Area bounded by region of multi curve Questions in Hindi

(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2-2ax=0$ (केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त) और $y^2=ax$ (परवलय) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=ax$ को $x^2+y^2-2ax=0$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2+ax-2ax=0 \implies x^2-ax=0 \implies x(x-a)=0$.
अतः,वक्र $x=0$ और $x=a$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$X$-अक्ष के ऊपर के भाग के लिए,क्षेत्रफल $x=0$ से $x=a$ तक ऊपरी वक्र (वृत्त) और निचले वक्र (परवलय) के बीच के अंतर का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_0^a \left(\sqrt{2ax-x^2} - \sqrt{ax}\right) dx$
$= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx$
सूत्र $\int \sqrt{r^2-u^2} du = \frac{u}{2}\sqrt{r^2-u^2} + \frac{r^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{r})$ का उपयोग करते हुए:
$= \left[ \frac{x-a}{2}\sqrt{2ax-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x-a}{a}\right) - \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^a$
$= \left( 0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(0) - \frac{2}{3}a^2 \right) - \left( \frac{-a}{2}\sqrt{0} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(-1) - 0 \right)$
$= (0 + 0 - \frac{2}{3}a^2) - (0 + \frac{a^2}{2}(-\frac{\pi}{2}) - 0)$
$= -\frac{2}{3}a^2 + \frac{\pi a^2}{4} = a^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\right)$ वर्ग इकाई।

(A) वक्रों $y=2x-x^2$ और $y=x^2-2x-6$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$2x-x^2 = x^2-2x-6$
$2x^2-4x-6 = 0$
$x^2-2x-3 = 0$
$(x-3)(x+1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-1$ और $x=3$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x=-1$ से $x=3$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{3} [(2x-x^2) - (x^2-2x-6)] dx$
$A = \int_{-1}^{3} (-2x^2+4x+6) dx$
$A = [- \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 6x]_{-1}^{3}$
सीमाओं पर मान रखने पर:
$A = [(- \frac{2}{3}(27) + 2(9) + 6(3)) - (- \frac{2}{3}(-1) + 2(1) + 6(-1))]$
$A = [(-18 + 18 + 18) - (\frac{2}{3} + 2 - 6)]$
$A = 18 - (\frac{2}{3} - 4) = 18 - (-\frac{10}{3}) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y=\sqrt{x}$ और $x=\sqrt{y}$ हैं।
$x=\sqrt{y}$ का वर्ग करने पर $y=x^2$ प्राप्त होता है।
हमें $x=1$ और $x=4$ के बीच $y=x^2$ और $y=\sqrt{x}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
अंतराल $[1, 4]$ में,वक्र $y=x^2$,वक्र $y=\sqrt{x}$ के ऊपर स्थित है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_1^4 (x^2 - \sqrt{x}) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^4$
$A = \left( \frac{4^3}{3} - \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{2}{3} \times 8 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{16}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right)$
$A = \frac{48}{3} + \frac{1}{3} = \frac{49}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) यहाँ वक्र $y=x^3$ और $y=x$ दिए गए हैं।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि यह क्षेत्र मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है क्योंकि दोनों फलन विषम हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{1} |x - x^3| dx$ द्वारा दिया जाता है।
सममिति के कारण,$A = 2 \int_{0}^{1} |x - x^3| dx$ होगा।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x \geq x^3$ है,इसलिए $|x - x^3| = x - x^3$ होगा।
अतः,$A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$।
$A = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) वक्र $y=x^2+4$ और रेखा $y=5x-2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2+4 = 5x-2$
$x^2-5x+6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=2$ और $x=3$ पर हैं।
अंतराल $[2, 3]$ में,रेखा $y=5x-2$ वक्र $y=x^2+4$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_2^3 ((5x-2) - (x^2+4)) \, dx$
$A = \int_2^3 (5x - x^2 - 6) \, dx$
$A = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 6x \right]_2^3$
सीमाओं पर मान रखने पर:
$A = \left( \frac{5(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} - 6(3) \right) - \left( \frac{5(2)^2}{2} - \frac{(2)^3}{3} - 6(2) \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 9 - 18 \right) - \left( 10 - \frac{8}{3} - 12 \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 27 \right) - \left( -2 - \frac{8}{3} \right)$
$A = \left( \frac{45-54}{2} \right) - \left( \frac{-6-8}{3} \right)$
$A = -\frac{9}{2} + \frac{14}{3} = \frac{-27+28}{6} = \frac{1}{6}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई है।

