यदि y = ax^3 + 3x^2 + (2a + 1)x + 1000 सभी x | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $y = ax^3 + 3x^2 + (2a + 1)x + 1000$ है। $y$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,इसका अवकलज $y'$ सभी $x$ के लिए

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$a > 1$

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(B) दिया गया फलन $y = ax^3 + 3x^2 + (2a + 1)x + 1000$ है। $y$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर वर्धमान होने हेतु,इसका अवकलज $y'$ सभी $x$ के लिए $0$ से बड़ा होना चाहिए। $y' = 3ax^2 + 6x + (2a + 1) > 0$. एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C > 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$A > 0$ और विविक्तकर $D यहाँ,$A = 3a$,$B = 6$,और $C = 2a + 1$. शर्त $1$: $3a > 0 \implies a > 0$. शर्त $2$: $D = B^2 - 4AC $6^2 - 4(3a)(2a + 1) $36 - 12a(2a + 1) $12$ से विभाजित करने पर: $3 - a(2a + 1) $3 - 2a^2 - a $2a^2 + a - 3 > 0$. गुणनखंड करने पर: $(2a + 3)(a - 1) > 0$. यह असमिका तब सत्य होती है जब $a > 1$ या $a शर्त $1$ $(a > 0)$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $a > 1$ प्राप्त होता है।

यदि $y = ax^3 + 3x^2 + (2a + 1)x + 1000$ सभी $x$ के मानों के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है,तो:

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