एक दिए गए गोले में अधिकतम आयतन वाला एक शंकु अ | vedclass

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Question

(A) माना गोले की त्रिज्या $R$ है,इसलिए व्यास $2R$ है।माना शंकु की ऊँचाई $y$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है।गोले की ज्यामिति के अनुसार,गोले के क

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(A) माना गोले की त्रिज्या $R$ है,इसलिए व्यास $2R$ है।माना शंकु की ऊँचाई $y$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है।गोले की ज्यामिति के अनुसार,गोले के केंद्र से शंकु के आधार की दूरी $|y - R|$ है।गोले की त्रिज्या,शंकु की त्रिज्या और केंद्र से दूरी द्वारा निर्मित त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $x^2 + (y - R)^2 = R^2$.$x^2 = R^2 - (y - R)^2 = R^2 - (y^2 - 2Ry + R^2) = 2Ry - y^2$.शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi x^2 y = \frac{1}{3}\pi (2Ry - y^2)y = \frac{1}{3}\pi (2Ry^2 - y^3)$ है।अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{3}\pi (4Ry - 3y^2)$.$\frac{dV}{dy} = 0$ रखने पर,हमें $y(4R - 3y) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $y 
eq 0$,इसलिए $y = \frac{4}{3}R$ है।द्वितीय अवकलज $\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 6y)$ है। $y = \frac{4}{3}R$ रखने पर,$\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 8R) = -\frac{4}{3}\pi R शंकु की ऊँचाई $(y)$ और गोले के व्यास $(2R)$ का अनुपात $\frac{y}{2R} = \frac{4/3 R}{2R} = \frac{2}{3}$ है।

एक दिए गए गोले में अधिकतम आयतन वाला एक शंकु अंतर्निहित है। तो शंकु की ऊँचाई और गोले के व्यास का अनुपात क्या है?

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