(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ हैं।
चूंकि $x-[x] = \{x\}$,इसलिए $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ है।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x+|x| = 2x$ और $\{x\} \in [0, 1)$ होता है।
सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $2x \geq \{x\}$ होने के कारण,फलन $y=2x$ में सरल हो जाता है।
हमें $x=0$ और $x=2$ के बीच $y=2x^2$ और $y=2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
वक्र $2x^2 = 2x$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जिससे $x^2-x=0$ मिलता है,अतः $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।
$x \in [0, 1]$ के लिए,$2x \geq 2x^2$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$2x^2 \geq 2x$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$ है।
$= [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 + [\frac{2x^3}{3} - x^2]_1^2$.
$= (1 - \frac{2}{3}) + [(\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 1)]$.
$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) दिए गए वक्रों के समीकरण हैं:
$y = 8x - x^2$ $(i)$
$8x - 4y + 11 = 0$ (ii)
(ii) से,$4y = 8x + 11 \Rightarrow y = \frac{8x+11}{4} = 2x + \frac{11}{4}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,(ii) से $y$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$2x + \frac{11}{4} = 8x - x^2$
$x^2 - 6x + \frac{11}{4} = 0$
$4x^2 - 24x + 11 = 0$
$4x^2 - 22x - 2x + 11 = 0$
$2x(2x - 11) - 1(2x - 11) = 0$
$(2x - 1)(2x - 11) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{11}{2}$.
क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है:
$A = \int_{1/2}^{11/2} [y_{\text{parabola}} - y_{\text{line}}] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} [(8x - x^2) - (2x + \frac{11}{4})] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} (-x^2 + 6x - \frac{11}{4}) dx$
$A = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - \frac{11}{4}x]_{1/2}^{11/2}$
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1331}{8} - \frac{1}{8}) + 3(\frac{121}{4} - \frac{1}{4}) - \frac{11}{4}(\frac{11}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1330}{8}) + 3(\frac{120}{4}) - \frac{11}{4}(5)]$
$A = [-\frac{665}{12} + 90 - \frac{55}{4}] = [-\frac{665}{12} + \frac{1080}{12} - \frac{165}{12}] = \frac{250}{12} = \frac{125}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिए गए वक्र $x=y^2-2$ और $x=y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x=y$ को $x=y^2-2$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = y^2 - 2$
$y^2 - y - 2 = 0$
$(y-2)(y+1) = 0$
अतः,$y=2$ और $y=-1$ प्राप्त होते हैं।
जब $y=2$ है,तो $x=2$ और जब $y=-1$ है,तो $x=-1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ और $(2, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y=-1$ से $y=2$ तक दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{2} (y - (y^2 - 2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{2} (y - y^2 + 2) \, dy$
$A = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} + 2y \right]_{-1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$
$A = \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 \right)$
$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3+2-12}{6} \right)$
$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y=ax^2$ $(i)$ और $x=ay^2$ $(ii)$ हैं।
$(ii)$ से $y$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = a(ax^2)^2 = a^3x^4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(a^3x^3 - 1) = 0$।
अतः,$x=0$ या $x=\frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।
$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=\frac{1}{a}$ के लिए $y=\frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\int_0^{1/a} (\sqrt{x/a} - ax^2) dx = 3$ द्वारा दिया जाता है।
$\int_0^{1/a} \frac{1}{\sqrt{a}} x^{1/2} dx - \int_0^{1/a} ax^2 dx = 3$।
$\frac{1}{\sqrt{a}} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^{1/a} - a [\frac{x^3}{3}]_0^{1/a} = 3$।
$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{a})^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot (\frac{1}{a})^3 = 3$।
$\frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 3$।
$\frac{1}{3a^2} = 3 \Rightarrow 9a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{9}$।
चूंकि $a>0$,इसलिए $a = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) $y=9x^2$ और $y=5x^2+4$ वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$9x^2 = 5x^2 + 4$
$4x^2 = 4$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
जब $x = 1$ है,तो $y = 9(1)^2 = 9$ है। जब $x = -1$ है,तो $y = 9(-1)^2 = 9$ है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 9)$ और $(-1, 9)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{1} [(5x^2+4) - 9x^2] dx$
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम लिख सकते हैं:
$\text{Area} = 2 \int_{0}^{1} (4 - 4x^2) dx$
$= 2 [4x - \frac{4x^3}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 (4(1) - \frac{4(1)^3}{3}) - 2(0 - 0)$
$= 2 (4 - \frac{4}{3})$
$= 2 (\frac{12-4}{3})$
$= 2 (\frac{8}{3}) = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिए गए वक्र $x = -2y^2$ और $x = 1 - 3y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2y^2 = 1 - 3y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$
जब $y = 1$,तो $x = -2(1)^2 = -2$. जब $y = -1$,तो $x = -2(-1)^2 = -2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष $-1$ से $1$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$Area = \int_{-1}^{1} |(1 - 3y^2) - (-2y^2)| dy$
$Area = \int_{-1}^{1} |1 - y^2| dy$
चूंकि फलन $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम लिख सकते हैं:
$Area = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$
$Area = 2 [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1}$
$Area = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y^2=4x$ और $x^2=4y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2=4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 4$.
जब $x = 0, y = 0$. जब $x = 4, y = 4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $A(4,4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} \left( \sqrt{4x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} \left( 2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{क्षेत्रफल} = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{क्षेत्रफल} = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{क्षेत्रफल} = \left( \frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12} \right) - (0)$
$\text{क्षेत्रफल} = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12} \right)$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) दिए गए वक्र $x=y^2$ और $x=3-2y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 3-2y^2$ रखें,जिससे $3y^2 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $y^2 = 1$,जिसका अर्थ है $y = \pm 1$।
जब $y = 1$,तो $x = 1$। जब $y = -1$,तो $x = 1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(1, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = 2 \int_0^1 (x_2 - x_1) dy$
$= 2 \int_0^1 ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_0^1 (3-3y^2) dy$
$= 2 [3y - y^3]_0^1$
$= 2 [3(1) - (1)^3 - (0)]$
$= 2 [3 - 1] = 2 \times 2 = 4$ वर्ग इकाई।

