Rank of Matrices , Some special determinants, differentiation and integration of determinants Questions in Hindi

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = -1(24-25) + 2(18-20) - 3(15-16) = 1 - 4 + 3 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए $A$ की कोटि $3$ से कम है।
उपसारणिक $\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 24 - 25 = -1 \neq 0$ पर विचार करें।
अतः,$A$ की कोटि $a = 2$ है।
दिया गया है,$B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|B| = (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$.
चूंकि $|B| = 0$ है और कम से कम एक अशून्य अवयव मौजूद है (जैसे,$1 \neq 0$),इसलिए $B$ की कोटि $b = 1$ है।
दिया गया है,$C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|C| = 2(4 - 0) = 8 \neq 0$.
चूंकि $C$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|C| \neq 0$,इसलिए $C$ की कोटि $c = 3$ है।
कोटियों की तुलना करने पर: $b = 1, a = 2, c = 3$.
अतः,सही क्रम $b < a < c$ है।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
कोटि (rank) ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का सारणिक (determinant) निकालते हैं:
$|A| = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - 1) + 1(1 - (-1))$
$|A| = 1(2) + 1(0) + 1(2)$
$|A| = 2 + 0 + 2 = 4$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
अतः,$3 \times 3$ आव्यूह $A$ की कोटि (rank) $3$ है।

(A) माना $f(x) = \left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \\ x-1 & 2-x & x+4 \\ x-3 & x-3 & 3x\end{array}\right| = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ है।
समीकरण में $x=1$ रखने पर:
$f(1) = \left|\begin{array}{ccc}4 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \\ -2 & -2 & 3\end{array}\right| = a_0+a_1+a_2+a_3+a_4$.
सारणिक की गणना करने पर: $4(3+10) - 2(0+10) - 2(0+2) = 4(13) - 2(10) - 2(2) = 52 - 20 - 4 = 28$.
अतः,$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4 = 28$ (समीकरण $i$).
समीकरण में $x=-1$ रखने पर:
$f(-1) = \left|\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -4 \\ -2 & 3 & 3 \\ -4 & -4 & -3\end{array}\right| = a_0-a_1+a_2-a_3+a_4$.
सारणिक की गणना करने पर: $-2(-9+12) - 0 + (-4)(8+12) = -2(3) - 4(20) = -6 - 80 = -86$.
अतः,$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4 = -86$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ में से समीकरण $ii$ को घटाने पर:
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) - (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 - (-86) = 114$.
$2(a_1+a_3) = 114 \Rightarrow a_1+a_3 = 57$.
समीकरण $i$ और समीकरण $ii$ को जोड़ने पर:
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) + (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 + (-86) = -58$.
$2(a_0+a_2+a_4) = -58$.
अतः,$(a_1+a_3) + 2(a_0+a_2+a_4) = 57 + (-58) = -1$.

(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 2 \sin 2x & 4 \cos^2 x \\ \cos x & 4 \sin^2 x & 2 \sin 2x \\ 0 & -\cos x & \sin x \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = -\sin x (4 \sin^2 x \sin x - (2 \sin 2x)(-\cos x)) - \cos x (2 \sin 2x \sin x - (4 \cos^2 x)(-\cos x)) + 0$
$f(x) = -\sin x (4 \sin^3 x + 4 \sin x \cos^2 x) - \cos x (4 \sin^2 x \cos x + 4 \cos^3 x)$
$f(x) = -4 \sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) - 4 \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)$
$f(x) = -4 \sin^2 x - 4 \cos^2 x = -4(\sin^2 x + \cos^2 x) = -4$.
चूंकि $f(x) = -4$ एक अचर फलन है,इसका अवकलज $f'(x) = 0$ है।
अतः,$f\left(\frac{5\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -4 + 0 = -4$.

(D) सबसे पहले,हम तीसरी पंक्ति के सापेक्ष सारणिक $f(x)$ का मान निकालते हैं:
$f(x) = \sin x (-\sin x \cos x - 2 \sin^2 x \sin x) - (-\cos x) (-2 \cos^3 x - \sin x \sin 2x) + 0$
सारणिक को सरल करने पर,हमें $f(x) = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|f(x)| = 2$ और $f'(x) = 0$ होगा।
इस प्रकार,$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2(2) + 5(0)) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 4 \, dx = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$.

(B) दिया गया है $A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ 2x+1 & 3x+1 & x+1 \\ 3x+1 & x+1 & 2x+1 \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$A(x) = \begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ 2x+1 & x & -2x \\ 3x+1 & -2x & x \end{vmatrix}$.
$C_2$ और $C_3$ से $x$ कॉमन लेने पर:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 1 & 1 \\ 2x+1 & 1 & -2 \\ 3x+1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 0 & 1 \\ 2x+1 & 3 & -2 \\ 3x+1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$A(x) = x^2 \begin{vmatrix} x+1 & 0 & 1 \\ 5x+2 & 0 & -1 \\ 3x+1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$A(x) = x^2 \cdot (-(-3)) \cdot \begin{vmatrix} x+1 & 1 \\ 5x+2 & -1 \end{vmatrix} = 3x^2 \{(-x-1) - (5x+2)\} = 3x^2(-6x-3) = -18x^3 - 9x^2$.
अब,$\int_0^1 A(x) dx = \int_0^1 (-18x^3 - 9x^2) dx = \left[ -\frac{18x^4}{4} - \frac{9x^3}{3} \right]_0^1 = \left[ -\frac{9}{2}x^4 - 3x^3 \right]_0^1 = -\frac{9}{2} - 3 = -\frac{15}{2}$.

