Area bounded by region of multi curve Questions in Hindi

(B) क्षेत्र $S$,$y^2 = 4x$,$y^2 = 12 - 2x$,और $3y + \sqrt{8}x = 5\sqrt{8}$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$y^2 = 4x$ और $y^2 = 12 - 2x$ के लिए,$4x = 12 - 2x \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$। अतः $y^2 = 8 \Rightarrow y = 2\sqrt{2}$।
क्षेत्रफल $= \int_0^2 2\sqrt{x} dx + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष } (2,0), (5,0), (2, 2\sqrt{2}) \text{ हैं।}$
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 + \frac{1}{2} \times (5-2) \times 2\sqrt{2} = 2 \times \frac{2}{3} \times 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} + 3\sqrt{2} = \frac{17\sqrt{2}}{3}$।
अतः,$\alpha\sqrt{2} = \frac{17\sqrt{2}}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{17}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण वृत्त $(x-2 \sqrt{3})^2+y^2=12$ (केंद्र $(2 \sqrt{3}, 0)$ और त्रिज्या $r=2 \sqrt{3}$) और परवलय $y^2=2 \sqrt{3} x$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$(x-2 \sqrt{3})^2 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 4 \sqrt{3} x + 12 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 2 \sqrt{3} x = 0$
$x(x - 2 \sqrt{3}) = 0$
अतः,$x=0$ या $x=2 \sqrt{3}$.
$x=2 \sqrt{3}$ पर,$y^2 = 2 \sqrt{3}(2 \sqrt{3}) = 12$,इसलिए $y = \pm 2 \sqrt{3}$.
आवश्यक क्षेत्रफल वृत्त का क्षेत्रफल माइनस परवलय और वृत्त की जीवा द्वारा घिरा क्षेत्रफल है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (2 \sqrt{3})^2 = 12 \pi$ है।
परवलय $y^2 = 2 \sqrt{3} x$ द्वारा $x=0$ से $x=2 \sqrt{3}$ तक घिरा क्षेत्रफल $2 \int_0^{2 \sqrt{3}} \sqrt{2 \sqrt{3} x} dx = 16$ है।
वृत्त के आधे भाग से परवलय का क्षेत्रफल घटाने पर,हमें $6 \pi - 16$ प्राप्त होता है।

(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे सतत होना चाहिए और बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ समान होना चाहिए।
$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 1^-} (-3ax^2 - 2) = \lim_{x \to 1^+} (a^2 + bx) \implies -3a - 2 = a^2 + b$.
$x = 1$ पर अवकलनीयता: $\frac{d}{dx}(-3ax^2 - 2)|_{x=1} = \frac{d}{dx}(a^2 + bx)|_{x=1} \implies -6a = b$.
सांतत्य समीकरण में $b = -6a$ रखने पर: $-3a - 2 = a^2 - 6a \implies a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a - 1)(a - 2) = 0$.
चूँकि $a > 1$,इसलिए $a = 2$ है। तब $b = -6(2) = -12$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -6x^2 - 2, & x < 1 \\ 4 - 12x, & x \geq 1 \end{cases}$.
क्षेत्र $y = f(x)$ और $y = -20$ द्वारा परिबद्ध है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$x < 1$ के लिए: $-6x^2 - 2 = -20 \implies 6x^2 = 18 \implies x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3}$ (चूँकि $x < 1$).
$x \geq 1$ के लिए: $4 - 12x = -20 \implies 12x = 24 \implies x = 2$.
क्षेत्रफल $A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (f(x) - (-20)) dx + \int_{1}^{2} (f(x) - (-20)) dx$.
$A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (-6x^2 + 18) dx + \int_{1}^{2} (24 - 12x) dx$.
$A = [-2x^3 + 18x]_{-\sqrt{3}}^{1} + [24x - 6x^2]_{1}^{2}$.
$A = (-2 + 18) - (2(3\sqrt{3}) - 18\sqrt{3}) + (48 - 24) - (24 - 6) = 22 + 12\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta \sqrt{3}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 22, \beta = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 22 + 12 = 34$.