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-1)^2+(1-x^2)=1$
$x^2-2x+1+1-x^2=1$
$-2x+2=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ और $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times$ (प्रथम चतुर्थांश में $x=0, x=\frac{1}{2}, x=1$ और वृत्तों के चाप द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल) होगा।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_0^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + \int_{1/2}^1 \sqrt{1-x^2} dx \right]$
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \left( \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right)_0^{1/2} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_{1/2}^1 \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{-1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right) + \left( (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=x^3$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = x^3$ रखें,जिसका अर्थ है $x^2(1-x) = 0$।
अतः,वक्र $x=0$ और $x=1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2 \ge x^3$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए वक्र हैं:
$y^2 = 4x$ ... $(i)$
$x^2 = 4y$ ... (ii)
(ii) से,$y = \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0 - 0]$
$= [\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}]$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(A) दिए गए दीर्घवृत्त $E_1: x^{2} + 2y^{2} = a^{2}$ और $E_2: 2x^{2} + y^{2} = a^{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर: $x^{2} + 2(a^{2} - 2x^{2}) = a^{2} \implies 3x^{2} = a^{2} \implies x = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{a}{\sqrt{3}}$ पर,$y = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_{0}^{a/\sqrt{3}} (y_1 - y_2) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन का मान $\frac{a^{2}}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए परवलयों के समीकरण हैं:
$y^2 = -8(x-2) \quad \dots(1)$
$y^2 = 24(x+2) \quad \dots(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-8(x-2) = 24(x+2)$
$-8x + 16 = 24x + 48$
$-32x = 32 \implies x = -1$
$x = -1$ पर,$y^2 = 24(-1+2) = 24$,अतः $y = \pm 2\sqrt{6}$.
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के भाग के क्षेत्रफल का दोगुना होगा:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{24(x+2)} \, dx + \int_{-1}^{2} \sqrt{-8(x-2)} \, dx \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ 2\sqrt{6} \int_{-2}^{-1} \sqrt{x+2} \, dx + 2\sqrt{2} \int_{-1}^{2} \sqrt{2-x} \, dx \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right)_{-2}^{-1} + \sqrt{2} \left( -\frac{2}{3}(2-x)^{3/2} \right)_{-1}^{2} \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(1) - 0 \right) + \sqrt{2} \left( 0 - (-\frac{2}{3}(3)^{3/2}) \right) \right]$
$\text{क्षेत्रफल} = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3\sqrt{3} \right] = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + 2\sqrt{6} \right] = 4 \left[ \frac{8\sqrt{6}}{3} \right] = \frac{32}{3} \sqrt{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिए गए वक्रों $y=4x^{2}$ और $y=\frac{x^{2}}{9}$ के लिए,$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$y=4x^{2}$ के लिए,$x^{2}=\frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$.
$y=\frac{x^{2}}{9}$ के लिए,$x^{2}=9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$.
यह क्षेत्र $y=0$ से $y=2$ के बीच स्थित है और $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_{0}^{2} \left(3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}\right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2}$
$A = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) परवलयों $x = -2y^{2}$ और $x = 1 - 3y^{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
अतः,वक्र $y = -1$ और $y = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$ दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
चूंकि फलन $(1 - y^{2})$ एक सम फलन है,हम समाकलन को सरल बना सकते हैं:
$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$A = 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र $y=x+1$ और $y=\cos x$ हैं। यह क्षेत्र इन वक्रों और $X$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
ग्राफ से,क्षेत्र $x=0$ पर दो भागों में विभाजित है।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,क्षेत्र $y=x+1$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
$x \in [0, \pi/2]$ के लिए,क्षेत्र $y=\cos x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
$\text{आवश्यक क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{0} (x+1) dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} + [\sin x]_{0}^{\pi/2}$
$= \left( (0) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - 1 \right) \right) + (\sin(\pi/2) - \sin(0))$
$= \left( 0 - (\frac{1}{2} - 1) \right) + (1 - 0)$
$= \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) दिया गया है कि वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2ax$ है,जिसे $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय का समीकरण $y^{2}=ax$ है,जहाँ $a>0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^{2}=ax$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2}+ax=2ax$
$x^{2}-ax=0$
$x(x-a)=0$
अतः,$x=0$ या $x=a$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(a, a)$ हैं ($X$-अक्ष के ऊपर का भाग लेते हुए)।
आवश्यक क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में वृत्त के एक-चौथाई भाग का क्षेत्रफल माइनस $x=0$ से $x=a$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{a} \sqrt{2ax-x^{2}} dx - \int_{0}^{a} \sqrt{ax} dx$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2}{3} \sqrt{a} (a^{3/2})$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2a^{2}}{3}$
$= a^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

