Area bounded by region of multi curve Questions in Hindi

(B) दिए गए परवलय $y=x^2$ और $y=1-x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 1-x^2$ रखें,जिससे $2x^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x^2 = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ और $C\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ हैं।
परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ से $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} [(1-x^2) - x^2] dx = \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$.
$= 2 \left[ x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 \right] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2 \sqrt{2}} \right] = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3 \sqrt{2}} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{3-1}{3 \sqrt{2}} \right] = 2 \left[ \frac{2}{3 \sqrt{2}} \right] = \frac{4}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) पहली आकृति का क्षेत्रफल $= 2xy + \frac{1}{2}(2y+y)x = 3.5xy$.
दूसरी आकृति का क्षेत्रफल $= 2xy + y^2$ के रूप में गणना की जाती है।
दोनों को बराबर करने पर: $3.5xy = 2xy + y^2$ $\Rightarrow 1.5xy = y^2$ $\Rightarrow 1.5x = y$ $\Rightarrow 3x = 2y$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही संबंध $x=2y$ है।

(C) दिए गए वक्र $y^2 = -4(x-1)$ और $x = \frac{y-2}{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y-2}{2}$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$y^2 = -4(\frac{y-2}{2} - 1) = -2(y-2-2) = -2(y-4) = -2y + 8$.
$y^2 + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = -4$ और $y = 2$ पर हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{-4}^{2} [x_{right} - x_{left}] dy = \int_{-4}^{2} [\frac{4-y^2}{4} - \frac{y-2}{2}] dy$.
$A = \int_{-4}^{2} [1 - \frac{y^2}{4} - \frac{y}{2} + 1] dy = \int_{-4}^{2} [2 - \frac{y}{2} - \frac{y^2}{4}] dy$.
$A = [2y - \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{12}]_{-4}^{2}$.
$A = (2(2) - \frac{4}{4} - \frac{8}{12}) - (2(-4) - \frac{16}{4} - \frac{-64}{12}) = (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 + \frac{16}{3}) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-36+16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-20}{3}) = \frac{27}{3} = 9$.

(D) दिए गए वक्र $y^2-2y=-x$ और $x+y=0$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$x=-y$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $y^2-2y=-(-y) \Rightarrow y^2-2y=y \Rightarrow y^2-3y=0$।
अतः,$y(y-3)=0$,जिससे $y=0$ और $y=3$ प्राप्त होते हैं।
जब $y=0$,तब $x=0$। जब $y=3$,तब $x=-3$।
क्षेत्रफल $A$,$y$ के सापेक्ष वक्रों के बीच के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+2y - (-y)) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+3y) dy$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{3y^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{27}{3} + \frac{3(9)}{2} \right) - 0 = -9 + 13.5 = 4.5 = \frac{9}{2}$।
इसलिए,$8A = 8 \times \frac{9}{2} = 36$।

(B) परवलय $P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ और $P_2: y = x^2 + 6$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\frac{5x^2}{2} = x^2 + 6$ रखें,जिससे $5x^2 = 2x^2 + 12$ प्राप्त होता है,अतः $3x^2 = 12$,$x^2 = 4$,$x = \pm 2$ है।
$P_1$ और $P_2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A_1$:
$A_1 = \int_{-2}^{2} (x^2 + 6 - \frac{5x^2}{2}) dx = 2 \int_{0}^{2} (6 - \frac{3x^2}{2}) dx = 2 [6x - \frac{x^3}{2}]_{0}^{2} = 2(12 - 4) = 16$.
$P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ और रेखा $y = \alpha x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A_2$ ज्ञात करने के लिए $\frac{5x^2}{2} = \alpha x$ रखें,जिससे $x = 0$ या $x = \frac{2\alpha}{5}$ प्राप्त होता है।
$A_2 = \int_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} (\alpha x - \frac{5x^2}{2}) dx = [\frac{\alpha x^2}{2} - \frac{5x^3}{6}]_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} = \frac{\alpha}{2} (\frac{4\alpha^2}{25}) - \frac{5}{6} (\frac{8\alpha^3}{125}) = \frac{2\alpha^3}{25} - \frac{4\alpha^3}{75} = \frac{6\alpha^3 - 4\alpha^3}{75} = \frac{2\alpha^3}{75}$.
चूंकि $A_1 = A_2$ दिया गया है,इसलिए $16 = \frac{2\alpha^3}{75}$,अतः $\alpha^3 = 8 \times 75 = 600$।

(B) सबसे पहले,अतिपरवलय समीकरण को मानक रूप में लिखें:
$16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - 64 - (y-2)^2 + 4 + 44 = 0$
$16(x+2)^2 - (y-2)^2 = 16$
$\frac{(x+2)^2}{1} - \frac{(y-2)^2}{16} = 1$
यहाँ अनुप्रस्थ अक्ष $T$ रेखा $y = 2$ है और संयुग्मी अक्ष $C$ रेखा $x = -2$ है।
परवलय का समीकरण $y = x^2 - 4$ है।
यह क्षेत्र $y = 2$ (ऊपर),$y = x^2 - 4$ (नीचे),और $x = -2$ (बाईं ओर) से घिरा हुआ है।
$y = 2$ और $y = x^2 - 4$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$x^2 - 4 = 2$ रखें,जिससे $x^2 = 6$ प्राप्त होता है,अतः $x = \sqrt{6}$ (क्योंकि हम $x = -2$ के दाईं ओर हैं)।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (2 - (x^2 - 4)) dx$
$A = \int_{-2}^{\sqrt{6}} (6 - x^2) dx$
$A = [6x - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{\sqrt{6}}$
$A = (6\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3}) - (-12 - \frac{-8}{3})$
$A = (6\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) - (-12 + \frac{8}{3})$
$A = 4\sqrt{6} - (-\frac{28}{3}) = 4\sqrt{6} + \frac{28}{3}$

(A) वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
समुच्चय $A$ के लिए,क्षेत्र $y = 2x$ और वृत्त के ऊपरी चाप द्वारा घिरा हुआ है। $y = 2x$ और $(x-1)^2 + y^2 = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $y=2x$ प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: $(x-1)^2 + 4x^2 = 4 \implies 5x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (5x+3)(x-1) = 0$. चूंकि $y \geq 0$,हम $x=1$ लेते हैं,जो $y=2$ देता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है।
$A$ का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक वृत्तीय चाप के नीचे का क्षेत्रफल माइनस $(0,0), (1,0), (1,2)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
$A$ का क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-1)^2} dx - \text{Area}(\triangle OAB) = \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) - \frac{1}{2}(1)(2) = \pi - 1$.
समुच्चय $B$ के लिए,क्षेत्र $x \in [0, 1]$ के लिए $y = 2x$ और $x > 1$ के लिए वृत्तीय चाप द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $(0,0), (1,0), (1,2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल और $x=1$ से $x=3$ तक वृत्तीय चाप के नीचे के क्षेत्रफल का योग है।
$B$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(1)(2) + \int_{1}^{3} \sqrt{4-(x-1)^2} dx = 1 + \frac{1}{4}(\pi \times 2^2) = 1 + \pi$.
$A$ और $B$ के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\pi-1}{\pi+1}$ है।

(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + y^2 = 21$ और परवलय $y^2 = 4x$ द्वारा $x \geq 1$ के लिए घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2 + 4x - 21 = 0 \implies (x+7)(x-3) = 0$. चूँकि $x \geq 1$,इसलिए $x = 3$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\Delta$ दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = 2 \int_1^3 2\sqrt{x} \, dx + 2 \int_3^{\sqrt{21}} \sqrt{21-x^2} \, dx$
पहले भाग का मान: $4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^3 = \frac{8}{3} (3\sqrt{3} - 1) = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3}$.
दूसरे भाग का मान: $2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{21-x^2} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{21}} \right) \right]_3^{\sqrt{21}}$
$= 2 \left[ (0 + \frac{21}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{3}{2} \sqrt{12} + \frac{21}{2} \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right)) \right]$
$= 21 \left( \frac{\pi}{2} \right) - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{21}} \right) = \frac{21\pi}{2} - 6\sqrt{3} - 21 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right)$.
$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = 8\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right) - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} + 21 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$.
अतः,$\frac{1}{2} \left( \Delta - 21 \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$.

