Rank of Matrices , Some special determinants, differentiation and integration of determinants Questions in Hindi

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x & 2x \\ \sin x & x & x \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x(x^2 - 2x^2) - x(2x \sin x - 2x \sin x) + 1(2x \sin x - x \sin x)$
$f(x) = \cos x(-x^2) - x(0) + x \sin x$
$f(x) = -x^2 \cos x + x \sin x$
अब,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ का मान ज्ञात करना है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^2 \cos x + x \sin x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( -\cos x + \frac{\sin x}{x} \right)$
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\cos(0) = 1$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -1 + 1 = 0$.

(A) दिया गया है $A = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$.
सारणिक $B$ इस प्रकार है: $B = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$.
पहली पंक्ति के अनुदिश $B$ का विस्तार करने पर:
$B = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$B = x(x^2 - 1) - (x - 1) - (x - 1)$
$B = x(x^2 - 1) - 2(x - 1)$
$B = x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)$
$B = (x - 1)[x(x + 1) - 2]$
$B = (x - 1)(x^2 + x - 2)$
$B = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2) = x^3 - 3x + 2$.
अब,$x$ के सापेक्ष $B$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dB}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
चूंकि $A = x^2 - 1$,इसलिए $\frac{dB}{dx} = 3A$.

(B) दिया गया है,$A = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$A = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$A = x^3 - x - x + 1 + 1 - x$
$A = x^3 - 3x + 2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dx} = 3x^2 - 3$ ... $(i)$
साथ ही,दिया गया है $B = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$
$3$ से गुणा करने पर:
$3B = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dx} = 3B$

(C) हमारे पास है,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$.
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक में $x = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(0) = \left| \begin{array}{ccc} 0^3 - 0 & a + 0 & b + 0 \\ 0 - a & 0^2 - 0 & c + 0 \\ 0 - b & 0 - c & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right|$.
माना $A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right]$ है।
चूँकि $A^T = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array} \right] = -A$,इसलिए आव्यूह $A$ एक $3$ कोटि का विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह है।
विषम-सममित आव्यूह का सारणिक,यदि उसकी कोटि विषम हो,तो हमेशा $0$ होता है।
अतः,$f(0) = 0$.

(A) दिया गया है,$y = \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.
सारणिक का अवकलन एक समय में एक पंक्ति का अवकलन करके और अन्य पंक्तियों को स्थिर रखकर प्राप्त सारणिकों का योग होता है।
$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ 0 & 0 & 0 \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|$.
चूंकि जिस सारणिक में एक पंक्ति के सभी अवयव $0$ होते हैं,उसका मान $0$ होता है,इसलिए दूसरा और तीसरा सारणिक शून्य हो जाएगा।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.

(D) कथन $1$: किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के विषम क्रम $n$ के लिए,सारणिक $|A| = 0$ होता है। चूंकि क्रम $5 \times 5$ है,$|A| = 0$,जिसका अर्थ है कि $\text{rank}(A) < 5$। यह कथन सत्य है।
कथन $2$: यदि $P$ एक $m \times 1$ शून्येतर स्तंभ आव्यूह है और $Q$ एक $1 \times n$ शून्येतर पंक्ति आव्यूह है,तो $PQ$ एक $m \times n$ आव्यूह है जिसकी कोटि $1$ होती है। यह कथन सत्य है।
कथन $3$: मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = 1(21-24) - 2(14-20) + 3(12-15) = -3 + 12 - 9 = 0$। चूंकि कम से कम एक $2 \times 2$ उपसारणिक शून्येतर है (जैसे,$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$),इसलिए कोटि $2$ है। यह कथन सत्य है।
कथन $4$: यदि तीन भिन्न रेखाएं $a_r x + b_r y + c_r = 0$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो आव्यूह की पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित होती हैं,जिसका अर्थ है कि सारणिक $0$ है। अतः,कोटि $3$ से कम होनी चाहिए। यह कथन कि कोटि $3$ है,असत्य है।

