Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Hindi

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$(A - 2I)$ की गणना करें:
$A - 2I = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$(A - 3I)$ की गणना करें:
$A - 3I = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$.
अब,दोनों आव्यूहों का गुणा करें:
$(A - 2I)(A - 3I) = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (2)(-1) & (2)(2) + (2)(-2) \\ (-1)(1) + (-1)(-1) & (-1)(2) + (-1)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा व्यंजक अपरिभाषित है,हम आव्यूहों के आयामों की जाँच करते हैं:
$A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है।
$B$ एक $3 \times 2$ आव्यूह है।
$C$ एक $1 \times 3$ आव्यूह है।
$1$. $B'B$ के लिए: $B'$ का आयाम $2 \times 3$ है और $B$ का $3 \times 2$ है। गुणनफल परिभाषित है ($2 \times 2$ आव्यूह)।
$2$. $CAB$ के लिए: $C$ का आयाम $1 \times 3$ है,$A$ का $3 \times 3$ है,और $B$ का $3 \times 2$ है। गुणनफल $CA$ का आयाम $1 \times 3$ है,और $(CA)B$ का $1 \times 2$ है। यह परिभाषित है।
$3$. $A + B'$ के लिए: $A$ का आयाम $3 \times 3$ है और $B'$ का $2 \times 3$ है। आव्यूह योग के लिए आव्यूहों के आयाम समान होने चाहिए। चूँकि $3 \times 3 \neq 2 \times 3$,इसलिए यह व्यंजक परिभाषित नहीं है।
$4$. $A^2 + A$ के लिए: चूँकि $A$ एक वर्ग आव्यूह $(3 \times 3)$ है,$A^2$ और $A$ दोनों $3 \times 3$ हैं। यह परिभाषित है।
अतः,व्यंजक $A + B'$ परिभाषित नहीं है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$।
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & c^2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसी प्रकार,$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & c^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^3 & 0 & 0 \\ 0 & b^3 & 0 \\ 0 & 0 & c^3 \end{bmatrix}$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,हमारे पास $A^n = \begin{bmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & b^n & 0 \\ 0 & 0 & c^n \end{bmatrix}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक आव्यूह $A$ विषम-सममित होता है यदि $A^T = -A$ हो,जिसका अर्थ है कि सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} = -a_{ji}$।
विकर्ण तत्वों के लिए जहाँ $i = j$,हमें $a_{ii} = -a_{ii}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a_{ii} = 0$,अतः $a_{ii} = 0$।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर:
माना $A = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 5 \\ -4 & 0 & -6 \\ -5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$।
$A^T = \begin{bmatrix} 0 & -4 & -5 \\ 4 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 0 & 4 & 5 \\ -4 & 0 & -6 \\ -5 & 6 & 0 \end{bmatrix} = -A$।
चूँकि $A^T = -A$ है,इसलिए यह आव्यूह विषम-सममित है।

(A) एक आव्यूह $A$ को लंबकोणीय (orthogonal) कहा जाता है यदि $AA^T = A^TA = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
अब,$AA^T = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2-4 & -2+4-2 \\ 2+2-4 & 4+1+4 & -4+2+2 \\ -2+4-2 & -4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूँकि $AA^T = I$,अतः आव्यूह $A$ एक लंबकोणीय आव्यूह है।

(A) एक अपर ट्रायंगुलर आव्यूह $A = [a_{ij}]$ एक वर्ग आव्यूह है जिसमें मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य होते हैं,अर्थात $i > j$ के लिए $a_{ij} = 0$ होता है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए,मुख्य विकर्ण के नीचे के तत्वों की संख्या पहले $(n-1)$ पूर्णांकों के योग द्वारा दी जाती है:
$1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = \frac{(n - 1)n}{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$.
उदाहरण के लिए,$4 \times 4$ आव्यूह में,शून्य की संख्या $\frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ है।
अतः,शून्य की न्यूनतम संख्या $\frac{n(n - 1)}{2}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ है।
आव्यूह गुणन के गुणों का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$(A - B)(A + B) = A(A + B) - B(A + B)$
$= A^2 + AB - BA - B^2$ प्राप्त होता है।
अब,इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A^2 - B^2 = A^2 + AB - BA - B^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $A^2$ घटाने और $B^2$ जोड़ने पर,हमें मिलता है:
$0 = AB - BA$।
अतः,$AB = BA$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$।
$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix}$।
$BA$ की गणना करने पर:
$BA = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$।
$AB = BA$ के लिए,हमारे पास होना चाहिए:
$\begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$।
तत्वों की तुलना करने पर,हमें $2b = 2a$ और $3a = 3b$ प्राप्त होता है,जो दोनों यह दर्शाते हैं कि $a = b$ है।
चूंकि $a, b \in \mathbb{N}$,इसलिए $a = b$ होने के लिए अनंत जोड़े $(a, b)$ संभव हैं (उदाहरण के लिए,$(1, 1), (2, 2), (3, 3), \dots$)।
अतः,अनंत रूप से कई आव्यूह $B$ मौजूद हैं जिनके लिए $AB = BA$ होता है।

