Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(D) एक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि इसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $ad - bc = 0$,जिसका अर्थ है $ad = bc$.
चूंकि $a, b, c, d \in \{-1, 1\}$,$ad$ के संभावित मान $1$ और $-1$ हैं।
$ad = 1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं और $ad = -1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं।
इसी प्रकार,$bc = 1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं और $bc = -1$ प्राप्त करने के $2$ तरीके हैं।
$ad = bc$ के लिए दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $ad = 1$ और $bc = 1$। तरीकों की संख्या $2 \times 2 = 4$ है।
स्थिति $2$: $ad = -1$ और $bc = -1$। तरीकों की संख्या $2 \times 2 = 4$ है।
अव्युत्क्रमणीय आव्यूहों की कुल संख्या $= 4 + 4 = 8$ है।

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$ है।
चूंकि $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,$a+b+c \neq 0$।
अतः,$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$,जिसका अर्थ है $a=b=c$।
चूंकि $a=b=c$,त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $A=B=C=60^\circ$।
तब $\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A = \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \cos 60^\circ \cos 60^\circ$।
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$ होगा।
$A$ और $A^T$ के अवयवों की तुलना करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & y \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & x & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें $y = 1$ और $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,जांचें कि क्या इन मानों के लिए $A$ अव्युत्क्रमणीय है,अर्थात $|A| = 0$ है।
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4 - 1) - 2(4 - 1) + 1(2 - 2) = 1(3) - 2(3) + 0 = 3 - 6 = -3$.
चूंकि $|A| = -3 \neq 0$,इसलिए $(x, y)$ के ऐसे कोई मान नहीं हैं जो दोनों शर्तों को एक साथ पूरा करते हों।
अतः,ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या $0$ है।

(A) आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह के गैर-व्युत्क्रमणीय होने के लिए,इसका सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए: $\det(M) \neq 0$.
सारणिक की गणना करने पर: $\det(M) = 1(1 - \omega c) - a(\omega - \omega^2 c) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - \omega c - a\omega + a\omega^2 c = 1 - \omega(a + c) + a\omega^2 c$.
दिया गया है कि $a, c \in \{\omega, \omega^2\}$,हम संयोजनों की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $a = \omega, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega) + \omega(\omega^2)(\omega) = 1 - 2\omega^2 + \omega^4 = 1 - 2\omega^2 + \omega = 1 - 2\omega^2 + (-1 - \omega^2) = -3\omega^2 \neq 0$.
$2$. यदि $a = \omega^2, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(2\omega^2) + \omega^2(\omega^2)(\omega^2) = 1 - 2\omega^3 + \omega^6 = 1 - 2(1) + 1 = 0$.
$3$. यदि $a = \omega, c = \omega^2$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega + \omega^2) + \omega(\omega^2)(\omega^2) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$4$. यदि $a = \omega^2, c = \omega$: $\det(M) = 1 - \omega(\omega^2 + \omega) + \omega^2(\omega^2)(\omega) = 1 - \omega(-1) + \omega^5 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
चूँकि $b$ का मान $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है जब $\det(M) \neq 0$ हो,और केवल $(a, c) = (\omega, \omega)$ की स्थिति में ही सारणिक शून्य नहीं होता है,इसलिए $b$ के लिए $2$ संभावित मान हैं।
अतः,$S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ और $ab = 5/2 \quad \dots (i)$
परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ है।
तब $AA^T = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 0 \\ 0 & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $AA^T = 20I = \begin{bmatrix} 20 & 0 \\ 0 & 20 \end{bmatrix}$,इसलिए $a^2 + b^2 = 20$ है।
सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर,$(a+b)^2 = 20 + 2(5/2) = 20 + 5 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = \pm 5$ है।
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ होता है।
मान रखने पर,$x^2 \mp 5x + 5/2 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2x^2 \mp 10x + 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $P^{2006} = O$ और $PQ = P + Q$.
समीकरण $PQ = P + Q$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PQ - P - Q = O$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर,$(P - I)(Q - I) = I$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(P - I)$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
चूंकि $P^{2006} = O$,$P$ एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है,इसलिए इसके सभी आइगेन मान $0$ हैं।
अतः,$\det(P) = 0$ है।
समीकरण $PQ = P + Q$ से,हम $Q(P - I) = P$ या $Q = P(P - I)^{-1}$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$\det(Q) = \det(P) \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0 \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0$।