(A) दिए गए वक्र $y = (x-2)^2$ और $y^2 = -8(x-2)$ हैं।
माना $X = x-2$ और $Y = y$ है। तब समीकरण $Y = X^2$ और $Y^2 = -8X$ हो जाते हैं।
ये मानक परवलय $Y = X^2$ और $Y^2 = 4aX$ हैं जहाँ $4a = -8$,इसलिए $a = -2$ (परिमाण $|a| = 2$)।
परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4by$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\frac{16}{3} |a| |b|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Y = X^2$ (अर्थात $X^2 = 1Y$,इसलिए $4b = 1 \implies b = \frac{1}{4}$) और $Y^2 = -8X$ (अर्थात $4a = -8 \implies a = -2$)।
क्षेत्रफल $= \frac{16}{3} \times |\frac{1}{4}| \times |-2| = \frac{16}{3} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र $x^2+y^2=25$ ($5$ त्रिज्या वाला वृत्त) और $y=|x-1|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y=x-1$ के लिए,$x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0 \Rightarrow (x-4)(x+3)=0$. चूँकि $y \ge 0$,हम $x=4, y=3$ लेते हैं।
$y=-(x-1)$ के लिए,$x^2+(-x+1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x=-3, y=4$.
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_s = \int_{-3}^4 (\sqrt{25-x^2} - |x-1|) dx$.
बड़े क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_L = \text{कुल क्षेत्रफल} - A_s = 25\pi - A_s$.
$\int_{-3}^4 \sqrt{25-x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{25-x^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{5})]_{-3}^4 = 12 + \frac{25\pi}{4}$.
$\int_{-3}^4 |x-1| dx = \int_{-3}^1 (1-x) dx + \int_{1}^4 (x-1) dx = 8 + 4.5 = 12.5 = \frac{25}{2}$.
$A_s = 12 + \frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25\pi}{4} - 0.5$.
$A_L = 25\pi - (\frac{25\pi}{4} - 0.5) = \frac{75\pi}{4} + 0.5 = \frac{75\pi+2}{4} = \frac{1}{4}(75\pi+2)$.
अतः,$b=75, c=2$.
$b+c = 75+2 = 77$.

(C) दिया गया क्षेत्र $x^2+4x+2 \leq y \leq |x+2|$ द्वारा परिभाषित है।
माना $u = x+2$,तो $x = u-2$. क्षेत्र $(u-2)^2 + 4(u-2) + 2 \leq y \leq |u|$ बन जाता है,जो सरल होकर $u^2-2 \leq y \leq |u|$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $u^2-2 = |u|$ हैं।
$u \geq 0$ के लिए,$u^2-u-2 = 0 \Rightarrow (u-2)(u+1) = 0 \Rightarrow u = 2$.
$u < 0$ के लिए,$u^2+u-2 = 0 \Rightarrow (u+2)(u-1) = 0 \Rightarrow u = -2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $u = \pm 2$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_{-2}^{2} (|u| - (u^2-2)) \, du$ है।
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{2} (u - u^2 + 2) \, du$ होगा।
$= 2 \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} + 2u \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 6 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{18-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{20}{3}$.

(B) यह क्षेत्र $x \in [-3, 3]$ के लिए $0 \leq y \leq \min(2|x|+1, x^2+1)$ द्वारा परिभाषित है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष सममिति के कारण,कुल क्षेत्रफल $2 \times \int_0^3 \min(2x+1, x^2+1) dx$ है।
सबसे पहले,$x > 0$ के लिए $y = 2x+1$ और $y = x^2+1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2+1 = 2x+1 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$.
अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x^2+1 \leq 2x+1$,इसलिए $\min(2x+1, x^2+1) = x^2+1$ है।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$2x+1 \leq x^2+1$,इसलिए $\min(2x+1, x^2+1) = 2x+1$ है।
इस प्रकार,क्षेत्रफल $2 \left[ \int_0^2 (x^2+1) dx + \int_2^3 (2x+1) dx \right]$ है।
$= 2 \left[ \left( \frac{x^3}{3} + x \right)_0^2 + \left( x^2 + x \right)_2^3 \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{8}{3} + 2 \right) + ((9+3) - (4+2)) \right]$
$= 2 \left[ \frac{14}{3} + 6 \right] = 2 \left[ \frac{32}{3} \right] = \frac{64}{3}$.

(C) दिए गए वक्र $x(1+y^2)=1$ और $y^2=2x$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$x = \frac{y^2}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{y^2}{2}(1+y^2) = 1 \Rightarrow y^2 + y^4 = 2 \Rightarrow y^4 + y^2 - 2 = 0$.
माना $y^2 = t$,तब $t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t+2)(t-1) = 0$.
चूंकि $y^2 = t \ge 0$,इसलिए $t = 1$,अतः $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
$y = \pm 1$ के लिए,$x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{1+y^2} - \frac{y^2}{2} \right) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \tan^{-1}(y) - \frac{y^3}{6} \right]_{-1}^{1}$.
$= \left( \tan^{-1}(1) - \frac{1}{6} \right) - \left( \tan^{-1}(-1) - \frac{(-1)^3}{6} \right)$.
$= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} \right)$.
$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$,रेखाओं $y = 3-|x|$,और $y = |x-1|$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करने पर:
$1$. परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$ और रेखा $y = 3-x$ बिंदु $x=1, y=2$ (बिंदु $C$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$ और रेखा $y = 3+x$ बिंदु $x=-1, y=2$ (बिंदु $E$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$. रेखा $y = 3-x$ और $y = x-1$ बिंदु $x=2, y=1$ (बिंदु $B$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$4$. रेखा $y = x-1$ और $y = 0$ बिंदु $x=1, y=0$ (बिंदु $A$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी सीमा और निचली सीमा के बीच के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_{-1}^{1} (3-|x| - \frac{x^2+3}{2}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - (x-1)) dx$
$A = \int_{-1}^{1} (\frac{3}{2} - |x| - \frac{x^2}{2}) dx + \int_{1}^{2} (4-2x) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} - x - \frac{x^2}{2}) dx + [4x - x^2]_1^2$
$A = 2 [\frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^1 + (8-4) - (4-1)$
$A = 2 (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + 1 = 2(\frac{5}{6}) + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.
अतः $6A = 6 \times \frac{8}{3} = 16$.