(C) आव्यूह $A$ की कोटि $2$ है,जिसका अर्थ है कि $A$ का सारणिक $0$ होना चाहिए (क्योंकि आव्यूह $3 \times 3$ है और कोटि $< 3$ है)।
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$
अतः,$x$ का मान $-3$ है।

(B) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 & 0 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}$ की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम इसे पंक्ति-सोपान रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करेंगे।
चरण $1$: पहले स्थान पर $1$ प्राप्त करने के लिए $R_1$ और $R_3$ को आपस में बदलें:
$R_1 \leftrightarrow R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 5 & -4 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
चरण $2$: पिवट के नीचे पहले स्तंभ की प्रविष्टियों को शून्य करें:
$R_2 \to R_2 - 5R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 2 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_1 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 11 & -23 & 21 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
चरण $3$: दूसरी और तीसरी पंक्ति को सरल करें:
$R_2 \to R_2 - 3R_3 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 3 & -6 & 8 \end{bmatrix}$
$R_3 \to 2R_3 - 3R_2 \implies \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 25 \end{bmatrix}$
चूंकि पंक्ति-सोपान रूप में $3$ अशून्य पंक्तियाँ हैं,इसलिए आव्यूह की कोटि $3$ है।

(C) दिया गया है कि $n \geq 2$ और $a_{ij} = i + j$ है।
स्थिति-$1$: मान लीजिए $n = 2$ है।
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = (2)(4) - (3)(3) = 8 - 9 = -1 \neq 0$ है।
चूंकि सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $A$ की कोटि $2$ है।
स्थिति-$2$: मान लीजिए $n = 3$ है।
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समान हैं,इसलिए कोटि $2$ है।
किसी भी $n > 2$ के लिए,पंक्तियाँ $R_i$ इस प्रकार हैं: $R_i = (i+1, i+2, \dots, i+n)$।
ध्यान दें कि $R_3 - R_2 = R_2 - R_1 = (1, 1, \dots, 1)$ है।
अतः,$R_3 - 2R_2 + R_1 = 0$,जिसका अर्थ है कि $n \geq 3$ के लिए पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
इसलिए,सभी $n \geq 2$ के लिए $A$ की कोटि $2$ है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ का केवल तुच्छ हल $(x = 0, y = 0, z = 0)$ तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य न हो,अर्थात $|A| \neq 0$ हो।
एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है और इसकी कोटि (rank) पूर्ण होती है।
चूंकि आव्यूह $A$ का क्रम $3 \times 3$ है और $|A| \neq 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ की कोटि $3$ है।

(C) आव्यूह $P$ की कोटि $m \times n$ है।
आव्यूह $P$ की रैंक,जिसे $\rho$ द्वारा दर्शाया जाता है,उसके आयामों के न्यूनतम मान से अधिक नहीं हो सकती है।
इसलिए,$\rho \leq \min(m, n)$ ...$(i)$
परिभाषा के अनुसार,एक आव्यूह की रैंक सबसे बड़े व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह की कोटि होती है।
चूंकि $k$ कोटि का एक व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह विद्यमान है,इसलिए रैंक $\rho$ कम से कम $k$ होनी चाहिए।
इसलिए,$\rho \geq k$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k \leq \rho \leq \min(m, n)$.