(C) दिया गया है कि $H = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$ है।
हम $H$ की घातों की गणना करते हैं:
$H^2 = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$H^n = \begin{bmatrix} \omega^n & 0 \\ 0 & \omega^n \end{bmatrix}$।
$n = 70$ के लिए,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega^{70} & 0 \\ 0 & \omega^{70} \end{bmatrix}$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{70} = (\omega^3)^{23} \cdot \omega = (1)^{23} \cdot \omega = \omega$।
अतः,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = H$।

(A) दिया गया है कि $AA^T = 9I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है।
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$
आव्यूहों का गुणा करने पर,हम तीसरी पंक्ति के अवयवों को देखते हैं:
$(3, 1)$ स्थान के लिए: $a(1) + 2(2) + b(2) = 0 \Rightarrow a + 2b + 4 = 0 \Rightarrow a + 2b = -4$ ... $(i)$
$(3, 2)$ स्थान के लिए: $a(2) + 2(1) + b(-2) = 0 \Rightarrow 2a - 2b + 2 = 0 \Rightarrow a - b = -1$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $(ii)$ से,$a = b - 1$ प्राप्त होता है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$।
अतः,$a = -1 - 1 = -2$।
इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a, b) = (-2, -1)$ है।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} -4 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$D = A \times B$ की गणना करें:
$D = \begin{bmatrix} (1)(-1)+(2)(-2)+(3)(0) & (1)(-2)+(2)(0)+(3)(-4) \\ (2)(-1)+(3)(-2)+(4)(0) & (2)(-2)+(3)(0)+(4)(-4) \\ (3)(-1)+(4)(-2)+(5)(0) & (3)(-2)+(4)(0)+(5)(-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & -14 \\ -8 & -20 \\ -11 & -26 \end{bmatrix}$.
अब,$P = D \times C$ की गणना करें:
$P = \begin{bmatrix} -5 & -14 \\ -8 & -20 \\ -11 & -26 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अवयव $P_{22}$,$D$ की दूसरी पंक्ति और $C$ के दूसरे स्तंभ का गुणनफल है:
$P_{22} = (-8)(-5) + (-20)(0) = 40 + 0 = 40$.

(C) आव्यूहों के आयाम इस प्रकार हैं: $A$ का आकार $3 \times 3$ है,$B$ का $3 \times 2$ है,और $C$ का $3 \times 1$ है।
$(i) (AB)^T C$: $AB$ का आकार $(3 \times 3)(3 \times 2) = 3 \times 2$ है। अतः,$(AB)^T$ का आकार $2 \times 3$ है। गुणन $(2 \times 3)(3 \times 1)$ परिभाषित है।
$(ii) C^T C (AB)^T$: $C^T$ का आकार $1 \times 3$ है और $C$ का $3 \times 1$ है,इसलिए $C^T C$ का आकार $1 \times 1$ है। $(AB)^T$ का आकार $2 \times 3$ है। गुणन $(1 \times 1)(2 \times 3)$ परिभाषित नहीं है क्योंकि पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या $(1)$ दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या $(2)$ के बराबर नहीं है।
$(iii) C^T AB$: $C^T$ का आकार $1 \times 3$ है और $AB$ का $3 \times 2$ है। गुणन $(1 \times 3)(3 \times 2)$ परिभाषित है।
$(iv) A^T AB B^T C$: $A^T$ का आकार $3 \times 3$ है,$AB$ का $3 \times 2$ है,$B^T$ का $2 \times 3$ है,और $C$ का $3 \times 1$ है। गुणन $(3 \times 3)(3 \times 2)(2 \times 3)(3 \times 1)$ परिभाषित है।
अतः,$(i), (iii),$ और $(iv)$ परिभाषित हैं। कुल तीन परिभाषित हैं।

(A) हमारे पास $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इस पैटर्न का अवलोकन करने पर,हम गणितीय आगमन (mathematical induction) का उपयोग करके सामान्यीकरण कर सकते हैं। किसी भी $n \in N$ के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होगा।

(D) दिया गया समीकरण $A + 2X = B$ है।
दोनों पक्षों से $A$ घटाने पर,हमें $2X = B - A$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$B - A$ की गणना करें:
$B - A = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 - 3 & 5 - 4 \\ 6 - 1 & 1 - (-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$.
अब,$X = \frac{1}{2} (B - A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.5 & 0.5 \\ 2.5 & 3.5 \end{bmatrix}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(B) दिया गया है कि $A$ का क्रम $3 \times 4$ है,इसलिए $A'$ का क्रम $4 \times 3$ होगा।
चूंकि $A'B$ परिभाषित है,मान लीजिए $B$ का क्रम $m \times n$ है। $A'B$ के परिभाषित होने के लिए,$A'$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। अतः,$m = 3$ है।
अब,$BA'$ पर विचार करें। $BA'$ के परिभाषित होने के लिए,$B$ में स्तंभों की संख्या $A'$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। चूंकि $A'$ का क्रम $4 \times 3$ है,पंक्तियों की संख्या $4$ है। अतः,$n = 4$ है।
इसलिए,$B$ का क्रम $3 \times 4$ है।
परिणामस्वरूप,$B'$ का क्रम $4 \times 3$ होगा।
अंत में,$B'A$ का क्रम $(4 \times 3) \times (3 \times 4) = 4 \times 4$ होगा।

