स्तंभ I में दिए गए कथनों को स्तंभ II में दिए | vedclass

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Question

(A) माना $z = \cos 	heta + i \sin 	heta$ है। तब $\frac{2iz}{1-z^2} = \frac{2i(\cos 	heta + i \sin 	heta)}{1-(\cos 2	heta + i \sin 2	heta)} = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$A-s, B-t, C-r, D-r$

Vedclass · Answer

(A) माना $z = \cos 	heta + i \sin 	heta$ है। तब $\frac{2iz}{1-z^2} = \frac{2i(\cos 	heta + i \sin 	heta)}{1-(\cos 2	heta + i \sin 2	heta)} = \frac{2i \cos 	heta - 2 \sin 	heta}{2 \sin^2 	heta - i \sin 2	heta} = \frac{2i \cos 	heta - 2 \sin 	heta}{2 \sin 	heta (\sin 	heta - i \cos 	heta)} = \frac{2i(\cos 	heta + i \sin 	heta)}{-2i \sin 	heta (\cos 	heta + i \sin 	heta)} = -\frac{1}{\sin 	heta} = -\csc 	heta$ है। चूँकि $\sin 	heta \in [-1, 1] \setminus \{0\}$,इसलिए $-\csc 	heta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है। अतः,$(A)-(s)$।$(B)$ $f(x) = \sin^{-1}(\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}})$ के लिए,हमें $-1 \leq \frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} \leq 1$ की आवश्यकता है। माना $u = 3^{x-1}$ है। तब $\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} = \frac{8 \cdot 3^{x-1} \cdot 3^{-1}}{1-(3^{x-1})^2} = \frac{8u/3}{1-u^2}$ है। $-1 \leq \frac{8u/3}{1-u^2} \leq 1$ को हल करने पर $u \leq 1/3$ प्राप्त होता है,इसलिए $3^{x-1} \leq 3^{-1} \Rightarrow x-1 \leq -1 \Rightarrow x \leq 0$ है। अतः,$(B)-(t)$।$(C)$ $f(	heta) = 1(1 + 	an^2 	heta) - 	an 	heta(-	an 	heta + 	an 	heta) + 1(	an^2 	heta + 1) = 2(1 + 	an^2 	heta) = 2 \sec^2 	heta$ है। $0 \leq 	heta $(D)$ $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10) + x^{3/2}(3) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10+2x) = \frac{15}{2}x^{1/2}(x-2)$ है। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq 2$। अतः,$(D)-(r)$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समुच्चय $\{\operatorname{Re}(\frac{2 i z}{1-z^2}): \|z\|=1, z \neq \pm 1\}$ है	$(p)$ $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$
$(B)$ $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}})$ का प्रांत है	$(q)$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$(C)$ यदि $f(\theta)=\left\|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right\|$,तो समुच्चय $\{f(\theta): 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}\}$ है	$(r)$ $[2, \infty)$
$(D)$ यदि $f(x)=x^{3 / 2}(3 x-10), x \geq 0$,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है	$(s)$ $(-\infty,-1] \cup[1, \infty)$
	$(t)$ $(-\infty, 0] \cup[2, \infty)$

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