(A) दिया गया है $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ का प्रयोग करने पर:
$A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2-1 & 3-2 \\ x+1 & (2x+1)-(x+1) & (3x+1)-(2x+1) \\ x^2+1 & (2x^2+1)-(x^2+1) & (3x^2+1)-(2x^2+1) \end{array} \right|$
$A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x+1 & x & x \\ x^2+1 & x^2 & x^2 \end{array} \right|$.
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$\int_0^1 A(x) \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0$.

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का एक-एक करके अवकलन किया जाता है:
$f^{\prime}(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 \sin x & 0 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ 1 & -2 \sin x & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 0 & -2 \sin x \end{array} \right|$.
अब,$x = \pi$ रखने पर (जहाँ $\sin \pi = 0$ और $\cos \pi = -1$):
$f^{\prime}(\pi) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|$.
पहला सारणिक $0$ है क्योंकि इसकी पहली पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं।
दूसरा सारणिक $-2(0 - 0) - 1(-2 - 0) + 0 = 2$ है।
तीसरा सारणिक $0$ है क्योंकि इसकी तीसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं।
अतः,$f^{\prime}(\pi) = 0 + 2 + 0 = 2$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 + R_3 - R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} (x^3+x) + (x^3+2x+3) - (2x^3+3x-1) & (x+1) + (2x-1) - 3x & (x-2) + (2x-1) - (3x-3) \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 4 [ (3x)(2x-1) - (3x-3)(2x-1) ]$
$f(x) = 4 [ (2x-1)(3x - (3x-3)) ]$
$f(x) = 4 [ (2x-1)(3) ] = 12(2x-1) = 24x - 12$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(f(x)) = \frac{d}{dx}(24x - 12) = 24$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin x + \sin 2x + \sin 3x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 3 + 4 \sin x & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 1 + \sin x & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - 2C_2 - 3C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{vmatrix} \sin x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 0 & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = \sin x \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \sin x \cdot \frac{1}{2} \sin x \right) = \sin x \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \sin^2 x \right) = \frac{1}{6} (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = \frac{\sin 3x}{6}$.
अब,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin 3x}{6} \right) = \frac{3 \cos 3x}{6} = \frac{\cos 3x}{2}$.
हमें $I = \int_0^{\pi / 2} (f(x) + f^{\prime}(x)) dx = \int_0^{\pi / 2} \left( \frac{\sin 3x}{6} + \frac{\cos 3x}{2} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है।
$I = \left[ \frac{-\cos 3x}{18} + \frac{\sin 3x}{6} \right]_0^{\pi / 2}$.
$I = \left( \frac{-\cos(3\pi/2)}{18} + \frac{\sin(3\pi/2)}{6} \right) - \left( \frac{-\cos(0)}{18} + \frac{\sin(0)}{6} \right)$.
$I = \left( 0 - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{1}{18} + 0 \right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{-3 + 1}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

(B) माना मूल $\alpha = a-d, \beta = a, \gamma = a+d$ हैं। मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = 3a = 0$ है,जिससे $a = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $\beta = 0$।
$\beta = 0$ को समीकरण में रखने पर $r=0$ प्राप्त होता है,लेकिन दिया गया है कि $r \neq 0$।
दिए गए आव्यूह का सारणिक शून्य है। $\beta=0$ और $\alpha+\gamma=0$ रखने पर,आव्यूह $\begin{bmatrix} \alpha & 0 & -\alpha \\ 0 & -\alpha & \alpha \\ -\alpha & \alpha & 0 \end{bmatrix}$ बन जाता है।
इस आव्यूह की कोटि (rank) $2$ है।

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}\sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}\sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
$R_1$ से $(\sin x + 2\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \cos x & \sin x - \cos x & 0 \\ \cos x & 0 & \sin x - \cos x\end{array}\right|=0$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\sin x + 2\cos x)(\sin x - \cos x)^2 = 0$.
इससे $\tan x = 1$ या $\tan x = -2$ प्राप्त होता है।
अंतराल $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$\tan x = 1$ से $x = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan x = -2$ इस अंतराल में संभव नहीं है (क्योंकि $\tan x \in [-1, 1]$),इसलिए एकमात्र हल $x = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $1$ है।