(B) माना $D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}$ है।
स्पष्ट है कि $D' = D$ क्योंकि एक विकर्ण आव्यूह सममित होता है।
अब,एक सामान्य आव्यूह $A = [a_{ij}]$ के लिए $AD$ और $DA$ पर विचार करें।
$AD = \begin{bmatrix} d_1 a_{11} & d_2 a_{12} & d_3 a_{13} \\ d_1 a_{21} & d_2 a_{22} & d_3 a_{23} \\ d_1 a_{31} & d_2 a_{32} & d_3 a_{33} \end{bmatrix}$ और $DA = \begin{bmatrix} d_1 a_{11} & d_1 a_{12} & d_1 a_{13} \\ d_2 a_{21} & d_2 a_{22} & d_2 a_{23} \\ d_3 a_{31} & d_3 a_{32} & d_3 a_{33} \end{bmatrix}$ है।
इनकी तुलना करने पर,$AD = DA$ केवल तभी होता है जब $d_1 = d_2 = d_3$ हो (अर्थात $D$ एक अदिश आव्यूह हो)। अतः,प्रत्येक आव्यूह $A$ के लिए $AD = DA$ कथन गलत है।
साथ ही,यदि $D^{-1}$ का अस्तित्व है,तो $D^{-1} = \text{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, d_3^{-1})$,जो हमेशा एक अदिश आव्यूह नहीं होता है।

(B) दिया गया है कि $A_k$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $A_k^T = -A_k$ है।
किसी भी विषम घात $m$ के लिए,$(A_k^m)^T = (A_k^T)^m = (-A_k)^m = (-1)^m A_k^m$ होता है।
चूंकि $m = 2r-1$ हमेशा विषम है,इसलिए $(A_{2r-1})^{2r-1}$ विषम-सममित है।
अतः,$B = \sum_{r=1}^n (2r-1)(A_{2r-1})^{2r-1}$ विषम-सममित आव्यूहों का योग है।
परिवर्तित आव्यूह (transpose) लेने पर: $B^T = \sum_{r=1}^n (2r-1)((A_{2r-1})^{2r-1})^T = \sum_{r=1}^n (2r-1)(-(A_{2r-1})^{2r-1}) = -B$।
इसलिए,$B$ विषम-सममित है।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है।
दिया है $A \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$,जिससे हमें प्राप्त होता है:
$a - b = -1$ $(1)$
$c - d = 2$ $(2)$
दिया है $A^2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$,जिसे हम $A \left( A \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ लिख सकते हैं।
$(1)$ का मान रखने पर,$A \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इससे समीकरण मिलते हैं:
$-a + 2b = 1$ $(3)$
$-c + 2d = 0$ $(4)$
$(1)$ और $(3)$ को हल करने पर: $(1)$ से,$a = b - 1$. $(3)$ में रखने पर: $-(b - 1) + 2b = 1 \Rightarrow -b + 1 + 2b = 1 \Rightarrow b = 0$. अतः $a = -1$.
$(2)$ और $(4)$ को हल करने पर: $(2)$ से,$c = d + 2$. $(4)$ में रखने पर: $-(d + 2) + 2d = 0 \Rightarrow -d - 2 + 2d = 0 \Rightarrow d = 2$. अतः $c = 4$.
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अवयवों का योग $a + b + c + d = -1 + 0 + 4 + 2 = 5$ है।

(D) चूंकि $A$ एक इडेम्पोटेंट आव्यूह है,इसलिए $A^2 = A$ है।
इसका अर्थ है कि $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$,और $A^4 = A$ है।
$(I + A)^4$ के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:
$(I + A)^4 = {^4C_0}I^4 + {^4C_1}I^3A + {^4C_2}I^2A^2 + {^4C_3}IA^3 + {^4C_4}A^4$
चूंकि सभी $n \geq 1$ के लिए $I^n = I$ और $A^n = A$ होता है:
$(I + A)^4 = I + 4A + 6A + 4A + A$
$(I + A)^4 = I + (4 + 6 + 4 + 1)A$
$(I + A)^4 = I + 15A$

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$
गणितीय आगमन द्वारा,हम कह सकते हैं कि $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
अब,विकल्प $(D)$ की जाँच करते हैं: $nA - (n-1)I = n \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - (n-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ n & n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
यह $A^n$ के हमारे व्युत्पन्न रूप से मेल खाता है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) दिया गया है कि $A$ घात $2$ का एक शून्यंभावी आव्यूह है,इसलिए $A^{2} = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
चूँकि $A^{2} = O$,इसलिए $n \geq 2$ के लिए $A^{n} = O$ होगा।
$(I_2+A)^{51}$ के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:
$(I_2+A)^{51} = \binom{51}{0} I_2^{51} + \binom{51}{1} I_2^{50} A + \binom{51}{2} I_2^{49} A^{2} + \dots + \binom{51}{51} A^{51}$।
चूँकि $A^{2} = O$,इसलिए $k \geq 2$ के लिए $A^{k}$ वाले सभी पद $O$ हो जाएंगे।
अतः,$(I_2+A)^{51} = I_2 + 51A$।
अब,इसे $A$ से गुणा करने पर:
$A(I_2+A)^{51} = A(I_2 + 51A) = AI_2 + 51A^{2}$।
चूँकि $AI_2 = A$ और $A^{2} = O$,हमें प्राप्त होता है:
$A(I_2+A)^{51} = A + 51(O) = A$।