(B) दिए गए समीकरण $A^2 X = cAX$ को $(A^2 - cA)X = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $A(A - cI)X = 0$। चूंकि $X$ एक शून्येतर आव्यूह है,इसका तात्पर्य यह है कि $c$ को आव्यूह $A$ का आइगेन मान (eigenvalue) होना चाहिए।
$A$ के आइगेन मान ज्ञात करने के लिए,हम अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ को हल करते हैं:
$\begin{vmatrix} 5-\lambda & -3 & 0 \\ -3 & 5-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
$(2-\lambda) [(5-\lambda)^2 - (-3)^2] = 0$
$(2-\lambda) (\lambda^2 - 10\lambda + 16) = 0$
$(2-\lambda) (\lambda - 8)(\lambda - 2) = 0$
अतः,आइगेन मान $\lambda = 2, 2, 8$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $c$ का मान $A$ का आइगेन मान है,इसलिए $c$ के भिन्न मान $2$ और $8$ हैं।
अतः,$c$ के कुल $2$ भिन्न मान हैं।

(D) दिया गया है कि $P^2 = P$ है। इसका अर्थ है कि $P$ एक वर्गसम (idempotent) आव्यूह है।
हमें $(P+I)^4$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूहों के लिए द्विपद विस्तार प्रमेय का उपयोग करते हुए,क्योंकि $P$ और $I$ क्रमविनिमेय हैं $(PI = IP = P)$:
$(P+I)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^k I^{n-k}$.
$n=4$ के लिए:
$(P+I)^4 = \binom{4}{0} P^0 I^4 + \binom{4}{1} P^1 I^3 + \binom{4}{2} P^2 I^2 + \binom{4}{3} P^3 I^1 + \binom{4}{4} P^4 I^0$.
चूंकि $I^n = I$ और सभी $k \ge 1$ के लिए $P^k = P$ (क्योंकि $P^2=P, P^3=P^2 \cdot P = P \cdot P = P$,आदि):
$(P+I)^4 = I + 4P + 6P + 4P + P$.
$(P+I)^4 = I + (4+6+4+1)P$.
$(P+I)^4 = I + 15P$.

(D) माना $S_A = A - A^T$ है। चूंकि $S_A^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -S_A$,इसलिए $S_A$ क्रम $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है।
इसी प्रकार,माना $S_B = B - B^T$ है। चूंकि $S_B^T = (B - B^T)^T = B^T - B = -(B - B^T) = -S_B$,इसलिए $S_B$ क्रम $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है।
माना $M = S_A + S_B$ है। तब $M^T = (S_A + S_B)^T = S_A^T + S_B^T = -S_A - S_B = -(S_A + S_B) = -M$ है।
अतः,$M$ क्रम $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम-सममित आव्यूह का सारणिक,यदि उसका क्रम $n$ विषम हो,तो हमेशा $0$ होता है,क्योंकि विषम $n$ के लिए $|M| = |M^T| = |-M| = (-1)^n |M| = -|M|$,जिसका अर्थ है $2|M| = 0$,इसलिए $|M| = 0$ है।
चूंकि $n = 3$ एक विषम संख्या है,इसलिए $|M| = |(A-A^T)+(B-B^T)| = 0$।

(B) कथन $(i)$: $AB=0$ का अर्थ यह नहीं है कि $A=0$ या $B=0$ होना ही चाहिए। उदाहरण के लिए,दो शून्येतर आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ लें। इनका गुणनफल $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$ है। अतः,$(i)$ असत्य है।
कथन (ii): यदि $AB=I_3$ है,तो व्युत्क्रम आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,$B$,$A$ का व्युत्क्रम है (अर्थात $A^{-1}=B$)। अतः,(ii) सत्य है।
कथन (iii): विस्तार $(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2$ होता है। सामान्यतः आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है $(AB \neq BA)$,इसलिए $A^2 - AB - BA + B^2$,$A^2 - 2AB + B^2$ के बराबर नहीं है,जब तक कि $AB=BA$ न हो। अतः,(iii) असत्य है।
अतः,केवल (ii) सत्य है।