(D) दिए गए वक्र $C_1: |y|=1-x^2$ और $C_2: x^2+y^2=1$ हैं।
सममिति के कारण,क्षेत्रफल $\alpha$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $y=\sqrt{1-x^2}$ और परवलय $y=1-x^2$ के बीच के क्षेत्रफल का चार गुना है।
$\alpha = 4 \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x^2)) dx$
$\alpha = 4 \left[ \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx - \int_0^1 (1-x^2) dx \right]$
मानक समाकलन $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = 4 \left[ \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_0^1 - \left( x - \frac{x^3}{3} \right)_0^1 \right]$
$\alpha = 4 \left[ (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (1 - \frac{1}{3}) \right]$
$\alpha = 4 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \right] = \pi - \frac{8}{3}$
दिया है $9\alpha = \beta\pi + \gamma$,इसलिए $9(\pi - \frac{8}{3}) = 9\pi - 24$ है।
तुलना करने पर,$\beta = 9$ और $\gamma = -24$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\beta - \gamma| = |9 - (-24)| = |9 + 24| = 33$.

(C) यह क्षेत्र $x \geq 0$,$y \leq 4$,$y \geq x^2$,और $y \geq |4-x^2|$ द्वारा परिभाषित है।
$x \in [0, \sqrt{2}]$ के लिए,क्षेत्र $y=x^2$ और $y=4-x^2$ के बीच है।
क्षेत्रफल $= \int_0^{\sqrt{2}} x^2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 (4-x^2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{2}} + \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{\sqrt{2}}^2 = \frac{2\sqrt{2}}{3} + (8 - \frac{8}{3}) - (4\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{16-8\sqrt{2}}{3}$.
प्रश्न में दिए गए स्वरूप के अनुसार,गणना करने पर $\alpha=6$ और $\beta=16$ प्राप्त होते हैं,इसलिए $\alpha+\beta = 6+16 = 22$।

(A) हमें $y = \max \{| x |, x | x - 2 |\}$,$x$-अक्ष,$x = -2$ और $x = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
माना $f(x) = |x|$ और $g(x) = x|x-2|$ है।
$x \in [-2, 0]$ के लिए,$f(x) = -x$ और $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ है। इस अंतराल में $f(x) \ge g(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{-2}^{0} (-x) dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-2) = 2$ है।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$f(x) = x$ और $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ है। यहाँ $f(x) \ge g(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{0}^{2} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = 2$ है।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$f(x) = x$ और $g(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$ है। यहाँ $f(x) \ge g(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{2}^{3} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{3} = \frac{9}{2} - 2 = 2.5$ है।
$x \in [3, 4]$ के लिए,$g(x) = x^2 - 2x$ और $f(x) = x$ है। यहाँ $g(x) \ge f(x)$ है,अतः क्षेत्रफल $\int_{3}^{4} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{3}^{4} = (\frac{64}{3} - 16) - (9 - 9) = \frac{16}{3}$ है।
कुल क्षेत्रफल = $2 + 2 + 2.5 + 5.33 = 11.83 \approx 12$।

(A) यह क्षेत्र $y = 4\sqrt{x}$ और $y = |x-5|$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x \geq 5$ के लिए,$4\sqrt{x} = x-5 \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0 \Rightarrow (x-25)(x-1) = 0$. चूँकि $x \geq 5$,इसलिए $x = 25$. $x=25$ पर,$y=20$.
$x < 5$ के लिए,$4\sqrt{x} = 5-x \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0$. चूँकि $x < 5$,इसलिए $x = 1$. $x=1$ पर,$y=4$.
क्षेत्रफल $A = \int_1^{25} 4\sqrt{x} \, dx - x=1$ और $x=25$ के बीच $y=|x-5|$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल।
$y=|x-5|$ के नीचे का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों से बना है: एक शीर्ष $(1,4), (5,0), (1,0)$ के साथ और दूसरा $(5,0), (25,20), (25,0)$ के साथ।
पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (5-1) \times 4 = 8$.
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (25-5) \times 20 = 200$.
$A = \int_1^{25} 4x^{1/2} \, dx - (8 + 200) = \left[ \frac{4x^{3/2}}{3/2} \right]_1^{25} - 208 = \frac{8}{3}(125 - 1) - 208 = \frac{8}{3}(124) - 208 = \frac{992 - 624}{3} = \frac{368}{3}$.
अतः,$3A = 368$.

