Increasing and Decreasing function Questions in Hindi

(C) माना $y = x^{1/x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \ln x + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = x^{1/x} \left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)$।
चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $x^{1/x} > 0$ और $x^2 > 0$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न $(1 - \ln x)$ पर निर्भर करता है।
$x \in (1, e)$ के लिए,$\ln x < 1$,इसलिए $1 - \ln x > 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} > 0$ है। अतः,$f(x)$ अंतराल $(1, e)$ में वर्धमान है।
$x \in (e, \infty)$ के लिए,$\ln x > 1$,इसलिए $1 - \ln x < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} < 0$ है। अतः,$f(x)$ अंतराल $(e, \infty)$ में ह्रासमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 1 - x^3 - x^5$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन कहाँ ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^3 - x^5) = -3x^2 - 5x^4$.
हम व्यंजक से $-x^2$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $f'(x) = -x^2(3 + 5x^2)$.
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है और $(3 + 5x^2) > 0$ होता है,इसलिए इनका गुणनफल $-x^2(3 + 5x^2)$ हमेशा $0$ या उससे कम होगा।
विशेष रूप से,सभी $x \neq 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है और $f'(0) = 0$ है।
चूँकि अवकलज सभी $x$ के लिए ऋणात्मक या शून्य है,इसलिए फलन $f(x)$,$x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए ह्रासमान है।

(A) माना $f(x) = x^x$,जहाँ $x > 0$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$।
अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना आवश्यक है।
चूँकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ के लिए $1 + \ln x > 0$ होना चाहिए।
$\ln x > -1$।
$\ln x > \ln(e^{-1})$।
$x > \frac{1}{e}$।

(C) माना $f(x) = 2{x^3} - 6x + 5$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2{x^3} - 6x + 5) = 6{x^2} - 6$।
एक फलन वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$ हो।
अतः,$6{x^2} - 6 > 0$।
$6$ से विभाजित करने पर,हमें ${x^2} - 1 > 0$ प्राप्त होता है।
इसे $(x - 1)(x + 1) > 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
चिह्न योजना विधि का उपयोग करने पर,यह असमिका तब सत्य होती है जब $x > 1$ या $x < -1$ हो।
इस प्रकार,फलन $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ के लिए वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $f(x) = \sin(3x)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज धनात्मक होना चाहिए: $f'(x) > 0$।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3\cos(3x)$।
$3\cos(3x) > 0$ रखने पर,हमें $\cos(3x) > 0$ प्राप्त होता है।
कोसाइन फलन अपने तर्क के लिए $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में धनात्मक होता है।
अतः,$-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2}$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$.
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक $f'(x)$ का विविक्तकर $D$ जाँचते हैं:
$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c$.
हमें दिया गया है कि $0 < b^2 < c$ है।
चूँकि $b^2 < c$,इसलिए $4b^2 < 4c$ होगा।
अतः,$D = 4b^2 - 12c < 4c - 12c = -8c$.
चूँकि $b^2 > 0$,इसलिए $c$ भी $0$ से बड़ा होना चाहिए (क्योंकि $c > b^2$)।
इस प्रकार,$D < -8c < 0$.
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक (जो $3$ है) धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ होगा।
अतः,चूँकि अवकलज $f'(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए निरंतर धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x$ अंतराल $[-1, 1]$ पर परिभाषित है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.
चूँकि $f'(x) = 1 > 0$ सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए है,इसलिए फलन $f(x)$ दिए गए अंतराल पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 90x + 174$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 90x + 174) = 6x^2 - 6x + 90$.
हम व्यंजक से $6$ उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $f'(x) = 6(x^2 - x + 15)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $6(x^2 - x + 15) > 0$,या $x^2 - x + 15 > 0$.
हम द्विघात समीकरण $x^2 - x + 15$ का विविक्तकर $D$ जाँचते हैं। यहाँ $a = 1, b = -1, c = 15$ है।
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(15) = 1 - 60 = -59$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक धनात्मक $(1 > 0)$ है,इसलिए द्विघात व्यंजक $x^2 - x + 15$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इस प्रकार,फलन अंतराल $(-\infty, \infty)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
हम प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \tan^{-1}\left(\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)\right) = \tan^{-1}\left(\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$.
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sqrt{2} \sin(x + \pi/4))^2} \cdot \sqrt{2} \cos(x + \pi/4)$.
$f(x)$ के वर्धमान फलन होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि हर $1 + 2 \sin^2(x + \pi/4)$ हमेशा धनात्मक है,हमें केवल अंश को धनात्मक होने की आवश्यकता है:
$\sqrt{2} \cos(x + \pi/4) > 0$.
इसका अर्थ है $\cos(x + \pi/4) > 0$.
$x > 0$ के लिए,कोसाइन फलन तब धनात्मक होता है जब कोण प्रथम चतुर्थांश में हो:
$0 < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
सभी पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$.
$x > 0$ की शर्त को देखते हुए,अंतराल $(0, \pi/4)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$.
यह जाँचने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
माना $u = e^{2x} - 1$ और $v = e^{2x} + 1$ है। तब $u' = 2e^{2x}$ और $v' = 2e^{2x}$ होगा।
$f'(x) = \frac{(2e^{2x})(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{2x} > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ होगा।
अतः,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{4x^2 + 1}{x} = 4x + \frac{1}{x}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x + \frac{1}{x} \right) = 4 - \frac{1}{x^2}$.
फलन ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो:
$4 - \frac{1}{x^2} < 0$
$4 < \frac{1}{x^2}$
$x^2 < \frac{1}{4}$
$|x| < \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.
चूंकि फलन $x \neq 0$ के लिए परिभाषित है,अतः वह अंतराल जिसमें फलन ह्रासमान है,$\left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \cup \left( 0, \frac{1}{2} \right)$ है। दिए गए विकल्पों में से,$\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ ह्रासमान व्यवहार का सबसे उपयुक्त प्रतिनिधित्व है।

