{1}{3}$,તેથી $\sqrt{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sin(2/\sqrt{3}) \cdot (1/\sqrt{3})} \cdot \frac{4 \log 2}{9} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4 \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})} = \frac{4 \sqrt{3} \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}$.
શૃંખલા નિયમ (chain rule) લાગુ પાડતા,$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}} \cdot \left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{2\sinh(2x-3)}{2\sqrt{\cosh(2x-3)}} \right)$.
$x=0$ માટે,$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\log(1) + \sqrt{\cosh(-3)}}} \cdot \left( \frac{1}{1} + \frac{\sinh(-3)}{\sqrt{\cosh(-3)}} \right)$.
કારણ કે $\log(1) = 0$,$\cosh(-3) = \cosh(3)$,અને $\sinh(-3) = -\sinh(3)$:
$f'(0) = \frac{1 - \frac{\sinh(3)}{\sqrt{\cosh(3)}}}{2\sqrt{\sqrt{\cosh(3)}}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{1/2} \cdot (\cosh(3))^{1/4}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{3/4}}$.

(A) નોંધ: લઘુગણકનો આધાર $e$ છે તેમ ધારીએ.
આપેલ છે:
વિધાન: $x < 0$ માટે,$\frac{d^2}{d x^2}(\log |x|) = \frac{1}{|x|^2}$.
કારણ: $x < 0$ માટે,$|x| = -x$.
ધારો કે $f(x) = \log |x|$.
$x < 0$ માટે,આપણી પાસે $|x| = -x$ છે,તેથી $f(x) = \log(-x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}(\log(-x)) = \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{d x}(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2}{d x^2}(\log |x|) = \frac{d}{d x}(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$.
કારણ કે $|x|^2 = (-x)^2 = x^2$,વિધાનમાં $\frac{1}{x^2}$ આપેલ છે,પરંતુ આપણને $-\frac{1}{x^2}$ મળે છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \log \left[e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right]$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(ab) = \log a + \log b$ અને $\log(a^n) = n \log a$,આપણે પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$f(x) = \log(e^x) + \log \left(\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right)$
$f(x) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{3}{4} \left[ \frac{d}{dx}(\log(x-2)) - \frac{d}{dx}(\log(x+2)) \right]$
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$.
કૌંસની અંદરના પદને સરળ બનાવતા:
$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x^2-4}$.
આ કિંમતને વિકલનમાં પાછી મૂકતા:
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{4}{x^2-4} \right) = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.
છેલ્લે,$x = 0$ આગળ કિંમત શોધતા:
$f'(0) = 1 + \frac{3}{0^2-4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિ-વિકલિત છે,તેથી $g^{\prime}(x) = f(x)$ થાય.
આપણે એવું વિધેય $h(x)$ શોધવાનું છે કે જેના માટે $\int h(x) \, dx = \log _e(1+(g(x))^2) + c$ થાય.
પ્રતિ-વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ,$h(x) = \frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2) + c]$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2)] = \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot \frac{d}{dx} (1+(g(x))^2)$.
$= \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot (2 g(x) \cdot g^{\prime}(x))$.
કારણ કે $g^{\prime}(x) = f(x)$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$h(x) = \frac{2 g(x) f(x)}{1+(g(x))^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $y = \frac{e^{\sin x} + \sinh^3 x}{\cosh x - \tan x}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = e^{\sin x} + \sinh^3 x$ અને $v = \cosh x - \tan x$ છે.
પ્રથમ,$x = 0$ આગળ વિકલિતો શોધો:
$u(0) = e^{\sin 0} + \sinh^3 0 = e^0 + 0 = 1$.
$u'(x) = e^{\sin x} \cos x + 3 \sinh^2 x \cosh x$.
$u'(0) = e^0 \cos 0 + 3 \sinh^2 0 \cosh 0 = 1 \cdot 1 + 0 = 1$.
$v(0) = \cosh 0 - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.
$v'(x) = \sinh x - \sec^2 x$.
$v'(0) = \sinh 0 - \sec^2 0 = 0 - 1 = -1$.
હવે,આ કિંમતોને $x = 0$ આગળ ભાગાકારના નિયમના સૂત્રમાં મૂકતા:
$y'(0) = \frac{u'(0)v(0) - u(0)v'(0)}{(v(0))^2} = \frac{(1)(1) - (1)(-1)}{(1)^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $u = \cosh^{-1} x$. તેનું વિકલન $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ થાય.
ધારો કે $v = \log x$. તેનું વિકલન $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ થાય.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/\sqrt{x^2-1}}{1/x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ શોધવાનું છે.
$x=5$ આગળ,$\frac{du}{dv} = \frac{5}{\sqrt{5^2-1}} = \frac{5}{\sqrt{25-1}} = \frac{5}{\sqrt{24}}$.

