Area bounded by region of multi curve Questions in Hindi

(A) दिए गए परवलय $y=x^{2}$ और $x=y^{2}$ हैं।
सबसे पहले,हम $y=x^{2}$ को $x=y^{2}$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x=(x^{2})^{2} \implies x=x^{4} \implies x^{4}-x=0 \implies x(x^{3}-1)=0$.
इससे $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होता है।
$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=1$ के लिए $y=1$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [\frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}$.
$A = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) रेखा $y=x$ और वक्र $y=x^3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x^3 = x$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
इससे $x^3 - x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x(x^2 - 1) = 0$,जिसका अर्थ है $x = -1, 0, 1$।
यह क्षेत्र मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_0^1 (x - x^3) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$
$= 2 \left( \frac{1}{4} \right) = 0.5 \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) वक्र $y = \tan x$ और $y = \cot x$ हैं। वे वहां प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\tan x = \cot x$,जिसका अर्थ है $\tan^2 x = 1$,इसलिए $\tan x = 1$ (चूंकि $x \in (0, \pi / 2)$),जिससे $x = \pi / 4$ प्राप्त होता है।
अंतराल $(0, \pi / 2)$ में वक्रों $y = \tan x$,$y = \cot x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल दो भागों का योग है:
$1$. $x = 0$ से $x = \pi / 4$ तक,क्षेत्रफल $y = \tan x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
$2$. $x = \pi / 4$ से $x = \pi / 2$ तक,क्षेत्रफल $y = \cot x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_0^{\pi / 4} \tan x \, dx + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \cot x \, dx$
$= [\log |\sec x|]_0^{\pi / 4} + [\log |\sin x|]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$
$= (\log \sec(\pi / 4) - \log \sec 0) + (\log \sin(\pi / 2) - \log \sin(\pi / 4))$
$= (\log \sqrt{2} - \log 1) + (\log 1 - \log(1 / \sqrt{2}))$
$= \log \sqrt{2} + \log \sqrt{2} = 2 \log \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log 2 = \log 2 \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) दिए गए समीकरण $y^{2}=x$ (परवलय) और $x^{2}+y^{2}=2x$ (वृत्त) हैं।
वृत्त के समीकरण को $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $(1,0)$ और त्रिज्या $1$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर: $x^{2}+x=2x \implies x^{2}-x=0 \implies x(x-1)=0$. अतः,$x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
हमें $X$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल चाहिए,इसलिए परवलय के लिए $y = \sqrt{x}$ और ऊपरी अर्धवृत्त के लिए $y = \sqrt{1-(x-1)^{2}}$ लेंगे।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (\sqrt{1-(x-1)^{2}} - \sqrt{x}) dx$ है।
$= \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^{2}} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(0) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1) \right) - \frac{2}{3}$
$= 0 - (-\frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=2x$ और $y=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x$ को $y^{2}=2x$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^{2}=2x \implies x^{2}-2x=0 \implies x(x-2)=0$.
अतः,$x=0$ और $x=2$ प्राप्त होते हैं।
जब $x=0, y=0$ और जब $x=2, y=2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(2,2)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - x) dx$
$= \int_{0}^{2} (\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} (2)^{3/2} - \frac{2^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{4}{2} \right)$
$= \left( \frac{4 \cdot 2}{3} - 2 \right)$
$= \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(NONE) दिए गए वक्र $y=m x^{2}$ और $x=m y^{2}$ हैं,जहाँ $m>0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=m x^{2}$ को $x=m y^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x=m(m x^{2})^{2} = m^{3} x^{4}$
$m^{3} x^{4}-x=0 \Rightarrow x(m^{3} x^{3}-1)=0$
प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=1/m$ हैं।
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1/m} (\sqrt{x/m} - m x^{2}) dx$
$A = [\frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - m \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1/m}$
$A = [\frac{2}{3 \sqrt{m}} \cdot (1/m)^{3/2} - \frac{m}{3} \cdot (1/m)^{3}]$
$A = \frac{2}{3 m^{2}} - \frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{3 m^{2}}$
दिया गया है $A = 1/4$,इसलिए $\frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{4}$
$3 m^{2} = 4 \Rightarrow m^{2} = 4/3$
चूँकि $m>0$,इसलिए $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
नोट: दिए गए विकल्पों में से कोई भी गणना किए गए परिणाम से मेल नहीं खाता है। सही मान $m = 2/\sqrt{3}$ है।

(C) वक्र $x < 0$ के लिए $y = x^2$ और $x \geq 0$ के लिए $y = x$ के रूप में परिभाषित है। रेखा $y = 4$ है।
$x < 0$ के लिए,वक्र $y = x^2$ है,जिसका अर्थ है $x = -\sqrt{y}$ (चूंकि $x$ ऋणात्मक है)। $y=4$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2$ है। दूसरे चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A_1$,$y=0$ से $y=4$ तक $|x|$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A_1 = \int_{0}^{4} |-\sqrt{y}| dy = \int_{0}^{4} y^{1/2} dy = \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.
$x \geq 0$ के लिए,वक्र $y = x$ है। $y=4$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 4$ है। प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A_2$,$(0,0)$,$(4,0)$,और $(4,4)$ शीर्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है,या $y=0$ से $y=4$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A_2 = \int_{0}^{4} x dy = \int_{0}^{4} y dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8$.
कुल क्षेत्रफल $A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + 8 = \frac{16 + 24}{3} = \frac{40}{3}$ वर्ग इकाई है।