(A) किसी आव्यूह की कोटि (rank) सबसे बड़े व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह की कोटि के रूप में परिभाषित होती है।
चूंकि $k$ कोटि के सभी उप-आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) हैं,इसलिए कोटि $\rho$ का मान $k$ से कम होना चाहिए,अर्थात $\rho < k$ ... $(i)$।
चूंकि $r$ कोटि का कम से कम एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह मौजूद है,इसलिए कोटि $\rho$ का मान कम से कम $r$ होना चाहिए,अर्थात $r \leq \rho$ ... (ii)।
असमानताओं $(i)$ और (ii) को मिलाने पर,हमें $r \leq \rho < k$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हुए:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_2 \rightarrow -\frac{1}{3}R_2$ और $R_3 \rightarrow -\frac{1}{2}R_3$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $2$ है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8 \end{array}\right]$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,$R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$ करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
$R_3$ और $R_4$ को आपस में बदलने पर:
$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $3$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $3$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति सोपानक रूप (row echelon form) में बदलने के लिए हम पंक्ति संक्रियाएं करते हैं।
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$।
$R_2 \rightarrow \frac{1}{4}R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & k-1 & k-1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह की कोटि $2$ होने के लिए,तीसरी पंक्ति को शून्य पंक्ति होना चाहिए। अतः,$k-1 = 0$,जिसका अर्थ है $k = 1$।
अब,हम जांचते हैं कि किस द्विघात समीकरण के लिए $k=1$ एक मूल है:
विकल्प $B$ के लिए: $x^2+x-2 = (1)^2 + (1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$।
अतः,$k=1$ समीकरण $x^2+x-2=0$ का एक मूल है।

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ की कोटि ज्ञात करते हैं।
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|A| = 1(1(-1) - 2(0)) - 0(2(-1) - 2(1)) + 1(2(0) - 1(1)) = 1(-1) - 0 + 1(-1) = -1 - 1 = -2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ की कोटि $(r_1)$ $3$ है।
अब,आव्यूह $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & -8 \end{bmatrix}$ की कोटि ज्ञात करते हैं।
यह एक $2 \times 4$ आव्यूह है। अधिकतम संभव कोटि $2$ है।
हम एक अशून्य $2 \times 2$ उपसारणिक (minor) की जाँच करते हैं। अंतिम दो स्तंभों द्वारा निर्मित उपसारणिक लें:
$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & -8 \end{vmatrix} = (3)(-8) - (4)(6) = -24 - 24 = -48 \neq 0$.
चूंकि एक अशून्य $2 \times 2$ उपसारणिक मौजूद है,इसलिए $B$ की कोटि $(r_2)$ $2$ है।
अंत में,$r_1 - r_2 = 3 - 2 = 1$।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & k-1 \\ 0 & 0 & k-1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह की कोटि (rank) उसके पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या होती है।
$A$ की कोटि $2$ होने के लिए,तीसरी पंक्ति को शून्य पंक्ति बनना होगा।
इसके लिए तीसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य होने चाहिए,अर्थात $k-1 = 0$ और $1 = 0$ होना चाहिए।
चूंकि $1 = 0$ एक विरोधाभास है,इसलिए $k$ के किसी भी मान के लिए तीसरी पंक्ति शून्य पंक्ति नहीं हो सकती।
अतः,किसी भी $k \in R$ (जहाँ $k \neq 1$) के लिए $A$ की कोटि हमेशा $3$ रहेगी।
यदि $k = 1$ हो,तो आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ हो जाता है,जिसकी कोटि भी $3$ है।
इस प्रकार,$k$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए $A$ की कोटि $2$ हो।

(C) आव्यूह की कोटि (rank) ज्ञात करने के लिए,हम प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके इसे पंक्ति सोपानक रूप (row echelon form) में बदलते हैं:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$
अब,पहले स्तंभ में शून्य बनाने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करें:
$\xrightarrow[R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1]{R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
इसके बाद,दूसरे स्तंभ में शून्य बनाने के लिए पंक्ति संक्रिया लागू करें:
$\xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
आव्यूह अब पंक्ति सोपानक रूप में है। अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह की कोटि (rank) $2$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$।
रो-एशेलन रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,$A$ की कोटि (rank) $2$ है।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 8 \\ -2 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति सोपानक रूप (row echelon form) में बदलने के लिए हम प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हैं।
चरण $1$: $R_2 \rightarrow R_2 + 4R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ लागू करने पर।
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$।
चरण $2$: $R_2$ और $R_3$ को आपस में बदलने $(R_2 \leftrightarrow R_3)$ पर।
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$।
अब आव्यूह पंक्ति सोपानक रूप में है। अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $2$ है।

