वक्र y=e^x पर बिंदु (c, e^c) पर खींची गई स्पर | vedclass

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Question

(A) बिंदुओं $(c-1, e^{c-1})$ और $(c+1, e^{c+1})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{(c+1)-(c-1)} = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2}$ है।च

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$x=c$ के बाईं ओर

Vedclass · Answer

(A) बिंदुओं $(c-1, e^{c-1})$ और $(c+1, e^{c+1})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{(c+1)-(c-1)} = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2}$ है।चूँकि $e^x$ एक सख्ती से उत्तल (convex) फलन है,किन्हीं दो बिंदुओं के बीच छेदक रेखा (secant line) की ढाल उनके बीच के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल से अधिक होती है। विशेष रूप से,$\frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2} > e^c$ क्योंकि $\frac{e-e^{-1}}{2} > 1$ (चूँकि $e \approx 2.718$,$\frac{2.718-0.368}{2} = 1.175 > 1$)।चूँकि छेदक रेखा की ढाल $(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल से अधिक है,और फलन उत्तल है,इसलिए स्पर्श रेखा $x > c$ के लिए छेदक रेखा के नीचे और $x < c$ के लिए उसके ऊपर होनी चाहिए। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=c$ के बाईं ओर स्थित होना चाहिए।

वक्र $y=e^x$ पर बिंदु $(c, e^c)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,बिंदुओं $(c-1, e^{c-1})$ और $(c+1, e^{c+1})$ को जोड़ने वाली रेखा को कहाँ काटती है?

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