(B) वक्र और रेखा के दिए गए समीकरण $y^{2}=8x$ और $y=2x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=2x$ को $y^{2}=8x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(2x)^{2}=8x$
$4x^{2}=8x$
$4x^{2}-8x=0$
$4x(x-2)=0$
अतः,$x=0$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
जब $x=0$,तब $y=0$। जब $x=2$,तब $y=4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(2,4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र में से निचली रेखा को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} (\sqrt{8x} - 2x) dx$
$A = \int_{0}^{2} (2\sqrt{2}x^{1/2} - 2x) dx$
$A = 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx - 2 \int_{0}^{2} x dx$
$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} - 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{2} - [x^{2}]_{0}^{2}$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2^{3/2}) - (2^{2})$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2\sqrt{2}) - 4$
$A = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2}{3} - 4 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16-12}{3} = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{1} | |x| - [x] | dx$ द्वारा दिया जाता है।
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $\int_{-1}^{0} | |x| - [x] | dx + \int_{0}^{1} | |x| - [x] | dx$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ और $[x] = -1$ है। इसलिए,$| |x| - [x] | = | -x - (-1) | = | 1 - x | = 1 - x$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$|x| = x$ और $[x] = 0$ है। इसलिए,$| |x| - [x] | = | x - 0 | = x$.
$x=1$ पर,$|x|=1$ और $[x]=1$ है,इसलिए अंतर $0$ है।
अतः,$A = \int_{-1}^{0} (1 - x) dx + \int_{0}^{1} x dx$.
$A = [x - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}$.
$A = (0 - (-1 - \frac{1}{2})) + (\frac{1}{2} - 0) = (0 - (-\frac{3}{2})) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ वर्ग इकाइयाँ।

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{4-x^2}$ (जो $y \ge 0$ के लिए $x^2 + y^2 = 4$ है) और $y^2 = 3x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{3}$ को $x^2 + y^2 = 4$ में प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{y^2}{3})^2 + y^2 = 4 \implies \frac{y^4}{9} + y^2 - 4 = 0$.
माना $u = y^2$,तो $u^2 + 9u - 36 = 0 \implies (u+12)(u-3) = 0$.
चूंकि $u = y^2 \ge 0$,इसलिए $y^2 = 3$,अतः $y = \sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।
$y = \sqrt{3}$ पर,$x = \frac{3}{3} = 1$।
वक्रों और $Y$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_{0}^{\sqrt{3}} (x_{circle} - x_{parabola}) dy = \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-y^2} - \frac{y^2}{3}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= [\frac{y}{2}\sqrt{4-y^2} + 2\sin^{-1}(\frac{y}{2}) - \frac{y^3}{9}]_{0}^{\sqrt{3}}$.
$= (\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1} + 2(\frac{\pi}{3}) - \frac{3\sqrt{3}}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\frac{\pi}{2}$ तक दोनों फलनों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
वक्र $\sin x$ और $\cos x$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x=\frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos x \ge \sin x$ है। $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x \ge \cos x$ है।
अतः,$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
प्रथम समाकलन का मान: $[\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
द्वितीय समाकलन का मान: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$.
कुल क्षेत्रफल $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ वर्ग इकाई।

(C) वक्रों $y=x^2$ और $y=8-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x^2 = 8-x^2$ रखकर।
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$।
वक्र $x = -2$ और $x = 2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतराल $[-2, 2]$ में,वक्र $y=8-x^2$,$y=x^2$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{-2}^{2} ((8-x^2) - x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} (8-2x^2) \, dx$।
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{2} (8-2x^2) \, dx$।
$A = 2 [8x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{2} = 2 [8(2) - \frac{2(8)}{3}] = 2 [16 - \frac{16}{3}] = 2 [\frac{48-16}{3}] = 2 [\frac{32}{3}] = \frac{64}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र वृत्त $x^2+y^2=16$ (केंद्र $(0,0)$,त्रिज्या $r=4$) और परवलय $y^2=6x$ (शीर्ष $(0,0)$) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=6x$ को $x^2+y^2=16$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2+6x-16=0 \implies (x+8)(x-2)=0$.
परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए $x=2$ प्राप्त होता है।
अतः $y^2=12 \implies y = \pm 2\sqrt{3}$.
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{6x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{16-x^2} \, dx$.
पहला भाग: $2 \sqrt{6} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.
दूसरा भाग: $2 [\frac{x}{2} \sqrt{16-x^2} + 8 \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{2}^{4} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{16\sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} = \frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(B) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{y^2}{2}$ और रेखा $x = y + 4$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ रखें।
$y^2 = 2y + 8 \implies y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$, इसलिए $y = 4$ और $y = -2$.
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-2}^{4} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) \, dy$.
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$.
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ वर्ग इकाइयाँ।