(A) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1-x \\ 5 & k & 1 \\ 6 & 3 & 1+x \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह की कोटि $1$ होने के लिए,सभी पंक्तियाँ एक-दूसरे के समानुपाती होनी चाहिए।
पंक्ति $R_1$ और $R_3$ की तुलना करने पर:
$R_3 = c R_1 \Rightarrow 6 = 4c \Rightarrow c = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
दूसरे अवयव की जाँच: $3 = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ (यह सही है)।
तीसरे अवयव की जाँच: $1+x = (1-x) \times \frac{3}{2}$.
$2(1+x) = 3(1-x) \Rightarrow 2 + 2x = 3 - 3x \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
अब,पंक्ति $R_1$ और $R_2$ की तुलना करने पर:
$R_2 = d R_1 \Rightarrow 5 = 4d \Rightarrow d = \frac{5}{4}$.
दूसरे अवयव की जाँच: $k = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2}$.
तीसरे अवयव की जाँच: $1 = (1-x) \times \frac{5}{4}$.
$x = \frac{1}{5}$ रखने पर: $1 = (1 - \frac{1}{5}) \times \frac{5}{4} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{4} = 1$ (यह सही है)।
अतः,जब $k = \frac{5}{2}$ और $x = \frac{1}{5}$ होता है,तो आव्यूह की कोटि $1$ होती है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{4040} & \sqrt{4042} & \sqrt{4044} & \sqrt{4046} \\ \sqrt{6060} & \sqrt{6063} & \sqrt{6066} & \sqrt{6069} \\ \sqrt{8080} & \sqrt{8084} & \sqrt{8088} & \sqrt{8092} \end{bmatrix}$ है।
हम पंक्तियों को पहली पंक्ति के गुणज के रूप में लिख सकते हैं:
$R_2 = \sqrt{2} R_1$,$R_3 = \sqrt{3} R_1$,और $R_4 = 2 R_1$.
इन मानों को आव्यूह में रखने पर:
$A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{2}\sqrt{2020} & \sqrt{2}\sqrt{2021} & \sqrt{2}\sqrt{2022} & \sqrt{2}\sqrt{2023} \\ \sqrt{3}\sqrt{2020} & \sqrt{3}\sqrt{2021} & \sqrt{3}\sqrt{2022} & \sqrt{3}\sqrt{2023} \\ 2\sqrt{2020} & 2\sqrt{2021} & 2\sqrt{2022} & 2\sqrt{2023} \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - \sqrt{2}R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - \sqrt{3}R_1$,और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A \sim \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में केवल एक ही शून्येतर पंक्ति है,इसलिए $A$ की कोटि (rank) $1$ है।

(B) माना $A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ है।
कोटि (Rank) ज्ञात करने के लिए,हम पंक्ति रूपांतरणों का उपयोग करके आव्यूह को पंक्ति सोपान रूप (row echelon form) में बदलते हैं:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
आव्यूह के पंक्ति सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $1$ है।
अतः,$A$ की कोटि (Rank) $1$ है।