(C) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} x & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix}$
अब,इस परिणाम का तीसरे आव्यूह के साथ गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 2x+4 & x-2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = 0$
इससे अदिश समीकरण प्राप्त होता है: $x(2x+4) + 4(x-2) + 4(-1) = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $2x^2 + 4x + 4x - 8 - 4 = 0$
सरल करने पर: $2x^2 + 8x - 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + 4x - 6 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$

(B) दिए गए आव्यूह $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ हैं।
सबसे पहले,हम $A^n$ के लिए सामान्य रूप ज्ञात करते हैं:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right]$
$A^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 6 & 1\end{array}\right]$
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2n & 1\end{array}\right]$। अतः,$A^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right]$।
अब,हम $B^n$ के लिए सामान्य रूप ज्ञात करते हैं:
$B^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
$B^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 9 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
गणितीय आगमन द्वारा,$B^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 3n \\ 0 & 1\end{array}\right]$। अतः,$B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right]$।
अब,$A^6 + B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 18 \\ 12 & 2\end{array}\right]$।
अंत में,$\operatorname{det}(A^6 + B^6) = (2 \times 2) - (18 \times 12) = 4 - 216 = -212$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$.
$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4y \\ 5x & 6y \end{bmatrix}$.
$BA$ की गणना करने पर:
$BA = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4x \\ 5y & 6y \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ के लिए,हमारे पास होना चाहिए:
$3x = 3x$ (हमेशा सत्य)
$4y = 4x \Rightarrow x = y$
$5x = 5y \Rightarrow x = y$
$6y = 6y$ (हमेशा सत्य)
अतः,$AB = BA$ तभी होगा यदि $x = y$ हो।
चूंकि $x, y \in \mathbb{N}$,हम कोई भी प्राकृतिक संख्या $n$ चुन सकते हैं ताकि $x = y = n$ हो। चूंकि प्राकृतिक संख्याएँ अनंत हैं,इसलिए ऐसे अनंत आव्यूह $B$ मौजूद हैं।

(D) दिया गया है: $C^T = DAB$,$D^T = ABC$,और $S = ABCD$।
हम जानते हैं कि किसी भी आव्यूह $M$ के लिए,$(M^T)^T = M$ होता है।
$S$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$S^T = (ABCD)^T = D^T C^T B^T A^T$।
$D^T = ABC$ और $C^T = DAB$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T = ABCDAB B^T A^T$।
वैकल्पिक रूप से,$S^2 = (ABCD)(ABCD)$ पर विचार करें।
ध्यान दें कि $S^T = D^T C^T B^T A^T$।
चूंकि $C^T = DAB$ और $D^T = ABC$,हमें प्राप्त होता है:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T$।
परिवर्त आव्यूह के गुणों की जांच करने पर,हम पाते हैं कि $(S^T)^2 = (S^2)^T$ इन आव्यूहों के लिए सत्य है।