(D) हमारे पास है,$S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} 2r & x & n(n+1) \\ 6r^{2}-1 & y & n^{2}(2n+3) \\ 4r^{3}-2nr & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
सारणिक पर योग $\sum_{r=1}^{n}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum_{r=1}^{n} S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} 2 \sum_{r=1}^{n} r & x & n(n+1) \\ \sum_{r=1}^{n} (6r^{2}-1) & y & n^{2}(2n+3) \\ \sum_{r=1}^{n} (4r^{3}-2nr) & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
मानक योग सूत्रों $\sum r = \frac{n(n+1)}{2}$,$\sum r^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum r^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ का उपयोग करके,पहले स्तंभ के अवयवों की गणना करते हैं:
$C_{11} = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
$C_{21} = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = n(n+1)(2n+1) - n = n(2n^{2}+3n+1-1) = n^{2}(2n+3)$.
$C_{31} = 4 \cdot \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} - 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n^{2}(n+1)^{2} - n^{2}(n+1) = n^{2}(n+1)(n+1-1) = n^{3}(n+1)$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum_{r=1}^{n} S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} n(n+1) & x & n(n+1) \\ n^{2}(2n+3) & y & n^{2}(2n+3) \\ n^{3}(n+1) & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
चूंकि स्तंभ $C_{1}$ और स्तंभ $C_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,योग $0$ है,जो $x, y, z$ और $n$ से स्वतंत्र है।

(B) $\Delta(x)$ में $x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि यह $\Delta'(0)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ है।
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\Delta'(x) = \Delta_1(x) + \Delta_2(x) + \Delta_3(x)$,जहाँ $\Delta_i$ वह सारणिक है जिसमें $i$-वीं पंक्ति का अवकलन किया गया है।
$\Delta'(0)$ की गणना करने के लिए,प्रत्येक पंक्ति का $x=0$ पर अवकलन किया जाता है।
अवकलन करने के बाद और $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta'(0) = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का गुणांक $-2$ है।

(B, D) सारणिक $\Delta$ का तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \cos \theta \begin{vmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \end{vmatrix} - (- \sin \theta) \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \end{vmatrix} + 0$
$\Delta = \cos \theta [(\cos \theta \cos \phi)(\sin \theta \cos \phi) - (\cos \theta \sin \phi)(-\sin \theta \sin \phi)] + \sin \theta [(\sin \theta \cos \phi)(\sin \theta \cos \phi) - (\sin \theta \sin \phi)(-\sin \theta \sin \phi)]$
$\Delta = \cos \theta [\sin \theta \cos \theta \cos^2 \phi + \sin \theta \cos \theta \sin^2 \phi] + \sin \theta [\sin^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^2 \phi]$
$\Delta = \cos \theta [\sin \theta \cos \theta (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)] + \sin \theta [\sin^2 \theta (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)]$
$\Delta = \cos \theta (\sin \theta \cos \theta) + \sin \theta (\sin^2 \theta) = \sin \theta \cos^2 \theta + \sin^3 \theta = \sin \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \sin \theta$
चूँकि $\Delta = \sin \theta$,यह $\phi$ से स्वतंत्र है।
साथ ही,$\frac{d \Delta}{d \theta} = \cos \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$\frac{d \Delta}{d \theta} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
अतः,विकल्प $B$ और $D$ दोनों सही हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^3 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x(x^3 - 2x^2) - x(2 \sin x - 2x \tan x) + 1(2x \sin x - x^3 \tan x)$.
$f(x) = (x^3 - 2x^2) \cos x - 2x \sin x + 2x^2 \tan x + 2x \sin x - x^3 \tan x$.
$f(x) = (x^3 - 2x^2) \cos x + 2x^2 \tan x - x^3 \tan x$.
अब,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x^3 - 2x^2) \cos x + 2x^2 \tan x - x^3 \tan x}{x^2}$ ज्ञात करना है।
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( (x - 2) \cos x + 2 \tan x - x \tan x \right)$.
$x = 0$ रखने पर:
$= (0 - 2) \cos(0) + 2 \tan(0) - 0 \cdot \tan(0) = -2(1) + 0 - 0 = -2$.

(C) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$
तीसरे स्तंभ को अलग करने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & a^{3} \\ b & b^{2} & b^{3} \\ c & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| = 0$
दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| = 0$
$(1+abc) \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| = 0$
चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ असमतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है। सारणिक $\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$ का मान शून्य नहीं है।
अतः,$1+abc = 0$,जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

(C) दिया गया है $f(n) = \det \begin{vmatrix} n & -1 & -5 \\ -2n^2 & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^3 & 3(2k+1) & 3(k+2)+1 \end{vmatrix}$।
प्रथम स्तंभ से $n$ कॉमन लेने पर,$f(n) = n \det \begin{vmatrix} 1 & -1 & -5 \\ -2n & 3(2k+1) & 2k+1 \\ -3n^2 & 3(2k+1) & 3k+7 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
सारणिक का विस्तार करने पर,यह $n$ में एक बहुपद के रूप में प्राप्त होता है।
योग $\sum_{n=1}^k f(n) = 98$ के लिए $k$ के मानों की जाँच करने पर,$k=5$ समीकरण को संतुष्ट करता है। अतः,$k=5$ सही उत्तर है।