(C) $3 \times 3$ आव्यूह की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम उसका सारणिक (determinant) निकालते हैं। यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो कोटि $3$ है।
विकल्प $(A)$: मान लीजिए $A = \left[\begin{array}{ccc}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right]$। पंक्तियाँ समांतर श्रेणी में हैं। $R_2 - R_1 = [1, 1, 1]$ और $R_3 - R_2 = [1, 1, 1]$। अतः,$\det(A) = 0$ और $\text{rank}(A) < 3$ है।
विकल्प $(B)$: मान लीजिए $B = \left[\begin{array}{ccc}0 & -51 & 101 \\ 51 & 0 & -581 \\ -101 & 581 & 0\end{array}\right]$। यह एक विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है। अतः,$\text{rank}(B) < 3$ है।
विकल्प $(C)$: मान लीजिए $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 5 \\ -2 & 7 & 0\end{array}\right]$। सारणिक की गणना करने पर: $\det(C) = 0(0 - 35) - 1(0 - (-10)) + 2(-7 - 0) = 0 - 10 - 14 = -24$। चूँकि $\det(C) \neq 0$,इसलिए आव्यूह $C$ की कोटि $3$ है।
विकल्प $(D)$: मान लीजिए $D = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right]$। यहाँ,$R_2 = 2R_1$ और $R_3 = 3R_1$ है। अतः,$\det(D) = 0$ और $\text{rank}(D) = 1$ है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right]$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow 2R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right]$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$.
चूंकि पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में $2$ अशून्य पंक्तियाँ हैं,इसलिए $A$ की कोटि (Rank) $2$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $a, b \in R-\{0\}$,हम ब्लॉक आव्यूह पर पंक्ति संक्रियाएं कर सकते हैं।
पहली ब्लॉक पंक्ति को दूसरी ब्लॉक पंक्ति से घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$M \sim \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 - a I_2 & b I_2 - b I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
आव्यूह की कोटि (rank) रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या होती है।
यहाँ,पहली ब्लॉक पंक्ति $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ है,जो शून्य नहीं है क्योंकि $a \neq 0$ है।
दूसरी ब्लॉक पंक्ति शून्य आव्यूह है।
अतः,आव्यूह की कोटि $a I_2$ की कोटि के बराबर है,जो $2$ है।

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
$A$ एक $3 \times 3$ क्रम का वर्ग आव्यूह है।
कोटि (rank) ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का सारणिक (determinant) निकालते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(3 \times 2 - 0 \times 1) - 4(2 \times 2 - 0 \times 0) + (-1)(2 \times 1 - 3 \times 0)$
$|A| = 1(6 - 0) - 4(4 - 0) - 1(2 - 0)$
$|A| = 6 - 16 - 2 = -12$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
$n$ क्रम के वर्ग आव्यूह के लिए,यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो आव्यूह की कोटि $n$ होती है।
अतः,दिए गए आव्यूह की कोटि $3$ है।

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह की कोटि $3$ होने के लिए,आव्यूह का सारणिक $0$ होना चाहिए और $3$ क्रम का कम से कम एक अशून्य माइनर मौजूद होना चाहिए।
आव्यूह को सरल बनाने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1$ और $R_4 \rightarrow R_4 - 9R_1$:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & b+9 & 3 \end{bmatrix}$.
$R_4 \rightarrow R_4 - 3R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & b+6 & 0 \end{bmatrix}$.
कोटि $3$ होने के लिए,चौथी पंक्ति को अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अंतिम पंक्ति को शून्य हो जाना चाहिए।
अतः,$b+6 = 0$ लेने पर,$b = -6$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 9 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करें:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 - R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 13 & -4 & 13 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & -4 & 13 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 13 & -2 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $3$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (rank) $3$ है।

(B) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3-3R_1$,और $R_4 \rightarrow R_4-6R_1$ को लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & -4 & -11 & \alpha\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_3$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha-3\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha-5\end{array}\right]$.
चूंकि आव्यूह $A$ की कोटि $3$ है,इसलिए अंतिम पंक्ति एक शून्य पंक्ति होनी चाहिए।
अतः,$\alpha-5=0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha=5$.