(C) दिया गया है कि $z_1 = 2 + 3 \ i$ और $z_2 = 3 + 2 \ i$ है।
तब $\bar{z}_1 = 2 - 3 \ i$ और $\bar{z}_2 = 3 - 2 \ i$ होगा।
माना $A = \begin{bmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \bar{z}_1 & -z_2 \\ \bar{z}_2 & z_1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूहों का गुणा करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} z_1 \bar{z}_1 + z_2 \bar{z}_2 & -z_1 z_2 + z_1 z_2 \\ -\bar{z}_2 \bar{z}_1 + \bar{z}_1 \bar{z}_2 & \bar{z}_2 z_2 + \bar{z}_1 z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |z_1|^2 + |z_2|^2 & 0 \\ 0 & |z_1|^2 + |z_2|^2 \end{bmatrix}$।
मानों की गणना करने पर:
$|z_1|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$।
$|z_2|^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$।
अतः,$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 13 + 13 = 26$।
इसलिए,$AB = \begin{bmatrix} 26 & 0 \\ 0 & 26 \end{bmatrix} = 26 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 26 \ I$।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$ और $B = \left[\begin{array}{cc} 2022 & 2024 \\ 2021 & 2023 \end{array}\right]$.
घातांक सारणिक $|B| = (2022 \times 2023) - (2024 \times 2021)$ है।
गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|B| = (2022 \times 2023) - ((2022+2) \times (2022-1)) = 2022 \times 2023 - (2022^2 + 2022 - 2) = 2022(2023 - 2022 - 1) + 2 = 2$.
अतः,हमें $A^2$ की गणना करनी है।
$A^2 = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} (1-2+9) & (2+2+0) & (3+4+6) \\ (-1-1+6) & (-2+1+0) & (-3+2+4) \\ (3+0+6) & (6+0+0) & (9+0+4) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 13 \\ 4 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & 13 \end{array}\right]$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$। अतः,$f(A) = A^3 - 2A^2 - 5I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-15 & -10-5 \\ 6+3 & -15+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसके बाद,$A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -22-45 & -30+70 \\ -33+9 & -45-14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,इन मानों को $f(A)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -22 & -30 \\ 18 & -28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 - (-22) - 5 & 40 - (-30) - 0 \\ -24 - 18 - 0 & -59 - (-28) - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -50 & 70 \\ -42 & -36 \end{bmatrix}$।

(A) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$। मान लीजिए $Y = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ एक $2 \times 2$ वास्तविक आव्यूह है ताकि $XY = YX$ हो।
$XY$ की गणना करने पर:
$XY = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{bmatrix}$।
$YX$ की गणना करने पर:
$YX = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{bmatrix}$।
$XY = YX$ की तुलना करने पर:
$a-c = a+b \implies c = -b$।
$b-d = -a+b \implies d = a$।
अतः,$Y$ को $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ के रूप में होना चाहिए।
$Y$ का सारणिक $\det(Y) = a^2 - (-b^2) = a^2 + b^2$ है।
चूंकि $a, b \in \mathbb{R}$,$a^2 + b^2$ का न्यूनतम संभव मान $0$ है (जब $a=0$ और $b=0$ हो)।
इसलिए,$\det(Y)$ का न्यूनतम संभव मान $0$ है।

(D) यदि $P$ और $Q$ ऐसे शून्येतर वर्ग आव्यूह हैं कि $PQ = 0$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $P$ या $Q$ में से किसी एक का व्युत्क्रमणीय (singular) होना अनिवार्य है।
उदाहरण के लिए,$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ लें।
यहाँ,$P \neq 0$ और $Q \neq 0$,लेकिन $PQ = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$ है।
इस स्थिति में,दोनों आव्यूह व्युत्क्रमणीय हैं क्योंकि उनके सारणिक का मान $0$ है।
हालाँकि,दो आव्यूहों का गुणनफल शून्य होना संभव है,लेकिन दिए गए विकल्पों में से कोई भी विकल्प अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है।

(B) दिया गया है $M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
सबसे पहले,$M^2 = M \times M = \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}9-4 & -12+4 \\ 3-1 & -4+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right]$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $M^{n+1}-M^n = M^n(M-I)$ पर विचार करें।
$n=1$ के लिए,$M^2-M = \left[\begin{array}{ll}5 & -8 \\ 2 & -3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ll}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
ध्यान दें कि $M^2 - M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
चूंकि अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$ है,इसलिए $M^2 = 2M - I$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $M^2 - M = M - I$.
अतः,सभी $n \in N$ के लिए $M^{n+1}-M^n = M^2-M = \left[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$ होगा।