(D) दिया गया क्षेत्र $|\cos x - \sin x| \leq y \leq \sin x$ है,जहाँ $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ है।
सबसे पहले,$\cos x - \sin x = \sin x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$\Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}$.
माना $\psi = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ है। तब $\tan \psi = \frac{1}{2}$,$\sin \psi = \frac{1}{\sqrt{5}}$,और $\cos \psi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
क्षेत्रफल $\int_{\psi}^{\pi/2} (\sin x - |\cos x - \sin x|) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
हम समाकलन को $x = \frac{\pi}{4}$ पर विभाजित करते हैं:
$Area = \int_{\psi}^{\pi/4} (\sin x - (\cos x - \sin x)) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - (\sin x - \cos x)) dx$
$= \int_{\psi}^{\pi/4} (2\sin x - \cos x) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx$
$= [-2\cos x - \sin x]_{\psi}^{\pi/4} + [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$= (-2\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-2\cos \psi - \sin \psi) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$= -\frac{3}{\sqrt{2}} + 2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{5} - 2\sqrt{2} + 1$.

(D) वक्र $y^2 = 8x$ और $y = x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $y = x$ को $y^2 = 8x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $x^2 = 8x$ मिलता है,अतः $x(x - 8) = 0$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(8, 8)$ हैं।
हमें प्रथम चतुर्थांश में $y^2 = 8x$,$y = x$ और रेखा $x = 2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
$x = 2$ पर,वक्र $y^2 = 8x$ का मान $y = \sqrt{16} = 4$ है (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है),और रेखा $y = x$ का मान $y = 2$ है।
क्षेत्रफल $\alpha$ का मान $x = 2$ से $x = 8$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$\alpha = \int_{2}^{8} (\sqrt{8x} - x) \, dx$
$\alpha = \int_{2}^{8} (2\sqrt{2} \cdot x^{1/2} - x) \, dx$
$\alpha = \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{8}$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8)^{3/2} - \frac{8^2}{2} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (2)^{3/2} - \frac{2^2}{2} \right)$
$\alpha = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 16\sqrt{2} - 32 \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - 2 \right)$
$\alpha = \left( \frac{128}{3} - 32 \right) - \left( \frac{16}{3} - 2 \right)$
$\alpha = \frac{128}{3} - 32 - \frac{16}{3} + 2 = \frac{112}{3} - 30 = \frac{112 - 90}{3} = \frac{22}{3}$
अतः,$3\alpha = 3 \cdot \frac{22}{3} = 22$।

(B) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = (1-x)^2$,और $y = 2x(1-x)$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 = 2x(1-x) \Rightarrow x^2 = 2x - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(3x-2) = 0$. अतः $x = 0$ या $x = 2/3$.
$(1-x)^2 = 2x(1-x) \Rightarrow 1-2x+x^2 = 2x-2x^2 \Rightarrow 3x^2-4x+1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x-1) = 0$. अतः $x = 1/3$ या $x = 1$.
$x^2 = (1-x)^2 \Rightarrow x^2 = 1-2x+x^2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$.
यह क्षेत्र $x = 1/2$ के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (2x(1-x) - (1-x)^2) dx$
$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (-3x^2 + 4x - 1) dx$
$A = 2 [-x^3 + 2x^2 - x]_{1/3}^{1/2}$
गणना करने पर,$A = 5/108$ प्राप्त होता है।
अतः,$540A = 540 \times (5 / 108) = 25$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x+|x|}{2} = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$।
दिया गया है $g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ x, & x < 0 \end{cases}$।
तब $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \begin{cases} g(x), & g(x) \geq 0 \\ 0, & g(x) < 0 \end{cases}$।
$x \geq 0$ के लिए,$g(x) = x^2 \geq 0$,इसलिए $f(g(x)) = x^2$।
$x < 0$ के लिए,$g(x) = x < 0$,इसलिए $f(g(x)) = 0$।
अतः,$y = (f \circ g)(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$।
रेखा $2y - x = 15$ है,या $y = \frac{x+15}{2}$।
$x \geq 0$ के लिए $y = x^2$ और $y = \frac{x+15}{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x^2 = \frac{x+15}{2} \implies 2x^2 - x - 15 = 0 \implies (2x+5)(x-3) = 0$। चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x = 3$।
क्षेत्रफल $y = 0$,$y = \frac{x+15}{2}$,और $y = x^2$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल = $\int_{-15}^{0} \frac{x+15}{2} dx + \int_{0}^{3} (\frac{x+15}{2} - x^2) dx$।
क्षेत्रफल = $[\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2}]_{-15}^{0} + [\frac{x^2}{4} + \frac{15x}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$।
क्षेत्रफल = $(0 - (\frac{225}{4} - \frac{225}{2})) + ((\frac{9}{4} + \frac{45}{2} - 9) - 0)$।
क्षेत्रफल = $\frac{225}{4} + \frac{9+90-36}{4} = \frac{225+63}{4} = \frac{288}{4} = 72$।

(D) क्षेत्र $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|2x - 1| \leq y \leq |x^2 - x|$ द्वारा परिभाषित है।
चूंकि $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|x^2 - x| = x - x^2$ है,इसलिए असमिका $2|x - 1/2| \leq y \leq x - x^2$ है।
वक्र $y = |2x - 1|$ और $y = x - x^2$ जहाँ प्रतिच्छेद करते हैं,वहाँ $x - x^2 = |2x - 1|$ होता है।
$x \in [0, 1/2]$ के लिए,$x - x^2 = 1 - 2x \implies x^2 - 3x + 1 = 0$,जिससे $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ के सापेक्ष सममिति के कारण,क्षेत्रफल $A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} ((x - x^2) - (1 - 2x)) dx$ है।
$A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} (-x^2 + 3x - 1) dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x \right]_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2}$.
समाकलन को हल करने पर,हमें $A = \frac{5\sqrt{5} - 11}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$6A + 11 = 5\sqrt{5}$।
इसलिए,$(6A + 11)^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125$।

(B) यह क्षेत्र $y = 1$,$y = x^2$,और $xy = 8$ (या $y = 8/x$) द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 = 1 \implies x = 1$ ($x > 0$ के लिए)।
$x^2 = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$।
$8/x = 1 \implies x = 8$।
क्षेत्रफल दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx + \int \limits_2^8 (8/x - 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 + \left[ 8 \ln|x| - x \right]_2^8$
$= \left( (8/3 - 2) - (1/3 - 1) \right) + \left( (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) \right)$
$= (2/3 - (-2/3)) + (8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2)$
$= 4/3 + 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6$
$= 16 \ln 2 + 4/3 - 6$
$= 16 \ln 2 - 14/3$.

