Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 6x^2 + px + 2$ है।
फलन के ह्रासमान होने का अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 + 12x + p$.
चूँकि $f(x)$ अंतराल $(-3, -1)$ में एक ह्रासमान फलन है,इसलिए सभी $x \in (-3, -1)$ के लिए $f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक $3x^2 + 12x + p$ को अपने मूलों $-3$ और $-1$ के बीच $0$ या उससे कम होना चाहिए।
अतः,समीकरण $3x^2 + 12x + p = 0$ के मूल $x = -3$ और $x = -1$ हैं।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
इसलिए,$(-3) \times (-1) = \frac{p}{3}$.
$3 = \frac{p}{3} \implies p = 9$.

(A) दिया गया है $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \sin 3x$ प्राप्त होता है।
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3 \cos 3x$।
वर्धमान होने के लिए $3 \cos 3x > 0$,अर्थात $\cos 3x > 0$ होना चाहिए।
यह स्थिति $-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2}$ के लिए सत्य है।
$3$ से भाग देने पर,$-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ निरंतर वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं और $f'(x) > 0$ रखते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + x^{-1}) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
निरंतर वर्धमान के लिए $f'(x) > 0$,अतः $1 - \frac{1}{x^2} > 0$.
$\frac{x^2 - 1}{x^2} > 0$.
चूँकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है,इसलिए यह असमिका तभी सत्य है जब $x^2 - 1 > 0$ हो।
$x^2 > 1$,जिसका अर्थ है $|x| > 1$।

(B) दिया गया फलन $y = 8x^3 - 60x^2 + 144x + 27$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं।
$\frac{dy}{dx} = 24x^2 - 120x + 144$।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$ होना चाहिए।
$24x^2 - 120x + 144 < 0$।
$24$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 5x + 6 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(x - 3)(x - 2) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$,$2$ और $3$ के बीच स्थित हो।
अतः,अंतराल $(2, 3)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x + 1} - \log(1 + x)$,जहाँ $x > 0$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) - \frac{d}{dx} (\log(1 + x))$
$f'(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{1 + x}$
$f'(x) = -\left( \frac{1 + (x + 1)}{(x + 1)^2} \right) = -\frac{x + 2}{(x + 1)^2}$
चूँकि $x > 0$ है,इसलिए $x + 2 > 0$ और $(x + 1)^2 > 0$ होगा।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) = -\frac{x + 2}{(x + 1)^2} < 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि अवकलज $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $f$ एक ह्रासमान फलन है।

(B) माना $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$ है।
फलन $f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{(a \cos x - b \sin x)(c \sin x + d \cos x) - (a \sin x + b \cos x)(c \cos x - d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2}$।
अंश को सरल करने पर,हमें $ad - bc > 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए फलन $f(x) = \frac{1 \sin x + b \cos x}{1 \sin x + 4 \cos x}$ में,$a=1, b=b, c=1, d=4$ है।
शर्त $ad - bc > 0$ लागू करने पर:
$(1)(4) - (b)(1) > 0$
$4 - b > 0$
$4 > b$ या $b < 4$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = (x - 1)^2 (x - 2)$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x - 1)^2] \cdot (x - 2) + (x - 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}[(x - 2)]$
$f'(x) = 2(x - 1)(x - 2) + (x - 1)^2$
$f'(x) = (x - 1) [2(x - 2) + (x - 1)]$
$f'(x) = (x - 1) (2x - 4 + x - 1)$
$f'(x) = (x - 1) (3x - 5)$
फलन के एकदिष्ट ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए:
$(x - 1)(3x - 5) < 0$
यहाँ क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 5/3$ हैं।
अंतरालों $(-\infty, 1)$,$(1, 5/3)$,और $(5/3, \infty)$ की जाँच करने पर:
$x \in (1, 5/3)$ के लिए,गुणनफल $(x - 1)(3x - 5)$ ऋणात्मक है।
अतः,फलन $x \in (1, 5/3)$ अंतराल पर ह्रासमान है।