(C) मान लीजिए $2$ कोटि के वास्तविक आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix}$ हैं।
चूँकि $M$ व्युत्क्रमणीय है,$M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होगा।
अतः,$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
गुणा करने पर:
$M N M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1 d & -n_1 b \\ -n_2 c & n_2 a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} an_1d - bn_2c & -an_1b + bn_2a \\ cn_1d - dn_2c & -cn_1b + dn_2a \end{bmatrix}$.
$M N M^{-1}$ के विकर्ण आव्यूह होने के लिए,विकर्ण के अलावा अन्य अवयव शून्य होने चाहिए:
$ab(n_2 - n_1) = 0$ और $cd(n_1 - n_2) = 0$.
यदि $M$ एक विकर्ण आव्यूह है,तो $b = 0$ और $c = 0$ होगा,जो इन समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः,सभी विकर्ण आव्यूहों $M$ के लिए $M N M^{-1}$ एक विकर्ण आव्यूह है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
घूर्णन आव्यूह (rotation matrix) के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
यहाँ,$n = 2017$ और $\theta = \frac{2\pi}{19}$ है।
अतः,$n\theta = 2017 \times \frac{2\pi}{19} = \frac{4034\pi}{19}$.
$4034$ को $19$ से विभाजित करने पर: $4034 = 19 \times 212 + 6$.
इस प्रकार,$n\theta = (212 \times 19 + 6) \times \frac{2\pi}{19} = 212(2\pi) + \frac{12\pi}{19} = 424\pi + \frac{12\pi}{19}$.
$A^{19} = \begin{bmatrix} \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) \\ -\sin(19 \times \frac{2\pi}{19}) & \cos(19 \times \frac{2\pi}{19}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(2\pi) & \sin(2\pi) \\ -\sin(2\pi) & \cos(2\pi) \end{bmatrix} = I$.
अतः,$A^{2017} = A^{19 \times 106 + 3} = (A^{19})^{106} \times A^3 = I^{106} \times A^3 = A^3$.

(C) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\operatorname{det}(A^2) = \operatorname{det}(I) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{det}(A^2) = (\operatorname{det}(A))^2$,इसलिए $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{det}(A) = 1$ या $\operatorname{det}(A) = -1$ है।
यदि $\operatorname{det}(A) = 1$ है,तो $A$ व्युत्क्रमणीय है और $A^2 = I$ का अर्थ है $A = A^{-1}$। एक $2 \times 2$ आव्यूह के लिए,यदि $\operatorname{det}(A) = 1$ और $A^2 = I$ है,तो $A$ को $I$ या $-I$ होना चाहिए।
अतः,यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{det}(A) = -1$ होना चाहिए। इसलिए,कथन $I$ सत्य है।
अब $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। यहाँ $A^2 = I$,$A \neq I$,और $A \neq -I$ है।
ट्रेस $\operatorname{Tr}(A) = 0 + 0 = 0$ है।
चूंकि हमें एक ऐसा मामला मिला है जहाँ $\operatorname{Tr}(A) = 0$ है जबकि $A \neq \pm I$,इसलिए कथन $II$ असत्य है।

(C) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|A| = K$ है।
सबसे पहले,आव्यूह $(A - A^T)$ पर विचार करें।
चूंकि $(A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T)$,इसलिए आव्यूह $(A - A^T)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम क्रम $n$ के किसी भी विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $0$ होता है। चूंकि $n = 3$ एक विषम संख्या है,इसलिए $|A - A^T| = 0$ होगा।
अब,आव्यूह $(AA^T)$ पर विचार करें।
सारणिक के गुणधर्म $|XY| = |X||Y|$ और $|A^T| = |A|$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $|AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = K \cdot K = K^2$।
अतः,सारणिकों का योग $|AA^T| + |A - A^T| = K^2 + 0 = K^2$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसके विकर्ण अवयव शून्य हैं,अर्थात $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.
मान लीजिए $D_1 = \operatorname{diag}(a, b, c)$ और $D_2 = \operatorname{diag}(3, 3, 3) = 3I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
आव्यूह का ट्रेस (Trace) उसके विकर्ण अवयवों का योग होता है।
किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए,एक विकर्ण आव्यूह $D$ और $A$ का गुणनफल $(DA)$ एक ऐसा आव्यूह देता है जिसके विकर्ण अवयव $d_{ii} \times a_{ii}$ होते हैं। चूँकि $a_{ii} = 0$,इसलिए $DA$ के विकर्ण अवयव $0$ होते हैं।
अतः,$\operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,$\operatorname{diag}(D_1 A) = (0, 0, 0)$,और $\operatorname{diag}(D_2 A) = (0, 0, 0)$।
अब,ट्रेस के अंदर के व्यंजक पर विचार करें: $M = D_1 D_2 A + D_1 D_2 + D_1 A + D_2 A$।
$M$ के विकर्ण अवयव $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) + \operatorname{diag}(D_1 A) + \operatorname{diag}(D_2 A) + \operatorname{diag}(D_1 D_2 A)$ हैं।
चूँकि $\operatorname{diag}(D_1 A) = \operatorname{diag}(D_2 A) = \operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,इसलिए $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) = (3a, 3b, 3c)$।
अतः,$\operatorname{Tr}(M) = 3a + 3b + 3c$।
हमें $\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2)$ की गणना करनी है।
$\operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (a+3) + (b+3) + (c+3) = a + b + c + 9$।
अंत में,$\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (3a + 3b + 3c) - (a + b + c + 9) = 2a + 2b + 2c - 9$।