(D) क्षेत्र $S$ को असमिकाओं $x^2 \leq 2y$,$x^2 \geq 2y - y^2$,और $x \geq y$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
पहला,$x^2 \leq 2y$ परवलय $x^2 = 2y$ के अंदर के क्षेत्र को दर्शाता है।
दूसरा,$x^2 + y^2 - 2y \geq 0$ वृत्त $x^2 + (y-1)^2 = 1$ के बाहर के क्षेत्र को दर्शाता है।
तीसरा,$x \geq y$ रेखा $y = x$ के नीचे का क्षेत्र है।
$x^2 = 2y$ और $x = y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(2, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल वक्रों के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।
$x^2 = 2y$ और $y = x$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_0^2 (x - \frac{x^2}{2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^2 = 2 - \frac{8}{6} = \frac{2}{3}$ है।
हालाँकि,हमें परवलय के अंदर रेखा $x=y$ द्वारा काटे गए वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल घटाना होगा।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{4}{3} - \frac{\pi}{4}$ है।
इसे $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n-1 = 4 \Rightarrow n = 5$ प्राप्त होता है।
पहले पद की जाँच करने पर: $\frac{5+2}{5+1} = \frac{7}{6}$।
अतः,$n = 5$।

(B) फलन $y = |x-1| + |x-2|$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$y = \begin{cases} -(x-1) - (x-2) = -2x+3, & \text{यदि } x < 1 \\ (x-1) - (x-2) = 1, & \text{यदि } 1 \le x \le 2 \\ (x-1) + (x-2) = 2x-3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$
$y=3$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$x < 1$ के लिए: $-2x+3 = 3 \implies x=0$.
$x > 2$ के लिए: $2x-3 = 3 \implies x=3$.
यह क्षेत्र $x=0$ से $x=3$ तक का एक समलंब है जिसकी ऊँचाई $h=3-1=2$ है (क्योंकि वक्र का न्यूनतम मान $x \in [1, 2]$ के लिए $1$ है)।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} 3 \, dx - \int_{0}^{3} (|x-1| + |x-2|) \, dx = 9 - [\int_{0}^{1} (-2x+3) \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} (2x-3) \, dx] = 9 - [2 + 1 + 2] = 9 - 5 = 4$.

(D) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = 8 - x^2$,और $y = 7$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = \pm 2$ पर,$y = 4$ है।
साथ ही,$x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7}$ और $8 - x^2 = 7 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $= 2 \times \int_{0}^{\sqrt{7}} (\text{ऊपरी वक्र} - \text{निचला वक्र}) dx$ है।
विशेष रूप से,ऊपरी सीमा $x \in [0, 1]$ के लिए $y = 7$ और $x \in [1, 2]$ के लिए $y = 8 - x^2$ है। निचली सीमा $x \in [0, 2]$ के लिए $y = x^2$ है।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} (7 - x^2) dx + \int_{1}^{2} (8 - 2x^2) dx \right]$
$= 2 \left[ (7x - \frac{x^3}{3})_{0}^{1} + (8x - \frac{2x^3}{3})_{1}^{2} \right]$
$= 2 \left[ (7 - \frac{1}{3}) + ((16 - \frac{16}{3}) - (8 - \frac{2}{3})) \right]$
$= 2 \left[ \frac{20}{3} + (\frac{32}{3} - \frac{22}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{20}{3} + \frac{10}{3} \right] = 2 \left[ \frac{30}{3} \right] = 20$.

(A) फलन $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1 + [x]\right\}$ के रूप में परिभाषित है।
$0 \leq x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1\right\}$.
$x^2 + \frac{3}{4} = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2}$.
अतः,$0 \leq x < \frac{1}{2}$ के लिए $f(x) = x^2 + \frac{3}{4}$ और $\frac{1}{2} \leq x < 1$ के लिए $f(x) = 1$ है।
क्षेत्रफल $A$,$x=0, y=0, x+y=2$ और $f(x)$ द्वारा घिरा हुआ है।
$A = \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{3}{4}) dx + \int_{1/2}^1 (1) dx + \int_1^2 (2-x) dx$.
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x}{4} \right]_0^{1/2} + [x]_{1/2}^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$.
$A = (\frac{1}{24} + \frac{3}{8}) + (1 - \frac{1}{2}) + ((4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}))$.
$A = \frac{10}{24} + \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{5}{12} + \frac{6}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12}$.
इसलिए,$12A = 17$.

(D) परवलय $y=p(x)$ बिंदुओं $(-1,0), (0,1), (1,0)$ से गुजरता है। मान लीजिए $p(x) = ax^2+bx+c$.
बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर: $c=1$,$a-b+1=0$,$a+b+1=0$. हल करने पर $a=-1, b=0, c=1$ प्राप्त होता है। अतः,$p(x) = 1-x^2$.
क्षेत्र $(x+1)^2+(y-1)^2 \leq 1$ (केंद्र $(-1, 1)$ और त्रिज्या $1$ वाला वृत्त) और $y \leq 1-x^2$ द्वारा परिभाषित है।
$X = x+1$ लेने पर,$x = X-1$. परवलय $y = 1-(X-1)^2 = 2X-X^2$ हो जाता है।
वृत्त $X^2+(y-1)^2 = 1$ है,अतः $y = 1 \pm \sqrt{1-X^2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $X=0$ और $X=1$ हैं।
गणना करने पर क्षेत्रफल $A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$12(\pi - 4A) = 12(\pi - 4(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3})) = 12(\pi - \pi + \frac{4}{3}) = 16$.

(C) क्षेत्र $|x^2-2| \leq y \leq x$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,$y = x^2-2$ और $y = x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2-x-2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$,अतः $x=2$ या $x=-1$.
साथ ही,$y = |x^2-2|$,$y=x$ को तब काटता है जब $x^2-2 = x$ ($x^2 \geq 2$ के लिए,अर्थात $x \geq \sqrt{2}$) या $2-x^2 = x$ ($x^2 < 2$ के लिए,अर्थात $x < \sqrt{2}$).
$x^2 < 2$ के लिए,$x^2+x-2=0 \implies (x+2)(x-1)=0$,अतः $x=1$ ($x>0$ होने के कारण)।
$x^2 \geq 2$ के लिए,$x^2-x-2=0 \implies x=2$.
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x - (2-x^2)) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x - (x^2-2)) dx$
$A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2+x-2) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (-x^2+x+2) dx$
$A = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x]_{1}^{\sqrt{2}} + [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x]_{\sqrt{2}}^{2}$
$A = ((\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 - 2\sqrt{2}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)) + ((-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (-\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 + 2\sqrt{2}))$
$A = (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1 + \frac{5}{6}) + (\frac{10}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - 1)$
$A = (-\frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{6}) + (\frac{7}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{13}{6} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$
अतः $6A = 13 - 16\sqrt{2}$.
इसलिए,$6A + 16\sqrt{2} = 13 + 14 = 27$.

