यदि $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$ सभी $n \in N$ के लिए।

(A) हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके परिणाम सिद्ध करेंगे।
माना $P(n)$ कथन है: यदि $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है,तो $A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$ जहाँ $n \in N$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$A^{1} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$। यह सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है। अर्थात,$A^{k} = \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$।
चरण $3$: हम $n = k + 1$ के लिए परिणाम सिद्ध करेंगे।
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \theta \cos k \theta - \sin \theta \sin k \theta & \cos \theta \sin k \theta + \sin \theta \cos k \theta \\ -\sin \theta \cos k \theta - \cos \theta \sin k \theta & -\sin \theta \sin k \theta + \cos \theta \cos k \theta \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos(k+1)\theta & \sin(k+1)\theta \\ -\sin(k+1)\theta & \cos(k+1)\theta \end{bmatrix}$।
अतः,परिणाम $n = k+1$ के लिए भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह कथन सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।