(A) दिए गए वक्र $x=y^2$ और $x=3-2y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y^2 = 3-2y^2$ रखें, जिससे $3y^2 = 3$ प्राप्त होता है, अतः $y^2 = 1$, जिसका अर्थ है $y = \pm 1$।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = 2 \int_{-1}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = 2 \int_{-1}^{1} ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_{-1}^{1} (3-3y^2) dy = 6 \int_{-1}^{1} (1-y^2) dy$
$= 6 \left[ y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 6 \left( (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) \right)$
$= 6 \left( \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) \right) = 6 \left( \frac{4}{3} \right) = 8 \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) दिए गए वक्र $x^2=9y$ और $(x-6)^2=9y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$9y = 9y$ रखें:
$x^2 = (x-6)^2$
$x^2 = x^2 - 12x + 36$
$12x = 36 \implies x = 3$.
$x=3$ पर,$y = \frac{3^2}{9} = 1$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।
वक्रों और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $x=0$ से $x=3$ और $x=3$ से $x=6$ तक दोनों परवलयों के अंतर्गत क्षेत्रफलों का योग है:
$\text{Required Area} = \int_0^3 \frac{x^2}{9} dx + \int_3^6 \frac{(x-6)^2}{9} dx$
$= \frac{1}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 + \frac{1}{9} \left[ \frac{(x-6)^3}{3} \right]_3^6$
$= \frac{1}{27} [3^3 - 0^3] + \frac{1}{27} [(6-6)^3 - (3-6)^3]$
$= \frac{27}{27} + \frac{1}{27} [0 - (-27)]$
$= 1 + \frac{27}{27} = 1 + 1 = 2 \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) वक्र $y=4|\cos x|$ और $y=-|\cos x|$ दिए गए हैं।
सभी $x$ के लिए $|\cos x| \ge 0$ है,इसलिए ऊपरी वक्र $y=4|\cos x|$ है और निचला वक्र $y=-|\cos x|$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [4|\cos x| - (-|\cos x|)] dx$.
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 5|\cos x| dx$.
चूंकि $x \in [-\pi/2, \pi/2]$ के लिए $\cos x \ge 0$ है,इसलिए $|\cos x| = \cos x$ होगा।
$A = 5 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx$.
सम फलन के गुण का उपयोग करते हुए,$A = 5 \times 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$.
$A = 10 [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 10(1 - 0) = 10$ वर्ग इकाई।

(D) वक्र $y = \cos x + 1$ और $y = \sin x$ हैं। हमें $x=0$ और $x=\pi$ के बीच इन वक्रों और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
ग्राफ से,$0 \le x \le \pi/2$ के लिए,क्षेत्र ऊपर की ओर $y = \sin x$ और नीचे की ओर $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
$\pi/2 \le x \le \pi$ के लिए,क्षेत्र ऊपर की ओर $y = \cos x + 1$ और नीचे की ओर $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\cos x + 1) \, dx$
$= [-\cos x]_0^{\pi/2} + [\sin x + x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (-\cos(\pi/2) - (-\cos 0)) + ((\sin \pi + \pi) - (\sin(\pi/2) + \pi/2))$
$= (0 + 1) + (0 + \pi - 1 - \pi/2)$
$= 1 + \pi - 1 - \pi/2 = \pi/2$.

(C) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=6-|x|$ हैं।
$y$-अक्ष के सापेक्ष सममिति के कारण,आवश्यक क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल का $2$ गुना है।
प्रथम चतुर्थांश $(x \ge 0)$ में,वक्र $y=x^2$ और $y=6-x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = 6-x$ रखते हैं,जिससे $x^2+x-6=0$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर,$(x+3)(x-2)=0$ मिलता है। चूंकि $x \ge 0$,इसलिए $x=2$ है।
$x=2$ पर,$y=2^2=4$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $A(2, 4)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ के बीच वक्रों $y=6-x$ और $y=x^2$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_0^2 ((6-x) - x^2) dx = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$= (12 - 2 - \frac{8}{3}) - 0 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
कुल क्षेत्रफल $2 \times \frac{22}{3} = \frac{44}{3}$ है।

(A) सबसे पहले,हम वक्रों $y = \frac{8}{x}$ और $y = 2x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$\frac{8}{x} = 2x$ रखने पर,हमें $x^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$ (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $x > 0$ है)।
यह क्षेत्र $x = 2$ से $x = 4$ तक परिबद्ध है।
इस अंतराल में,$2x \geq \frac{8}{x}$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_2^4 \left( 2x - \frac{8}{x} \right) dx$
$= \left[ x^2 - 8 \log |x| \right]_2^4$
$= (4^2 - 8 \log 4) - (2^2 - 8 \log 2)$
$= (16 - 8 \log 4) - (4 - 8 \log 2)$
$= 12 - 8 \log 4 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log (2^2) + 8 \log 2$
$= 12 - 16 \log 2 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log 2$