(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + (y-2)^2 = 4$ (केंद्र $(0, 2)$,त्रिज्या $2$) और परवलय $x^2 = 2y$ (शीर्ष $(0, 0)$) द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 2y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$2y + (y-2)^2 = 4$
$2y + y^2 - 4y + 4 = 4$
$y^2 - 2y = 0 \implies y(y-2) = 0$
अतः,$y = 0$ या $y = 2$.
$y = 2$ के लिए,$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल $x = -2$ से $x = 2$ के बीच ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{2} [(\sqrt{4 - x^2} + 2) - \frac{x^2}{2}] dx$
$= 2 \int_{0}^{2} (\sqrt{2^2 - x^2} + 2 - \frac{x^2}{2}) dx$
$= 2 [(\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2})) + 2x - \frac{x^3}{6}]_0^2$
$= 2 [(0 + 2\sin^{-1}(1)) + 4 - \frac{8}{6}]$
$= 2 [2(\frac{\pi}{2}) + 4 - \frac{4}{3}]$
$= 2 [\pi + \frac{8}{3}] = 2\pi + \frac{16}{3}$.

(A) वक्र $y = 2x^2 + 1$ है। बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 4x$. $x = 1$ पर ढाल $4$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = 4(x - 1)$ अर्थात $y = 4x - 1$ है।
स्पर्श रेखा $y = 4x - 1$ और रेखा $x + y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y$ का मान रखने पर: $x + (4x - 1) = 1 \implies 5x = 2 \implies x = 2/5$. अतः $y = 3/5$. प्रतिच्छेदन बिंदु $S$ $(2/5, 3/5)$ है।
क्षेत्रफल $A$ वक्र $y = 2x^2 + 1$,स्पर्श रेखा $y = 4x - 1$ और रेखा $y = 1 - x$ द्वारा घिरा हुआ है। यह क्षेत्र $x = 0$ से $x = 1$ के बीच है।
$A = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + 1 - (1 - x)) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 + 1 - (4x - 1)) dx = \int_{0}^{2/5} (2x^2 + x) dx + \int_{2/5}^{1} (2x^2 - 4x + 2) dx$.
$= [\frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2}]_{0}^{2/5} + [\frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 2x]_{2/5}^{1} = \frac{4}{15}$.
$60A = 60 \times \frac{4}{15} = 16$.

(B) क्षेत्र $\{(x, y): x^2 \leq y \leq |x^2-4|, y \geq 1\}$ द्वारा परिभाषित है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल का दोगुना है।
$x \geq 0$ के लिए,वक्र $y = x^2$ और $y = |x^2-4|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु: $x^2 = 4-x^2 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$।
$x = \sqrt{2}$ पर,$y = 2$ है।
क्षेत्र नीचे की ओर $y=1$ द्वारा परिबद्ध है।
$y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$1 \leq y \leq 2$ के लिए,$x^2 \leq y \implies x \leq \sqrt{y}$।
$2 \leq y \leq 4$ के लिए,$y \leq 4-x^2 \implies x^2 \leq 4-y \implies x \leq \sqrt{4-y}$।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{1}^{2} \sqrt{y} \, dy + \int_{2}^{4} \sqrt{4-y} \, dy \right]$.
$= 2 \left[ \left( \frac{2}{3} y^{3/2} \right)_{1}^{2} + \left( -\frac{2}{3} (4-y)^{3/2} \right)_{2}^{4} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) + \frac{2}{3} (2)^{3/2} \right] = \frac{4}{3}(4\sqrt{2}-1)$।

(A) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{2y^2}{3}$,रेखा $x = 3-y$,और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,परवलय और रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$2y^2 = 3(3-y) \implies 2y^2 + 3y - 9 = 0$
$(2y-3)(y+3) = 0$. चूँकि $y \ge 0$,इसलिए $y = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय,रेखा और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$Area_{total} = \int_0^{3/2} ((3-y) - \frac{2y^2}{3}) dy = [3y - \frac{y^2}{2} - \frac{2y^3}{9}]_0^{3/2} = (3(\frac{3}{2}) - \frac{9}{8} - \frac{2}{9} \cdot \frac{27}{8}) = \frac{9}{2} - \frac{9}{8} - \frac{3}{4} = \frac{36-9-6}{8} = \frac{21}{8}$.
वृत्त $(x-3)^2 + y^2 = 2$ का केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ है। रेखा $x+y=3$ बिंदु $(3,0)$ से गुजरती है।
क्षेत्र के अंदर वृत्त का भाग एक त्रिज्यखंड है,जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{8} \pi r^2 = \frac{1}{8} \pi (2) = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$A = \frac{21}{8} - \frac{\pi}{4}$.
हमें $4(\pi + 4A) = 4(\pi + 4(\frac{21}{8} - \frac{\pi}{4})) = 4(\pi + \frac{21}{2} - \pi) = 4(\frac{21}{2}) = 42$ प्राप्त होता है।

(D) यह क्षेत्र $x = 2y-4$,$x = -2y^2$,$x = 8-4y^2$ और $y = 0$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$) $2y-4 = -2y^2 \implies y^2+y-2=0 \implies (y+2)(y-1)=0$. चूँकि $y \geq 0$,इसलिए $y=1$.
$2$) $2y-4 = 8-4y^2 \implies 4y^2+2y-12=0 \implies 2y^2+y-6=0 \implies (2y-3)(y+2)=0$. चूँकि $y \geq 0$,इसलिए $y=3/2$.
$3$) $-2y^2 = 8-4y^2 \implies 2y^2=8 \implies y^2=4 \implies y=2$.
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^1 [(8-4y^2) - (-2y^2)] dy + \int_1^{3/2} [(8-4y^2) - (2y-4)] dy$
$A = \int_0^1 (8-2y^2) dy + \int_1^{3/2} (12-2y-4y^2) dy$
$A = [8y - \frac{2y^3}{3}]_0^1 + [12y - y^2 - \frac{4y^3}{3}]_1^{3/2}$
$A = (8 - \frac{2}{3}) + [(18 - \frac{9}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{8}) - (12 - 1 - \frac{4}{3})]$
$A = \frac{22}{3} + [11.25 - 9.666] = \frac{107}{12}$.
अतः,$m=107, n=12$. चूँकि $\gcd(107, 12)=1$,इसलिए $m+n = 107+12 = 119$.