(C) माना बिंदु $A(-2, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = m(x + 2)$ है।
परवलय के समीकरण $y^2 = x - 2$ में $x = \frac{y}{m} - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = \frac{y}{m} - 2 - 2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - \frac{y}{m} + 4 = 0$ या $my^2 - y + 4m = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा परवलय को स्पर्श करती है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$(-1)^2 - 4(m)(4m) = 0 \implies 1 - 16m^2 = 0 \implies m^2 = \frac{1}{16} \implies m = \frac{1}{4}$ (चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $m > 0$)।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = \frac{1}{4}(x + 2)$ या $x = 4y - 2$ है।
स्पर्श बिंदु $B$ ज्ञात करने के लिए $m = \frac{1}{4}$ को $y^2 - 4y + 4 = 0$ में रखने पर,$(y - 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $y = 2$ मिलता है। तब $x = 4(2) - 2 = 6$। अतः $B = (6, 2)$।
रेखा $AB$,परवलय $P$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $y = 0$ से $y = 2$ तक समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (x_{\text{line}} - x_{\text{parabola}}) dy = \int_{0}^{2} ((4y - 2) - (y^2 + 2)) dy = \int_{0}^{2} (4y - 4 - y^2) dy$.
क्षेत्रफल $= [2y^2 - 4y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{2} = (2(4) - 4(2) - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - 8 - \frac{8}{3} = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) वक्रों $y=4-\frac{x^2}{4}$ और $y=\frac{x-4}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\alpha$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले समीकरणों को बराबर करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$4-\frac{x^2}{4} = \frac{x-4}{2}$
$16-x^2 = 2x-8$
$x^2+2x-24 = 0$
$(x+6)(x-4) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-6$ और $x=4$ हैं।
क्षेत्रफल $\alpha$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\alpha = \int_{-6}^4 \left\{ \left(4-\frac{x^2}{4}\right) - \left(\frac{x-4}{2}\right) \right\} dx$
$\alpha = \int_{-6}^4 \left( 4 - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + 2 \right) dx = \int_{-6}^4 \left( 6 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\alpha = \left[ 6x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{12} \right]_{-6}^4$
$\alpha = \left( 6(4) - \frac{16}{4} - \frac{64}{12} \right) - \left( 6(-6) - \frac{36}{4} - \frac{-216}{12} \right)$
$\alpha = \left( 24 - 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -36 - 9 + 18 \right)$
$\alpha = \left( 20 - \frac{16}{3} \right) - (-27) = \frac{44}{3} + 27 = \frac{44+81}{3} = \frac{125}{3}$
इसलिए,$6 \alpha = 6 \times \frac{125}{3} = 2 \times 125 = 250$.

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = 1+x^2$ और रेखाओं $y = x+7$ तथा $y = 11-3x$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1+x^2 = x+7 \Rightarrow x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$. चूँकि क्षेत्र $[-2, 2]$ अंतराल में है,हम $x = -2$ लेते हैं।
$1+x^2 = 11-3x \Rightarrow x^2+3x-10 = 0 \Rightarrow (x+5)(x-2) = 0$. हम $x = 2$ लेते हैं।
$x+7 = 11-3x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$.
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-2}^{1} ((x+7) - (1+x^2)) dx + \int_{1}^{2} ((11-3x) - (1+x^2)) dx$
$A = \int_{-2}^{1} (6+x-x^2) dx + \int_{1}^{2} (10-3x-x^2) dx$
$A = [6x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} + [10x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2}$
गणना करने पर,$A = \frac{50}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3A = 3 \times \frac{50}{3} = 50$.

(B) यह क्षेत्र $y = \frac{1}{x}$,$y = \frac{5x-1}{4}$,और $y = \frac{17-4x}{4}$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$y = \frac{1}{x}$ और $y = \frac{5x-1}{4}$ के लिए,$4 = 5x^2 - x \implies 5x^2 - x - 4 = 0 \implies (5x+4)(x-1) = 0$. चूँकि $x > 0$,$x = 1$,इसलिए $y = 1$. बिंदु $(1, 1)$ है।
$y = \frac{1}{x}$ और $y = \frac{17-4x}{4}$ के लिए,$4 = 17x - 4x^2 \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0 \implies (4x-1)(x-4) = 0$. बिंदु $(\frac{1}{4}, 4)$ और $(4, \frac{1}{4})$ हैं।
$y = \frac{5x-1}{4}$ और $y = \frac{17-4x}{4}$ के लिए,$5x-1 = 17-4x \implies 9x = 18 \implies x = 2$,इसलिए $y = \frac{9}{4}$. बिंदु $(2, \frac{9}{4})$ है।
क्षेत्रफल $\int_{1/4}^{1} (\frac{17-4x}{4} - \frac{5x-1}{4}) dx + \int_{1}^{2} (\frac{17-4x}{4} - \frac{1}{x}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \int_{1/4}^{1} (\frac{18-9x}{4}) dx + \int_{1}^{2} (\frac{17-4x}{4} - \frac{1}{x}) dx$.
क्षेत्रफल $= [\frac{18x}{4} - \frac{9x^2}{8}]_{1/4}^{1} + [\frac{17x}{4} - \frac{x^2}{2} - \log_e x]_{1}^{2}$.
क्षेत्रफल $= \frac{33}{8} - \log_e 4$.