(C) दिए गए वक्र $x^2 = 2 - y$ (जो $y = 2 - x^2$ है) और $x^2 = y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$2 - x^2 = x^2$ रखें।
$2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$A = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) dx$.
$A = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx = 4 [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$.
$A = 4 (1 - \frac{1}{3}) = 4 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्रों के समीकरण $x^2+y^2=2$ और $y=x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,वृत्त के समीकरण में $x^2=y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y+y^2=2 \Rightarrow y^2+y-2=0$
$(y+2)(y-1)=0$
चूंकि $y=x^2 \ge 0$,इसलिए $y=1$ है। अतः,$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A_{circle} = \pi r^2 = 2\pi$ है।
छोटे भाग का क्षेत्रफल $A_{small}$,$x=-1$ से $x=1$ के बीच वृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से परवलय के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$A_{small} = \int_{-1}^{1} (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} dx - 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A_{small} = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} + \frac{2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})]_0^1 - 2[\frac{x^3}{3}]_0^1$
$A_{small} = 2 [(\frac{1}{2}\sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) - 0] - \frac{2}{3} = 2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = 1 + \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$ है।
बड़े भाग का क्षेत्रफल $A_{large} = A_{circle} - A_{small} = 2\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) वक्र $y = \tan^{-1} x$ और $y = \cot^{-1} x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\tan^{-1} x = \cot^{-1} x$ होता है। चूँकि $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$,इसलिए $2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$,अतः $x = 1$ है।
वक्रों और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा $x=0$ से $x=1$ तक परिबद्ध क्षेत्रफल ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
$x \in [0, 1]$ के लिए,$\cot^{-1} x \ge \tan^{-1} x$ है।
क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\cot^{-1} x - \tan^{-1} x) dx$
$= \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x - \tan^{-1} x) dx = \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x) dx$
$= \frac{\pi}{2} [x]_0^1 - 2 \int_0^1 \tan^{-1} x dx$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2)]_0^1$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2) - (0 - 0) ]$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2 ]$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \log_e 2 = \log_e 2$.
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) इकाई वर्ग $OABC$ का क्षेत्रफल $1 \text{ वर्ग इकाई}$ है। वक्र $y^2=x$ और $x^2=y$ बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
माना $a_1, a_2, a_3$ तीन भागों के क्षेत्रफल हैं। समरूपता के कारण,$a_1 = a_3$ है।
कुल क्षेत्रफल $a_1 + a_2 + a_3 = 1 \quad \dots(i)$ है।
समरूपता के कारण,$a_1 = a_3 \quad \dots(ii)$ है।
क्षेत्रफल $a_2$,$x=0$ से $x=1$ तक वक्रों $y = \sqrt{x}$ और $y = x^2$ के बीच का क्षेत्रफल है:
$a_2 = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
समीकरण $(i)$ में $a_2 = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$a_1 + \frac{1}{3} + a_3 = 1 \implies a_1 + a_3 = \frac{2}{3}$.
चूंकि $a_1 = a_3$,इसलिए $2a_1 = \frac{2}{3} \implies a_1 = \frac{1}{3}$ और $a_3 = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$a_1 = a_2 = a_3 = \frac{1}{3}$ है।
हमें $a_1 + 2a_2 + 3a_3$ का मान ज्ञात करना है:
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = \frac{1}{3} + 2\left(\frac{1}{3}\right) + 3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1+2+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(D) दिया गया है $y = \max \{x-[x], x+|x|\} \text{। } x \in [0, 2]$ के लिए,$x \geq 0$,इसलिए $x+|x| = 2x$ और $x-[x] = \{x\} \text{।}$
चूंकि $x \in [0, 2]$ के लिए $2x \geq \{x\}$ है,इसलिए $y = 2x \text{।}$
हमें $x = 0$ और $x = 2$ के बीच $y = 2x^2$ और $y = 2x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
वक्र वहां प्रतिच्छेद करते हैं जहां $2x^2 = 2x$,अर्थात $x^2 - x = 0$,इसलिए $x = 0$ और $x = 1 \text{।}$
$x \in [0, 1]$ के लिए,$2x \geq 2x^2 \text{। } x \in [1, 2]$ के लिए,$2x^2 \geq 2x \text{।}$
क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$
$A = \left[x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{2x^3}{3} - x^2\right]_1^2$
$A = \left(1 - \frac{2}{3}\right) - 0 + \left(\left(\frac{16}{3} - 4\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right)\right)$
$A = \frac{1}{3} + \left(\frac{4}{3} - (-\frac{1}{3})\right) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ वर्ग इकाई।}$

(D) वक्रों $y = x \log x$ और $y = 2x - 2x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं: $x \log x = 2x - 2x^2$.
$x > 0$ के लिए,$x$ से भाग देने पर: $\log x = 2 - 2x$,जिसका अर्थ है $\log x + 2x - 2 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक हल है क्योंकि $\log(1) + 2(1) - 2 = 0 + 2 - 2 = 0$.
अंतराल $x \in (0, 1]$ के लिए,वक्र $y = 2x - 2x^2$,$y = x \log x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2 - x \log x) dx$.
समाकलन करने पर: $\int_{0}^{1} 2x dx = [x^2]_{0}^{1} = 1$.
$\int_{0}^{1} 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करके $\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$.
$0$ से $1$ तक सीमाएं लेने पर: $[\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_{0}^{1} = (0 - \frac{1}{4}) - (0) = -\frac{1}{4}$.
अतः,$A = 1 - \frac{2}{3} - (-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12 - 8 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

(C) दिए गए परवलय $y^2 = 4x$ और $y^2 = 4(4-x)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4x = 4(4-x)$ रखें,जिससे $x = 4-x$ प्राप्त होता है,अतः $2x = 4$,जिसका अर्थ है $x = 2$।
$x = 2$ पर,$y^2 = 4(2) = 8$,अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{4x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{4(4-x)} \, dx$.
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx + 4 \int_{2}^{4} \sqrt{4-x} \, dx$.
क्षेत्रफल $= 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} + 4 \left[ \frac{-(4-x)^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4}$.
क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{2}{3} [2^{3/2} - 0] + 4 \times \frac{2}{3} [-(0) - (-(4-2)^{3/2})]$.
क्षेत्रफल $= \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] + \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] = \frac{16\sqrt{2}}{3} + \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{3}$.