(B) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = 2x$ और $y = 6x - x^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।
$2x = 6x - x^2$ रखने पर,हमें $x^2 - 4x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x - 4) = 0$। अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \leq x \leq 4$ के लिए,$2x \leq 6x - x^2$ है,इसलिए $\min \{2x, 6x - x^2\} = 2x$।
$x > 4$ के लिए,$6x - x^2 < 2x$ है,इसलिए $\min \{2x, 6x - x^2\} = 6x - x^2$।
वक्र $y = 6x - x^2$ $x$-अक्ष को $x = 0$ और $x = 6$ पर काटता है।
अतः,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^4 2x \, dx + \int_4^6 (6x - x^2) \, dx$
प्रथम समाकलन की गणना करने पर:
$\int_0^4 2x \, dx = [x^2]_0^4 = 16 - 0 = 16$
द्वितीय समाकलन की गणना करने पर:
$\int_4^6 (6x - x^2) \, dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_4^6 = (3(36) - \frac{216}{3}) - (3(16) - \frac{64}{3}) = (108 - 72) - (48 - \frac{64}{3}) = 36 - \frac{144 - 64}{3} = 36 - \frac{80}{3} = \frac{108 - 80}{3} = \frac{28}{3}$
इसलिए,$A = 16 + \frac{28}{3} = \frac{48 + 28}{3} = \frac{76}{3}$।
अंत में,$12A = 12 \times \frac{76}{3} = 4 \times 76 = 304$।

(D) वृत्त $x^2+y^2=13^2$ है और रेखा $y=5x-13$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+(5x-13)^2=169 \implies x^2+25x^2-130x+169=169 \implies 26x^2-130x=0 \implies 26x(x-5)=0$. अतः,$x=0$ (जिससे $y=-13$) और $x=5$ (जिससे $y=12$) प्राप्त होते हैं।
रेखा $y=5x-13$ के नीचे और वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल,वृत्त के चाप और रेखाखंड द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है। $x$ के सापेक्ष $0$ से $5$ तक समाकलन करने पर:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{5} (\sqrt{169-x^2} - (5x-13)) dx$
$= \int_{0}^{5} \sqrt{13^2-x^2} dx - \int_{0}^{5} (5x-13) dx$
$= [\frac{x}{2}\sqrt{169-x^2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{13})]_0^5 - [\frac{5x^2}{2}-13x]_0^5$
$= (\frac{5}{2}\sqrt{144} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})) - (\frac{125}{2}-65)$
$= 30 + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \frac{5}{2} = \frac{65}{2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})$.
$\sin^{-1}(\frac{5}{13}) = \cos^{-1}(\frac{12}{13}) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{65}{2} + \frac{169}{2}(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})) = \frac{169\pi}{4} - \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{12}{13}) + \frac{65}{2}$.
दिए गए रूप $\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ से तुलना करने पर,$\alpha=169, \beta=2$ प्राप्त होता है। चूँकि $\gcd(169, 2)=1$,इसलिए $\alpha+\beta = 169+2 = 171$।

(A) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = x^2+2$ और $y = 2x+2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं।
$x^2+2 = 2x+2$ रखने पर,हमें $x^2 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-2) = 0$। अतः,वक्र $x=0$ और $x=2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \leq x \leq 2$ के लिए,$x^2+2 \leq 2x+2$ है,इसलिए $\min \{x^2+2, 2x+2\} = x^2+2$ है।
$2 \leq x \leq 3$ के लिए,$2x+2 \leq x^2+2$ है,इसलिए $\min \{x^2+2, 2x+2\} = 2x+2$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^2 (x^2+2) dx + \int_2^3 (2x+2) dx$
समाकलन की गणना करने पर:
$\int_0^2 (x^2+2) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 = (\frac{8}{3} + 4) - 0 = \frac{20}{3}$
$\int_2^3 (2x+2) dx = [x^2 + 2x]_2^3 = (9+6) - (4+4) = 15 - 8 = 7$
अतः,$A = \frac{20}{3} + 7 = \frac{20+21}{3} = \frac{41}{3}$।
अंत में,$12A = 12 \times \frac{41}{3} = 4 \times 41 = 164$।

(B) दिए गए समीकरण $y^2=4(x-2)$ और $y=2x-8$ हैं।
रेखा के समीकरण से,$2x = y+8$,इसलिए $x = \frac{y+8}{2} = \frac{y}{2} + 4$.
परवलय के समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $y^2 = 4(\frac{y}{2} + 4 - 2) = 4(\frac{y}{2} + 2) = 2y + 8$.
$y^2 - 2y - 8 = 0 \implies (y-4)(y+2) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y=4$ और $y=-2$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$x_{line} = \frac{y+8}{2}$ और $x_{parabola} = \frac{y^2}{4} + 2$.
$A = \int_{-2}^{4} (\frac{y+8}{2} - (\frac{y^2}{4} + 2)) dy = \int_{-2}^{4} (\frac{y}{2} + 2 - \frac{y^2}{4}) dy$.
$A = [\frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12}) - (\frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12}) = (4 + 8 - \frac{16}{3}) - (1 - 4 + \frac{2}{3}) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ और $x = 2y-4$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,रेखा के समीकरण से $x$ का मान परवलय के समीकरण में रखने पर:
$(y-2)^2 = (2y-4)-1$
$(y-2)^2 = 2(y-2)-1$
माना $u = y-2$,तो $u^2 = 2u-1$,जिससे $u^2-2u+1 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(u-1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $u=1$.
इस प्रकार,$y-2 = 1$,अतः $y=3$. तब $x = 2(3)-4 = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।
क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$,$x$-अक्ष $(y=0)$,रेखा $x = 2y-4$ और परवलय $x = (y-2)^2+1$ द्वारा घिरा है।
क्षेत्रफल $= \int_0^3 ((y-2)^2+1) dy - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}$.
क्षेत्रफल $= \int_0^3 (y^2-4y+5) dy - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = [\frac{y^3}{3}-2y^2+5y]_0^3 - 1 = (9-18+15) - 1 = 6-1 = 5$.

(D) दिया गया क्षेत्र $y^2 \leq 4x$,$x < 4$,और $\frac{xy(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ द्वारा परिभाषित है।
$y > 0$ के लिए,हमें $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ की आवश्यकता है। वेवी कर्व विधि का उपयोग करते हुए,$x$ के लिए अंतराल $(0, 1) \cup (2, 3)$ प्राप्त होते हैं।
$y < 0$ के लिए,हमें $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} < 0$ की आवश्यकता है। $x$ के लिए अंतराल $(1, 2) \cup (3, 4)$ प्राप्त होते हैं।
क्षेत्रफल इन अंतरालों पर $2\sqrt{x}$ के समाकलनों का योग है:
$\text{Area} = \int_0^1 2\sqrt{x} dx + \int_2^3 2\sqrt{x} dx + \int_1^2 2\sqrt{x} dx + \int_3^4 2\sqrt{x} dx$
इन्हें जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_0^4 2\sqrt{x} dx = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 = \frac{4}{3} \times (4^{3/2} - 0) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}$.