(A) આપેલ છે કે $e^x = y + \sqrt{y^2 - 1}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $e^x - y = \sqrt{y^2 - 1}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(e^x - y)^2 = y^2 - 1$ મળે.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $e^{2x} + y^2 - 2ye^x = y^2 - 1$.
સાદું રૂપ આપતા,$e^{2x} + 1 = 2ye^x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{e^{2x} + 1}{2e^x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$.
હવે,$y = \cosh x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \sinh x$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \cos^{-1}(\tanh x) + \sinh(\sin 6x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(\tanh x)) + \frac{d}{dx}(\sinh(\sin 6x))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}} \cdot \frac{d}{dx}(\tanh x) + \cosh(\sin 6x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin 6x)$
નિત્યસમ $1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$ અને $\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{\text{sech}^2 x}} \cdot \text{sech}^2 x + \cosh(\sin 6x) \cdot (6 \cos 6x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\text{sech} x} \cdot \text{sech}^2 x + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$
$\frac{dy}{dx} = -\text{sech} x + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$ (નોંધ: $\text{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$)
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\cosh x} + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $y = \tan(\cos^{-1} x)$.
ધારો કે $\cos^{-1} x = \theta$,તેથી $\cos \theta = x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
તેથી,$y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 - (1 - x^2)}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} = \frac{-1}{x^2 \sqrt{1 - x^2}}$.

(B) $t$ ની સાપેક્ષમાં $\tan t + t^2 \operatorname{cosech} t$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે સરવાળાનો નિયમ અને ગુણાકારનો નિયમ વાપરીએ છીએ.
$\tan t$ નું વિકલન $\sec^2 t$ થાય છે.
$t^2 \operatorname{cosech} t$ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{d}{dt}(t^2 \operatorname{cosech} t) = \frac{d}{dt}(t^2) \cdot \operatorname{cosech} t + t^2 \cdot \frac{d}{dt}(\operatorname{cosech} t)$.
કારણ કે $\frac{d}{dt}(t^2) = 2t$ અને $\frac{d}{dt}(\operatorname{cosech} t) = -\operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$,તેથી આપણને મળે છે:
$2t \operatorname{cosech} t + t^2(-\operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t) = 2t \operatorname{cosech} t - t^2 \operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$.
આ બંનેને જોડતા,અંતિમ પરિણામ $\sec^2 t + 2t \operatorname{cosech} t - t^2 \operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$ મળે છે.

(D) આપેલા પ્રતિવિધેયોના વિકલિતો નીચે મુજબ છે:
$(A)$ $\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$,જ્યાં $|x| > 1$. આ $III$ સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ $\frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$,જ્યાં $x \in (-1, 1)$. આ $I$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ $\frac{d}{dx}(\coth^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$,જ્યાં $x \in R - [-1, 1]$. આ $IV$ સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ $\frac{d}{dx}(\operatorname{cosech}^{-1} x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2+1}}$,જ્યાં $x \neq 0$. આ $II$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-I, C-IV, D-II$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \cosh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
વિકલનના સૂત્ર $\frac{d}{dx}(\cosh^{-1}(u)) = \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x)^2 - (1+x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{1 - 2x + x^2 - (1 + 2x + x^2)}} \cdot \frac{-1 - x - 1 + x}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{-4x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{2\sqrt{-x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{-x}}$.