(A) समीकरण $x^2+y^2=16a^2$ और $y^2=6ax$ हैं। वृत्त के समीकरण में $y^2=6ax$ रखने पर: $x^2+6ax-16a^2=0$.
गुणनखंड करने पर $(x+8a)(x-2a)=0$ प्राप्त होता है। परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,हम $x=2a$ लेते हैं।
$x=2a$ पर,$y^2=6a(2a)=12a^2$,अतः $y=\pm 2a\sqrt{3}$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + 2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx$.
प्रथम समाकलन: $2\sqrt{6a} \int_{0}^{2a} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{6a} [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{2a} = \frac{16a^2\sqrt{3}}{3}$.
द्वितीय समाकलन: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{16a^2-x^2} + 8a^2 \sin^{-1}(\frac{x}{4a})]_{2a}^{4a} = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2\sqrt{3}$.
कुल क्षेत्रफल = $\frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2\sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(C) दिए गए वक्र $y=x^2$ $(i)$ और $y=|x|$ $(ii)$ हैं।
चूंकि दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $x \ge 0$ है,उस क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$x \ge 0$ के लिए,$y=|x|=x$ है।
$y=x^2$ और $y=x$ को हल करने पर,हमें $x^2=x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-1)=0$,इसलिए $x=0$ या $x=1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_0^1 (x - x^2) dx$ है।
कुल क्षेत्रफल $= 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ पर दो वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ में,$\sin x \geq \cos x$ है।
अतः,$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
$A = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$A = (-(\cos \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{5\pi}{4})) - (-(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}))$.
$A = (-(-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})) - (-(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}))$.
$A = (\frac{2}{\sqrt{2}}) - (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए वक्र $y=\frac{x^2}{4 a}$ और $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:
$\frac{x^2}{4 a} = \frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$
$x^2(x^2+4 a^2) = 32 a^4$
$x^4+4 a^2 x^2 - 32 a^4 = 0$
$(x^2+8 a^2)(x^2-4 a^2) = 0$
चूंकि $x^2 = -8 a^2$ संभव नहीं है,इसलिए $x^2 = 4 a^2$,अर्थात $x = \pm 2 a$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^{2 a} (\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2} - \frac{x^2}{4 a}) dx$.
$A = 2 [8 a^3 \int_0^{2 a} \frac{1}{x^2+(2 a)^2} dx - \frac{1}{4 a} \int_0^{2 a} x^2 dx]$
$A = 2 [8 a^3 \cdot \frac{1}{2 a} \tan^{-1}(\frac{x}{2 a}) |_0^{2 a} - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{x^3}{3} |_0^{2 a}]$
$A = 2 [4 a^2 \tan^{-1}(1) - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{8 a^3}{3}]$
$A = 2 [4 a^2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{2 a^2}{3}]$
$A = 2 a^2 (\pi - \frac{2}{3}) = a^2(2 \pi - \frac{4}{3})$.

(C) यह क्षेत्र वृत्त $x^2+y^2=1$ और परवलय $y^2=1-x$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=1-x$ को $x^2+y^2=1$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
अतः,$x=0$ या $x=1$.
$x=0$ के लिए,$y^2=1 \implies y=\pm 1$. $x=1$ के लिए,$y^2=0 \implies y=0$.
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{-1}^0 \sqrt{1-x^2} dx + \int_0^1 \sqrt{1-x} dx \right]$.
समाकलन करने पर:
$2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right]_{-1}^0 = 2 \left[ (0 + 0) - (0 - \frac{\pi}{4}) \right] = \frac{\pi}{2}$.
$2 \int_0^1 (1-x)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{-2}{3} (1-x)^{3/2} \right]_0^1 = 2 \left[ 0 - (-\frac{2}{3}) \right] = \frac{4}{3}$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$.