(C) वक्र $y=\sqrt{5-x^2}$ (त्रिज्या $\sqrt{5}$ वाला अर्धवृत्त) और $y=|x-1|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\sqrt{5-x^2} = |x-1|$ रखें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5-x^2 = x^2-2x+1 \implies 2x^2-2x-4=0 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-1$ और $x=2$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{2} (\sqrt{5-x^2} - |x-1|) dx$.
$A = \int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx - \int_{-1}^{2} |x-1| dx$.
पहले समाकलन के लिए,$\int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) \right]_{-1}^{2} = 2 + \frac{5\pi}{4}$.
दूसरे समाकलन के लिए,$\int_{-1}^{2} |x-1| dx = \int_{-1}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2} (x-1) dx = 2 + 0.5 = 2.5 = 5/2$.
अतः,$A = 2 + \frac{5\pi}{4} - 2.5 = \frac{5\pi}{4} - 0.5$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया परवलय का समीकरण $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ है और रेखा का समीकरण $y=x+1$ (ii) है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$x^{2}-4x+5 = x+1$
$x^{2}-5x+4 = 0$
$(x-1)(x-4) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ और $x=4$ पर हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=1$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\text{Area} = \int_{1}^{4} \{(x+1) - (x^{2}-4x+5)\} dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{4} (-x^{2}+5x-4) dx$
$\text{Area} = \left[ -\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} - 4x \right]_{1}^{4}$
सीमाओं को रखने पर:
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 4(4) \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5(1)}{2} - 4(1) \right)$
$\text{Area} = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$
$\text{Area} = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{5}{2} - \frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{8}{3} - \left( \frac{15-26}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16+11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(D) दिया गया है,$f(x)=x^{2/3}$ और रेखा $y=x$ है।
$x \in [1, 8]$ के लिए,$x \geq x^{2/3}$ होता है क्योंकि $x \geq 1$ के लिए $x^3 \geq x^2$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{8} (x - x^{2/3}) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_{1}^{8}$
$= \left( \frac{8^2}{2} - \frac{3}{5} (8)^{5/3} \right) - \left( \frac{1^2}{2} - \frac{3}{5} (1)^{5/3} \right)$
$= \left( \frac{64}{2} - \frac{3}{5} \times 32 \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{5} \right)$
$= \left( 32 - \frac{96}{5} \right) - \left( \frac{5-6}{10} \right)$
$= \left( \frac{160-96}{5} \right) - \left( -\frac{1}{10} \right)$
$= \frac{64}{5} + \frac{1}{10} = \frac{128+1}{10} = \frac{129}{10}$.