(B) माना $A_k = \begin{bmatrix} 1 & 3k + \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,गुणनफल $\prod_{k=1}^{36} A_k = \begin{bmatrix} 1 & \sum_{k=1}^{36} (3k + \frac{1}{3}) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होगा।
योगफल की गणना करें: $\sum_{k=1}^{36} (3k + \frac{1}{3}) = 3 \sum_{k=1}^{36} k + \sum_{k=1}^{36} \frac{1}{3}$.
$= 3 \times \frac{36 \times 37}{2} + 36 \times \frac{1}{3}$.
$= 3 \times 18 \times 37 + 12$.
$= 54 \times 37 + 12 = 1998 + 12 = 2010$.
इस प्रकार,गुणनफल $\begin{bmatrix} 1 & 2010 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,हम $BB^T$ की गणना करते हैं। दिया गया है कि $B = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,इसलिए इसका परिवर्त आव्यूह $B^T = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$ है।
$BB^T = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} + \frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \\ -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अब,$(BB^TA)^5 = (IA)^5 = A^5$.
हमें $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$A^5 = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(4) + (-1)(7) & (2)(1) + (-1)(2) \\ (-7)(4) + (4)(7) & (-7)(1) + (4)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-7 & 2-2 \\ -28+28 & -7+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $AB = I$,इसलिए $B = A^{-1}$.
साथ ही,$BA = I$ क्योंकि $A$ और $B$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम (inverse) हैं।
अब विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $A^T = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$,इसलिए $AA^T = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -18 \\ -18 & 65 \end{bmatrix} \neq I$.
विकल्प $B$: $(AB)^T = I^T = I$. यह सही है।
विकल्प $C$: $B^T = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $BB^T = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 30 \\ 30 & 53 \end{bmatrix} \neq I$.
विकल्प $D$: चूंकि $AB = I$ और $BA = I$,इसलिए $AB = BA$. अतः,$AB \neq BA$ गलत है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना कि दिए गए आव्यूह $A = [x \, y \, z]$,$B = \begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ हैं।
आव्यूह $A$ की कोटि $1 \times 3$ है।
आव्यूह $B$ की कोटि $3 \times 3$ है।
आव्यूह $C$ की कोटि $3 \times 1$ है।
सबसे पहले,हम $AB$ का गुणनफल निकालते हैं। चूंकि $A$ में स्तंभों की संख्या $(3)$ $B$ में पंक्तियों की संख्या $(3)$ के बराबर है,इसलिए गुणनफल $AB$ परिभाषित है और इसकी कोटि $1 \times 3$ है।
इसके बाद,हम $(AB)C$ का गुणनफल निकालते हैं। चूंकि $(AB)$ में स्तंभों की संख्या $(3)$ $C$ में पंक्तियों की संख्या $(3)$ के बराबर है,इसलिए गुणनफल परिभाषित है।
परिणामी आव्यूह की कोटि $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = 1 \times 1$ है।