(C) क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं:
$y = 4x - x^2$ और $3y = (x - 4)^2$
पहले समीकरण से $y$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$3(4x - x^2) = (x - 4)^2$
$12x - 3x^2 = x^2 - 8x + 16$
$4x^2 - 20x + 16 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
अतः,वक्र $x = 1$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$ को $x = 1$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_1^4 \left[ (4x - x^2) - \frac{(x - 4)^2}{3} \right] dx$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{(x - 4)^3}{9} \right]_1^4$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} - \frac{(4 - 4)^3}{9} \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - \frac{(1 - 4)^3}{9} \right)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} - 0 \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{-27}{9} \right)$
$A = \left( \frac{96 - 64}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} + 3 \right)$
$A = \frac{32}{3} - \left( 5 - \frac{1}{3} \right) = \frac{32}{3} - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$

(C) दिए गए वक्र $xy + 4y = 16$ और $x + y = 6$ हैं।
पहले समीकरण से,$y(x + 4) = 16$,अतः $y = \frac{16}{x + 4}$।
दूसरे समीकरण से,$y = 6 - x$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y$ के दोनों व्यंजकों को बराबर रखें:
$6 - x = \frac{16}{x + 4}$
$(6 - x)(x + 4) = 16$
$6x + 24 - x^2 - 4x = 16$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
अतः,$x = 4$ और $x = -2$।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-2}^{4} \left( (6 - x) - \frac{16}{x + 4} \right) dx$
$A = \left[ 6x - \frac{x^2}{2} - 16 \ln|x + 4| \right]_{-2}^{4}$
$A = \left( 6(4) - \frac{16}{2} - 16 \ln(8) \right) - \left( 6(-2) - \frac{4}{2} - 16 \ln(2) \right)$
$A = (24 - 8 - 16 \ln(2^3)) - (-12 - 2 - 16 \ln 2)$
$A = (16 - 48 \ln 2) - (-14 - 16 \ln 2)$
$A = 16 - 48 \ln 2 + 14 + 16 \ln 2$
$A = 30 - 32 \ln 2$

(B) वक्र $y=1+3x-2x^2$ और $y=\frac{1}{x}$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $1+3x-2x^2 = \frac{1}{x} \implies x+3x^2-2x^3 = 1 \implies 2x^3-3x^2-x+1=0$ द्वारा प्राप्त होते हैं। दिया गया एक बिंदु $x=\frac{1}{2}$ है,दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} (1+3x-2x^2-\frac{1}{x}) dx$.
$A = \left[x + \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} - \ln|x|\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$A = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{2}{3}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^3 - \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \ln(\frac{1}{2})\right)$.
पदों को सरल करने पर:
$A = \frac{14\sqrt{5}+15}{24} - \ln(1+\sqrt{5}) + 2\ln(2)$.
$\frac{1}{24}(\ell \sqrt{5}+m)-n \log_{e}(1+\sqrt{5})$ के साथ तुलना करने पर,$\ell=14, m=15, n=1$ प्राप्त होता है। अतः $\ell+m+n = 14+15+1 = 30$.

(D) परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। रेखा के समीकरण में $x = \frac{y^2}{2}$ रखने पर: $y = 4(\frac{y^2}{2}) - 1 \implies y = 2y^2 - 1 \implies 2y^2 - y - 1 = 0$. गुणनखंड करने पर $(2y + 1)(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 1$ और $y = -\frac{1}{2}$ है।
क्षेत्रफल $y = -\frac{1}{2}$ से $y = 1$ तक $y$ के सापेक्ष दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$Area = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (x_{Right} - x_{Left}) dy = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$
$= [\frac{1}{4}(\frac{y^2}{2} + y) - \frac{y^3}{6}]_{-\frac{1}{2}}^{1}$
$= [\frac{1}{4}(\frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(\frac{1}{8} - \frac{1}{2}) - \frac{(-1/8)}{6}]$
$= [\frac{3}{8} - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(-\frac{3}{8}) + \frac{1}{48}]$
$= [\frac{9-4}{24}] - [-\frac{3}{32} + \frac{1}{48}] = \frac{5}{24} - [\frac{-9+2}{96}] = \frac{5}{24} + \frac{7}{96} = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

(C) परवलयों $y=x^2-5x$ और $y=7x-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2-5x = 7x-x^2$
$2x^2-12x = 0$
$2x(x-6) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=6$ हैं।
अंतराल $[0, 6]$ में,परवलय $g(x) = 7x-x^2$,$f(x) = x^2-5x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ को निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_0^6 (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^6 ((7x-x^2) - (x^2-5x)) dx$
$A = \int_0^6 (12x - 2x^2) dx$
$A = [12 \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_0^6$
$A = [6x^2 - \frac{2}{3}x^3]_0^6$
$A = (6(6)^2 - \frac{2}{3}(6)^3) - (0)$
$A = 216 - \frac{2}{3}(216)$
$A = 216 - 144 = 72 \text{ इकाई}^2$

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ है।
यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2}$ और $Q(x)=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) d x} = e^{\int \frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x} = e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + C$ है।
$y \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} = \int x e^{\frac{1}{1+x^2}} \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} d x + C = \int x d x + C = \frac{x^2}{2} + C$.
चूँकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot e^{-1} = 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x) = \frac{x^2}{2} e^{\frac{1}{1+x^2}}$.
चूँकि $f(x) = y(x) e^{-\frac{1}{1+x^2}}$,हमें $f(x) = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
वक्र $f(x) = \frac{x^2}{2}$ और रेखा $y = \frac{x}{4} + 2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{x}{4} + 2 - \frac{x^2}{2} \right) d x$ द्वारा प्राप्त होता है,जिसकी गणना करने पर $18$ प्राप्त होता है।

(D) वक्र $y=3x$,$y=\frac{27-3x}{2}$,और $y=3x-x\sqrt{x}$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $y=3x$ और $y=3x-x\sqrt{x} \implies 3x=3x-x\sqrt{x} \implies x\sqrt{x}=0 \implies x=0$. $x=0$ पर,$y=0$.
$2$. $y=3x$ और $2y=27-3x \implies 6x=27-3x \implies 9x=27 \implies x=3$. $x=3$ पर,$y=9$.
$3$. $y=3x-x\sqrt{x}$ और $2y=27-3x \implies 2(3x-x\sqrt{x})=27-3x \implies 6x-2x\sqrt{x}=27-3x \implies 9x-27=2x\sqrt{x}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(9(x-3))^2 = 4x^2(x) \implies 81(x-3)^2 = 4x^3$. इसे हल करने पर $x=9$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^3 (3x - (3x-x\sqrt{x})) dx + \int_3^9 (\frac{27-3x}{2} - (3x-x\sqrt{x})) dx$
$A = \int_0^3 x^{3/2} dx + \int_3^9 (\frac{27}{2} - \frac{9x}{2} + x^{3/2}) dx$
$A = [\frac{2}{5}x^{5/2}]_0^3 + [\frac{27}{2}x - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2}]_3^9$
$A = (\frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}) + ((\frac{27}{2} \cdot 9 - \frac{9}{4} \cdot 81 + \frac{2}{5} \cdot 9^{5/2}) - (\frac{27}{2} \cdot 3 - \frac{9}{4} \cdot 9 + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}))$
$A = \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2} + (\frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5}) - (\frac{81}{2} - \frac{81}{4} + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2})$
$A = \frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5} - \frac{81}{2} + \frac{81}{4} = \frac{162}{2} - \frac{648}{4} + \frac{486}{5} = 81 - 162 + 97.2 = 16.2$
$10A = 162$.