(A) यह जांचने के लिए कि कोई फलन $f(x)$ किसी अंतराल में वर्धमान है या नहीं,हम यह देखते हैं कि क्या उस अंतराल के सभी $x$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है।
$(a)$ $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ के लिए,$f'(x) = 6x - 2$। $f'(x) \ge 0$ रखने पर $6x \ge 2$,अर्थात $x \ge \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है। फलन $[\frac{1}{3}, \infty)$ पर वर्धमान है,न कि $(-\infty, \frac{1}{3}]$ पर। अतः,विकल्प $(a)$ गलत तरीके से सुमेलित है।
$(b)$ $f(x) = x^3 + 6x^2 + 6$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 + 12x = 3x(x + 4)$। जब $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$ होता है,तब $f'(x) \ge 0$ होता है। अतः,यह $(-\infty, -4]$ पर वर्धमान है।
$(c)$ $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 3$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$। सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $3(x - 1)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए फलन $(-\infty, \infty)$ पर वर्धमान है।
$(d)$ $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6$ के लिए,$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1)$। जब $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ होता है,तब $f'(x) \ge 0$ होता है। अतः,यह $[2, \infty)$ पर वर्धमान है।

(B) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \ln(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{(\ln(e + x))^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x)}{(\ln(e + x))^2 (e + x)(\pi + x)}$.
$t > 0$ के लिए फलन $g(t) = t \ln(t)$ पर विचार करें। तब $g'(t) = \ln(t) + 1$। $t > 1/e$ के लिए,$g'(t) > 0$,इसलिए $g(t)$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $\pi > e$,$x \ge 0$ के लिए,हमारे पास $\pi + x > e + x > e > 1$ है। अतः,$g(\pi + x) > g(e + x)$,जिसका अर्थ है कि $(\pi + x)\ln(\pi + x) > (e + x)\ln(e + x)$।
इसलिए,अंश $(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x) < 0$ है,सभी $x \ge 0$ के लिए।
चूंकि हर हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ सभी $x \in [0, \infty)$ के लिए।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right) = -\sin 4x$.
$f'(x) > 0$ रखने पर,$-\sin 4x > 0$,जिसका अर्थ है $\sin 4x < 0$.
ज्या (sine) फलन अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में ऋणात्मक होता है।
अतः,$\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$ इस सीमा का एक उपसमुच्चय है,इसलिए फलन इस अंतराल में वर्धमान है।