(C) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$.
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|A| = -1(24-25) + 2(18-20) - 3(15-16) = 1 - 4 + 3 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए $A$ की कोटि $3$ से कम है। हम एक $2 \times 2$ माइनर की जाँच करते हैं: $\left|\begin{array}{rr}4 & 5 \\ 5 & 6\end{array}\right| = 24 - 25 = -1 \neq 0$.
अतः,$A$ की कोटि $a = 2$ है।
दिया गया है,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.
$B$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|B| = (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$.
चूंकि $|B| = 0$ और कम से कम एक अवयव शून्य नहीं है,इसलिए $B$ की कोटि $b = 1$ है।
दिया गया है,$C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.
$C$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|C| = 2(4-0) = 8 \neq 0$.
चूंकि $C$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और इसका सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $C$ की कोटि $c = 3$ है।
मानों की तुलना करने पर: $b = 1, a = 2, c = 3$.
अतः,$b < a < c$.

(D) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$.
आव्यूह की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम इसका सारणिक $|A|$ निकालते हैं।
$|A| = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - 1) + 1(1 - (-1))$
$|A| = 1(2) + 1(0) + 1(2)$
$|A| = 2 + 0 + 2 = 4$.
चूंकि $|A| = 4 \neq 0$,इसलिए आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
अतः,$3 \times 3$ आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $3$ है।

(C) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) - \cos(x+a+b) & \sin(x+b+c) - \sin(x+a+b) & 0 \\ \cos(x+c+a) - \cos(x+a+b) & \sin(x+c+a) - \sin(x+a+b) & 0 \end{array} \right|$.
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 10 \cdot [(\cos(x+b+c) - \cos(x+a+b))(\sin(x+c+a) - \sin(x+a+b)) - (\sin(x+b+c) - \sin(x+a+b))(\cos(x+c+a) - \cos(x+a+b))]$.
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,कोष्ठक के अंदर का व्यंजक $\sin((x+c+a) - (x+b+c)) = \sin(a-b)$ में सरल हो जाता है।
अतः,$f(x) = 10 \sin(a-b)$,जो $x$ से स्वतंत्र एक अचर है।
चूंकि $f(x)$ एक अचर है,इसलिए $f(2019) = f(2020) = k$ होगा।
अतः,$f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)} = k^k - k^k = 0$।

(A) माना कि दिया गया सारणिक $D(x)$ है। हमें $D(x) = xA + B$ दिया गया है।
$A$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $D(x)$ का अवकलन करते हैं और $x=0$ पर मान ज्ञात करते हैं।
$D'(0) = A$.
सारणिक के अवकलन के गुण का उपयोग करते हुए,$D'(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का बारी-बारी से अवकलन किया जाता है।
माना $R_1, R_2, R_3$ सारणिक की पंक्तियाँ हैं।
$D'(x) = \begin{vmatrix} 2x+1 & 1 & 1 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 4x+3 & 3 & 3 \\ x^2+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x^2+x & x+1 & x-2 \\ 2x^2+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ 2x+2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
$x=0$ पर मान रखने पर:
$D'(0) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$.
पहला सारणिक $0$ है क्योंकि पंक्तियाँ समानुपाती हैं।
$A = 0 + [0(0 - (-3)) - 1(-3 - 9) - 2(-3 - 0)] + [0(0 - (-6)) - 1(-2 - (-6)) - 2(-2 - 0)]$.
$A = [0 + 12 + 6] + [0 - 4 + 4] = 18 + 0 = 18$.
अतः,$|A| = 18$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix}$।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = x(12x^2 - 6x^2) - 1(6x^3 - 2x^3) + 0$
$f(x) = x(6x^2) - 1(4x^3) = 6x^3 - 4x^3 = 2x^3$।
अब,अवकलज ज्ञात करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2$।
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2) = 12x$।
अतः,अनुपात $\frac{f''(x)}{f'(x)} = \frac{12x}{6x^2} = \frac{2}{x}$ या $2 : x$ है।

(D) दिया गया है,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f'(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का बारी-बारी से अवकलन किया जाता है:
$f'(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 1 & 0 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \cos x & 2x & 2 \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \sec^2 x & 1 & 0 \end{array} \right|$.
$x = 0$ पर:
$f'(0) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
प्रथम सारणिक में,दूसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
द्वितीय सारणिक में,पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
तृतीय सारणिक में,दूसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$f'(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.