(B) આપેલ છે $y=\tan ^{-1}(\sin \sqrt{x})+\operatorname{cosec}^{-1}\left(e^{2 x+1}\right)$.
વિકલન માટે સાંકળનો નિયમ (chain rule) લાગુ પાડતા:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sin \sqrt{x})) = \frac{1}{1+(\sin \sqrt{x})^2} \cdot \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1+\sin^2 \sqrt{x})}$.
બીજા પદ માટે,$\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec}^{-1}(u)) = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^{2x+1})) = -\frac{1}{e^{2x+1}\sqrt{(e^{2x+1})^2-1}} \cdot e^{2x+1} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{e^{4x+2}-1}}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}(1+\sin ^2 \sqrt{x})} - \frac{2}{\sqrt{e^{4 x+2}-1}}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) f(y)$ છે.
વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
આપેલ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$f(x+h) = f(x)f(h)$.
તેથી,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
$f(0+0) = f(0)f(0)$ હોવાથી,$f(0) = f(0)^2$,તેથી $f(0)=1$ (ધારો કે $f(x) \neq 0$).
આમ,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$.
તેથી,$f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 11$.
$x=3$ માટે,$f^{\prime}(3) = f(3) \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$.

(D) આપેલ છે કે $g(x) = (f(2f(x)+2))^2$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે $g(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot \frac{d}{dx}(f(2f(x)+2))$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot \frac{d}{dx}(2f(x)+2)$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot 2f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 4 \cdot f(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(x)$.
હવે,$x=0$ મૂકતા:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(0)$.
આપેલ છે કે $f(0)=-1$ અને $f^{\prime}(0)=1$:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2(-1)+2) \cdot f^{\prime}(2(-1)+2) \cdot (1)$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot (-1) \cdot (1) \cdot 1 = -4$.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 6x^2+10x-9$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \int (6x^2+10x-9) dx = 2x^3+5x^2-9x+C$.
આપેલ છે કે $f(2)=0$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $x=2$ મૂકીએ:
$f(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 - 9(2) + C = 0$
$16 + 20 - 18 + C = 0$
$18 + C = 0 \Rightarrow C = -18$.
આમ,વિધેય $f(x) = 2x^3+5x^2-9x-18$ છે.
હવે,આપણે $f(-2)$ શોધીએ:
$f(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 9(-2) - 18$
$f(-2) = 2(-8) + 5(4) + 18 - 18$
$f(-2) = -16 + 20 + 0 = 4$.

(B) આપેલ છે,$\frac{d}{d x}\left[a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]=\frac{1}{x^4-1}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \int \frac{1}{x^4-1} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1} \right]$.
તેથી,$\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રો $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ અને $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \tan^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -\frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = -\frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$a - 2b = -\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ એક અયુગ્મ વિકલનીય વિધેય છે.
અયુગ્મ વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$f(-x) = -f(x)$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[-f(x)]$
$-f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
આ દર્શાવે છે કે અયુગ્મ વિધેયનું વિકલિત એ યુગ્મ વિધેય છે.
હવે,$f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$ સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
$f^{\prime}(-3) = f^{\prime}(3)$
આપણને આપેલ છે કે $f^{\prime}(3) = 2$,તેથી:
$f^{\prime}(-3) = 2$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^m$,જ્યાં $m \geq 0$ અને $m \in \mathbb{Z}$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f^{\prime}(x) = m x^{m-1}$.
આપેલ શરત $f^{\prime}(a+b) = f^{\prime}(a) + f^{\prime}(b)$ છે.
વિકલન મૂકતા,આપણને મળે છે: $m(a+b)^{m-1} = m a^{m-1} + m b^{m-1}$.
જો $m=0$ હોય,તો $f(x) = 1$,તેથી $f^{\prime}(x) = 0$. સમીકરણ $0 = 0+0$ બને છે,જે સાચું છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે આપણે $m$ માટે બિન-તુચ્છ કિસ્સાઓ વિચારીએ છીએ.
જો $m=1$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 1$. સમીકરણ $1 = 1+1$ બને છે,એટલે કે $1=2$ (ખોટું).
જો $m=2$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 2x$. સમીકરણ $2(a+b) = 2a + 2b$ બને છે,જે $2a+2b = 2a+2b$ માં સરળ બને છે (સાચું).
જો $m=3$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 3x^2$. સમીકરણ $3(a+b)^2 = 3a^2 + 3b^2$ બને છે,જે $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2$ માં સરળ બને છે,જેનો અર્થ છે $2ab = 0$. કારણ કે $a, b > 0$,આ ખોટું છે.
આમ,$m$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) વિકલન $df$ એ $df = f'(x) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log_{e}(1 + e^{10x}) - \tan^{-1}(e^{5x})]$
$f'(x) = \frac{1}{1 + e^{10x}} \cdot (10e^{10x}) - \frac{1}{1 + (e^{5x})^2} \cdot (5e^{5x})$
$f'(x) = \frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} - \frac{5e^{5x}}{1 + e^{10x}}$
$x = 0$ આગળ,$e^{10(0)} = e^0 = 1$ અને $e^{5(0)} = e^0 = 1$.
$f'(0) = \frac{10(1)}{1 + 1} - \frac{5(1)}{1 + 1} = \frac{10}{2} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.
હવે,$dx = 0.2$ માટે વિકલન ગણો:
$df = f'(0) \cdot dx = 2.5 \cdot 0.2 = 0.5$.

