फलन f(x) = x^{-x}, (x in R) का अधिकतम मान x = | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = y = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = -x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन

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$x = 1/e$

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(C) माना $f(x) = y = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = -x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -[x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1] = -(1 + \ln x)$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{dy}{dx} = -x^{-x}(1 + \ln x)$ है।क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$1 + \ln x = 0$ प्राप्त होता है।$\ln x = -1$,इसलिए $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ है।अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न में परिवर्तन की जाँच करते हैं। चूंकि $x  0$ और $x > 1/e$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $x = 1/e$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

फलन $f(x) = x^{-x}, (x \in R)$ का अधिकतम मान $x =$ पर प्राप्त होता है।

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