Rate of Change of Quantities Questions in Gujarati

(C) ધારો કે જ્યારે પથ્થર છોડવામાં આવે ત્યારે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેનો ઉપરની તરફનો વેગ $v$ છે.
જ્યારે પથ્થર છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = v$ (ઉપરની તરફ) છે.
પથ્થર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં,$s = -h$ (સ્થાનાંતર નીચેની તરફ છે),$u = v$,$a = -g = -32 \ ft/sec^2$,અને $t = 4 \ sec$.
$-h = v(4) + \frac{1}{2}(-32)(4)^2$.
$-h = 4v - 16(16)$.
$-h = 4v - 256$.
$h = 256 - 4v$.
$4 \ sec$ માં,ફુગ્ગો વધારાનું $d = v \times t = v \times 4 = 4v$ અંતર કાપે છે.
જ્યારે પથ્થર જમીન પર પહોંચે ત્યારે ફુગ્ગાની કુલ ઊંચાઈ $H = h + d$ થશે.
$H = (256 - 4v) + 4v = 256 \ ft$.

(C) ધારો કે અંતિમ વેગ $v$ છે. કણ $B$ માટે,$v = f't$,તેથી $t = \frac{v}{f'}$. કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}f't^2 = \frac{1}{2}f'\left(\frac{v}{f'}\right)^2 = \frac{v^2}{2f'}$.
કણ $A$ માટે,$v = f(t+m)$,તેથી $t+m = \frac{v}{f}$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{v}{f} - m$. કાપેલું અંતર $s+n = \frac{1}{2}f(t+m)^2 = \frac{1}{2}f\left(\frac{v}{f}\right)^2 = \frac{v^2}{2f}$.
વેગના સમીકરણો પરથી: $f't = f(t+m) \implies t(f'-f) = fm \implies t = \frac{fm}{f'-f}$.
$t$ ની કિંમત વેગના સમીકરણ $v = f't$ માં મૂકતા: $v = \frac{f'fm}{f'-f}$.
હવે,$n = (s+n) - s = \frac{v^2}{2f} - \frac{v^2}{2f'} = \frac{v^2}{2} \left(\frac{f'-f}{ff'}\right)$.
$v^2 = \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2$ મૂકતા:
$n = \frac{1}{2} \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2 \left(\frac{f'-f}{ff'}\right) = \frac{1}{2} \frac{(ff')^2 m^2}{(f'-f)^2} \cdot \frac{f'-f}{ff'} = \frac{ff'm^2}{2(f'-f)}$.
ગોઠવતા મળે છે: $(f'-f)n = \frac{1}{2}ff'm^2$.

(B) ધારો કે $r = 10 \ m$ એ વર્તુળાકાર ટ્રેકની ત્રિજ્યા છે.
ટ્રેક પર માણસની ઝડપ $v = r \frac{d\theta}{dt} = 10 \ m/sec$ છે.
$r = 10 \ m$ હોવાથી,$10 \frac{d\theta}{dt} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d\theta}{dt} = 1 \ rad/sec$.
ધારો કે $P$ થી $\theta$ કોણીય અંતરે દીવાલ પર પડછાયાનું સ્થાન $y$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{y}{r}$,તેથી $y = r \tan \theta$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dt} = r \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$ મળે છે.
$\theta = 60^{\circ}$ પર,$\sec(60^{\circ}) = 2$ છે,તેથી $\sec^2(60^{\circ}) = 4$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dy}{dt} = 10 \times 4 \times 1 = 40 \ m/sec$.
આમ,પડછાયાની ઝડપ $40 \ m/sec$ છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $y = \frac{10}{x}$ છે.
$x$-યામમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ unit/s}$ આપેલ છે.
$y$-યામમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dy}{dt}$ શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{10}{x} \right) = -\frac{10}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $x = 5$ અને $\frac{dx}{dt} = 1$ ને વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{10}{(5)^2} \cdot (1) = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} \text{ unit/s}$.
પરિણામ ઋણ હોવાથી,$y$-યામ $\frac{2}{5} \text{ unit/s}$ ના દરે ઘટે છે.