(B) एक समघात निकाय $AX=O$ के लिए,यदि निकाय के पास गैर-तुच्छ हल (अनंत हल) हैं,तो आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
इसका अर्थ है कि $A$ की कोटि (rank) चरों की संख्या $3$ से कम होनी चाहिए।
यह दिया गया है कि $X = [l, m, 0]^T$ एक हल है जहाँ $l, m \neq 0$,इसलिए हल स्थान में कम से कम एक गैर-शून्य सदिश है।
चूँकि हल $k[l, m, 0]^T$ के रूप में है,शून्य स्थान (nullity) का आयाम कम से कम $1$ है।
रैंक-नलिटी प्रमेय के अनुसार,$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$,जहाँ $n=3$ है।
यदि नलिटी $1$ है,तो $\text{rank}(A) = 3 - 1 = 2$।
अतः,$A$ की कोटि $2$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $m \times n$ आव्यूह है जिसकी कोटि $4$ है।
चूंकि $A$ में $m$-वीं कोटि का एक व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह है,इसलिए $A$ को $m \times m$ का एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए।
अतः,$n = m$,और $A$ की कोटि $m$ है।
दिया गया है कि $A$ की कोटि $4$ है,इसलिए $m = 4$ है।
साथ ही,$A^T A$ एक $n \times n$ कोटि का आव्यूह है।
दिया गया है कि $A^T A$ एक $7 \times 7$ आव्यूह है,इसलिए $n = 7$ है।
हालाँकि,यह शर्त कि $A$ में $m$-वीं कोटि का व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह है,यह दर्शाती है कि $A$ एक $m \times m$ वर्ग आव्यूह है,जिसका अर्थ है $m = n$।
प्रश्न का पुनर्मूल्यांकन करने पर: यदि $A^T A$ एक $7 \times 7$ आव्यूह है,तो $n = 7$ है।
यदि $A$ में $m$-वीं कोटि का व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह है,तो $m$ को $A$ की कोटि के बराबर होना चाहिए,जो कि $4$ है।
अतः,$A$ की पंक्तियों की संख्या $m = 4$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ क्रम $5$ का एक सिंगुलर मैट्रिक्स है,इसलिए इसका सारणिक $|A| = 0$ है। यह दर्शाता है कि रैंक $\rho(A) < 5$ है।
चूंकि $B$ में $3$ क्रम का एक अशून्य माइनर है,इसलिए रैंक $\rho(B) \geq 3$ है।
हमें दिया गया है कि $\rho(B) = \rho(A)$ है।
यदि $\rho(A) = 3$ है,तो $\rho(B) = 3$ होगा।
यदि $\rho(A) = 4$ है,तो $\rho(B) = 4$ होगा।
विकल्प $C$ कहता है कि जब $A$ के सभी चतुर्थ क्रम के माइनर शून्य होते हैं,तो $\rho(A) = \rho(B) = 3$ होता है।
यदि $A$ के सभी चतुर्थ क्रम के माइनर शून्य हैं,तो $\rho(A) \leq 3$ होगा। चूंकि $B$ में $3$ क्रम का एक अशून्य माइनर है,इसलिए $\rho(B) = 3$ होगा।
अतः,यदि $\rho(A) = 3$ है,तो $\rho(A) = \rho(B) = 3$ एक सुसंगत कथन है।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & x(x-1)(x+1) \end{bmatrix}$ है।
दूसरे स्तंभ से $x$ और तीसरी पंक्ति से $x(x-1)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$A = x(x-1) \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
सारणिक का मान निकालने पर:
$|A| = -4x(x-1)^2(x+1)$ प्राप्त होता है।
यदि $x \neq 0, 1, -1$ है,तो $|A| \neq 0$,अतः कोटि $3$ है।
यदि $x=0$ है,तो कोटि $1$ है।
यदि $x=1$ है,तो कोटि $2$ है।
यदि $x=-1$ है,तो कोटि $1$ है।
अतः,विकल्प $C$ सबसे उपयुक्त उत्तर है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix}$ और $A^2 = A$ है।
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -16-4x \\ -1 & 3 & 16+4x \\ 4+x & -8-2x & -16+x^2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^2 = A$,अवयवों की तुलना करने पर $4+x = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $x = -3$ मिलता है।
$x = -3$ को $A$ में रखने पर:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = 2(-9+8) + 2(3-4) - 4(2-3) = 2(-1) + 2(-1) - 4(-1) = -2 - 2 + 4 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए कोटि $r < 3$ है।
$2$ कोटि के माइनर की जांच करने पर: $\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0$.
अतः,कोटि $r = 2$ है।
इसलिए,$r + x = 2 + (-3) = -1$.