(C) આપેલ વિધેયો $F(x)=e^{x}$ અને $G(x)=e^{-x}$ છે.
આપણે $H(x) = G(F(x))$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
$F(x)$ ને $G(x)$ માં મૂકતા,આપણને $H(x) = G(e^{x}) = e^{-(e^{x})}$ મળે છે.
હવે,સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $H(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dH}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-e^{x}}) = e^{-e^{x}} \cdot \frac{d}{dx}(-e^{x}) = e^{-e^{x}} \cdot (-e^{x}) = -e^{x} \cdot e^{-e^{x}}$.
$x=0$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,વિકલનમાં $x=0$ મૂકતા:
$\left. \frac{dH}{dx} \right|_{x=0} = -e^{0} \cdot e^{-e^{0}} = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$.

(C) આપેલ છે કે $f_1(x) = e^x$ અને $f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$.
$f_n(x) = e^{f_{n-1}(x)}$ ની બંને બાજુએ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે છે $\ln(f_n(x)) = f_{n-1}(x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f_n(x)} \cdot f_n'(x) = f_{n-1}'(x)$
$\Rightarrow f_n'(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}'(x) \quad \dots (i)$
$n=1$ માટે,$f_1'(x) = e^x = f_1(x)$.
$n=2$ માટે,$f_2'(x) = f_2(x) \cdot f_1'(x) = f_2(x) \cdot f_1(x)$.
$n=3$ માટે,$f_3'(x) = f_3(x) \cdot f_2'(x) = f_3(x) \cdot f_2(x) \cdot f_1(x)$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ $n \geq 1$ માટે,$\frac{d}{dx} f_n(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}(x) \cdot \ldots \cdot f_1(x)$.

(C) આપેલ છે,$y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \ldots (1+x^{2^{n}})$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \ldots + \log(1+x^{2^{n}})$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}} \right]$.
$x=0$ આગળ,$y = (1+0)(1+0) \ldots (1+0) = 1$.
વિકલિતના પદમાં $x=0$ મૂકતા:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1 \left[ \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \ldots + 0 \right] = 1 \times 1 = 1$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^{n}$.
વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = n x^{n-1}$ મળે છે.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણ $f^{\prime}(\alpha+\beta) = f^{\prime}(\alpha) + f^{\prime}(\beta)$ માં મૂકતા:
$n(\alpha+\beta)^{n-1} = n\alpha^{n-1} + n\beta^{n-1}$.
જો $n \neq 0$ હોય,તો $n$ વડે ભાગતા:
$(\alpha+\beta)^{n-1} = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1}$.
જો $n=1$ લઈએ,તો $(\alpha+\beta)^{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} \Rightarrow 1 = 1 + 1$,જે $1 = 2$ થાય છે (ખોટું).
જો $n=2$ લઈએ,તો $(\alpha+\beta)^{2-1} = \alpha^{2-1} + \beta^{2-1} \Rightarrow \alpha+\beta = \alpha+\beta$ (સાચું).
જો $n=0$ લઈએ,તો $f(x) = x^{0} = 1$,તેથી $f^{\prime}(x) = 0$. આમ $0 = 0 + 0$ (સાચું).
પરંતુ,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$n=2$ એ આ પ્રકારના પ્રશ્ન માટે પ્રમાણિત ઉકેલ છે.

