$\left\{0, 1, 2\right\}$ से प्रविष्टियों वाले कितने $3 \times 3$ आव्यूह $M$ हैं,जिनके लिए $M^T M$ के विकर्ण प्रविष्टियों का योग $5$ है?

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]^{\left|\begin{array}{cc} 2022 & 2024 \\ 2021 & 2023 \end{array}\right|}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S =\{ M = [a_{ij}], a_{ij} \in \{0,1,2\}, 1 \leq i, j \leq 2\}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है और $A = \{M \in S : M \text{ व्युत्क्रमणीय है}\}$ एक घटना है। तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A, B$ कोटि $3$ के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं और $|B|=k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो सूची-$I$ के मदों का सूची-$II$ के मदों से मिलान करें।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $|k^{-1} A^{-1}|$	$I$. $BA^k + A^kB$
$B$. $|\text{Adj}(A^{-1})|$	$II$. $\frac{B\text{Adj}(B)}{|B|}$
$C$. $BAB^{-1} = I \Rightarrow BA^kB^{-1} =$	$III$. $\frac{1}{|B|^3|A|}$
$D$. $\text{Adj}(\text{Adj}(A^{-1})) =$	$IV$. $\frac{1}{|A|}(A^{-1})$
	$V$. $\frac{1}{|A|^2}$

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $M = A + A^{2} + A^{3} + \dots + A^{20}$ है,तो आव्यूह $M$ के सभी अवयवों का योग $.....$ के बराबर है।

समुच्चय $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ के अवयवों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $3 \times 2$ आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि $A^{T}A$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग $5$ हो।