(B) एक फलन $f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान (monotonically increasing) होता है यदि उसका अवकलज $f'(x) \ge 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = \lambda x - \sin x$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = \lambda - \cos x$.
$f(x)$ के एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) \ge 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\lambda - \cos x \ge 0$ या $\lambda \ge \cos x$.
चूंकि $\cos x$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए सभी $x$ के लिए $\lambda \ge \cos x$ सत्य होने के लिए,$\lambda \ge 1$ होना चाहिए।
अतः,फलन $f(x)$ तब एकदिष्ट वर्धमान होता है जब $\lambda \ge 1$ हो।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कोई फलन $f(x)$ वर्धमान है या नहीं,हम इसके अवकलज $f'(x)$ की जाँच करते हैं। यदि डोमेन में सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,तो फलन निरंतर वर्धमान होता है।
$1$. $f(x) = e^{x^2}$ के लिए,$f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x$। यह $x > 0$ के लिए धनात्मक और $x < 0$ के लिए ऋणात्मक है। अतः,यह पूरी वास्तविक संख्या रेखा पर वर्धमान नहीं है।
$2$. $f(x) = e^{x^3}$ के लिए,$f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2$। चूँकि $e^{x^3} > 0$ और सभी $x$ के लिए $3x^2 \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) \ge 0$ होता है। यह फलन $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।
$3$. $f(x) = e^0 = 1$ के लिए,$f'(x) = 0$। यह एक अचर फलन है,जो वर्धमान नहीं है।
अतः,$e^{x^3}$ सही विकल्प है क्योंकि यह एक वर्धमान फलन है।

(A) हम वह अंतराल ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ $f(x)$,$g(x)$ की तुलना में कम तेजी से बढ़ता है,जिसका अर्थ है $f'(x) < g'(x)$।
माना $h(x) = g(x) - f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 6$ है।
$f(x)$ के $g(x)$ से कम तेजी से बढ़ने के लिए हमें $h'(x) > 0$ चाहिए।
$h'(x) = -6x^2 + 18x - 12 = -6(x^2 - 3x + 2) = -6(x - 1)(x - 2)$ है।
$h'(x) > 0$ के लिए,हमें $(x - 1)(x - 2) < 0$ की आवश्यकता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x \in (1, 2)$ हो।
अतः,अंतराल $(1, 2)$ में,$f(x)$,$g(x)$ की तुलना में कम तेजी से बढ़ता है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के अंतराल पर वर्धमान होने के लिए,उसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = x^2 + kx + 1$,इसका अवकलज है:
$f'(x) = 2x + k$
अंतराल $[1, 2]$ में $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$2x + k \geq 0$
$k \geq -2x$
चूंकि यह सभी $x \in [1, 2]$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $k$ को इस अंतराल पर $-2x$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $g(x) = -2x$ है। अंतराल $[1, 2]$ पर,फलन $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,$g(x)$ का अधिकतम मान बाएं छोर के बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$g(1) = -2(1) = -2$.
अतः,$k \geq -2$.
इसलिए,$k$ का न्यूनतम मान $-2$ है।

(D) आइए प्रत्येक फलन का विश्लेषण करें:
$A) f(x) = x + |x| = \begin{cases} 2x, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$. यह निरंतर वर्धमान नहीं है क्योंकि यह $x < 0$ के लिए अचर है।
$B) f(x) = x - |x| = \begin{cases} 0, & x \ge 0 \\ 2x, & x < 0 \end{cases}$. यह निरंतर वर्धमान नहीं है क्योंकि यह $x \ge 0$ के लिए अचर है।
$C) f(x) = [x]$ (महत्तम पूर्णांक फलन)। यह एक स्टेप फलन है और निरंतर वर्धमान नहीं है क्योंकि यह पूर्णांकों के बीच अचर रहता है।
$D) f(x) = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$.
यदि $x_1 < x_2$ है,तो यदि दोनों धनात्मक हैं तो $x_1^2 < x_2^2$। यदि दोनों ऋणात्मक हैं तो $-x_1^2 < -x_2^2$। यदि $x_1 < 0$ और $x_2 \ge 0$ है,तो $f(x_1) < 0$ और $f(x_2) \ge 0$,इसलिए $f(x_1) < f(x_2)$। अतः,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(B) दिया गया है $f(x) = \cos |x| - 2ax + b$।
चूंकि $\cos |x| = \cos x$,इसलिए $f(x) = \cos x - 2ax + b$।
$f(x)$ के वर्धमान फलन होने के लिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = -\sin x - 2a$।
$f'(x) \ge 0$ के लिए,$-\sin x - 2a \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2a \le -\sin x$,या $a \le -\frac{1}{2} \sin x$।
चूंकि यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $a$ को $-\frac{1}{2} \sin x$ के न्यूनतम मान से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
$\sin x$ का न्यूनतम मान $-1$ है,इसलिए $-\sin x - 2a \ge 0$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,हमें $2a \le \min(-\sin x) = -1$ की आवश्यकता है।
अतः,$a \le -1/2$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{100} + \sin x - 1$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{100} + \sin x - 1) = 100x^{99} + \cos x$.
$x \in (0, 1)$ के लिए,हम देखते हैं कि $x^{99} > 0$,इसलिए $100x^{99} > 0$ है।
साथ ही,$x \in (0, 1)$ के लिए,$\cos x > 0$ है क्योंकि $x$ प्रथम चतुर्थांश में है।
चूंकि $100x^{99}$ और $\cos x$ दोनों पद $x \in (0, 1)$ के लिए धनात्मक हैं,इसलिए उनका योग $f'(x) = 100x^{99} + \cos x > 0$ होगा।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(0, 1)$ पर एकदिष्ट वर्धमान है।