(A) दिया गया है $h(x) = f(x) - (f(x))^2 + (f(x))^3$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h'(x) = f'(x) - 2f(x)f'(x) + 3(f(x))^2 f'(x)$
$f'(x)$ को कॉमन लेने पर:
$h'(x) = f'(x) [1 - 2f(x) + 3(f(x))^2]$
द्विघात व्यंजक $3(f(x))^2 - 2f(x) + 1$ का विश्लेषण करने के लिए,पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$3(f(x))^2 - 2f(x) + 1 = 3 \left( (f(x))^2 - \frac{2}{3}f(x) + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \right)$
$= 3 \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$
चूंकि $(f(x) - \frac{1}{3})^2 \ge 0$,इसलिए पद $(f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$ हमेशा धनात्मक है।
अतः,$h'(x) = 3f'(x) \left( (f(x) - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9} \right)$।
चूंकि कोष्ठक में दिया गया पद हमेशा धनात्मक है,इसलिए $h'(x)$ का चिह्न $f'(x)$ के चिह्न के समान होगा।
इस प्रकार,जब $f$ वर्धमान है तो $h$ भी वर्धमान है।

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम लीबनिज नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^2 + 1} e^{-t^2} dt = e^{-(x^2+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) - e^{-(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = e^{-(x^4 + 2x^2 + 1)} \cdot (2x) - e^{-x^4} \cdot (2x)$
$f'(x) = 2x e^{-x^4} \left( e^{-(2x^2 + 1)} - 1 \right)$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-(2x^2 + 1)} < 1$ है,इसलिए पद $(e^{-(2x^2 + 1)} - 1)$ हमेशा ऋणात्मक है।
$f'(x) > 0$ होने के लिए,$2x$ को ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ में वर्धमान है।

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x^3 + 5x^2 - 1$ किस अंतराल में ह्रासमान है,हमें वह अंतराल ज्ञात करना होगा जहाँ इसका अवकलज $f'(x) < 0$ हो।
सबसे पहले,$f(x)$ का अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 5x^2 - 1) = 3x^2 + 10x$
अब,अवकलज को शून्य से कम रखें:
$3x^2 + 10x < 0$
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$x(3x + 10) < 0$
यहाँ क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = -\frac{10}{3}$ हैं।
साइन स्कीम विधि का उपयोग करके,हम अंतरालों की जाँच करते हैं:
$x < -\frac{10}{3}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$-\frac{10}{3} < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $(-\frac{10}{3}, 0)$ अंतराल में ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sin x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \cos x$।
अब,$x = 2\pi / 3$ पर अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:
$f'(2\pi / 3) = \cos(2\pi / 3) = -1/2$।
चूंकि $f'(2\pi / 3) < 0$ है,इसलिए फलन $x = 2\pi / 3$ के पड़ोस में ह्रासमान है।
अतः,इस बिंदु पर फलन एकदिष्ट ह्रासमान है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^9 + 3x^7 + 64$ कहाँ निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^9 + 3x^7 + 64) = 9x^8 + 21x^6$.
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^8 \geq 0$ और $x^6 \geq 0$ होता है,इसलिए $9x^8 + 21x^6 \geq 0$ होगा,जहाँ $x \in \mathbb{R}$ है।
विशेष रूप से,सभी $x \neq 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है और $f'(0) = 0$ है।
चूँकि अवकलज सभी $x$ के लिए अऋणात्मक है और किसी भी अंतराल पर शून्य नहीं होता है,इसलिए फलन $f(x)$,$x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए निरंतर वर्धमान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$ है।
$x > 0$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(x - 3) = 1$ है।
चूंकि $f'(x) = 1 > 0$ सभी $x > 0$ के लिए है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,$f(x)$,$x > 0$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(D) कथन $S$ के लिए: अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ में,$\sin x$ का अवकलज $\cos x$ है,जो ऋणात्मक है। अतः,$\sin x$ ह्रासमान है। $\cos x$ का अवकलज $-\sin x$ है,जो इस अंतराल में ऋणात्मक है। अतः,$\cos x$ भी ह्रासमान है। इसलिए,$S$ सत्य है।
कथन $R$ के लिए: अंतराल $(1, 2)$ के लिए फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ पर विचार करें। यहाँ,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ है,जो ऋणात्मक है,इसलिए $f(x)$ ह्रासमान है। हालाँकि,$f''(x) = \frac{2}{x^3}$ है,जो $x \in (1, 2)$ के लिए धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक वर्धमान (increasing) फलन है। अतः,कथन $R$ असत्य है।