(A) ધારો કે $x$ એ સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર છે અને $y$ એ સીડીના ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ છે.
સીડીની લંબાઈ $20 \ ft$ આપેલી હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + y^2 = 20^2 = 400$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
અહીં ઉપરનો છેડો $2 \ ft/sec$ ના દરે નીચે તરફ સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -2 \ ft/sec$ લેતા.
જ્યારે $x = 12 \ ft$ હોય,ત્યારે $x^2 + y^2 = 400$ પરથી $y$ શોધીએ:
$12^2 + y^2 = 400$
$144 + y^2 = 400$
$y^2 = 256 \Rightarrow y = 16 \ ft$
હવે,$x = 12$,$y = 16$,અને $\frac{dy}{dt} = -2$ ને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) + 16(-2) = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) - 32 = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) = 32$
$\frac{dx}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \ ft/sec$
આમ,નીચેનો છેડો $\frac{8}{3} \ ft/sec$ ના દરે દીવાલથી દૂર જાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $12 y = x^{3}$ છે.
ધારો કે યામના બદલાવાનો દર $\frac{dy}{dt}$ છે અને અભિસિસના બદલાવાનો દર $\frac{dx}{dt}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે યામના બદલાવાનો દર અભિસિસના દર કરતા વધારે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$.
વક્રના સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$12 \frac{dy}{dt} = 3x^{2} \frac{dx}{dt}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dt} = \frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમતને અસમતા $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt} > \frac{dx}{dt}$ મળે.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} > 0$,તો $\frac{x^{2}}{4} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} > 4$.
આ અસમતા $x^{2} - 4 > 0$ ના અવયવ $(x - 2)(x + 2) > 0$ થાય છે.
આ અસમતાનો ઉકેલ $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ છે.
પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$x > 2$ એ ઉકેલનો એક ભાગ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,પ્રવેગ $a = 8 \text{ m/s}^2$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,તેથી $S = \frac{1}{2}at^2$.
$1$. પ્રથમ મીટર અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $(S_1 = 1 \text{ m})$:
$1 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_1^2 \implies 1 = 4t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{1}{4} \implies t_1 = \frac{1}{2} \text{ s}$.
$2$. પ્રથમ બે મીટર અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $(S_2 = 2 \text{ m})$:
$2 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 \implies 2 = 4t_2^2 \implies t_2^2 = \frac{1}{2} \implies t_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ s}$.
$3$. બીજા મીટરનું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય એ $2 \text{ m}$ અને $1 \text{ m}$ અંતર કાપવા માટે લાગતા સમયનો તફાવત છે:
$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \text{ s}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \times \frac{dt}{dx} = f \times \frac{1}{v} = \frac{f}{v}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = -\frac{1}{v^2} \times \frac{f}{v} = -\frac{f}{v^3}$.
$f$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $f = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x = At^2 + Bt + C$.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{dx}{dt} = 2At + B$.
હવે,$v^2$ ની ગણતરી કરો: $v^2 = (2At + B)^2 = 4A^2t^2 + 4ABt + B^2$.
આગળ,$4Ax$ ની ગણતરી કરો: $4Ax = 4A(At^2 + Bt + C) = 4A^2t^2 + 4ABt + 4AC$.
હવે,$4Ax$ માંથી $v^2$ બાદ કરો: $4Ax - v^2 = (4A^2t^2 + 4ABt + 4AC) - (4A^2t^2 + 4ABt + B^2)$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $4Ax - v^2 = 4AC - B^2$.

(A) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $x$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x = 3 + 8t - 4t^2$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાથી મળે છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3 + 8t - 4t^2)$.
વિકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + 8(1) - 4(2t) = 8 - 8t$.
$1$ સેકન્ડ પછી વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 1$ મૂકતા:
$v = 8 - 8(1) = 8 - 8 = 0$ એકમ/સેકન્ડ.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 20 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (20)(5) = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં વધારાનો દર $200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય: $x = t^3 - 6t^2 + t$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + t) = 3t^2 - 12t + 1$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 1) = 6t - 12$.
પ્રવેગ શૂન્ય થવા માટે: $a = 0$.
$6t - 12 = 0$.
$6t = 12$.
$t = 2$ એકમ સમય.

(A) $1$. ફુગ્ગાની પ્રારંભિક ગતિ: $u = 0$,$a = 4 \ ft/sec^2$,$t = 5 \ sec$.
$t = 5 \ sec$ પર ફુગ્ગાની ઊંચાઈ: $h_0 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \ ft$.
$t = 5 \ sec$ પર ફુગ્ગાનો વેગ: $v_0 = u + at = 0 + 4 \times 5 = 20 \ ft/sec$.
$2$. પથ્થર ફેંક્યા પછીની ગતિ: પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 20 \ ft/sec$ અને પ્રવેગ $g = -32 \ ft/sec^2$ છે.
પથ્થર જમીન પર પહોંચે તે માટે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(s = -50 \ ft)$:
$-50 = 20T + \frac{1}{2}(-32)T^2$
$-50 = 20T - 16T^2 \Rightarrow 8T^2 - 10T - 25 = 0$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = 2.5 \ sec = 5/2 \ sec$.
$3$. જ્યારે પથ્થર જમીન પર પહોંચે ત્યારે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ: ફુગ્ગો વધારાના $T = 2.5 \ sec$ માટે $a = 4 \ ft/sec^2$ સાથે ઉપર ચઢવાનું ચાલુ રાખે છે.
$H = h_0 + v_0 T + \frac{1}{2}aT^2 = 50 + 50 + 12.5 = 112.5 \ ft$.

(A) સીમાંત ખર્ચ વિધેય $MC$ એ ખર્ચ વિધેય $C(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે.
$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}(0.05x^3 - 0.2x^2 + 3x + 500)$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને $MC = 0.15x^2 - 0.4x + 3$ મળે છે.
$x = 3$ આગળ સીમાંત ખર્ચ શોધવા માટે,આપણે $MC$ વિધેયમાં $x = 3$ મૂકીએ છીએ:
$MC(3) = 0.15(3)^2 - 0.4(3) + 3$.
$MC(3) = 0.15(9) - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 1.35 - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 0.15 + 3 = 3.15$.
આમ,$x = 3$ આગળ સીમાંત ખર્ચ $3.15$ રૂપિયા છે.

(D) સીમાંત આવક $(MR)$ એ કુલ આવક વિધેય $R(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે.
$MR = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5)$
વિકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$MR = 6x + 36$
હવે,$MR$ ના પદમાં $x = 15$ મૂકતા:
$MR = 6(15) + 36$
$MR = 90 + 36 = 126$
તેથી,જ્યારે $x = 15$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક $126$ છે.