(C) दिए गए वक्र $x = -2y^2$ और $x = 1 - 3y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
जब $y = 1$,तो $x = -2(1)^2 = -2$। जब $y = -1$,तो $x = -2(-1)^2 = -2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष $-1$ से $1$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $x^2+y^2=2ax$ (जो $(x-a)^2+y^2=a^2$ है) और $y^2=ax$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=ax$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $x^2+ax=2ax \Rightarrow x^2-ax=0 \Rightarrow x(x-a)=0$. अतः,$x=0$ या $x=a$.
$x=a$ के लिए,$y^2=a^2 \Rightarrow y=a$ (चूंकि हम $X$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र पर विचार कर रहे हैं)।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=a$ तक वृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से परवलय के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_0^a (y_{circle} - y_{parabola}) dx = \int_0^a (\sqrt{a^2-(x-a)^2} - \sqrt{ax}) dx$.
क्षेत्रफल $= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \int_0^a \sqrt{ax} dx$.
पहला समाकलन $a$ त्रिज्या वाले वृत्त के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल दर्शाता है,जो $\frac{\pi a^2}{4}$ है।
दूसरा समाकलन $\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx = \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a = \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} a^{3/2} = \frac{2a^2}{3}$ है।
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $\frac{\pi a^2}{4} - \frac{2a^2}{3} = a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए वक्र $y^2=8(x+2)$ और $y^2=4(1-x)$ हैं।
सबसे पहले,दोनों परवलयों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
$8(x+2) = 4(1-x)$
$2(x+2) = 1-x$
$2x+4 = 1-x$
$3x = -3 \implies x = -1$.
$x=-1$ पर,$y^2 = 8(-1+2) = 8$,इसलिए $y = \pm 2\sqrt{2}$।
क्षेत्र दो परवलयों और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{-2}^{0} |y| dx$ द्वारा प्राप्त होता है। विशेष रूप से,$x=-2$ से $x=-1$ तक,सीमा $y^2=8(x+2)$ है,और $x=-1$ से $x=0$ तक,सीमा $y^2=4(1-x)$ है।
$A = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{8(x+2)} dx + \int_{-1}^{0} \sqrt{4(1-x)} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \int_{-2}^{-1} (x+2)^{1/2} dx + 2 \int_{-1}^{0} (1-x)^{1/2} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \left[ \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right]_{-2}^{-1} + 2 \left[ -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \right]_{-1}^{0} \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{4}{3} \left( (1-0)^{3/2} - (1-(-1))^{3/2} \right) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} (1 - 2\sqrt{2}) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{3} \right] = 2 \left[ \frac{12\sqrt{2}-4}{3} \right] = \frac{8}{3}(3\sqrt{2}-1)$.

(C) दिया गया वक्र $y=2x-x^2$ है।
स्थिर बिंदु के लिए,हम $\frac{dy}{dx}=0$ रखते हैं।
$\frac{dy}{dx} = 2-2x = 0 \Rightarrow x=1$.
अतः,$\alpha = 1$.
क्षेत्रफल $y=2^x, y=2x-x^2, x=0$ और $x=1$ द्वारा परिबद्ध है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_0^1 (2^x - (2x-x^2)) dx$.
$= \int_0^1 2^x dx - \int_0^1 (2x-x^2) dx$.
$= \left[ \frac{2^x}{\log 2} \right]_0^1 - \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= \left( \frac{2^1}{\log 2} - \frac{2^0}{\log 2} \right) - \left( (1^2 - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$.
$= \frac{2-1}{\log 2} - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{\log 2} - \frac{2}{3}$.
$= \frac{3 - 2 \log 2}{3 \log 2} = \frac{3 - \log 4}{3 \log 2}$.

(C) दिए गए समीकरण $y = 1 - |x|$ और $y = |x| - 1$ हैं।
ये समीकरण $A(0, 1)$,$C(1, 0)$,$B(0, -1)$,और $D(-1, 0)$ शीर्षों वाला एक वर्ग दर्शाते हैं।
इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल वर्ग $ACBD$ का क्षेत्रफल है।
$(0, 1)$,$(1, 0)$,$(0, -1)$,और $(-1, 0)$ शीर्षों वाले वर्ग का क्षेत्रफल इसे चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का आधार $1$ और ऊँचाई $1$ है।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (जैसे,$\triangle AOC$) $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \triangle AOC$ का क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
अतः,अभीष्ट परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(A) दिए गए समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $x^2 + y^2 = 4$ हैं।
इन्हें हल करने पर,हमें प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ प्राप्त होता है: $x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 4 \implies x^2 + \frac{x^2}{3} = 4 \implies \frac{4x^2}{3} = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$.
अतः $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$. इसलिए,$A = (\sqrt{3}, 1)$.
अभीष्ट क्षेत्रफल त्रिभुज $OAB$ (जहाँ $B$ बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ है) और $x = \sqrt{3}$ से $x = 2$ तक वृत्त के नीचे के क्षेत्र का योग है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
वृत्त के नीचे का क्षेत्रफल $= \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{\sqrt{3}}^{2}$.
$= [0 + 2 \sin^{-1}(1)] - [\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})]$.
$= [2 \times \frac{\pi}{2}] - [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times \frac{\pi}{3}] = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया वक्र $y = -x^2 - 2x + 3$ है।
वह बिंदु जहाँ वक्र $Y$-अक्ष से मिलता है,$x = 0$ रखने पर $y = 3$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $(0, 3)$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -2x - 2$।
$(0, 3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = -2(0) - 2 = -2$ है।
$(0, 3)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 3 = -2(x - 0)$ अर्थात $y = -2x + 3$ है।
वक्र $X$-अक्ष से $y = 0$ पर मिलता है: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$। अतः $x = -3$ और $x = 1$।
स्पर्शरेखा $X$-अक्ष से $y = 0$ पर मिलती है: $0 = -2x + 3 \implies x = 1.5$।
वक्र,$X$-अक्ष और स्पर्शरेखा द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\frac{7}{12}$ है।

(D) दिए गए वक्र $x^2+y^2-4x=0 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4$ और $y^2=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,वृत्त के समीकरण में $y^2=x$ प्रतिस्थापित करें: $x^2+x-4x=0 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0$. अतः,$x=0$ या $x=3$ है।
$x=0$ के लिए,$y=0$ है। $x=3$ के लिए,$y^2=3 \Rightarrow y=\sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=3$ तक परवलय द्वारा और $x=3$ से $x=4$ तक वृत्त द्वारा घिरा है।
$A = \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^4 \sqrt{4-(x-2)^2} \, dx$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{x-2}{2} \sqrt{4-(x-2)^2} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{x-2}{2} \right) \right]_3^4$
$A = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(1/2)) \right]$
$A = 2\sqrt{3} + \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}$.
अतः,$6A - 9\sqrt{3} = 6(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}) - 9\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + 4\pi - 9\sqrt{3} = 4\pi$.