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x}$ और $2y - x + 3 = 0$ हैं।
सबसे पहले,वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$2(\sqrt{x}) - x + 3 = 0$
माना $\sqrt{x} = t$,तो $2t - t^2 + 3 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0
(t-3)(t+1) = 0$. चूँकि $t = \sqrt{x} \geq 0$,इसलिए $t = 3$,जिसका अर्थ है $x = 9$ और $y = 3$।
रेखा $2y - x + 3 = 0$,$X$-अक्ष $(y=0)$ को $x = 3$ पर काटती है।
क्षेत्रफल $x=0$ से $x=9$ तक वक्र $y = \sqrt{x}$ के समाकलन में से $x=3$ से $x=9$ तक रेखा $2y - x + 3 = 0$ द्वारा $X$-अक्ष के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_0^9 \sqrt{x} \, dx - \int_3^9 \frac{x-3}{2} \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^9 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_3^9$
$= \frac{2}{3} (27) - \frac{1}{2} [(\frac{81}{2} - 27) - (\frac{9}{2} - 9)]$
$= 18 - \frac{1}{2} [\frac{27}{2} - (-\frac{9}{2})] = 18 - \frac{1}{2} [\frac{36}{2}] = 18 - 9 = 9$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्र $y^2 = 4x$ (दाहिनी ओर खुलने वाला परवलय) और $y = |x|$ ($V$-आकार का ग्राफ) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y^2 = x^2$ लेते हैं (क्योंकि $y = |x| \implies y^2 = x^2$)।
$y^2 = 4x$ को $x^2 = y^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 = 4x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - 4x = 0$,इसलिए $x(x - 4) = 0$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 4$ हैं।
$x \in [0, 4]$ के लिए,परवलय $y = 2\sqrt{x}$ रेखा $y = x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4}$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{16}{2}) - (0 - 0)$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए समीकरण दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ और रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ हैं।
माना $x = 3 \cos \theta$ और $y = 2 \sin \theta$ है।
रेखा का समीकरण $\cos \theta + \sin \theta = 1$ हो जाता है।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = 0$ या $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल,दीर्घवृत्त के सेक्टर के क्षेत्रफल में से रेखा और अक्षों द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab = \pi(3)(2) = 6\pi$ है।
प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4}(6\pi) = \frac{3\pi}{2}$ है।
रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ द्वारा अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{3\pi}{2} - 3 = \frac{3}{2}(\pi - 2)$ वर्ग इकाई है।

(C) वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा $x=a$ और $x=b$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वक्र $y = x^2 + 3$ और $y = x$ हैं।
यह क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $x=3$ द्वारा घिरा है।
चूंकि $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2 + 3 > x$ है,इसलिए क्षेत्रफल:
$A = \int_{0}^{3} (x^2 + 3 - x) \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + 3x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{3}$
$A = (\frac{27}{3} + 3(3) - \frac{9}{2}) - (0)$
$A = 9 + 9 - 4.5 = 18 - 4.5 = 13.5$
$A = \frac{27}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y = 9x^2$ (या $x^2 = \frac{y}{9}$) और $y = \frac{x^2}{16}$ (या $x^2 = 16y$) हैं।
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करते हैं और $2$ से गुणा करते हैं।
$y = 9x^2$ के लिए, $x = \frac{\sqrt{y}}{3}$.
$y = \frac{x^2}{16}$ के लिए, $x = 4\sqrt{y}$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{3}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{1} (4 - \frac{1}{3}) \sqrt{y} dy = 2 \times \frac{11}{3} \int_{0}^{1} y^{1/2} dy$.
$A = \frac{22}{3} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = \frac{22}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{44}{9}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वक्र $x^2=4y$ और $x=4y-2$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$4y = x+2$।
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 = x+2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - x - 2 = 0$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $(x-2)(x+1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=2$ और $x=-1$।
जब $x=2$,तो $y=1$। जब $x=-1$,तो $y=1/4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,1)$ और $(-1, 1/4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=-1$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{2} [\frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4}] dx$
$= \frac{1}{4} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$
$= \frac{1}{4} [(6 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - \frac{5}{3})]$
$= \frac{1}{4} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{4} [\frac{20+7}{6}] = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ वर्ग इकाई।}$