(B) यहाँ फलन $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$ दिया गया है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 2x^{-1}) = 3 - 2x^{-2} = 3 - \frac{2}{x^2}$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $f'(x) = \frac{3x^2 - 2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $x \in (1, 3)$ के लिए,हम देखते हैं कि $x^2 > 1$,जिसका अर्थ है कि $3x^2 > 3$.
अतः,$3x^2 - 2 > 3 - 2 = 1$,जो हमेशा धनात्मक है।
चूँकि सभी $x \in (1, 3)$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(1, 3)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।

(B) फलन $h(x) = g(x) - f(x) = x - \sin x$ पर विचार करें।
यह जांचने के लिए कि क्या $x > 0$ के लिए $f(x) \leq g(x)$ है,हम $h(x)$ का विश्लेषण करते हैं।
इसका अवकलज $h'(x) = 1 - \cos x$ है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $\cos x \leq 1$ है,इसलिए $h'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ है।
इसका अर्थ है कि $x \geq 0$ के लिए $h(x)$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $h(0) = 0 - \sin(0) = 0$ है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $h(x) \geq 0$ है।
अतः,$x - \sin x \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $x \in (0, \infty)$ के लिए $x \geq \sin x$ या $g(x) \geq f(x)$ है।
इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
अब कथन-$2$ पर विचार करें: $x \in (0, \infty)$ के लिए,$f(x) = \sin x \leq 1$ सत्य है।
साथ ही,जैसे $x \rightarrow \infty$,$g(x) = x \rightarrow \infty$ भी सत्य है।
हालाँकि,यह तथ्य कि $f(x) \leq 1$ और $g(x) \rightarrow \infty$ है,अवकलज परीक्षण का उपयोग किए बिना सीधे $f(x) \leq g(x)$ को सिद्ध नहीं करता है।
अतः,कथन-$2$ सत्य है,लेकिन यह कथन-$1$ के लिए सीधा तार्किक स्पष्टीकरण नहीं है।

(B) माना $f(x) = \tan x - x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = \tan^2 x$।
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए डोमेन के सभी $x$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है।
विशेष रूप से,सभी $x \neq n\pi$ (जहाँ $n \in Z$) के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि अवकलज गैर-ऋणात्मक है और किसी भी अंतराल पर शून्य नहीं है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
अतः,यह फलन हमेशा बढ़ता हुआ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$ प्राप्त होता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि हर $1 + (\sin x + \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न अंश $(\cos x - \sin x)$ पर निर्भर करता है।
हमें $\cos x - \sin x > 0$ चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos x > \sin x$।
$\cos x$ से भाग देने पर (प्रथम चतुर्थांश में $\cos x > 0$ होता है),हमें $1 > \tan x$ या $\tan x < 1$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन अंतराल $(0, \frac{\pi}{4})$ में निरंतर वर्धमान है।

(B) एक फलन $f(x)$ ह्रासमान होता है जब उसका अवकलज $f'(x) < 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = e^x (x - 1)(x - 2)$ है।
चूंकि $e^x$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(x - 1)(x - 2)$ के गुणनफल पर निर्भर करता है।
हम $f'(x) < 0$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $(x - 1)(x - 2) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $1$ और $2$ के बीच हो।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(1, 2)$ में एक ह्रासमान फलन है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^{3/2}(3x - 10) = 3x^{5/2} - 10x^{3/2}$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान (increasing) है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{5/2} - 10x^{3/2}) = 3 \cdot \frac{5}{2} x^{3/2} - 10 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{15}{2} x^{3/2} - 15 x^{1/2}$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$\frac{15}{2} x^{1/2} (x - 2) = 0$।
चूँकि $x \geq 0$,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ प्राप्त होता है।
$x > 2$ के लिए,$f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $[2, \infty)$ अंतराल में वर्धमान है।
$0 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $(0, 2)$ अंतराल में ह्रासमान (decreasing) है।