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हुए:
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 8R_1$,$R_4 \rightarrow R_4 + 7R_1$ संक्रियाओं का उपयोग करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & -21 & 33 & -42 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \leftrightarrow R_4$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 + 2R_2$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
यहाँ अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह की कोटि (Rank) $2$ है।

(C) मैट्रिक्स $A$ की कोटि (rank) $3$ है यदि और केवल यदि कम से कम एक $3 \times 3$ माइनर मौजूद हो जिसका सारणिक (determinant) शून्य न हो।
पहले तीन स्तंभों द्वारा गठित सबमैट्रिक्स $M$ पर विचार करें:
$M = \begin{bmatrix} 1 & r & r^2 \\ r & r^2 & 1 \\ r^2 & 1 & r \end{bmatrix}$।
$M$ का सारणिक $|M| = 1(r^3 - 1) - r(r^2 - r^2) + r^2(r - r^4) = r^3 - 1 + r^3 - r^6 = -(r^6 - 2r^3 + 1) = -(r^3 - 1)^2$ है।
कोटि $3$ होने के लिए,हमें $|M| \neq 0$ की आवश्यकता है।
$-(r^3 - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow r^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow r^3 \neq 1 \Rightarrow r \neq 1$।
अतः,$A$ की कोटि $r \in R - \{1\}$ के लिए $3$ है।

(B) माना $A = \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करते हैं:
$R_2 \rightarrow R_2 - \frac{2}{3}R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{3}R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & -20/3 & 8/3 & -20/3\end{array}\right]$
अब,$R_3 \rightarrow R_3 + 4R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (rank) $2$ है।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} x & x & x \\ x & x^2 & x \\ x & x & x+1 \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ की कोटि $1$ होने के लिए,$2$ क्रम के सभी उपसारणिक (minors) शून्य होने चाहिए।
प्रथम दो पंक्तियों और प्रथम दो स्तंभों द्वारा निर्मित उपसारणिक लें: $\begin{vmatrix} x & x \\ x & x^2 \end{vmatrix} = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.
इसे शून्य होने के लिए,$x=0$ या $x=1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $x=1$ है,तो $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. यहाँ उपसारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1 \neq 0$ है। अतः,कोटि कम से कम $2$ है। इसलिए $x=1$ हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x=0$ है,तो $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. $2$ क्रम के सभी उपसारणिक शून्य हैं और कम से कम एक अवयव अशून्य है ($A_{33}$ पर $1$)। अतः,कोटि $1$ है।
इसलिए,केवल $x=0$ ही संभव है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$,और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_3$ को लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & \alpha - 6 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 + R_3$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha - 3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - 5 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आव्यूह $A$ की कोटि $3$ है,इसलिए अंतिम पंक्ति एक शून्य पंक्ति होनी चाहिए।
अतः,$\alpha - 5 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 5$।