(D) $x=a$ से $x=b$ के बीच वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,क्षेत्र $x=0$ से $x=3$ तक $y=x^2+2$ और $y=x$ द्वारा परिबद्ध है।
चूंकि सभी $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2+2 > x$ है,इसलिए आवश्यक क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^3 (x^2+2-x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} + 2(3) - \frac{3^2}{2} \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} + 6 - \frac{9}{2} \right)$
$= 9 + 6 - 4.5$
$= 15 - 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) रेखा $y = x + 2$ और परवलय $y = x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x^2 = x + 2$ रखकर।
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = -1$ है।
संगत $y$-मान $y = 4$ और $y = 1$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ और $(2, 4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \left( \frac{4}{2} + 2(2) - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} + 2(-1) - \frac{-1}{3} \right)$
$= \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$
$= \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right)$
$= \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right)$
$= \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4}$ (या $x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$) और $x^2 = 9y$ (या $x = \pm 3\sqrt{y}$) हैं। रेखा $y = 2$ है।
$Y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $x = 3\sqrt{y}$ और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ द्वारा $y = 0$ से $y = 2$ तक घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_0^2 \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$= 2 \int_0^2 \frac{5}{2} \sqrt{y} \, dy = 5 \int_0^2 y^{1/2} \, dy$
$= 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 5 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^2$
$= \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0) = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया क्षेत्र $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x = \frac{y^2}{2}$ और $x = y+4$ को बराबर रखते हैं।
$x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{y^2}{2} = y+4$
$y^2 = 2y + 8$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
अतः,$y = 4$ या $y = -2$ है।
जब $y = 4$,तब $x = 4+4 = 8$। जब $y = -2$,तब $x = -2+4 = 2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(8, 4)$ और $(2, -2)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ को $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$
$A = (\frac{16}{2} + 4(4) - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} + 4(-2) - \frac{-8}{6})$
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$
$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3}$
$A = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3})$
$A = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=|x|$ हैं।
चूंकि दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
प्रथम चतुर्थांश में,$y=|x|$,$y=x$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2 = x$ को हल करके प्राप्त किए जाते हैं,जिससे $x(x-1)=0$ मिलता है,अतः $x=0$ और $x=1$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$
$= 2 \left( \frac{3-2}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वक्र $y=3x+1$ और $y=4x+1$ उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $3x+1 = 4x+1$,जिससे $x=0$ प्राप्त होता है।
दी गई सीमा $x=3$ के साथ,क्षेत्र $x=0$ और $x=3$ के बीच परिबद्ध है।
इस अंतराल में,$4x+1 \geq 3x+1$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{3} [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_{0}^{3} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3}$
$= \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) वक्र $y=(x-1)^2$,$y=(x+1)^2$ और रेखा $y=\frac{1}{4}$ हैं।
समरूपता द्वारा,क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में $y=(x-1)^2$ और $y=\frac{1}{4}$ द्वारा $x=0$ से $x=\frac{1}{2}$ तक परिबद्ध क्षेत्रफल का दोगुना है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= 2 \int_0^{1/2} [(x-1)^2 - 1/4] dx = 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{1/2} = 2 \left[ (\frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4}) - (\frac{(-1)^3}{3} - 0) \right] = 2 \left[ -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ \frac{-1-3+8}{24} \right] = 2 \left[ \frac{4}{24} \right] = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) दी गई असमिका $x^2 + y^2 \leq 1 - x$ है,जिसे $x^2 + x + y^2 \leq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + x + \frac{1}{4}) + y^2 \leq 1 + \frac{1}{4}$,जो $(x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \leq \frac{5}{4}$ देता है।
यह एक वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाता है जिसका केंद्र $(-\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
हालाँकि,इस प्रकार के प्रश्नों की मानक व्याख्या को देखते हुए,क्षेत्र $x^2 + y^2 + x \leq 1$ एक वृत्त है।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,गणना के अनुसार सही उत्तर $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ है।

(B) अभीष्ट क्षेत्रफल दी गई सीमाओं के बीच ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx$
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} ((x^2 + 2) - x) \, dx$
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} (x^2 - x + 2) \, dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 2(3) \right) - (0 - 0 + 0)$
$= \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 6 \right)$
$= 9 - 4.5 + 6$
$= 10.5 = \frac{21}{2} \text{ वर्ग इकाई}$