(C) माना कि फलन $f(x) = e^{ax}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कब एकदिष्ट ह्रासमान है,हम इसका प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{ax}) = a \cdot e^{ax}$.
एक फलन एकदिष्ट ह्रासमान होता है यदि $f'(x) < 0$ हो।
चूंकि चरघातांकी फलन $e^{ax}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है $(e^{ax} > 0)$,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न पूरी तरह से स्थिरांक $a$ पर निर्भर करता है।
अतः,$f'(x) < 0$ तभी होगा यदि $a < 0$ हो।
इस प्रकार,फलन $f(x) = e^{ax}$ तब एकदिष्ट ह्रासमान होता है जब $a < 0$ हो।

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 29$ किस अंतराल में ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x + 29) = 6x^2 - 18x + 12$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 3x + 2 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(x - 1)(x - 2) < 0$ प्राप्त होता है।
असमिका $(x - 1)(x - 2) < 0$ तब सत्य होती है जब $x$ का मान $1$ और $2$ के बीच हो।
अतः,फलन $1 < x < 2$ के लिए ह्रासमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 1 - e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।
फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - e^{-\frac{x^2}{2}}) = 0 - e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(-\frac{x^2}{2}) = -e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = x e^{-\frac{x^2}{2}}$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{-\frac{x^2}{2}} > 0$ होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न केवल $x$ के चिह्न पर निर्भर करता है।
स्थिति $1$: यदि $x > 0$ है,तो $f'(x) > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि फलन $f(x)$ वर्धमान है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $f'(x) < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
अतः,फलन $x < 0$ के लिए ह्रासमान है और $x > 0$ के लिए वर्धमान है।

(A) दिया गया है $f(x) = xe^{x(1 - x)}$.
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot (1 - 2x)$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = e^{x(1 - x)} (1 + x)(1 - 2x)$
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि $e^{x(1 - x)} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,इसलिए $(1 + x)(1 - 2x) \geq 0$ होना चाहिए।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $x \in [-1, 1/2]$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[-1/2, 1/2]$ पर वर्धमान है,जो $[-1/2, 1]$ का एक उपसमुच्चय है। इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \cos |x| - 2ax + b$ है।
चूंकि $\cos |x| = \cos x$,इसलिए $f(x) = \cos x - 2ax + b$ है।
फलन के पूरी वास्तविक संख्या रेखा पर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
अवकलन करने पर: $f'(x) = -\sin x - 2a$ प्राप्त होता है।
शर्त $f'(x) \geq 0$ रखने पर,$-\sin x - 2a \geq 0$,जो सरल होकर $\sin x + 2a \leq 0$ हो जाता है।
इस असमिका के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य होने हेतु,$\sin x + 2a$ का अधिकतम मान $0$ या उससे कम होना चाहिए।
$\sin x$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $1 + 2a \leq 0$ आवश्यक है।
$a$ के लिए हल करने पर,$2a \leq -1$,जिसका अर्थ है $a \leq -1/2$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = [x(x - 3)]^2 = (x^2 - 3x)^2$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं और $f'(x) > 0$ रखते हैं।
$f'(x) = 2(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) = 2x(x - 3)(2x - 3)$।
$f'(x) > 0$ रखने पर,$2x(x - 3)(2x - 3) > 0$,जो $x(x - 3)(2x - 3) > 0$ में सरल हो जाता है।
क्रांतिक बिंदु $x = 0$,$x = 3/2$ और $x = 3$ हैं।
संख्या रेखा पर वेवी कर्व विधि (sign scheme) का उपयोग करने पर:
$x \in (0, 3/2)$ के लिए,$f'(x) > 0$।
$x \in (3/2, 3)$ के लिए,$f'(x) < 0$।
$x \in (3, \infty)$ के लिए,$f'(x) > 0$।
अतः,फलन $x \in (0, 3/2) \cup (3, \infty)$ के लिए वर्धमान है।

