एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ की रचना कीजिए,जिसके अवयव $a_{ij} = \frac{i}{j}$ द्वारा दिए गए हैं।

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix}$ समीकरण $A^{\prime} A = I$ को संतुष्ट करता है,तो $x, y, z$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix}$ है,तो $\lambda$ के किस मान के लिए $A^2 = O$ होगा?

यदि $A$ और $B$ दो ऐसे आव्यूह हैं कि $A+B$ और $AB$ दोनों परिभाषित हैं,तो

यदि $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ है,तो $A^3 - A^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दो किसान,रामकिशन और गुरचरण सिंह,केवल तीन प्रकार के चावल उगाते हैं: बासमती,परमल और नौरा। सितंबर और अक्टूबर के महीनों में दोनों किसानों द्वारा इन चावलों की बिक्री (रुपयों में) निम्नलिखित आव्यूहों $A$ और $B$ द्वारा दी गई है।
सितंबर की बिक्री (रुपयों में)
$A = \begin{bmatrix} \text{बासमती} & \text{परमल} & \text{नौरा} \\ 10,000 & 20,000 & 30,000 \\ 50,000 & 30,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{रामकिशन} \\ \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix}$
अक्टूबर की बिक्री (रुपयों में)
$B = \begin{bmatrix} \text{बासमती} & \text{परमल} & \text{नौरा} \\ 5,000 & 10,000 & 6,000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{रामकिशन} \\ \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix}$
$(i)$ प्रत्येक किसान के लिए प्रत्येक प्रकार के चावल की सितंबर और अक्टूबर की कुल बिक्री ज्ञात कीजिए।
$(ii)$ सितंबर से अक्टूबर तक बिक्री में हुई कमी ज्ञात कीजिए।
$(iii)$ यदि दोनों किसानों को कुल बिक्री पर $2\%$ लाभ मिलता है,तो अक्टूबर में प्रत्येक किसान और प्रत्येक प्रकार के चावल के लिए लाभ की गणना कीजिए।