अंतराल [1, e] पर f(x) = x^2 log x का अधिकतम म | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = x^2 \log x$.क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \log x +

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$e^2$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = x^2 \log x$.क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \log x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$.$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x(2 \log x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $x \in [1, e]$,इसलिए $x 
eq 0$. अतः,$2 \log x + 1 = 0 \implies \log x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.चूंकि $\frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606$,जो अंतराल $[1, e]$ में नहीं है,इसलिए दिए गए अंतराल में कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।अतः,अधिकतम मान अंत बिंदुओं $x = 1$ या $x = e$ पर ही प्राप्त होगा।$f(1) = 1^2 \cdot \log(1) = 1 \cdot 0 = 0$.$f(e) = e^2 \cdot \log(e) = e^2 \cdot 1 = e^2$.$0$ और $e^2$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $e^2$ है।

अंतराल $[1, e]$ पर $f(x) = x^2 \log x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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