(B) वक्र $y=x^{3}$ और $y=\frac{1}{x}$ बिंदु $x^{3} = \frac{1}{x}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जिसका अर्थ है $x^{4} = 1$। प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x=1$ प्राप्त होता है। $x=1$ पर,$y=1$ है।
यह क्षेत्र $x=0$ से $x=1$ तक $y=x^{3}$ द्वारा और $x=1$ से $x=2$ तक $y=\frac{1}{x}$ द्वारा परिबद्ध है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} x^{3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \log_{e} x \right]_{1}^{2}$
$= (\frac{1}{4} - 0) + (\log_{e} 2 - \log_{e} 1)$
$= \frac{1}{4} + \log_{e} 2$.

(C) फलन $y = \sin^{-1} x$,$-1 \leq x \leq 1$ के लिए परिभाषित है। प्रथम चतुर्थांश में,$0 \leq x \leq 1$ है।
चूँकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x(1-x) \geq 0$ है,इसलिए वक्र $y_1 = \sin^{-1} x + x(1-x)$,वक्र $y_2 = \sin^{-1} x - x(1-x)$ के ऊपर स्थित है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $y_1 = y_2$ रखने पर प्राप्त होते हैं,जो $2x(1-x) = 0$ देता है,जिसका अर्थ है $x = 0$ या $x = 1$।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{1} [(\sin^{-1} x + x - x^2) - (\sin^{-1} x - x + x^2)] dx$
$A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3}$.