(A) क्षेत्र $y = \min \{\sin x, \cos x\}$ और $x$-अक्ष द्वारा $x = -\pi$ से $x = \pi$ के बीच घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $A$ उस भाग का समाकलन है जहाँ $y < 0$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx + \int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx + \int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx$
प्रत्येक भाग की गणना:
$1$. $\int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$. $\int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$3$. $\int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$4$. $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
कुल क्षेत्रफल $A = 4(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $16$ है।

(B) सबसे पहले,वृत्त $x^2+y^2=8$ और परवलय $y^2=2x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
वृत्त के समीकरण में $y^2=2x$ रखने पर: $x^2+2x-8=0$.
$(x+4)(x-2)=0$,इसलिए $x=2$ (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $x \ge 0$ है)।
$x=2$ पर,$y^2=4$,इसलिए $y=2$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक वृत्त के नीचे का क्षेत्रफल माइनस $x=0$ से $x=2$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \int_0^2 \sqrt{8-x^2} dx - \int_0^2 \sqrt{2x} dx$
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) \right]_0^2 - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$
$= \left( \frac{2}{2}\sqrt{8-4} + 4\sin^{-1}\left(\frac{2}{2\sqrt{2}}\right) \right) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2^{3/2})$
$= (1 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2\sqrt{2})$
$= 2 + \pi - \frac{8}{3} = \pi - \frac{2}{3}$.

(A) $y^2=4x$ और $x^2+y^2=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2=4x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+4x-5=0$
$(x+5)(x-1)=0$
परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,$x=1$ प्राप्त होता है,जिससे $y=\pm 2$ मिलता है।
छोटे भाग का क्षेत्रफल परवलय और वृत्त द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है,जो $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \times \left[ \int_0^1 \sqrt{4x} \, dx + \int_1^{\sqrt{5}} \sqrt{5-x^2} \, dx \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \Big|_0^1 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \Big|_1^{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \left( 0 + \frac{5}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{1}{2} \sqrt{4} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \frac{5\pi}{4} - 1 - \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= \frac{2}{3} + 5 \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$
चूंकि $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$,अतः क्षेत्रफल $\frac{2}{3} + 5 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ है।

(B) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=18$ है,जिसे $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त और रेखा $y=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y=x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2+3x^2=18 \Rightarrow 4x^2=18 \Rightarrow x^2=\frac{9}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}$.
क्षेत्र $x$-अक्ष,रेखा $y=x$ और दीर्घवृत्त द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $x=0$ से $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल और $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ से $x=3\sqrt{2}$ तक दीर्घवृत्त के नीचे के क्षेत्रफल का योग है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{4}$.
दीर्घवृत्त के नीचे का क्षेत्रफल = $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{\frac{18-x^2}{3}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{18-x^2} dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{x}{2}\sqrt{18-x^2} + 9\sin^{-1}(\frac{x}{3\sqrt{2}})]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{9\pi}{2} - (\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{27}{2}} + 9\cdot\frac{\pi}{4})] = \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.
कुल क्षेत्रफल = $\frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(B) क्षेत्रफल $A = \int_0^{\pi/4} \left( \sqrt{\frac{1+\sin x}{\cos x}} - \sqrt{\frac{1-\sin x}{\cos x}} \right) dx$ द्वारा दिया जाता है।
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ और $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को सरल बनाते हैं।
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx = \frac{1}{2}(1+t^2) dx$,इसलिए $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$.
जब $x=0$,तब $t=0$. जब $x=\pi/4$,तब $t=\tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$.
यह व्यंजक $\int_0^{\sqrt{2}-1} \left( \sqrt{\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}} - \sqrt{\frac{1-\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}} \right) \frac{2}{1+t^2} dt$ बन जाता है।
इसका सरलीकरण $\int_0^{\sqrt{2}-1} \left( \sqrt{\frac{(1+t)^2}{1-t^2}} - \sqrt{\frac{(1-t)^2}{1-t^2}} \right) \frac{2}{1+t^2} dt = \int_0^{\sqrt{2}-1} \frac{2(1+t - (1-t))}{\sqrt{1-t^2}} \frac{1}{1+t^2} dt = \int_0^{\sqrt{2}-1} \frac{4t}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} dt$ होता है।

(C) दिया गया क्षेत्र $y \geq \sqrt{|x+3|}$ और $5y \leq x+9 \leq 15$ द्वारा परिबद्ध है।
$5y \leq x+9 \leq 15$ से,हमें $y \leq \frac{x+9}{5}$ और $-6 \leq x \leq 6$ प्राप्त होता है।
दिए गए ग्राफ के अनुसार,क्षेत्र ऊपर की ओर रेखा $y = \frac{x+9}{5}$ और नीचे की ओर वक्रों $y = \sqrt{-x-3}$ (जहाँ $x \in [-4, -3]$) और $y = \sqrt{x+3}$ (जहाँ $x \in [-3, 1]$) द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx - \int_{-4}^{-3} \sqrt{-x-3} dx - \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
रेखा का समाकलन: $\int_{-4}^{1} \frac{x+9}{5} dx = \frac{1}{5} [\frac{x^2}{2} + 9x]_{-4}^{1} = \frac{15}{2}$.
वक्रों के नीचे का क्षेत्रफल: $\int_{-4}^{-3} \sqrt{-(x+3)} dx = \frac{2}{3}$ और $\int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} dx = \frac{16}{3}$.
आवश्यक क्षेत्रफल $= \frac{15}{2} - \frac{2}{3} - \frac{16}{3} = \frac{15}{2} - 6 = \frac{3}{2}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
सबसे पहले,लाल क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{18} + \frac{17x}{36} \right]_0^1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + \frac{17}{36} = \frac{3 - 12 + 10 + 17}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
चूंकि वर्ग $S$ का कुल क्षेत्रफल $1 \times 1 = 1$ है,हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_G = 1 - A_R = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $A_R^-(h)$ और $A_G^-(h)$ रेखा $L_h$ के नीचे लाल और हरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल हैं। मान लीजिए $A_R^+(h)$ और $A_G^+(h)$ $L_h$ के ऊपर के क्षेत्रफल हैं।
$(B)$ के लिए: हम चाहते हैं कि $A_R^+(h) = A_R^-(h)$,जिसका अर्थ है $A_R^-(h) = \frac{1}{2} A_R = \frac{1}{4}$. चूंकि $f(x) \ge \frac{13}{36} > \frac{1}{4}$,$h = \frac{1}{4}$ के लिए,$A_R^-(h) = \int_0^1 \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}$. अतः,$(B)$ सत्य है।
$(C)$ के लिए: मान लीजिए $g(h) = A_G^+(h) - A_R^-(h)$. $h = \frac{13}{36}$ पर,$A_R^-(h) = 0$ और $A_G^+(h) = \frac{1}{2}$,इसलिए $g(h) = \frac{1}{2}$. $h = \frac{181}{324}$ पर,$A_R^-(h) = \frac{1}{2}$ और $A_G^+(h) = 0$,इसलिए $g(h) = -\frac{1}{2}$. इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम द्वारा,एक ऐसा $h$ मौजूद है कि $g(h) = 0$,यानी $A_G^+(h) = A_R^-(h)$. अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ के लिए: मान लीजिए $k(h) = A_R^+(h) - A_G^-(h)$. चूंकि $A_R^+(h) + A_R^-(h) = A_R = 1/2$ और $A_G^+(h) + A_G^-(h) = A_G = 1/2$,हमारे पास $A_R^+(h) = 1/2 - A_R^-(h)$ और $A_G^-(h) = 1/2 - A_G^+(h)$ है। तब $k(h) = (1/2 - A_R^-(h)) - (1/2 - A_G^+(h)) = A_G^+(h) - A_R^-(h) = g(h)$. चूंकि $g(h)$ $1/2$ से $-1/2$ तक के मान लेता है,$k(h)$ भी $0$ मान लेता है। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,विकल्प $(B), (C),$ और $(D)$ सही हैं।