(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ जिसमें प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि हो,जहाँ शून्येतर प्रविष्टि $\pm 1$ हो,उसे सामान्यीकृत क्रमचय आव्यूह (generalized permutation matrix) कहा जाता है।
मान लीजिए $A$ एक $n \times n$ आव्यूह है। चूंकि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि $1$ या $-1$ है,इसलिए $AA^T$ का गुणनफल तत्समक आव्यूह $I_n$ प्रदान करता है।
विशेष रूप से,$AA^T$ की $(i, j)$-वीं प्रविष्टि $A$ की $i$-वीं पंक्ति और $j$-वीं पंक्ति का अदिश गुणनफल है। यदि $i \neq j$ है,तो पंक्तियाँ लंबकोणीय होती हैं,इसलिए अदिश गुणनफल $0$ होता है। यदि $i = j$ है,तो अदिश गुणनफल $(\pm 1)^2 = 1$ होता है।
अतः,$AA^T = I_n$,जो दर्शाता है कि $A$ एक लंबकोणीय आव्यूह है।
चूंकि $A$ लंबकोणीय है,$\det(A) = \pm 1$,इसलिए $A$ हमेशा व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$।
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसी प्रकार,$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix}$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम सामान्यीकृत कर सकते हैं कि $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,$n = 50$ के लिए,$A^{50} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 50(\frac{1}{2}) & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 25 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 10 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
पैटर्न का अवलोकन करने पर,$A^n$ के लिए,पहले स्तंभ के तत्व $1$,$n$,और $\frac{n(n+1)}{2}$ हैं।
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{bmatrix}$.
$n = 20$ के लिए:
$A^{20} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ \frac{20(21)}{2} & 20 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ 210 & 20 & 1 \end{bmatrix}$.
पहले स्तंभ के तत्वों का योग $1 + 20 + 210 = 231$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \ A + B = 2B^T$
$(2) \ 3A + 2B = I_3$
समीकरण $(1)$ का परिवर्त लेने पर:
$(A + B)^T = (2B^T)^T \Rightarrow A^T + B^T = 2B$
$(1)$ से,$A = 2B^T - B$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(2B^T - B) + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - 3B + 2B = I_3 \Rightarrow 6B^T - B = I_3 \Rightarrow B = 6B^T - I_3$
$B$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A + (6B^T - I_3) = 2B^T \Rightarrow A = I_3 - 4B^T$
$A = I_3 - 4B^T$ का परिवर्त लेने पर:
$A^T = I_3 - 4B$
$A^T + B^T = 2B$ से,$B^T = 2B - A^T$. $A^T = I_3 - 4B$ रखने पर:
$B^T = 2B - (I_3 - 4B) = 6B - I_3$
$B^T$ को $B = 6B^T - I_3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = 6(6B - I_3) - I_3 = 36B - 6I_3 - I_3 = 36B - 7I_3$
$35B = 7I_3 \Rightarrow B = \frac{1}{5}I_3$
अब $A$ ज्ञात करते हैं:
$A = I_3 - 4B^T = I_3 - 4(6B - I_3) = I_3 - 24B + 4I_3 = 5I_3 - 24(\frac{1}{5}I_3) = \frac{25I_3 - 24I_3}{5} = \frac{1}{5}I_3$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$10A + 5B = 10(\frac{1}{5}I_3) + 5(\frac{1}{5}I_3) = 2I_3 + I_3 = 3I_3$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.
चूंकि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,$P^T P = P P^T = I$.
दिया गया है $Q = PAP^T$,हमें $P^T Q^{2015} P$ ज्ञात करना है।
$Q^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^T P)AP^T = PA(I)AP^T = PA^2 P^T$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$Q^n = PA^n P^T$.
इसलिए,$Q^{2015} = PA^{2015} P^T$.
अब,$P^T Q^{2015} P = P^T (PA^{2015} P^T) P = (P^T P) A^{2015} (P^T P) = I A^{2015} I = A^{2015}$.
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,हम पैटर्न देखते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$A^{2015} = \begin{bmatrix} 1 & 2015 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix}$.
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ x \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(y) + 2(x) + x(1) \\ 3(y) - 1(x) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y + 3x \\ 3y - x + 2 \end{bmatrix}$.
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर:
$y + 3x = 6$ (समीकरण $1$)
$3y - x + 2 = 8 \Rightarrow 3y - x = 6$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$y = 6 - 3x$. इस मान को समीकरण $2$ में रखने पर:
$3(6 - 3x) - x = 6$
$18 - 9x - x = 6$
$18 - 10x = 6$
$10x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$x = \frac{6}{5}$ का मान $y = 6 - 3x$ में रखने पर:
$y = 6 - 3(\frac{6}{5}) = 6 - \frac{18}{5} = \frac{30 - 18}{5} = \frac{12}{5}$.
$x$ और $y$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $y = 2x$ (क्योंकि $\frac{12}{5} = 2 \times \frac{6}{5}$).
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(4) & (1)(2) + (2)(-3) \\ (4)(1) + (-3)(4) & (4)(2) + (-3)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$4A$ की गणना करें:
$4A = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$5I$ की गणना करें:
$5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$।
अब,$A^2 + 4A - 5I$ की गणना करें:
$A^2 + 4A - 5I = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 9+4-5 & -4+8-0 \\ -8+16-0 & 17-12-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$= 4 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$।