(B) माना $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{\log(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \log(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{[\log(e + x)]^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x)[\log(e + x)]^2}$.
चूंकि $e < \pi$,इसलिए $x > 0$ के लिए $e + x < \pi + x$ और $\log(e + x) < \log(\pi + x)$ होता है।
अतः,$(e + x)\log(e + x) < (\pi + x)\log(\pi + x)$,जिसका अर्थ है कि $f'(x) < 0$ सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर एक ह्रासमान फलन है।
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$।
न्यूटन-लेबनीज नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{-(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = e^{-(x^2+1)^2} \cdot (2x) - e^{-x^4} \cdot (2x)$
$f'(x) = 2x \left( e^{-(x^4+2x^2+1)} - e^{-x^4} \right)$
$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^4} \left( e^{-(2x^2+1)} - 1 \right)$
चूंकि $e^{-x^4} > 0$ सभी $x$ के लिए है,और $e^{-(2x^2+1)} < 1$ सभी $x$ के लिए है (क्योंकि $2x^2+1 > 0$),इसलिए $(e^{-(2x^2+1)} - 1)$ हमेशा ऋणात्मक है।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$2x \cdot (\text{ऋणात्मक मान}) \geq 0 \implies x \leq 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0]$ में एक वर्धमान फलन है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \cdot \log(e + x) - \frac{1}{e + x} \cdot \log(\pi + x)}{(\log(e + x))^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x)(\log(e + x))^2}$.
मान लीजिए $g(t) = t \log t$. तब $g'(t) = 1 + \log t$. $t > 0$ के लिए,$g(t)$ फलन $t > 1/e$ के लिए वर्धमान है।
चूंकि $x > 0$,इसलिए $e + x > e > 1/e$ और $\pi + x > \pi > 1/e$ है।
चूंकि $\pi > e$,इसलिए $\pi + x > e + x$ है।
चूंकि $g(t)$ फलन $t > 1/e$ के लिए वर्धमान है,इसलिए $g(\pi + x) > g(e + x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\pi + x)\log(\pi + x) > (e + x)\log(e + x)$.
इसका अर्थ है कि $(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x) < 0$.
इस प्रकार,सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ में एक ह्रासमान फलन है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 3) = 3x^2 - 12x + 9$.
अवकलज का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 3)(x - 1)$.
एक फलन तब ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
अतः,$3(x - 3)(x - 1) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $1$ और $3$ के बीच हो।
इसलिए,$x \in (1, 3)$.

(A) फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 6x^2 + 7x - 19) = 6x^2 + 12x + 7$।
हम इसे $f'(x) = 6(x^2 + 2x) + 7$ के रूप में लिख सकते हैं।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$f'(x) = 6(x^2 + 2x + 1 - 1) + 7 = 6(x + 1)^2 - 6 + 7 = 6(x + 1)^2 + 1$।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x + 1)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $6(x + 1)^2 + 1 \geq 1$ होगा।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि अवकलज सभी $x$ के लिए धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

(A) फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = -\frac{1}{2} + \cos x$
अंतराल $x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ के लिए,हम जानते हैं कि $\cos x$ का मान $\frac{1}{2}$ से $1$ के बीच होता है।
विशेष रूप से,$\frac{1}{2} < \cos x \le 1$।
सभी भागों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} < \cos x - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}$
$0 < f'(x) \le \frac{1}{2}$
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए दिए गए अंतराल में फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

(B) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ वर्धमान है,हमें अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करना होगा और इसे $0$ से बड़ा रखना होगा।
दिया गया है: $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \times (\cos x - \sin x)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $1 + (\sin x + \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए हमें निम्नलिखित शर्त की आवश्यकता है:
$\cos x - \sin x > 0$
$\cos x > \sin x$
$\cos x$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि संबंधित डोमेन में $\cos x > 0$ है),हमें प्राप्त होता है:
$1 > \tan x$
$\tan x < 1$।
चूंकि $x = \pi/4$ पर $\tan x = 1$ होता है,इसलिए $\tan x < 1$ की शर्त $x < \pi/4$ के लिए सत्य है।
त्रिकोणमितीय फलनों के मानक डोमेन को ध्यान में रखते हुए,अंतराल $(-\pi/2, \pi/4)$ प्राप्त होता है।