(D) $y^2=x$ और $y=x$ वक्रों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$y^2 = y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y=0$ और $y=1$ पर हैं। तदनुसार $x=0$ और $x=1$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए वक्र $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 4$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4, 4)$ हैं।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_0^4$
$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{4^3}{12}) - (0 - 0)$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए वक्र $y^2 = x$ (दाहिनी ओर खुलने वाला परवलय) और $y = |x|$ ($V$-आकार का ग्राफ) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y^2 = x$ और $y = |x|$ को बराबर रखते हैं।
चूंकि $y = |x|$,इसलिए $y^2 = x^2$ होता है।
$y^2 = x$ को $x^2 = y^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x - 1) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 1$ पर हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,वक्र $y = \sqrt{x}$ रेखा $y = x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) दिए गए परवलय $y=4x^2 \implies x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ और $y=\frac{x^2}{9} \implies x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ हैं।
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।
प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $y=0$ से $y=2$ तक $x = 3\sqrt{y}$ और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{2} (3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{2} (\frac{6\sqrt{y} - \sqrt{y}}{2}) dy = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy$.
$A = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy = 5 [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{2}$.
$A = 5 \times \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0)$.
$A = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) $P_{1}: y = 4x^{2}$ और $P_{2}: y = x^{2} + 27$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $4x^{2} = x^{2} + 27$ को हल करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $3x^{2} = 27$,अर्थात $x = \pm 3$ मिलता है।
$P_{1}$ और $P_{2}$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A_{1} = \int_{-3}^{3} ((x^{2} + 27) - 4x^{2}) dx = \int_{-3}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 \int_{0}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 [27x - x^{3}]_{0}^{3} = 2(81 - 27) = 108$ वर्ग इकाई।
प्रश्न के अनुसार,$P_{1}$ और रेखा $y = \alpha x$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $A_{2} = \frac{A_{1}}{6} = \frac{108}{6} = 18$ वर्ग इकाई है।
रेखा $y = \alpha x$,$P_{1}: y = 4x^{2}$ को $4x^{2} = \alpha x$ पर काटती है,जिससे $x(4x - \alpha) = 0$,अर्थात $x = 0$ और $x = \frac{\alpha}{4}$ मिलता है।
क्षेत्रफल $A_{2} = \int_{0}^{\alpha/4} (\alpha x - 4x^{2}) dx = [\frac{\alpha x^{2}}{2} - \frac{4x^{3}}{3}]_{0}^{\alpha/4} = \frac{\alpha}{2}(\frac{\alpha^{2}}{16}) - \frac{4}{3}(\frac{\alpha^{3}}{64}) = \frac{\alpha^{3}}{32} - \frac{\alpha^{3}}{48} = \frac{\alpha^{3}}{96}$।
$A_{2} = 18$ रखने पर,$\frac{\alpha^{3}}{96} = 18$,इसलिए $\alpha^{3} = 18 \times 96 = 1728$।
अतः,$\alpha = \sqrt[3]{1728} = 12$।

(C) क्षेत्र $R$, $y=x^2$, $y=1$, और $xy=8$ (या $y=8/x$) द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2=1 \implies x=1$ (चूंकि $x \ge 0$)
$x^2=8/x \implies x^3=8 \implies x=2$
$8/x=1 \implies x=8$
क्षेत्रफल $A$ दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx$
पहले समाकल का मूल्यांकन:
$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$
दूसरे समाकल का मूल्यांकन:
$\int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) = 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - 6$
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{4}{3} + 16 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - \frac{14}{3} = \frac{48 \ln 2 - 14}{3} = \frac{2}{3}(24 \ln 2 - 7)$.

(A) सबसे पहले,हम $A_1$ की गणना करते हैं:
$A_1 = \int_0^2 ((8-x) - (x^2+2)) dx = \int_0^2 (6-x-x^2) dx$
$A_1 = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 12 - 2 - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}$
अब,हम $A_2$ की गणना करते हैं:
$A_2 = \int_0^2 (x^2+2) dx - \int_0^2 \sqrt{x} dx$
$A_2 = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 - [\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^2$
$A_2 = (\frac{8}{3} + 4) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) = \frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$
अंत में,$A_1 - A_2 = \frac{22}{3} - (\frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3}(1 + 2\sqrt{2})$

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = 4 - x^2$,रेखा $y = -2x + 1$ और अक्षों $x \ge 0, y \ge 0$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष } (0,0), (0.5,0), (0,1) \text{ हैं।}$
क्षेत्रफल $= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{2} \times 0.5 \times 1$
$= (8 - \frac{8}{3}) - \frac{1}{4} = \frac{16}{3} - \frac{1}{4} = \frac{64 - 3}{12} = \frac{61}{12}$.
यहाँ $\alpha = 61$ और $\beta = 12$ है,इसलिए $\alpha + \beta = 61 + 12 = 73$.