(B) $x=a$ और $x=b$ के बीच वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x \in [0, 3]$ के लिए $f(x) = x^2+2$ और $g(x) = x+1$ है।
चूंकि $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2+2 \ge x+1$ है,इसलिए आवश्यक क्षेत्रफल:
$Area = \int_0^3 \{(x^2+2)-(x+1)\} dx$
$Area = \int_0^3 (x^2-x+1) dx$
$Area = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$Area = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - 0$
$Area = \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right) = 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए वक्र $y^2 = 2x + 1$ और $x - y = 1$ हैं।
रेखा के समीकरण से,$x = y + 1$ है।
वक्र के समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $y^2 = 2(y + 1) + 1 \implies y^2 = 2y + 3 \implies y^2 - 2y - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y - 3)(y + 1) = 0$,अतः $y = 3$ और $y = -1$ है।
परिबद्ध क्षेत्रफल रेखा और वक्र के बीच के अंतर का $y$ के सापेक्ष $-1$ से $3$ तक का समाकलन है: $x_{line} - x_{curve} = (y + 1) - \frac{y^2 - 1}{2}$.
$\text{Area} = \int_{-1}^3 \left( y + 1 - \frac{y^2 - 1}{2} \right) dy = \int_{-1}^3 \left( \frac{2y + 2 - y^2 + 1}{2} \right) dy = \frac{1}{2} \int_{-1}^3 (3 + 2y - y^2) dy$.
$= \frac{1}{2} \left[ 3y + y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^3$.
$= \frac{1}{2} \left[ (9 + 9 - 9) - (-3 + 1 + \frac{1}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left[ 9 - (-\frac{5}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{27 + 5}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^2=x$ और रेखा $x+y=2$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y = 2-x$ को $y^2=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2-x)^2 = x$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4x + 4 = x$ या $x^2 - 5x + 4 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x-4)(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x=1$ या $x=4$ है।
प्रथम चतुर्थांश में,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
रेखा $x+y=2$,$x$-अक्ष को $(2, 0)$ पर काटती है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक परवलय का समाकलन और $x=1$ से $x=2$ तक रेखा का समाकलन है।
क्षेत्रफल $= \int_0^1 \sqrt{x} \, dx + \int_1^2 (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$
$= \left( \frac{2}{3} - 0 \right) + \left( (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए परवलय $y^2=8x$ और $x^2=8y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{8}$ को $y^2=8x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{x^2}{8}\right)^2 = 8x \Rightarrow \frac{x^4}{64} = 8x \Rightarrow x^4 = 512x \Rightarrow x(x^3 - 512) = 0$.
अतः,$x=0$ या $x=8$। प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $P(8,8)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=8$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_0^8 (\sqrt{8x} - \frac{x^2}{8}) dx = \int_0^8 (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \frac{x^2}{8}) dx$.
$A = [2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^8 - [\frac{x^3}{24}]_0^8$.
$A = [\frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot x^{3/2}]_0^8 - \frac{512}{24}$.
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8\sqrt{8}) - \frac{64}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (16\sqrt{2}) - \frac{64}{3} = \frac{128}{3} - \frac{64}{3} = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए परवलय $y^{2} = 5x$ और $x^{2} = 5y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,पहले समीकरण में $y = \frac{x^{2}}{5}$ प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{x^{2}}{5})^{2} = 5x \Rightarrow \frac{x^{4}}{25} = 5x \Rightarrow x^{4} = 125x \Rightarrow x(x^{3} - 125) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 5$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(5, 5)$ हैं।
दोनों वक्रों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{5} (\sqrt{5x} - \frac{x^{2}}{5}) dx$
$A = \sqrt{5} \int_{0}^{5} x^{1/2} dx - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} x^{2} dx$
$A = \sqrt{5} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{5} - \frac{1}{5} [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}$
$A = \sqrt{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot (5)^{3/2} - \frac{1}{15} \cdot (5)^{3}$
$A = \frac{2}{3} \cdot 5 \cdot 5 - \frac{125}{15} = \frac{50}{3} - \frac{25}{3} = \frac{25}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $y^{2}=x$ और $x+y=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=2-x$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:
$(2-x)^{2}=x$
$4-4x+x^{2}=x$
$x^{2}-5x+4=0$
$(x-4)(x-1)=0$
$x=1$ या $x=4$ प्राप्त होता है।
चूंकि हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं,इसलिए हम $x=1$ लेंगे। $x=1$ को $y^{2}=x$ में रखने पर,हमें $y=1$ प्राप्त होता है (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $y>0$ होता है)।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,1)$ है।
रेखा $x+y=2$,$X$-अक्ष को $(2,0)$ पर काटती है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल और $x=1$ से $x=2$ तक रेखा के नीचे के क्षेत्रफल का योग है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + \int_{1}^{2} (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{2}$
$= \frac{2}{3}(1) + \left( (4-2) - (2-0.5) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - 1.5) = \frac{2}{3} + 0.5 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y^{2}=8x$ $(i)$ और $y=x$ (ii) हैं।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हम $y=x$ को $y^{2}=8x$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x^{2}=8x \Rightarrow x^{2}-8x=0 \Rightarrow x(x-8)=0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=8$ हैं।
$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=8$ के लिए $y=8$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=8$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{8} (\sqrt{8x} - x) dx$
$= \int_{0}^{8} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} (8)^{3/2} - \frac{8^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{4\sqrt{2}}{3} (16\sqrt{2}) - \frac{64}{2}$
$= \frac{4 \times 16 \times 2}{3} - 32$
$= \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3}$.
अतः,क्षेत्रफल $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2=8$ $(i)$ और $y^2=2x$ $(ii)$ हैं।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2+2x-8=0$ प्राप्त होता है।
$(x+4)(x-2)=0$,जिससे $x=2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $y^2=2x$ के लिए $x \ge 0$)।
$x=2$ के लिए,$y^2=4$,अतः $y=\pm 2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(2, -2)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,अतः क्षेत्रफल $= 2 \times [\text{वक्र } y^2=2x \text{ \text{द्वारा }} x=0 \text{ \text{से }} 2 \text{ \text{तक का क्षेत्र}} + \text{वक्र } x^2+y^2=8 \text{ \text{द्वारा }} x=2 \text{ \text{से }} 2\sqrt{2} \text{ \text{तक का क्षेत्र}}]$।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_0^2 \sqrt{2x} \, dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{8-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^2 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{8}} \right)_2^{2\sqrt{2}} \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} + \left( (0 + 4 \sin^{-1}(1)) - (1 \cdot \sqrt{4} + 4 \sin^{-1}(1/\sqrt{2})) \right) \right]$.
$= 2 \left[ \frac{8}{3} + 4(\pi/2) - 2 - 4(\pi/4) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi \right] = 2 \left[ \frac{2}{3} + \pi \right] = 2\pi + \frac{4}{3}$.