(A) यहाँ फलन $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$ दिया गया है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{ax} + e^{-ax}) = a e^{ax} - a e^{-ax}$.
$a e^{-ax}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = a e^{-ax} (e^{2ax} - 1)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $a > 0$ और $e^{-ax} > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(e^{2ax} - 1)$ पर निर्भर करता है।
अतः,$e^{2ax} - 1 > 0$ लेने पर,$e^{2ax} > 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$2ax > \ln(1) = 0$.
चूँकि $a > 0$,$2a$ से भाग देने पर $x > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x > 0$ के लिए फलन एक वर्धमान फलन है।

(B) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = \log x - \frac{2x}{2 + x}$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\log x) - \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{2 + x}\right)$
भागफल नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{(2)(2 + x) - (2x)(1)}{(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{(2 + x)^2 - 4x}{x(2 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x^2 + 4x - 4x}{x(2 + x)^2} = \frac{x^2 + 4}{x(2 + x)^2}$
यहाँ $x^2 + 4 > 0$ और $(2 + x)^2 > 0$ है,और $\log x$ के प्रांत के अनुसार $x > 0$ होना चाहिए।
फलन के वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$\frac{x^2 + 4}{x(2 + x)^2} > 0 \implies x > 0$.
अतः,फलन अंतराल $(0, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $3\sin x - 4\sin^3 x = \sin(3x)$।
अतः,$f(x) = \sin(3x)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज धनात्मक होना चाहिए: $f'(x) > 0$।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3\cos(3x)$।
हमें $3\cos(3x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\cos(3x) > 0$।
कोसाइन फलन $(-\pi/2, \pi/2)$ अंतराल में धनात्मक होता है।
इसलिए,$-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{2}$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x) = \sin x$,$g(x) = \cos x$ की तुलना में कम तेजी से कहाँ बढ़ता है,हम उनके अवकलजों (derivatives) की तुलना करते हैं।
$f'(x) = \cos x$ और $g'(x) = -\sin x$ है।
हम वह अंतराल खोजना चाहते हैं जहाँ $f'(x) < g'(x)$ हो,जिसका अर्थ है $\cos x < -\sin x$।
यह $\sin x + \cos x < 0$ के बराबर है।
$\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x < 0$ मिलता है,जो $\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$ है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\pi < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi$ या $-\pi < x + \frac{\pi}{4} < 0$ हो।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $-\frac{5\pi}{4} < x < -\frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,अंतराल $\left( -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right)$ इस सीमा का एक उपसमुच्चय है।
इसलिए,अंतराल $\left( -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right)$ में,$f(x)$,$g(x)$ की तुलना में कम तेजी से बढ़ता है।

(B) एक फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान होता है यदि $f'(x) > 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = x^3 - 27x + 5$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 - 27$ प्राप्त होता है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ रखें:
$3x^2 - 27 > 0$
$3(x^2 - 9) > 0$
$x^2 - 9 > 0$
$x^2 > 9$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|x| > 3$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $|x| > 3$ के लिए निरंतर वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $y = x^4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 4x^3$ प्राप्त होता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए $\frac{dy}{dx} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $4x^3 > 0$,अर्थात $x > 0$।
अतः,फलन अंतराल $(0, \infty)$ में वर्धमान है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए $\frac{dy}{dx} < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $4x^3 < 0$,अर्थात $x < 0$।
अतः,फलन अंतराल $(-\infty, 0)$ में ह्रासमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sin x - \cos x$ है।
फलन के वर्धमान होने का अंतराल ज्ञात करने के लिए हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \cos x + \sin x$.
इसे हम $f'(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin(x + \pi /4)$ के रूप में लिख सकते हैं।
फलन निरंतर वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$ हो।
$\sqrt{2} \sin(x + \pi /4) > 0 \implies \sin(x + \pi /4) > 0$.
चूंकि $\sin \theta > 0$ तब होता है जब $\theta \in (0, \pi)$ हो,इसलिए $0 < x + \pi /4 < \pi$ होगा।
सभी भागों में से $\pi /4$ घटाने पर,हमें $-\pi /4 < x < 3\pi /4$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $x \in (-\pi /4, 3\pi /4)$ अंतराल में निरंतर वर्धमान है।