(D) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}$ समुच्चय $S$ में है जहाँ $a, b, c \in \{0, 1, 2\}$ है।
$a, b, c$ में से प्रत्येक के लिए $3$ विकल्प हैं,इसलिए $S$ में कुल आव्यूहों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ है।
एक आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय (singular) होने के लिए,उसका सारणिक शून्य होना चाहिए: $\det(A) = a^2 - bc = 0$,जिसका अर्थ है $a^2 = bc$ है।
हम $a \in \{0, 1, 2\}$ के लिए स्थितियों की जाँच करते हैं:
स्थिति $1$: $a = 0$। तो $bc = 0$ है। $(b, c)$ के जोड़े $(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)$ हो सकते हैं। ऐसे $5$ आव्यूह हैं।
स्थिति $2$: $a = 1$। तो $bc = 1$ है। $(b, c)$ का एकमात्र जोड़ा $(1, 1)$ है। ऐसा $1$ आव्यूह है।
स्थिति $3$: $a = 2$। तो $bc = 4$ है। $(b, c)$ का एकमात्र जोड़ा $(2, 2)$ है। ऐसा $1$ आव्यूह है।
कुल अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह $= 5 + 1 + 1 = 7$ हैं।
व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूहों की संख्या $= \text{कुल} - \text{अव्युत्क्रमणीय (singular)} = 27 - 7 = 20$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \alpha + 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूह $B$ का परिवर्त आव्यूह $B^T = \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
अब,गुणनफल $AB^T$ की गणना करते हैं:
$AB^T = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\alpha - 1)(\alpha + 1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$AB^T$ के शून्येतर आव्यूह होने के लिए,कम से कम एक अवयव शून्येतर होना चाहिए।
अतः,$\alpha^2 - 1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $\alpha^2 \neq 1$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\alpha| \neq 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ हैं।
$AB$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह गुणन करेंगे:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$
प्रत्येक अवयव की गणना करने पर:
पंक्ति $1$: $(1)(1) + (0)(-2) + (0)(7) = 1$,$(1)(0) + (0)(1) + (0)(-2) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$
पंक्ति $2$: $(2)(1) + (1)(-2) + (0)(7) = 2 - 2 = 0$,$(2)(0) + (1)(1) + (0)(-2) = 1$,$(2)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0$
पंक्ति $3$: $(-3)(1) + (2)(-2) + (1)(7) = -3 - 4 + 7 = 0$,$(-3)(0) + (2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$,$(-3)(0) + (2)(0) + (1)(1) = 1$
अतः,$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.

(A) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
हम $P = I + A$ लिख सकते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$.
ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $A^3 = O$.
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए $P^n = (I + A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$ (चूंकि $A^3 = O$):
$P^5 = I + 5A + \frac{5 \times 4}{2}A^2 = I + 5A + 10A^2$.
$P^5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 10 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $Q = P^5 + I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 15 & 2 & 0 \\ 135 & 15 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,$q_{21} = 15$,$q_{31} = 135$,और $q_{32} = 15$.
$\frac{q_{21} + q_{31}}{q_{32}} = \frac{15 + 135}{15} = \frac{150}{15} = 10$.

(B) माना $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।
$AA^{T}$ के विकर्ण तत्वों का योग $\operatorname{trace}(AA^{T})$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{trace}(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$।
दिया गया है कि $\operatorname{trace}(AA^{T}) = 3$,इसलिए $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 3$।
चूँकि $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,$a_{ij}^{2}$ केवल $0$ या $1$ हो सकता है।
नौ वर्गों का योग $3$ होने के लिए,ठीक तीन प्रविष्टियाँ $a_{ij}$ का मान $\pm 1$ होना चाहिए और शेष छह प्रविष्टियाँ $0$ होनी चाहिए।
सबसे पहले,हम $9$ स्थानों में से $3$ स्थान चुनते हैं,जिसे $\binom{9}{3}$ तरीकों से किया जा सकता है।
फिर,इन $3$ चुने गए स्थानों में से प्रत्येक के लिए,प्रविष्टि $1$ या $-1$ हो सकती है,जो $2^{3}$ संभावनाएँ देती है।
अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $\binom{9}{3} \times 2^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 8 = 84 \times 8 = 672$ है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$2A$ की गणना करें:
$2A = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{bmatrix}$.
अब,$2A$ का सारणिक $(LHS)$ ज्ञात करें:
$|2A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{vmatrix} = (2 \times 4) - (4 \times 8) = 8 - 32 = -24$.
इसके बाद,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (1 \times 2) - (2 \times 4) = 2 - 8 = -6$.
अब,$4|A|$ $(RHS)$ की गणना करें:
$4|A| = 4 \times (-6) = -24$.
चूंकि $LHS$ = $-24$ और $RHS$ = $-24$ है,अतः यह सिद्ध होता है कि $|2A| = 4|A|$ है।

(N/A) यह जानकारी $3 \times 2$ आव्यूह $A$ के रूप में इस प्रकार निरूपित की गई है:
$A = \begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix}$
इस आव्यूह में,पंक्तियाँ कारखानों $(I, II, III)$ को दर्शाती हैं और स्तंभ श्रमिकों के लिंग (पुरुष,महिला) को दर्शाते हैं।
तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ में स्थित प्रविष्टि $26$ है।
यह प्रविष्टि कारखाना $III$ में महिला श्रमिकों की संख्या को दर्शाती है।

(A) हम जानते हैं कि यदि किसी आव्यूह की कोटि $m \times n$ है,तो उसमें $mn$ अवयव होते हैं।
$8$ अवयवों वाले आव्यूह की सभी संभावित कोटियाँ ज्ञात करने के लिए,हमें प्राकृतिक संख्याओं के ऐसे सभी युग्म $(m, n)$ खोजने होंगे जिनका गुणनफल $mn = 8$ हो।
$8$ के गुणनखंड $1, 2, 4, 8$ हैं।
संभावित युग्म $(m, n)$ इस प्रकार हैं:
$1 \times 8 = 8$
$8 \times 1 = 8$
$4 \times 2 = 8$
$2 \times 4 = 8$
अतः,संभावित कोटियाँ $1 \times 8, 8 \times 1, 4 \times 2$ और $2 \times 4$ हैं।