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$
$f'(x) = x e^{-x} (2 - x)$
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए असमिका $x e^{-x} (2 - x) > 0$ सरल होकर निम्न रूप लेती है:
$x(2 - x) > 0$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$x(x - 2) < 0$
द्विघात व्यंजक के शून्यक $x = 0$ और $x = 2$ हैं। यह व्यंजक शून्यकों के बीच ऋणात्मक होता है।
अतः,फलन $0 < x < 2$ के लिए निरंतर वर्धमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x$.
फलन $f(x)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \cos x + \sin x$.
$f'(x) < 0 \implies \cos x + \sin x < 0$.
$\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) < 0$.
$\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) < 0$.
$\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) < 0$.
हम जानते हैं कि $\cos \theta < 0$ तब होता है जब $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$.
अतः,$\frac{\pi}{2} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में $\frac{\pi}{4}$ जोड़ने पर,$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$.
$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस अंतराल में नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(B) दिया गया फलन $y = ax^3 + 3x^2 + (2a + 1)x + 1000$ है।
$y$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,इसका अवकलज $y'$ सभी $x$ के लिए $0$ से बड़ा होना चाहिए।
$y' = 3ax^2 + 6x + (2a + 1) > 0$.
एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C > 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$A > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 3a$,$B = 6$,और $C = 2a + 1$.
शर्त $1$: $3a > 0 \implies a > 0$.
शर्त $2$: $D = B^2 - 4AC < 0$.
$6^2 - 4(3a)(2a + 1) < 0$.
$36 - 12a(2a + 1) < 0$.
$12$ से विभाजित करने पर: $3 - a(2a + 1) < 0$.
$3 - 2a^2 - a < 0$.
$2a^2 + a - 3 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2a + 3)(a - 1) > 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a > 1$ या $a < -3/2$ हो।
शर्त $1$ $(a > 0)$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $a > 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$।
किसी द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के सदैव धनात्मक होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ और $a > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c = 4(b^2 - 3c)$।
चूंकि $0 < b^2 < c$,इसलिए $b^2 - 3c < 0$ होगा (क्योंकि $b^2 < c < 3c$)।
अतः,$D < 0$ और $x^2$ का गुणांक $3 > 0$ है।
इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ पर $R$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(D) एक फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान (strictly increasing) होता है यदि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = \lambda x + \cos x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \lambda - \sin x$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\lambda - \sin x > 0$,या सभी $x$ के लिए $\lambda > \sin x$।
चूंकि $\sin x$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए $\lambda > \sin x$ होने के लिए,$\lambda > 1$ होना आवश्यक है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 22$ है।
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,हमें इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करना होगा।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x + 22) = 3x^2 - 6x - 9$.
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$3x^2 - 6x - 9 < 0$.
$3$ से भाग देने पर,हमें $x^2 - 2x - 3 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 1) < 0$.
समीकरण $(x - 3)(x + 1) = 0$ के मूल $x = 3$ और $x = -1$ हैं।
अंतराल $(-\infty, -1)$,$(-1, 3)$,और $(3, \infty)$ की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि व्यंजक $(-1, 3)$ अंतराल में ऋणात्मक है।
अतः,फलन $-1 < x < 3$ के लिए निरंतर ह्रासमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं।
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$.
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)} = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $2 + \sin 2x > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $\cos x - \sin x > 0$ होना चाहिए।
$\cos x > \sin x$.
$\cos x$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $\cos x > 0$),हमें $1 > \tan x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x < \frac{\pi}{4}$.
फलन के प्रांत को ध्यान में रखते हुए,वह अंतराल जहाँ $f'(x) > 0$ है,$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^5 - 20x^3 + 240x$ है।
फलन की एकदिष्टता निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 - 20x^3 + 240x) = 5x^4 - 60x^2 + 240$.
हम $5$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$f'(x) = 5(x^4 - 12x^2 + 48)$.
अब,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^4 - 12x^2 + 48 = (x^2 - 6)^2 - 36 + 48 = (x^2 - 6)^2 + 12$.
अतः,$f'(x) = 5[(x^2 - 6)^2 + 12]$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $(x^2 - 6)^2 \ge 0$ है,इसलिए $(x^2 - 6)^2 + 12 \ge 12$ होगा।
इसलिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 5 \times 12 = 60 > 0$ है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ हर जगह एकदिष्ट वर्धमान है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = \frac{d}{dx} \int {e^x}(x - 1)(x - 2)dx = {e^x}(x - 1)(x - 2)$ है।
फलन $f$ के ह्रासमान (decreasing) होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
अतः,${e^x}(x - 1)(x - 2) < 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए ${e^x} > 0$ होता है,इसलिए असमिका $(x - 1)(x - 2) < 0$ में बदल जाती है।
द्विघात व्यंजक $(x - 1)(x - 2)$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,गुणनफल इसके मूलों $x = 1$ और $x = 2$ के बीच ऋणात्मक होता है।
अतः,$f$ अंतराल $(1, 2)$ में घटता है।