(D) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$ निरंतर ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x + 1) = 6x^2 - 30x + 36$.
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$6x^2 - 30x + 36 < 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 5x + 6 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x - 3) < 0$ प्राप्त होता है।
असमिका $(x - 2)(x - 3) < 0$ तब सत्य होती है जब $x$ का मान $2$ और $3$ के बीच हो।
अतः,फलन अंतराल $(2, 3)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए $u = e^{2x} - 1$ और $v = e^{2x} + 1$ है। तब $u' = 2e^{2x}$ और $v' = 2e^{2x}$ होगा।
$f'(x) = \frac{(2e^{2x})(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{2x} > 0$ होता है,इसलिए $4e^{2x} > 0$ और $(e^{2x} + 1)^2 > 0$ होगा।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया है $f(x) = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 1$।
$f(x)$ के सभी $x \in R$ के लिए ह्रासमान होने हेतु,$f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = 3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a$।
$f'(x) \leq 0$ के लिए,$x^2$ का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए और विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
$1$) $a + 2 < 0 \implies a < -2$।
$2$) $D = (-6a)^2 - 4(3(a + 2))(9a) \leq 0$।
$36a^2 - 108a(a + 2) \leq 0$।
$36a^2 - 108a^2 - 216a \leq 0$।
$-72a^2 - 216a \leq 0$।
$-72$ से भाग देने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
$a^2 + 3a \geq 0$।
$a(a + 3) \geq 0$।
अतः $a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$।
दोनों शर्तों $a < -2$ और $a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$ को ध्यान में रखते हुए,उभयनिष्ठ मान $a \in (-\infty, -3]$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = Kx^3 + 9x^2 + 9x + 3$।
$f(x)$ को $R$ पर वर्धमान फलन होने के लिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलन करने पर: $f'(x) = 3Kx^2 + 18x + 9$।
हमें सभी $x \in R$ के लिए $3Kx^2 + 18x + 9 \geq 0$ की आवश्यकता है।
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $Kx^2 + 6x + 3 \geq 0$ प्राप्त होता है।
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c \geq 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$a > 0$ और विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = K$,$b = 6$,और $c = 3$ है।
शर्त $1$: $K > 0$।
शर्त $2$: $D = 6^2 - 4(K)(3) \leq 0$।
$36 - 12K \leq 0$।
$36 \leq 12K$।
$K \geq 3$।
$K > 0$ और $K \geq 3$ को संयोजित करने पर,हमें $K \geq 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$K \geq 3$ के लिए फलन वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - x + 1$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 2x - 1$।
फलन के एकदिष्ट होने के लिए,अंतराल में $f'(x)$ या तो गैर-ऋणात्मक $(f'(x) \ge 0)$ या गैर-धनात्मक $(f'(x) \le 0)$ होना चाहिए।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$2x - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1/2$।
$x < 1/2$ के लिए,$f'(x) < 0$ (फलन निरंतर ह्रासमान है)।
$x > 1/2$ के लिए,$f'(x) > 0$ (फलन निरंतर वर्धमान है)।
किसी भी अंतराल में जिसमें $x = 1/2$ शामिल है,जैसे कि $(0, 1)$,अवकलज का चिह्न बदल जाता है। इसलिए,जिस अंतराल में $1/2$ एक आंतरिक बिंदु के रूप में शामिल है,उसमें फलन एकदिष्ट नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(\ln x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $(\ln x)^2 > 0$ है (जहाँ $x > 0$ और $x \neq 1$),इसलिए $f'(x) > 0$ की शर्त का अर्थ है:
$\ln x - 1 > 0$
$\ln x > 1$
$x > e$.
अतः,फलन अंतराल $(e, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{(e^{2x} + 1)(2e^{2x}) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{2x} > 0$ है,इसलिए अंश $4e^{2x}$ हमेशा धनात्मक है और हर $(e^{2x} + 1)^2$ भी हमेशा धनात्मक है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = (x(x - 2))^2 = (x^2 - 2x)^2$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) = 2x(x - 2) \cdot 2(x - 1) = 4x(x - 1)(x - 2)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना आवश्यक है:
$4x(x - 1)(x - 2) > 0$.
क्रांतिक बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ द्वारा निर्धारित अंतरालों में $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करने पर:
$1$. $x \in (0, 1)$ के लिए: $f'(x) = 4(+)(-)(-) > 0$.
$2$. $x \in (1, 2)$ के लिए: $f'(x) = 4(+)(+)(-) < 0$.
$3$. $x \in (2, \infty)$ के लिए: $f'(x) = 4(+)(+)(+) > 0$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $(0, 1) \cup (2, \infty)$ में एक वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x - \log x$ है।
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x - \log x) = 1 - \frac{1}{x}$.
अब,$1 - \frac{1}{x} < 0$ लेने पर,
$\frac{x - 1}{x} < 0$.
यहाँ $\log x$ के प्रांत के अनुसार $x > 0$ है,इसलिए हर $x$ हमेशा धनात्मक है।
अतः,अंश $x - 1 < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < 1$.
इस प्रकार,$x > 0$ और $x < 1$ को मिलाने पर हमें $x \in (0, 1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^2 + kx + 1$ है।
$f(x)$ के अंतराल $[1, 2]$ पर निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) > 0$ होना चाहिए,जहाँ $x \in [1, 2]$ है।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 2x + k$ प्राप्त होता है।
शर्त के अनुसार: $2x + k > 0$ सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
इसका अर्थ है कि $k > -2x$ सभी $x \in [1, 2]$ के लिए।
इस शर्त को पूरा करने के लिए,$k$ को अंतराल $[1, 2]$ पर $-2x$ के अधिकतम मान से बड़ा होना चाहिए।
फलन $g(x) = -2x$ एक ह्रासमान फलन है,इसलिए $[1, 2]$ पर इसका अधिकतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$g(1) = -2(1) = -2$ है।
इसलिए,$k > -2$। अतः $k$ का न्यूनतम मान $-2$ है।