(C) सामान्यतः,एक $3 \times 2$ आव्यूह को $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
दिया गया सूत्र $a_{ij} = \frac{1}{2}|i - 3j|$ है,जहाँ $i = 1, 2, 3$ और $j = 1, 2$ है,अतः प्रत्येक अवयव की गणना इस प्रकार है:
$a_{11} = \frac{1}{2}|1 - 3(1)| = \frac{1}{2}|-2| = 1$
$a_{12} = \frac{1}{2}|1 - 3(2)| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2}$
$a_{21} = \frac{1}{2}|2 - 3(1)| = \frac{1}{2}|-1| = \frac{1}{2}$
$a_{22} = \frac{1}{2}|2 - 3(2)| = \frac{1}{2}|-4| = 2$
$a_{31} = \frac{1}{2}|3 - 3(1)| = \frac{1}{2}|0| = 0$
$a_{32} = \frac{1}{2}|3 - 3(2)| = \frac{1}{2}|-3| = \frac{3}{2}$
अतः,अभीष्ट आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$ है।

(D) चूंकि दिए गए आव्यूह समान हैं,इसलिए उनके संगत अवयव समान होने चाहिए।
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$x+3 = 0 \implies x = -3$
$z+4 = 6 \implies z = 2$
$2y-7 = 3y-2 \implies 2y-3y = -2+7 \implies -y = 5 \implies y = -5$
$a-1 = -3 \implies a = -3+1 \implies a = -2$
$0 = 2c+2 \implies 2c = -2 \implies c = -1$
$b-3 = 2b+4 \implies b-2b = 4+3 \implies -b = 7 \implies b = -7$
अतः,मान $a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2$ हैं।

(A) दो आव्यूहों की समानता की परिभाषा के अनुसार,संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1) \ 2a + b = 4$
$2) \ a - 2b = -3$
$3) \ 5c - d = 11$
$4) \ 4c + 3d = 24$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
समीकरण $(2)$ से,$a = 2b - 3$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(2b - 3) + b = 4 \implies 4b - 6 + b = 4 \implies 5b = 10 \implies b = 2$.
अतः $a = 2(2) - 3 = 1$.
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को हल करने पर:
समीकरण $(3)$ से,$d = 5c - 11$. इसे $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4c + 3(5c - 11) = 24 \implies 4c + 15c - 33 = 24 \implies 19c = 57 \implies c = 3$.
अतः $d = 5(3) - 11 = 4$.
इस प्रकार,$a=1, b=2, c=3, d=4$.

(N/A) $(i)$ दिए गए आव्यूह में,पंक्तियों की संख्या $3$ है और स्तंभों की संख्या $4$ है। अतः,आव्यूह की कोटि $3 \times 4$ है।
$(ii)$ चूँकि आव्यूह की कोटि $3 \times 4$ है,इसलिए इसमें कुल अवयवों की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
$(iii)$ आव्यूह में प्रत्येक अवयव की स्थिति की पहचान करने पर:
$a_{13} = 19$ (पहली पंक्ति,तीसरा स्तंभ)
$a_{21} = 35$ (दूसरी पंक्ति,पहला स्तंभ)
$a_{33} = -5$ (तीसरी पंक्ति,तीसरा स्तंभ)
$a_{24} = 12$ (दूसरी पंक्ति,चौथा स्तंभ)
$a_{23} = \frac{5}{2}$ (दूसरी पंक्ति,तीसरा स्तंभ)

(N/A) हम जानते हैं कि यदि किसी आव्यूह की कोटि $m \times n$ है,तो उसमें $mn$ अवयव होते हैं।
अतः,$24$ अवयवों वाले आव्यूह की सभी संभव कोटियाँ ज्ञात करने के लिए,हमें उन सभी प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों को ज्ञात करना होगा जिनका गुणनफल $24$ है।
ये क्रमित युग्म हैं: $(1, 24), (24, 1), (2, 12), (12, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 6)$ और $(6, 4)$।
अतः,$24$ अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ हैं: $1 \times 24, 24 \times 1, 2 \times 12, 12 \times 2, 3 \times 8, 8 \times 3, 4 \times 6$ और $6 \times 4$।
इसी प्रकार,$13$ अवयवों के लिए,हम उन प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों को ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल $13$ है। चूँकि $13$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए केवल $(1, 13)$ और $(13, 1)$ ही संभव युग्म हैं।
अतः,$13$ अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ $1 \times 13$ और $13 \times 1$ हैं।

