Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि जब पत्थर गिराया जाता है तब गुब्बारे की ऊँचाई $h$ है और उसका ऊपर की ओर वेग $v$ है।
जब पत्थर गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग $u = v$ (ऊपर की ओर) होता है।
पत्थर के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
यहाँ,$s = -h$ (विस्थापन नीचे की ओर है),$u = v$,$a = -g = -32 \ ft/sec^2$,और $t = 4 \ sec$.
$-h = v(4) + \frac{1}{2}(-32)(4)^2$.
$-h = 4v - 16(16)$.
$-h = 4v - 256$.
$h = 256 - 4v$.
$4 \ sec$ में,गुब्बारा अतिरिक्त $d = v \times t = v \times 4 = 4v$ दूरी तय करता है।
जब पत्थर जमीन पर पहुँचता है तब गुब्बारे की कुल ऊँचाई $H = h + d$ होगी।
$H = (256 - 4v) + 4v = 256 \ ft$.

(C) मान लीजिए अंतिम वेग $v$ है। कण $B$ के लिए,$v = f't$,इसलिए $t = \frac{v}{f'}$. तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}f't^2 = \frac{1}{2}f'\left(\frac{v}{f'}\right)^2 = \frac{v^2}{2f'}$.
कण $A$ के लिए,$v = f(t+m)$,इसलिए $t+m = \frac{v}{f}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{v}{f} - m$. तय की गई दूरी $s+n = \frac{1}{2}f(t+m)^2 = \frac{1}{2}f\left(\frac{v}{f}\right)^2 = \frac{v^2}{2f}$.
वेग समीकरणों से: $f't = f(t+m) \implies t(f'-f) = fm \implies t = \frac{fm}{f'-f}$.
$t$ का मान वेग समीकरण $v = f't$ में रखने पर: $v = \frac{f'fm}{f'-f}$.
अब,$n = (s+n) - s = \frac{v^2}{2f} - \frac{v^2}{2f'} = \frac{v^2}{2} \left(\frac{f'-f}{ff'}\right)$.
$v^2 = \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2$ रखने पर:
$n = \frac{1}{2} \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2 \left(\frac{f'-f}{ff'}\right) = \frac{1}{2} \frac{(ff')^2 m^2}{(f'-f)^2} \cdot \frac{f'-f}{ff'} = \frac{ff'm^2}{2(f'-f)}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: $(f'-f)n = \frac{1}{2}ff'm^2$.

(B) माना $r = 10 \ m$ वृत्ताकार ट्रैक की त्रिज्या है।
ट्रैक पर व्यक्ति की गति $v = r \frac{d\theta}{dt} = 10 \ m/sec$ है।
चूंकि $r = 10 \ m$ है,हमारे पास $10 \frac{d\theta}{dt} = 10$ है,जिसका अर्थ है $\frac{d\theta}{dt} = 1 \ rad/sec$।
माना $P$ से $\theta$ कोणीय दूरी पर दीवार पर छाया की स्थिति $y$ है।
ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{y}{r}$,इसलिए $y = r \tan \theta$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dt} = r \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\theta = 60^{\circ}$ पर,$\sec(60^{\circ}) = 2$ है,इसलिए $\sec^2(60^{\circ}) = 4$।
मान रखने पर,$\frac{dy}{dt} = 10 \times 4 \times 1 = 40 \ m/sec$।
अतः,छाया की गति $40 \ m/sec$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $y = \frac{10}{x}$ दिया गया है।
भुज के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ unit/s}$ है।
कोटि के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $t$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करेंगे:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{10}{x} \right) = -\frac{10}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिए गए मान $x = 5$ और $\frac{dx}{dt} = 1$ को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{10}{(5)^2} \cdot (1) = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} \text{ unit/s}$.
चूंकि परिणाम ऋणात्मक है,इसलिए कोटि $y$,$\frac{2}{5} \text{ unit/s}$ की दर से घटती है।

(A) माना $x$ सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी है और $y$ ऊपरी सिरे की फर्श से ऊँचाई है।
सीढ़ी की लंबाई $20 \ ft$ दी गई है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + y^2 = 20^2 = 400$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
चूंकि ऊपरी सिरा $2 \ ft/sec$ की दर से नीचे खिसक रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -2 \ ft/sec$ है।
जब $x = 12 \ ft$ है,तो $x^2 + y^2 = 400$ से $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$12^2 + y^2 = 400$
$144 + y^2 = 400$
$y^2 = 256 \Rightarrow y = 16 \ ft$
अब,$x = 12$,$y = 16$,और $\frac{dy}{dt} = -2$ को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) + 16(-2) = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) - 32 = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) = 32$
$\frac{dx}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \ ft/sec$
अतः,निचला सिरा $\frac{8}{3} \ ft/sec$ की दर से दीवार से दूर जा रहा है।