(B) क्षेत्रफल $A$ वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है: $A = \int_{0}^{2} |x^3 - x^2| \, dx$.
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^3 = x^2 \implies x^2(x-1) = 0$,अतः $x=0$ और $x=1$.
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2 \ge x^3$,इसलिए $|x^3 - x^2| = x^2 - x^3$.
अंतराल $[1, 2]$ में,$x^3 \ge x^2$,इसलिए $|x^3 - x^2| = x^3 - x^2$.
अतः,$A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{2} (x^3 - x^2) \, dx$.
प्रथम समाकलन का मान: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
द्वितीय समाकलन का मान: $[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (-\frac{1}{12}) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}$.
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

(D) वक्रों $y^2=4(x+7)$ और $y^2=5(2-x)$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y^2$ के व्यंजकों को बराबर करने पर:
$4(x+7) = 5(2-x)$
$4x + 28 = 10 - 5x$
$9x = -18$
$x = -2$
$x = -2$ को $y^2 = 4(x+7)$ में रखने पर,हमें $y^2 = 4(-2+7) = 4(5) = 20$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 2\sqrt{5})$ और $(-2, -2\sqrt{5})$ हैं।
दोनों वक्रों के लिए $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$y^2 = 4(x+7)$ के लिए,$x = \frac{y^2}{4} - 7$।
$y^2 = 5(2-x)$ के लिए,$x = 2 - \frac{y^2}{5}$।
क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष $-2\sqrt{5}$ से $2\sqrt{5}$ तक का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} \left[ (2 - \frac{y^2}{5}) - (\frac{y^2}{4} - 7) \right] dy$
$= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} (9 - \frac{9y^2}{20}) dy$
$= \left[ 9y - \frac{9y^3}{60} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} = \left[ 9y - \frac{3y^3}{20} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}}$
$= \left( 9(2\sqrt{5}) - \frac{3(2\sqrt{5})^3}{20} \right) - \left( 9(-2\sqrt{5}) - \frac{3(-2\sqrt{5})^3}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - \frac{3(8 \times 5\sqrt{5})}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - 6\sqrt{5} \right) = 2(12\sqrt{5}) = 24\sqrt{5}$।

(D) दिए गए वक्र $y^2 = 4(x+1)$ और $y^2 = 5(x-4)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $x$ के मानों की तुलना करें:
$x = \frac{y^2}{4} - 1$ और $x = \frac{y^2}{5} + 4$.
$\frac{y^2}{4} - 1 = \frac{y^2}{5} + 4$
$\frac{y^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 5$
$\frac{y^2}{20} = 5 \implies y^2 = 100 \implies y = \pm 10$.
जब $y = 10$, तो $x = \frac{100}{4} - 1 = 24$. अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(24, 10)$ और $(24, -10)$ हैं।
क्षेत्रफल $\int_{-10}^{10} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-10}^{10} [(\frac{y^2}{4} - 1) - (\frac{y^2}{5} + 4)] dy = \int_{-10}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 \int_{0}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 [\frac{y^3}{60} - 5y]_0^{10} = 2 [\frac{1000}{60} - 50] = 2 [\frac{50}{3} - 50] = 2 [-\frac{100}{3}] = -200/3$. निरपेक्ष मान लेने पर, क्षेत्रफल $= 200/3$.

(B) दिए गए समीकरण $ay = x^2$ और $x + y = 2a$ हैं।
पहले समीकरण से,$y = \frac{x^2}{a}$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + \frac{x^2}{a} = 2a$।
$a$ से गुणा करने पर,हमें $ax + x^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है,जिसे $x^2 + ax - 2a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2a)(x - a) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2a$ और $x = a$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का समाकलन है:
$A = \int_{-2a}^{a} (2a - x - \frac{x^2}{a}) dx$।
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$A = [2ax - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3a}]_{-2a}^{a}$।
सीमाओं पर मान रखने पर:
$A = (2a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{3}) - (-4a^2 - 2a^2 + \frac{8a^2}{3}) = \frac{9}{2}a^2$।
चूंकि क्षेत्रफल $ka^2$ है,इसलिए $k = \frac{9}{2}$ है।

(A) वक्र $y=2x-x^2$ और रेखा $y=-x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$2x-x^2 = -x$ रखकर।
$2x-x^2+x = 0$
$3x-x^2 = 0$
$x(3-x) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=3$ हैं।
अंतराल $[0, 3]$ में,वक्र $y=2x-x^2$ रेखा $y=-x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_0^3 ((2x-x^2) - (-x)) dx$
$= \int_0^3 (3x-x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{27}{2} - \frac{27}{3}$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27-18}{2} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाई।}$

