सिद्ध कीजिए कि वक्र $xy=4$ और $x^{2}+y^{2}=8$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

(A) दिए गए वक्रों के समीकरण $xy=4 \dots (i)$ और $x^{2}+y^{2}=8 \dots (ii)$ हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. मान लीजिए कि यह ढाल $m_{1} = -\frac{y}{x}$ है।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. मान लीजिए कि यह ढाल $m_{2} = -\frac{x}{y}$ है।
वक्रों के स्पर्श करने के लिए,उन्हें प्रतिच्छेद करना चाहिए और प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी ढाल समान होनी चाहिए। $m_{1} = m_{2}$ रखने पर,$-\frac{y}{x} = -\frac{x}{y} \Rightarrow y^{2} = x^{2}$ प्राप्त होता है।
$x^{2} = y^{2}$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $y^{2} + y^{2} = 8 \Rightarrow 2y^{2} = 8 \Rightarrow y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
यदि $y = 2$,तो $x = \frac{4}{2} = 2$. यदि $y = -2$,तो $x = \frac{4}{-2} = -2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ हैं।
बिंदु $(2, 2)$ पर: $m_{1} = -\frac{2}{2} = -1$ और $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$. चूंकि $m_{1} = m_{2}$,वक्र $(2, 2)$ पर स्पर्श करते हैं।
बिंदु $(-2, -2)$ पर: $m_{1} = -\frac{-2}{-2} = -1$ और $m_{2} = -\frac{-2}{-2} = -1$. चूंकि $m_{1} = m_{2}$,वक्र $(-2, -2)$ पर स्पर्श करते हैं।
अतः,वक्र एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।