(D) दिया गया वक्र $12 y = x^{3}$ है।
मान लीजिए कि कोटि के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt}$ है और भुज के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt}$ है।
हमें दिया गया है कि कोटि के परिवर्तन की दर भुज की दर से अधिक है,इसलिए $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$.
वक्र के समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$12 \frac{dy}{dt} = 3x^{2} \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dt} = \frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt}$.
इस मान को असमिका $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$ में रखने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt} > \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
यदि हम $\frac{dx}{dt} > 0$ मान लें,तो $\frac{x^{2}}{4} > 1$,जिसका अर्थ है $x^{2} > 4$.
यह असमिका $x^{2} - 4 > 0$ का गुणनखंड $(x - 2)(x + 2) > 0$ होता है।
इस असमिका का हल $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$x > 2$ हल का एक मान्य भाग है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$,त्वरण $a = 8 \text{ m/s}^2$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,चूँकि $u = 0$,हमारे पास $S = \frac{1}{2}at^2$ है।
$1$. पहले मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $(S_1 = 1 \text{ m})$:
$1 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_1^2 \implies 1 = 4t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{1}{4} \implies t_1 = \frac{1}{2} \text{ s}$।
$2$. पहले दो मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $(S_2 = 2 \text{ m})$:
$2 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 \implies 2 = 4t_2^2 \implies t_2^2 = \frac{1}{2} \implies t_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ s}$।
$3$. दूसरे मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $2 \text{ m}$ और $1 \text{ m}$ की दूरी तय करने में लगे समय का अंतर है:
$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \text{ s}$।

(B) हम जानते हैं कि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \times \frac{dt}{dx} = f \times \frac{1}{v} = \frac{f}{v}$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = -\frac{1}{v^2} \times \frac{f}{v} = -\frac{f}{v^3}$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = At^2 + Bt + C$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{dx}{dt} = 2At + B$।
अब,$v^2$ की गणना करें: $v^2 = (2At + B)^2 = 4A^2t^2 + 4ABt + B^2$।
आगे,$4Ax$ की गणना करें: $4Ax = 4A(At^2 + Bt + C) = 4A^2t^2 + 4ABt + 4AC$।
अब,$4Ax$ में से $v^2$ घटाएं: $4Ax - v^2 = (4A^2t^2 + 4ABt + 4AC) - (4A^2t^2 + 4ABt + B^2)$।
व्यंजक को सरल करने पर: $4Ax - v^2 = 4AC - B^2$।

(A) कण द्वारा तय की गई दूरी $x$ समीकरण द्वारा दी गई है: $x = 3 + 8t - 4t^2$।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जो $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होता है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3 + 8t - 4t^2)$।
अवकलन के नियम का उपयोग करते हुए:
$v = 0 + 8(1) - 4(2t) = 8 - 8t$।
$1$ सेकंड के बाद वेग ज्ञात करने के लिए,वेग समीकरण में $t = 1$ रखने पर:
$v = 8 - 8(1) = 8 - 8 = 0$ इकाई/सेकंड।

(B) मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है और क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 20 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (20)(5) = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।

(B) दिया गया विस्थापन फलन: $x = t^3 - 6t^2 + t$.
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + t) = 3t^2 - 12t + 1$.
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 1) = 6t - 12$.
त्वरण के शून्य होने के लिए: $a = 0$.
$6t - 12 = 0$.
$6t = 12$.
$t = 2$ इकाई समय।

(A) $1$. गुब्बारे की प्रारंभिक गति: $u = 0$,$a = 4 \ ft/sec^2$,$t = 5 \ sec$.
$t = 5 \ sec$ पर गुब्बारे की ऊँचाई: $h_0 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \ ft$.
$t = 5 \ sec$ पर गुब्बारे का वेग: $v_0 = u + at = 0 + 4 \times 5 = 20 \ ft/sec$.
$2$. पत्थर गिराए जाने के बाद की गति: पत्थर का प्रारंभिक वेग $v_0 = 20 \ ft/sec$ और त्वरण $g = -32 \ ft/sec^2$ है।
पत्थर के जमीन तक पहुँचने के लिए $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए $(s = -50 \ ft)$:
$-50 = 20T + \frac{1}{2}(-32)T^2$
$-50 = 20T - 16T^2 \Rightarrow 8T^2 - 10T - 25 = 0$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = 2.5 \ sec = 5/2 \ sec$.
$3$. पत्थर के जमीन पर पहुँचने के समय गुब्बारे की ऊँचाई: गुब्बारा अतिरिक्त $T = 2.5 \ sec$ के लिए $a = 4 \ ft/sec^2$ के साथ ऊपर उठना जारी रखता है।
$H = h_0 + v_0 T + \frac{1}{2}aT^2 = 50 + 50 + 12.5 = 112.5 \ ft$.

(A) सीमांत लागत फलन $MC$,लागत फलन $C(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन है।
$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}(0.05x^3 - 0.2x^2 + 3x + 500)$.
घात नियम लागू करने पर,हमें $MC = 0.15x^2 - 0.4x + 3$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ पर सीमांत लागत ज्ञात करने के लिए,हम $MC$ फलन में $x = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$MC(3) = 0.15(3)^2 - 0.4(3) + 3$.
$MC(3) = 0.15(9) - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 1.35 - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 0.15 + 3 = 3.15$.
अतः,$x = 3$ पर सीमांत लागत $3.15$ रुपये है।

(D) सीमांत राजस्व $(MR)$ को कुल राजस्व फलन $R(x)$ के $x$ के सापेक्ष अवकलज के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$MR = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5)$
अवकलन के घात नियम का उपयोग करने पर:
$MR = 6x + 36$
अब,$MR$ के व्यंजक में $x = 15$ प्रतिस्थापित करने पर:
$MR = 6(15) + 36$
$MR = 90 + 36 = 126$
अतः,जब $x = 15$ है,तो सीमांत राजस्व $126$ है।