(N/A) हम जानते हैं कि यदि किसी आव्यूह की कोटि $m \times n$ है,तो उसमें $mn$ अवयव होते हैं।
$18$ अवयवों वाले आव्यूह की सभी संभव कोटियाँ ज्ञात करने के लिए,हमें प्राकृतिक संख्याओं के उन सभी क्रमित युग्मों $(m, n)$ को ज्ञात करना होगा जिनका गुणनफल $18$ है।
$18$ के गुणनखंड $1, 2, 3, 6, 9, 18$ हैं।
संभव क्रमित युग्म $(m, n)$ हैं: $(1, 18), (18, 1), (2, 9), (9, 2), (3, 6), (6, 3)$।
अतः,संभव कोटियाँ $1 \times 18, 18 \times 1, 2 \times 9, 9 \times 2, 3 \times 6$ और $6 \times 3$ हैं।
इसी प्रकार,$5$ अवयवों वाले आव्यूह के लिए,हमें उन क्रमित युग्मों $(m, n)$ को ज्ञात करना होगा जिनका गुणनफल $5$ है।
चूंकि $5$ एक अभाज्य संख्या है,इसके गुणनखंड केवल $1$ और $5$ हैं।
संभव क्रमित युग्म $(1, 5)$ और $(5, 1)$ हैं।
अतः,संभव कोटियाँ $1 \times 5$ और $5 \times 1$ हैं।

(A) सामान्यतः,एक $3 \times 4$ आव्यूह को $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix}$ के रूप में लिखा जाता है।
दिया गया है: $a_{ij}=\frac{1}{2}|-3i+j|$,जहाँ $i=1, 2, 3$ और $j=1, 2, 3, 4$ है।
अवयवों की गणना:
$a_{11} = \frac{1}{2}|-3(1)+1| = \frac{1}{2}|-2| = 1$
$a_{12} = \frac{1}{2}|-3(1)+2| = \frac{1}{2}|-1| = \frac{1}{2}$
$a_{13} = \frac{1}{2}|-3(1)+3| = \frac{1}{2}|0| = 0$
$a_{14} = \frac{1}{2}|-3(1)+4| = \frac{1}{2}|1| = \frac{1}{2}$
$a_{21} = \frac{1}{2}|-3(2)+1| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2}$
$a_{22} = \frac{1}{2}|-3(2)+2| = \frac{1}{2}|-4| = 2$
$a_{23} = \frac{1}{2}|-3(2)+3| = \frac{1}{2}|-3| = \frac{3}{2}$
$a_{24} = \frac{1}{2}|-3(2)+4| = \frac{1}{2}|-2| = 1$
$a_{31} = \frac{1}{2}|-3(3)+1| = \frac{1}{2}|-8| = 4$
$a_{32} = \frac{1}{2}|-3(3)+2| = \frac{1}{2}|-7| = \frac{7}{2}$
$a_{33} = \frac{1}{2}|-3(3)+3| = \frac{1}{2}|-6| = 3$
$a_{34} = \frac{1}{2}|-3(3)+4| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{5}{2}$
अतः,अभीष्ट आव्यूह $A=\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}$ है।

(A) आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 4$ है,जहाँ $i \in \{1, 2, 3\}$ और $j \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
अवयवों की गणना $a_{i j} = 2i - j$ का उपयोग करके की जाती है:
$i=1$ के लिए: $a_{11} = 2(1)-1 = 1, a_{12} = 2(1)-2 = 0, a_{13} = 2(1)-3 = -1, a_{14} = 2(1)-4 = -2$.
$i=2$ के लिए: $a_{21} = 2(2)-1 = 3, a_{22} = 2(2)-2 = 2, a_{23} = 2(2)-3 = 1, a_{24} = 2(2)-4 = 0$.
$i=3$ के लिए: $a_{31} = 2(3)-1 = 5, a_{32} = 2(3)-2 = 4, a_{33} = 2(3)-3 = 3, a_{34} = 2(3)-4 = 2$.
अतः,अभीष्ट आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ है।

(C) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ x & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & z \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$
चूंकि दोनों आव्यूह समान हैं,इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होंगे।
आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$. पहली पंक्ति और पहले स्तंभ के अवयव के लिए: $y = 4$
$2$. पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ के अवयव के लिए: $z = 3$
$3$. दूसरी पंक्ति और पहले स्तंभ के अवयव के लिए: $x = 1$
अतः,मान $x = 1, y = 4, z = 3$ हैं।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि आव्यूह समान हैं,इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होंगे।
अवयवों की तुलना करने पर:
$1) x+y = 6$
$2) xy = 8$
$3) 5+z = 5$
समीकरण $(3)$ से,$z = 5-5 = 0$ प्राप्त होता है।
अब,हमारे पास $x+y = 6$ और $xy = 8$ है। हम सर्वसमिका $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$ का उपयोग कर सकते हैं।
$(x-y)^2 = (6)^2 - 4(8) = 36 - 32 = 4$।
वर्गमूल लेने पर,$x-y = \pm 2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x-y = 2$ और $x+y = 6$ है,तो समीकरणों को जोड़ने पर $2x = 8 \Rightarrow x = 4$ प्राप्त होता है। $x=4$ को $x+y=6$ में रखने पर $y = 2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $x-y = -2$ और $x+y = 6$ है,तो समीकरणों को जोड़ने पर $2x = 4 \Rightarrow x = 2$ प्राप्त होता है। $x=2$ को $x+y=6$ में रखने पर $y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$x, y$ और $z$ के मान $(x=4, y=2, z=0)$ या $(x=2, y=4, z=0)$ हैं।