(A) प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y^2=6ax$ को $x^2+y^2=16a^2$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2+6ax-16a^2=0$
$(x+8a)(x-2a)=0$
चूँकि परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए $x=2a$ प्राप्त होता है।
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_1 = 2 \left[ \int_0^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx \right]$ है।
समाकलन की गणना करने पर:
$2 \int_0^{2a} \sqrt{6a} \sqrt{x} \, dx = 2 \sqrt{6a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{2a} = 2 \sqrt{6a} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2a \sqrt{2a} = \frac{8a^2 \sqrt{12}}{3} = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3}$.
$2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{(4a)^2-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16a^2-x^2} + \frac{16a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4a} \right) \right]_{2a}^{4a}$
$= 2 \left[ (0 + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (a \sqrt{12a^2} + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right] = 2 \left[ 4\pi a^2 - 2a^2 \sqrt{3} - \frac{4\pi a^2}{3} \right] = 2 \left[ \frac{8\pi a^2}{3} - 2a^2 \sqrt{3} \right] = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3}$.
कुल छोटा क्षेत्रफल $A_1 = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3} = \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi + \sqrt{3})$.
बड़ा क्षेत्रफल वृत्त के कुल क्षेत्रफल में से छोटे क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$A_2 = \pi(4a)^2 - A_1 = 16\pi a^2 - \left( \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{32\pi a^2}{3} - \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ वर्ग इकाइयाँ।

(A) यह क्षेत्र $x = \pm 2$ और $y = \pm 2$ द्वारा परिभाषित वर्ग से घिरा है,जिसका कुल क्षेत्रफल $4 \times 4 = 16$ है। शर्त $xy \leq \frac{1}{2}$ उस क्षेत्र को बाहर करती है जहाँ $xy > \frac{1}{2}$ है।
यह क्षेत्र $xy > \frac{1}{2}$ दो भागों से बना है: एक प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $y > \frac{1}{2x}$ और दूसरा तृतीय चतुर्थांश में जहाँ $y < \frac{1}{2x}$ है।
समरूपता के कारण,इन दोनों भागों का क्षेत्रफल समान है। आइए प्रथम चतुर्थांश में $x=2, y=2, x=1/4$ (क्योंकि $2x=1/2 \implies x=1/4$ जब $y=2$) और वक्र $y=1/(2x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल की गणना करें।
प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $xy > 1/2$ है,क्षेत्रफल $\int_{1/4}^{2} (2 - \frac{1}{2x}) dx = [2x - \frac{1}{2} \log x]_{1/4}^{2} = (4 - \frac{1}{2} \log 2) - (1/2 - \frac{1}{2} \log(1/4)) = 4 - 0.5 \log 2 - 0.5 + 0.5 \log(2^{-2}) = 3.5 - 0.5 \log 2 - \log 2 = 3.5 - 1.5 \log 2$ है।
बाहर किए जाने वाला कुल क्षेत्रफल = $2 \times (3.5 - 1.5 \log 2) = 7 - 3 \log 2$ है।
वांछित क्षेत्रफल = वर्ग का कुल क्षेत्रफल - बाहर किया गया क्षेत्रफल = $16 - (7 - 3 \log 2) = 9 + 3 \log 2$ है।

(C) $y=\sin x$ और $y=\cos x$ द्वारा $x=\frac{\pi}{4}$ से $x=\pi$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ में,$\sin x \ge \cos x$ है,और $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में भी $\sin x \ge \cos x$ है (क्योंकि $\cos x$ ऋणात्मक है)। अतः,कुल क्षेत्रफल $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$ है।
प्रश्न के अनुसार,रेखा $x=a$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{a} (\sin x - \cos x) dx = \int_{a}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{a} = [-\cos x - \sin x]_{a}^{\pi}$
$(-\cos a - \sin a) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos a - \sin a)$
$-\cos a - \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -(-1) - 0 + \cos a + \sin a$
$-\cos a - \sin a + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \cos a + \sin a$
$\sqrt{2} - 1 = 2(\sin a + \cos a)$
$\sin a + \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin a \cos \frac{\pi}{4} + \cos a \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin \left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$

(A) दिया गया परवलय का समीकरण $y^2=2x$ $\dots(i)$ और रेखा का समीकरण $y=4x-1$ $\dots(ii)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(ii)$ से $x = \frac{y+1}{4}$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \implies y^2 = \frac{y+1}{2} \implies 2y^2 - y - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2y+1)(y-1) = 0$,अतः $y = -\frac{1}{2}$ और $y = 1$.
संगत $x$ मान $x = \frac{(-1/2)+1}{4} = \frac{1}{8}$ और $x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ और $(\frac{1}{2}, 1)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$Area = \int_{-1/2}^{1} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-1/2}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$.
$= \frac{1}{4} \int_{-1/2}^{1} (y+1) dy - \frac{1}{2} \int_{-1/2}^{1} y^2 dy$.
$= \frac{1}{4} [\frac{y^2}{2} + y]_{-1/2}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{y^3}{3}]_{-1/2}^{1}$.
$= \frac{1}{4} [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] - \frac{1}{6} [1 - (-\frac{1}{8})]$.
$= \frac{1}{4} [\frac{3}{2} + \frac{3}{8}] - \frac{1}{6} [\frac{9}{8}] = \frac{1}{4} [\frac{15}{8}] - \frac{3}{16} = \frac{15}{32} - \frac{6}{32} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।