(B) दिया गया क्षेत्र दीर्घवृत्त $4x^2 + y^2 = 8$ और परवलय $y^2 = 4x$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,$y^2 = 4x$ को $4x^2 + y^2 = 8$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$4x^2 + 4x - 8 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$.
परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,$x = 1$ प्राप्त होता है। $x=1$ पर,$y^2 = 4$,अतः $y = \pm 2$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^1 \sqrt{4x} dx + 2 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{8-4x^2} dx$.
$= 4 \int_0^1 \sqrt{x} dx + 4 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^2} dx$.
$= 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2-x^2} + \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_1^{\sqrt{2}}$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$.
$= \frac{8}{3} + 4 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi = \pi + \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ (केंद्र $(0,0)$,त्रिज्या $2$) और $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ (केंद्र $(0,2)$,त्रिज्या $2$) हैं।
समीकरणों को हल करने पर: $x^{2}+y^{2}=4$ और $x^{2}+y^{2}-4y+4=4$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में $x^{2}+y^{2}=4$ रखने पर: $4-4y+4=4$,जिससे $4y=4$ प्राप्त होता है,अतः $y=1$ है।
$y=1$ को $x^{2}+y^{2}=4$ में रखने पर,हमें $x^{2}+1=4$ मिलता है,इसलिए $x^{2}=3$,$x=\pm\sqrt{3}$ है।
प्रतिच्छेदन का क्षेत्रफल $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} [\sqrt{4-x^{2}} - (2 - \sqrt{4-x^{2}})] dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (2\sqrt{4-x^{2}} - 2) dx = 4 \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-x^{2}} - 1) dx$ है।
सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 4 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) - x]_{0}^{\sqrt{3}}$
$A = 4 [(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-3} + 2\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})) - \sqrt{3}]$
$A = 4 [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}] = 4 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} = \frac{2}{3}(4\pi - 3\sqrt{3})$।

(B) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\frac{3\pi}{2}$ तक वक्र $y=\max\{\sin x, \cos x\}$ और x-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
हम समाकलन को उन अंतरालों के आधार पर विभाजित करते हैं जहाँ $\sin x$ या $\cos x$ बड़े होते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} |\sin x| \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$
चूंकि क्षेत्रफल x-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है,इसलिए हम फलनों का निरपेक्ष मान लेते हैं जहाँ वे ऋणात्मक होते हैं।
$A = \int_{0}^{\pi/4} \cos x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/4} (-\sin x) \, dx + \int_{5\pi/4}^{3\pi/2} (-\cos x) \, dx$
$A = [\sin x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x]_{\pi/4}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{5\pi/4} + [-\sin x]_{5\pi/4}^{3\pi/2}$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + (-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)) + (-(-1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$
अतः,$A+A^2 = 3 + 3^2 = 3 + 9 = 12$.