(B) यह क्षेत्र $xy = 8$ (या $x = 8/y$),$y = 1$,और $y = x^2$ (या $x > 0$ के लिए $x = \sqrt{y}$) द्वारा घिरा हुआ है।
$x = 8/y$ और $x = \sqrt{y}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$\frac{8}{y} = \sqrt{y}$ रखने पर,जिसका अर्थ है $y^{3/2} = 8$,इसलिए $y = 4$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र $y$ के मान $1$ से $4$ तक की सीमा में है,जहाँ दाईं ओर की सीमा $x = 8/y$ है और बाईं ओर की सीमा $x = \sqrt{y}$ है।
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $\int_1^4 \left(\frac{8}{y} - \sqrt{y}\right) dy$ है।
$= [8 \ln|y| - \frac{2}{3} y^{3/2}]_1^4$
$= (8 \ln 4 - \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2}) - (8 \ln 1 - \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2})$
$= (8 \cdot 2 \ln 2 - \frac{2}{3} \cdot 8) - (0 - \frac{2}{3})$
$= 16 \ln 2 - \frac{16}{3} + \frac{2}{3}$
$= 16 \ln 2 - \frac{14}{3}$.

(A) दिया गया है $f(x) = e^{x-1} - e^{-|x-1|}$ और $g(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$।
$x \leq 1$ के लिए,$|x-1| = 1-x$,अतः $f(x) = e^{x-1} - e^{x-1} = 0$।
$x \geq 1$ के लिए,$|x-1| = x-1$,अतः $f(x) = e^{x-1} - e^{1-x}$।
$x \geq 1$ के लिए $f(x)$ और $g(x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$e^{x-1} - e^{1-x} = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$
$2e^{x-1} - 2e^{1-x} = e^{x-1} + e^{1-x}$
$e^{x-1} = 3e^{1-x} \Rightarrow e^{2(x-1)} = 3 \Rightarrow 2(x-1) = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{2}\ln 3 = 1 + \ln \sqrt{3}$।
प्रथम चतुर्थांश में $y=f(x)$,$y=g(x)$ और $x=0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ है:
$A = \int_0^1 (g(x) - 0) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^1 \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) - (e^{x-1} - e^{1-x})) dx$
$A = \frac{1}{2}[e^{x-1} - e^{1-x}]_0^1 + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}) dx$
$A = \frac{1}{2}[(e^0 - e^0) - (e^{-1} - e^1)] + [-\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}]_1^{1+\ln \sqrt{3}}$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [(-\frac{3}{2}e^{-\ln \sqrt{3}} - \frac{1}{2}e^{\ln \sqrt{3}}) - (-\frac{3}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{2}(\sqrt{3}) + 2]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2] = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2}(e - e^{-1})$।

(B) दिए गए वक्र $y_1 = \sin x + \cos x$ और $y_2 = |\cos x - \sin x|$ हैं,जहाँ $x \in [0, \pi/2]$ है।
हम जानते हैं कि $x \in [0, \pi/4]$ के लिए $\cos x - \sin x \ge 0$ और $x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए $\cos x - \sin x < 0$ होता है।
अतः,$x \in [0, \pi/4]$ के लिए $y_2 = \cos x - \sin x$ और $x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए $y_2 = \sin x - \cos x$ होगा।
वांछित क्षेत्रफल $A = \int_0^{\pi/2} |y_1 - y_2| dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi/4]$ के लिए:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2 \sin x$.
$x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = 2 \cos x$.
इसलिए,क्षेत्रफल $A = \int_0^{\pi/4} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x \, dx$.
$A = 2[-\cos x]_0^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1) \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
$A = 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right) = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.

(A) दिया गया है $a^2-b^2=\frac{c^2}{2}$। ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$4R^2(\sin^2 X - \sin^2 Y) = \frac{4R^2}{2} \sin^2 Z$।
$\Rightarrow 2 \sin(X-Y) \sin(X+Y) = \sin^2 Z$। चूँकि $X+Y = \pi-Z$,इसलिए $\sin(X+Y) = \sin Z$।
$\Rightarrow 2 \sin(X-Y) \sin Z = \sin^2 Z \Rightarrow \lambda = \frac{\sin(X-Y)}{\sin Z} = \frac{1}{2}$।
$\cos(\frac{n\pi}{2}) = 0 \Rightarrow \frac{n\pi}{2} = (2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow n$ एक विषम पूर्णांक है। विकल्पों में से संभावित मान $1, 3, 5$ हैं।
$(B)$ $1+\cos 2X - 2\cos 2Y = 2\sin X \sin Y$।
सरलीकरण करने पर $\frac{a}{b}=1$ प्राप्त होता है।
$(C)$ $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ का समद्विभाजक $y=x$ है। $Z(\beta, 1-\beta)$ की $x-y=0$ से दूरी $\frac{|\beta - (1-\beta)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|2\beta-1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
$|2\beta-1|=3 \Rightarrow 2\beta-1=3$ या $2\beta-1=-3 \Rightarrow \beta=2, -1$। अतः $|\beta|=2, 1$।
$(D)$ $\alpha=0$ के लिए,$y=3$। क्षेत्रफल $= \int_0^2 (3-2\sqrt{x}) dx = 6 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$। $F(0)+\frac{8\sqrt{2}}{3} = 6$।
$\alpha=1$ के लिए,$y=|x-1|+|x-2|+x$। क्षेत्रफल $= 5 - \frac{8\sqrt{2}}{3}$। $F(1)+\frac{8\sqrt{2}}{3} = 5$।

(D) क्षेत्रफल $\alpha$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $x \geq 0$ के लिए $f(x)$ और $g(x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। $x \in [0, 3/4]$ के लिए,$g(x) = 2(1 - 4x/3) = 2 - 8x/3$.
$f(x) = g(x)$ रखने पर:
$x^2 + \frac{5}{12} = 2 - \frac{8x}{3}$
$x^2 + \frac{8x}{3} - \frac{19}{12} = 0$
$12x^2 + 32x - 19 = 0$
$(6x + 19)(2x - 1) = 0$
चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x = 1/2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $\alpha$,$y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\alpha = 2 \int_0^{3/4} \min\{f(x), g(x)\} dx$.
$x \in [0, 1/2]$ के लिए $f(x) \leq g(x)$,और $x \in [1/2, 3/4]$ के लिए $g(x) \leq f(x)$.
$\alpha = 2 \left[ \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{5}{12}) dx + \int_{1/2}^{3/4} (2 - \frac{8x}{3}) dx \right]$
गणना करने पर,$\alpha = 2 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \right] = 2 \times \frac{4}{12} = \frac{2}{3}$.
अतः,$9\alpha = 9 \times \frac{2}{3} = 6$.