(D) यहाँ $f(x) = xe^{x(1-x)}$ दिया गया है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = e^{x(1-x)} \cdot (1) + x \cdot e^{x(1-x)} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x(1-x)} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x^2 - x - 1)$
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x+1)(x-1)$
$f'(x) = -2e^{x(1-x)} (x + \frac{1}{2})(x - 1)$.
जब $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ हो,तब $(x + \frac{1}{2}) \ge 0$ और $(x - 1) \le 0$ होता है।
अतः,उनका गुणनफल $(x + \frac{1}{2})(x - 1) \le 0$ होता है।
चूंकि $-2e^{x(1-x)}$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $f'(x) \le 0$ सभी $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ के लिए प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ पर एक ह्रासमान फलन है।

(D) फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमें इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करना होगा।
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि हर $1 + (\sin x + \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए शर्त $f'(x) > 0$ सरल होकर निम्न हो जाती है:
$\cos x - \sin x > 0$
$\cos x > \sin x$
सर्वसमिका $\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos(x + \pi/4)$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{2} \cos(x + \pi/4) > 0$
यह तब सत्य है जब $-\pi/2 < x + \pi/4 < \pi/2$ हो।
सभी पक्षों से $\pi/4$ घटाने पर:
$-\pi/2 - \pi/4 < x < \pi/2 - \pi/4$
$-3\pi/4 < x < \pi/4$
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,अंतराल $0 < x < \pi/4$ इस शर्त को संतुष्ट करता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 1 - x^3 - x^5$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन कहाँ ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^3 - x^5) = -3x^2 - 5x^4$।
हम $-x^2$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$f'(x) = -x^2(3 + 5x^2)$।
चूंकि $x^2 \geq 0$ और $(3 + 5x^2) > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है,इसलिए $f'(x) = -x^2(3 + 5x^2) \leq 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए होता है।
अतः,चूंकि $f'(x) \leq 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है,इसलिए फलन $f(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x - ax + b$।
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \le 0$ होना चाहिए,सभी $x \in R$ के लिए।
$f'(x) = \cos x + \sin x - a$।
चूंकि $f(x)$ ह्रासमान है,$f'(x) \le 0 \implies \cos x + \sin x - a \le 0$।
इसका अर्थ है $a \ge \sin x + \cos x$ सभी $x \in R$ के लिए।
व्यंजक $(\sin x + \cos x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ होता है।
इसलिए,असमिका $a \ge \sin x + \cos x$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$a$ का मान $(\sin x + \cos x)$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$a \ge \sqrt{2}$।

