वक्र 9y^{2} = x^{3} पर वे बिंदु,जहाँ वक्र का | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र का समीकरण $9y^{2} = x^{3}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$9(2y) \frac{dy}{dx} = 3x^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{6y}$

Vedclass · Accepted Answer

$\left( 4, \pm \frac{8}{3} \right)$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए वक्र का समीकरण $9y^{2} = x^{3}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$9(2y) \frac{dy}{dx} = 3x^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{6y}$.बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} ight)_{(x_{1}, y_{1})}} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}$ है।$(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_{1} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}(x - x_{1})$ है।इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में बदलने पर:$x_{1}^{2}y - x_{1}^{2}y_{1} = -6y_{1}x + 6x_{1}y_{1} \Rightarrow 6y_{1}x + x_{1}^{2}y = y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})$.चूँकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,अभिलंब की प्रवणता $-1$ होनी चाहिए।अतः,$-\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}} = -1 \Rightarrow x_{1}^{2} = 6y_{1}$.$y_{1} = \frac{x_{1}^{2}}{6}$ को वक्र के समीकरण $9y_{1}^{2} = x_{1}^{3}$ में रखने पर:$9 \left( \frac{x_{1}^{2}}{6} ight)^{2} = x_{1}^{3} \Rightarrow 9 \cdot \frac{x_{1}^{4}}{36} = x_{1}^{3} \Rightarrow \frac{x_{1}^{4}}{4} = x_{1}^{3}$.चूँकि $x_{1} 
eq 0$,इसलिए $x_{1} = 4$.अतः $y_{1}^{2} = \frac{4^{3}}{9} = \frac{64}{9} \Rightarrow y_{1} = \pm \frac{8}{3}$.अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( 4, \pm \frac{8}{3} ight)$ हैं।

वक्र $9y^{2} = x^{3}$ पर वे बिंदु,जहाँ वक्र का अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,हैं

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वक्र $y = \cos(x + y)$,$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ के लिए उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर हैं।

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