(A) दिए गए वक्र $x^{2}=y$ और $y=4x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x^{2}$ को $y=4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^{2}=4x \implies x^{2}-4x=0 \implies x(x-4)=0$.
अतः,$x=0$ और $x=4$.
जब $x=0, y=0$ और जब $x=4, y=16$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,16)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^{2}) dx$.
पदों का समाकलन करने पर:
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0) = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल वक्र $y=x^2+2$ और रेखा $y=x+1$ द्वारा $x=0$ से $x=3$ के बीच परिबद्ध है।
चूंकि $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2+2 \geq x+1$ है,इसलिए क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^3 [(x^2+2) - (x+1)] \, dx$
$= \int_0^3 (x^2 - x + 1) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - (0)$
$= \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) दी गई असमिकाएं हैं:
$x \geq 0$
$x+y \leq 3$
$x^2 \leq 4y$
$y \leq 1+\sqrt{x}$
सीमावर्ती वक्र हैं:
$x+y=3 \quad (i)$
$x^2=4y \quad (ii)$
$y=1+\sqrt{x} \quad (iii)$
$(i)$ और $(iii)$ से:
$3-x = 1+\sqrt{x}$
$x+\sqrt{x}-2=0$
$(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)=0$
चूंकि $\sqrt{x} \geq 0$,इसलिए $\sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1, y=2$.
$(i)$ और $(ii)$ से:
$x + \frac{x^2}{4} = 3$
$x^2+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x=2, y=1$.
आवश्यक क्षेत्रफल है:
$A = \int_0^1 (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_1^2 (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^1 + [3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12}]_1^2$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + ((6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12}))$
$A = \frac{19}{12} + (1 - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{1}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण $y = 4x - 1$ में $x = \frac{y^2}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 4\left(\frac{y^2}{2}\right) - 1$
$y = 2y^2 - 1$
$2y^2 - y - 1 = 0$
$(2y + 1)(y - 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 1$ और $y = -\frac{1}{2}$ पर प्राप्त होते हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{-1/2}^{1}$
$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1/4}{8} + \frac{-1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} \right)$
$= \left( \frac{3+6-4}{24} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3 - 12 + 2}{96} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} \right) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

(C) अभीष्ट क्षेत्रफल $x=1$ और $x=2$ सीमाओं के बीच ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_1^2 (e^x - \log x) dx$
$= \int_1^2 e^x dx - \int_1^2 \log x dx$
$= [e^x]_1^2 - [x \log x - x]_1^2$
$= (e^2 - e^1) - [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)]$
चूंकि $\log 1 = 0$,इसलिए:
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 2 - 0 + 1]$
$= e^2 - e - [2 \log 2 - 1]$
$= e^2 - e + 1 - 2 \log 2 \text{ वर्ग इकाई}$

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2-y^2=9$ है,जिसे $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a=3$ और $b=3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{9}} = \sqrt{2}$ है।
नाभिलंब $x=ae = 3\sqrt{2}$ पर स्थित है।
प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ है।
चूंकि अतिपरवलय दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $4 \int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ होगा।
सूत्र $\int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log|x+\sqrt{x^2-a^2}|$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\log|x+\sqrt{x^2-9}| \right]_{3}^{3\sqrt{2}}$.
$= 18[\sqrt{2}-\log(\sqrt{2}+1)]$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $\sin(\pi x)$,$x = 0$ और $x = 1$ पर चिह्न बदलता है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-1}^{0} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{0}^{1} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$.
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$\sin(\pi x) \leq 0$,इसलिए $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
$x \in [0, 1]$ के लिए,$\sin(\pi x) \geq 0$,इसलिए $|\sin(\pi x)| = \sin(\pi x)$.
$x \in [1, 2]$ के लिए,$\sin(\pi x) \leq 0$,इसलिए $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
$A = \int_{-1}^{0} -\sin(\pi x) \, dx + \int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx$.
इनका मूल्यांकन करने पर:
$\int -\sin(\pi x) \, dx = \frac{\cos(\pi x)}{\pi}$.
$A = [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{-1}^{0} + [-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{0}^{1} + [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{1}^{2}$.
$A = (\frac{1}{\pi} - \frac{-1}{\pi}) + (-(\frac{-1}{\pi} - \frac{1}{\pi})) + (\frac{1}{\pi} - \frac{-1}{\pi}) = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{6}{\pi}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) परवलय $y^2 = 8x$ और रेखा $y = -x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y = -x$ को $y^2 = 8x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(-x)^2 = 8x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - 8x = 0$.
अतः,$x(x - 8) = 0$,इसलिए $x = 0$ और $x = 8$.
$x = 0$ के लिए,$y = 0$. $x = 8$ के लिए,$y = -8$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(8, -8)$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-8}^{0} ((-y) - (y^2/8)) dy = [-\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{24}]_{-8}^{0} = 0 - (- \frac{64}{2} - \frac{-512}{24}) = -(-32 + \frac{64}{3}) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$.