यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^n = \begin{bmatrix} 1+2n & -4n \\ n & 1-2n \end{bmatrix}$,जहाँ $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है।

(N/A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सिद्ध करना है: $P(n): A^n = \begin{bmatrix} 1+2n & -4n \\ n & 1-2n \end{bmatrix}$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके परिणाम सिद्ध करेंगे।
$n=1$ के लिए:
$P(1): A^1 = \begin{bmatrix} 1+2(1) & -4(1) \\ 1 & 1-2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
अतः,$n=1$ के लिए परिणाम सत्य है।
मान लीजिए कि $n=k$ के लिए परिणाम सत्य है:
$P(k): A^k = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix}$.
अब,हम सिद्ध करेंगे कि $n=k+1$ के लिए परिणाम सत्य है:
$A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{bmatrix} 1+2k & -4k \\ k & 1-2k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3(1+2k) - 4k & -4(1+2k) + 4k \\ 3k + 1 - 2k & -4k - (1-2k) \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 6k - 4k & -4 - 8k + 4k \\ k + 1 & -4k - 1 + 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3 + 2k & -4 - 4k \\ k + 1 & -1 - 2k \end{bmatrix}$.
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 1 + 2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1 - 2(k+1) \end{bmatrix}$.
अतः,$n=k+1$ के लिए परिणाम सत्य है।
इस प्रकार,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,परिणाम सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।