(A) આપેલ છે,$y = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \sin x + \log_{e}(1+x)$.
પ્રથમ પદ માટે ગુણાકારનો નિયમ અને બીજા પદ માટે સાંકળનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right)$ માટે ભાગાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) = \frac{(3^{x}+1)(3^{x} \ln 3) - (3^{x}-1)(3^{x} \ln 3)}{(3^{x}+1)^{2}} = \frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}$.
આ કિંમત વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \cos x + \sin x \left(\frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$x = 0$ આગળ કિંમત મેળવતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \left(\frac{3^{0}-1}{3^{0}+1}\right) \cos(0) + \sin(0) \left(\frac{2 \cdot 3^{0} \ln 3}{(3^{0}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+0}$.
$= \left(\frac{1-1}{1+1}\right) \cdot 1 + 0 \cdot \left(\frac{2 \ln 3}{4}\right) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = ax^2 + bx + c$ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
આપેલ છે કે $f(1) = f(-1)$,તેથી $a(1)^2 + b(1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a + b + c = a - b + c$ મળે,એટલે કે $2b = 0$,તેથી $b = 0$.
આમ,$f(x) = ax^2 + c$.
તેનું વિકલન $f^{\prime}(x) = 2ax$ થાય.
$p, q, r$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2q = p + r$ થાય.
બંને બાજુ $2a$ વડે ગુણતા,$2a(2q) = 2a(p + r)$,એટલે કે $2(2aq) = 2ap + 2ar$.
$f^{\prime}(x) = 2ax$ મૂકતા,$2f^{\prime}(q) = f^{\prime}(p) + f^{\prime}(r)$ મળે.
આ શરત દર્શાવે છે કે $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r)$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C) સૌ પ્રથમ,અંશના માપને રેડિયનમાં ફેરવો: $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$.
આપણે નિત્યસમ $\cos(30^{\circ} + x^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - (30^{\circ} + x^{\circ})) = \sin(60^{\circ} - x^{\circ})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = 60^{\circ} - x^{\circ}$. પદાવલિ $3 \sin A - 4 \sin^3 A$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $3 \sin A - 4 \sin^3 A = \sin(3A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(3(60^{\circ} - x^{\circ})) = \sin(180^{\circ} - 3x^{\circ}) = \sin(3x^{\circ})$ મળે છે.
હવે,આને રેડિયનના સંદર્ભમાં દર્શાવો: $f(x) = \sin(3 \cdot \frac{\pi x}{180}) = \sin(\frac{\pi x}{60})$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} [\sin(\frac{\pi x}{60})] = \cos(\frac{\pi x}{60}) \cdot \frac{\pi}{60} = \frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$.

(B) આપેલ છે કે $f''(x) = g''(x)$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f'(x) = g'(x) + C_1$ મળે છે.
આપેલ શરતો પરથી,$f'(1) = 4$ અને $2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $4 = 2 + C_1 \implies C_1 = 2$.
આમ,$f'(x) - g'(x) = 2$. ફરીથી સંકલન કરતા,આપણને $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $g(2) = 9$ અને $3f(2) = 9 \implies f(2) = 3$.
સમીકરણ $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ માં $x = 2$ મૂકતા: $3 - 9 = 2(2) + C_2 \implies -6 = 4 + C_2 \implies C_2 = -10$.
તેથી,$f(x) - g(x) = 2x - 10$.
$x = 25$ માટે,$f(25) - g(25) = 2(25) - 10 = 50 - 10 = 40$.