(C) $f(x)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $f(x) = \int {\left( {2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)} \,dx$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = 2 - \frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$।
हम सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
$f'(x) = \frac{2(1 + {x^2}) - 1 - \sqrt{1 + {x^2}}}{1 + {x^2}} = \frac{2{x^2} + 1 - \sqrt{1 + {x^2}}}{1 + {x^2}}$।
मान लीजिए $u = \sqrt{1 + {x^2}}$। चूंकि ${x^2} \ge 0$,इसलिए $u \ge 1$। अतः ${x^2} = {u^2} - 1$।
अंश में यह मान रखने पर: $2({u^2} - 1) + 1 - u = 2{u^2} - u - 1 = (2u + 1)(u - 1)$।
चूंकि $u \ge 1$,इसलिए $(u - 1) \ge 0$ और $(2u + 1) > 0$,अतः अंश $\ge 0$ है।
विशेष रूप से,सभी $x \neq 0$ के लिए $f'(x) > 0$ और $f'(0) = 0$ है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 0$ होने के कारण,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में वर्धमान फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \int\limits_1^x {\left( {t\ln(t) - \frac{{\ln(t)}}{t}} \right)dt}$।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,$f'(x) = x\ln(x) - \frac{{\ln(x)}}{x}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$f'(x) = \ln(x) \left( x - \frac{1}{x} \right) = \ln(x) \left( \frac{x^2 - 1}{x} \right) = \frac{{\ln(x)(x - 1)(x + 1)}}{x}$।
$x > 1$ के लिए,हम जानते हैं कि $\ln(x) > 0$,$(x - 1) > 0$,$(x + 1) > 0$,और $x > 0$ है।
इसलिए,सभी $x > 1$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ डोमेन $(1, \infty)$ में सभी $x$ के लिए धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
अतः,$f(x)$ एकदिष्ट (monotonic) है।