(C) माना $y = x^x$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log y = x \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$ है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} < 0$ का अर्थ है कि $1 + \log x < 0$।
इसे सरल करने पर $\log x < -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\log x < \log(e^{-1})$।
अतः,$x < 1/e$ है।
चूंकि $x^x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए वह अंतराल जिसमें फलन ह्रासमान है,$(0, 1/e)$ है।

(D) प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $f(x) = x + |x|$ के लिए:
यदि $x \ge 0$ है,तो $f(x) = x + x = 2x$,जो वर्धमान है।
यदि $x < 0$ है,तो $f(x) = x - x = 0$,जो अचर है।
अतः,$f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान फलन है।
$2$. $f(x) = x - |x|$ के लिए:
यदि $x \ge 0$ है,तो $f(x) = x - x = 0$,जो अचर है।
यदि $x < 0$ है,तो $f(x) = x - (-x) = 2x$,जो वर्धमान है।
अतः,$f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान फलन है।
$3$. $f(x) = x|x|$ के लिए:
यदि $x \ge 0$ है,तो $f(x) = x^2$,जो $x \ge 0$ के लिए वर्धमान है।
यदि $x < 0$ है,तो $f(x) = -x^2$,जो $x < 0$ के लिए वर्धमान है।
चूंकि अवकलज $f'(x) = 2|x| \ge 0$ है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान फलन है।
चूंकि तीनों फलन एकदिष्ट वर्धमान हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) फलन $f(x) = 2x^2 - \log |x|$ है।
एकदिष्ट वर्धमान के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - \log |x|) = 4x - \frac{1}{x}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$4x - \frac{1}{x} > 0 \implies \frac{4x^2 - 1}{x} > 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब अंश और हर का चिह्न समान हो।
स्थिति $1$: $x > 0$. तब $4x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1/4 \implies x > 1/2$.
स्थिति $2$: $x < 0$. तब $4x^2 - 1 < 0 \implies x^2 < 1/4 \implies |x| < 1/2 \implies -1/2 < x < 0$.
अतः,फलन $(-1/2, 0) \cup (1/2, \infty)$ अंतराल में वर्धमान है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$.
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,$f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
अंश का विस्तार करने पर:
$= \frac{(2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
$= \frac{3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
$= \frac{3\lambda(\cos^2 x + \sin^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2} = \frac{3\lambda - 12}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$
चूंकि $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि हर $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $3\lambda - 12 > 0$ होना चाहिए।
$3\lambda > 12 \implies \lambda > 4$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x - 2}{x + 1}$,जहाँ $x \neq -1$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$.
चूँकि सभी $x \in R - \{-1\}$ के लिए $(x + 1)^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि प्रांत के सभी $x$ के लिए अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान फलन है।

(A) किसी फलन $f(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,उसका अवकलज $f'(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $0$ से बड़ा होना चाहिए।
दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 6x^2 + (9 + 2K)x + 1$ है,इसका अवकलज ज्ञात करने पर:
$f'(x) = 3x^2 + 12x + (9 + 2K)$।
सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ होने हेतु,द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ में $a > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 3 > 0$,जो शर्त पूरी होती है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$:
$D = (12)^2 - 4(3)(9 + 2K) < 0$
$144 - 12(9 + 2K) < 0$
$12$ से विभाजित करने पर:
$12 - (9 + 2K) < 0$
$12 - 9 - 2K < 0$
$3 - 2K < 0$
$3 < 2K$
$K > \frac{3}{2}$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = e^{ax} + e^{-ax}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = a e^{ax} - a e^{-ax} = a(e^{ax} - e^{-ax})$.
फलन के एकदिष्ट ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना आवश्यक है।
चूंकि $a < 0$ है,इसलिए $a(e^{ax} - e^{-ax}) < 0$ होने के लिए $(e^{ax} - e^{-ax}) > 0$ होना चाहिए।
यह असमिका तब सत्य है जब $e^{ax} > e^{-ax}$ हो।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$ax > -ax$
$2ax > 0$.
चूंकि $a < 0$ है,इसलिए $2a$ से भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$x < 0$.
अतः,फलन $x < 0$ के लिए एकदिष्ट ह्रासमान है।