(D) सबसे पहले,$y=1+x^2$ और $y=3-x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $1+x^2=3-x$ रखें,जिससे $x^2+x-2=0$ प्राप्त होता है,अतः $(x+2)(x-1)=0$। प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-2$ और $x=1$ हैं।
कुल क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{1} [(3-x)-(1+x^2)] dx = \int_{-2}^{1} (2-x-x^2) dx = [2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = \frac{13}{2}$ है।
$x=-1$ के बाईं ओर का क्षेत्रफल $A_1 = \int_{-2}^{-1} (2-x-x^2) dx = \frac{7}{6}$ है।
$x=-1$ के दाईं ओर का क्षेत्रफल $A_2 = \int_{-1}^{1} (2-x-x^2) dx = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ है।
क्षेत्रफलों का अनुपात $A_2 : A_1 = \frac{10/3}{7/6} = \frac{20}{7}$ है। अतः $m=20$ और $n=7$,इसलिए $m+n=27$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^{2}+4y^{2}=4$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a=2$ और $b=1$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_{e} = \pi ab = \pi \times 2 \times 1 = 2\pi$ है।
वक्रों $y=|x|-1$ और $y=1-|x|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $(1,0), (0,1), (-1,0),$ और $(0,-1)$ हैं।
इस वर्ग की भुजा की लंबाई $s = \sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ है।
इस वर्ग का क्षेत्रफल $A_{s} = s^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के अंदर और वर्ग के बाहर का भाग है,जो $A_{e} - A_{s} = 2\pi - 2 = 2(\pi-1)$ है।

(B) वक्र $y = 6-x$ और $y^2 = 4x-3$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(6-x)^2 = 4x-3 \implies 36 - 12x + x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 16x + 39 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x-3)(x-13) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=3$ या $x=13$ है।
$x=3$ पर,$y=3$ है। यह क्षेत्र $x=0$,$y=6-x$,और $y^2=4x-3$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $\int_0^3 (6-x) dx - \int_{3/4}^3 2\sqrt{x-3/4} dx$ द्वारा दिया जाता है।
पहले समाकलन का मान: $[6x - x^2/2]_0^3 = 18 - 4.5 = 13.5$.
दूसरे समाकलन का मान: $\int_{3/4}^3 2(x-3/4)^{1/2} dx = [2 \cdot \frac{2}{3} (x-3/4)^{3/2}]_{3/4}^3 = \frac{4}{3} (3-0.75)^{3/2} = \frac{4}{3} (2.25)^{3/2} = \frac{4}{3} (3.375) = 4.5$.
कुल क्षेत्रफल $= 13.5 - 4.5 = 9$.

(C) दिए गए वक्र $x = -3y^2$ और $x = 1 - 4y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-3y^2 = 1 - 4y^2$
$y^2 = 1$
$y = \pm 1$.
क्षेत्रफल $A$,$-1$ से $1$ तक $y$ के सापेक्ष दाईं ओर के वक्र में से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 4y^2) - (-3y^2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) \, dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{(-1)^3}{3})$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है $f(x) + 3f(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ $(1)$।
$x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(\frac{\pi}{2} - x) + 3f(x) = \cos x$ $(2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3f(\frac{\pi}{2} - x) + 9f(x) = 3\cos x$ $(3)$।
समीकरण $(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $8f(x) = 3\cos x - \sin x$।
अतः,$f(x) = \frac{3}{8}\cos x - \frac{1}{8}\sin x$।
$f(x) = A\cos x + B\sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{A^2 + B^2}$ होता है।
अतः,$\alpha = \sqrt{(\frac{3}{8})^2 + (-\frac{1}{8})^2} = \sqrt{\frac{9+1}{64}} = \frac{\sqrt{10}}{8}$।
तब $\alpha^2 = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$।
वक्र $g(x) = x^2$ और $h(x) = \beta x^3$ बिंदु $x^2 = \beta x^3$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जिससे $x = 0$ और $x = \frac{1}{\beta}$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\int_0^{1/\beta} (x^2 - \beta x^3) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{\beta x^4}{4}]_0^{1/\beta} = \frac{1}{3\beta^3} - \frac{1}{4\beta^3} = \frac{1}{12\beta^3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{1}{12\beta^3} = \alpha^2 = \frac{5}{32}$।
अतः,$12\beta^3 = \frac{32}{5} = 6.4$,इसलिए $\beta^3 = \frac{6.4}{12} = \frac{8}{15}$।
अंत में,$30\beta^3 = 30 \times \frac{8}{15} = 16$।