(A) $f(x)$ का प्रांत $x > 0$ है क्योंकि लघुगणकीय फलन $\ln t$ केवल $t > 0$ के लिए परिभाषित है।
दिया गया है $f(x) = 1 + x + \int_{1}^{x} (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$।
लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$
$f'(x) = 0 + 1 + (\ln^2 x + 2 \ln x)$
$f'(x) = \ln^2 x + 2 \ln x + 1$
$f'(x) = (\ln x + 1)^2$
चूंकि $(\ln x + 1)^2 \ge 0$ सभी $x > 0$ के लिए सत्य है,और $f'(x) = 0$ केवल $x = e^{-1}$ पर होता है,इसलिए फलन $f(x)$ अपने पूरे प्रांत $(0, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.
एकदिष्टता निर्धारित करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \cdot \ln(e + x) - \frac{1}{e + x} \cdot \ln(\pi + x)}{(\ln(e + x))^2}$.
$f'(x)$ का चिह्न अंश $g(x) = \frac{\ln(e + x)}{\pi + x} - \frac{\ln(\pi + x)}{e + x}$ पर निर्भर करता है।
फलन $h(t) = \frac{\ln(t)}{t}$ पर विचार करें। इसका अवकलज $h'(t) = \frac{1 - \ln(t)}{t^2}$ है।
$t < e$ के लिए $h'(t) > 0$ और $t > e$ के लिए $h'(t) < 0$ है।
चूंकि $\pi > e$,फलन $h(t)$ अंतराल $t \ge e$ के लिए ह्रासमान है।
$h(e+x)$ और $h(\pi+x)$ की तुलना करने पर,चूंकि $\pi+x > e+x > e$,इसलिए $h(\pi+x) < h(e+x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\ln(\pi + x)}{\pi + x} < \frac{\ln(e + x)}{e + x}$,जो दर्शाता है कि $f'(x) > 0$ है।
इसलिए,फलन $[0, \infty)$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया है $g(x) = 2f(x/2) + f(1 - x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g'(x) = 2f'(x/2) \cdot (1/2) + f'(1 - x) \cdot (-1) = f'(x/2) - f'(1 - x)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $f''(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक निरंतर घटता हुआ फलन है।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $g'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
$f'(x/2) - f'(1 - x) > 0 \implies f'(x/2) > f'(1 - x)$।
चूंकि $f'(x)$ निरंतर घटता है,इसलिए $f'(a) > f'(b) \implies a < b$।
अतः,$x/2 < 1 - x \implies 3x/2 < 1 \implies x < 2/3$।
इस प्रकार,$g(x)$,$[0, 2/3)$ में बढ़ता है।
$g(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,हमें $g'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
$f'(x/2) - f'(1 - x) < 0 \implies f'(x/2) < f'(1 - x)$।
चूंकि $f'(x)$ निरंतर घटता है,इसलिए $f'(a) < f'(b) \implies a > b$।
अतः,$x/2 > 1 - x \implies 3x/2 > 1 \implies x > 2/3$।
इस प्रकार,$g(x)$,$(2/3, 1]$ में घटता है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^{100} + \sin x - 1$ कहाँ निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 100x^{99} + \cos x$
अंतराल $(0, 1)$ के लिए:
चूँकि $x \in (0, 1)$,$x^{99} > 0$ और $\cos x > 0$ है। अतः,$f'(x) = 100x^{99} + \cos x > 0$ है।
अंतराल $(0, \pi / 2)$ के लिए:
चूँकि $x \in (0, \pi / 2)$,$x^{99} > 0$ और $\cos x > 0$ है। अतः,$f'(x) = 100x^{99} + \cos x > 0$ है।
अंतराल $(\pi / 2, \pi )$ के लिए:
यहाँ,$x > \pi / 2 \approx 1.57$,इसलिए $x^{99}$ बहुत बड़ा मान है। $100x^{99} > 100(1.57)^{99}$,जबकि $\cos x$ का मान $-1$ और $0$ के बीच होता है। इसलिए,$100x^{99} + \cos x > 0$ है।
चूँकि सभी दिए गए अंतरालों में अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है $h(x) = f(x) - \{f(x)\}^2 + \{f(x)\}^3$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3\{f(x)\}^2f'(x)$
$f'(x)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$h'(x) = f'(x) [1 - 2f(x) + 3\{f(x)\}^2]$
माना $y = f(x)$ है। तब व्यंजक इस प्रकार होगा:
$h'(x) = f'(x) (3y^2 - 2y + 1)$
द्विघात व्यंजक $Q(y) = 3y^2 - 2y + 1$ पर विचार करें। इसका विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$ है।
चूंकि $D < 0$ और $y^2$ का गुणांक $3 > 0$ है,इसलिए $3y^2 - 2y + 1$ हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$h'(x) = f'(x) \times (\text{एक धनात्मक राशि})$.
इसका अर्थ है कि $h'(x)$ का चिह्न $f'(x)$ के चिह्न के समान ही रहेगा।
इसलिए,जब $f(x)$ वर्धमान है तब $h(x)$ वर्धमान है $(f'(x) > 0 \implies h'(x) > 0)$ और जब $f(x)$ ह्रासमान है तब $h(x)$ ह्रासमान है $(f'(x) < 0 \implies h'(x) < 0)$।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(A) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $f(x) = \begin{cases} 2\ln(x) - x^2 & \text{यदि } x > 0 \\ 2\ln(-x) + x^2 & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$.
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल पर वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{2}{x} - 2x = \frac{2(1 - x^2)}{x}$.
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{2}{-x}(-1) + 2x = \frac{2}{x} + 2x = \frac{2(1 + x^2)}{x}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
स्थिति $1$: $x > 0$. हमें $\frac{2(1 - x^2)}{x} > 0$ चाहिए। चूँकि $x > 0$,इसका अर्थ है $1 - x^2 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 < 1$,अतः $0 < x < 1$.
स्थिति $2$: $x < 0$. हमें $\frac{2(1 + x^2)}{x} > 0$ चाहिए। चूँकि $x < 0$ और $(1 + x^2) > 0$,व्यंजक $\frac{2(1 + x^2)}{x}$ हमेशा $x < 0$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,फलन केवल $(0, 1)$ अंतराल पर वर्धमान है।