फलन f(x) = frac{log(pi + x)}{log(e + x)} है: | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \cdot \log(e + x) -

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$(0, \infty)$ में एक ह्रासमान फलन है।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \cdot \log(e + x) - \frac{1}{e + x} \cdot \log(\pi + x)}{(\log(e + x))^2}$.$f'(x) = \frac{(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x)(\log(e + x))^2}$.मान लीजिए $g(t) = t \log t$. तब $g'(t) = 1 + \log t$. $t > 0$ के लिए,$g(t)$ फलन $t > 1/e$ के लिए वर्धमान है।चूंकि $x > 0$,इसलिए $e + x > e > 1/e$ और $\pi + x > \pi > 1/e$ है।चूंकि $\pi > e$,इसलिए $\pi + x > e + x$ है।चूंकि $g(t)$ फलन $t > 1/e$ के लिए वर्धमान है,इसलिए $g(\pi + x) > g(e + x)$ प्राप्त होता है।अतः,$(\pi + x)\log(\pi + x) > (e + x)\log(e + x)$.इसका अर्थ है कि $(e + x)\log(e + x) - (\pi + x)\log(\pi + x) इस प्रकार,सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f'(x) अतः,$f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ में एक ह्रासमान फलन है।

फलन $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$ है:

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