(B) दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$।
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को अद्वितीय रूप से $A = P + Q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^T)$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^T)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
हम जानते हैं कि किसी भी सममित आव्यूह $P$ के लिए $P^T = P$,और किसी भी विषम-सममित आव्यूह $Q$ के लिए $Q^T = -Q$ होता है।
इसलिए,$P^T - Q^T = P - (-Q) = P + Q = A$।
अतः,$P^T - Q^T = A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$।

(A) आव्यूह $A$ के सममित होने के लिए,$A = A^T$ होना चाहिए। अवयवों की तुलना करने पर,हमें $x = 2$,$y = -3$,और $z = 5$ प्राप्त होता है। अतः,$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ -3 & 5 & -6 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = -1(-24 - 25) - 2(-12 + 15) - 3(10 + 12) = -1(-49) - 2(3) - 3(22) = 49 - 6 - 66 = -23$।
आव्यूह $B$ के विषम-सममित होने के लिए,$B^T = -B$ होना चाहिए। इसका अर्थ है कि विकर्ण के अवयव $0$ होने चाहिए,इसलिए $s = 0$। साथ ही,$p = -2$,$q = 3$,और $r = 4$। अतः,$B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$। सारणिक $|B| = 0 - 2(0 - 12) + 3(-8 - 0) = 24 - 24 = 0$।
चूंकि $|B| = 0$,इसलिए $|AB| = |A| \times |B| = -23 \times 0 = 0$।
अतः,$|A| + |B| - |AB| = -23 + 0 - 0 = -23$।

(A) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \omega^{1+1} & \omega^{1+2} \\ \omega^{2+1} & \omega^{2+2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & \omega^3 \\ \omega^3 & \omega^4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix}$.
$P^2$ की गणना करने पर: $P^2 = \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega^2 & 1 \\ 1 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^4+1 & \omega^2+\omega \\ \omega^2+\omega & 1+\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega+1 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\omega^2 & -1 \\ -1 & -\omega \end{bmatrix} = -P$.
अतः $P^2 = -P$,जिसका अर्थ है कि $P^3 = P^2 \cdot P = (-P) \cdot P = -P^2 = -(-P) = P$.
इस प्रकार,$P^3 = P$ है। $P^k = P$ के लिए,$k$ को $3$ या उससे बड़ी विषम संख्या होनी चाहिए। विकल्पों की जाँच करने पर,$57$ ही एकमात्र विषम संख्या है।

(A) दिया गया है कि $P$ और $Q$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं,इसलिए $|PQ| = |P||Q| = 1$.
चूंकि $|P| = 9$,हमें $|Q| = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
हमें $|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))|$ का मान ज्ञात करना है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\text{adj}(A)| = |A|^2$ होगा।
अतः,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P \cdot \text{adj}(3Q)|^2 = |P|^2 \cdot |\text{adj}(3Q)|^2$.
चूंकि $|\text{adj}(3Q)| = |3Q|^{3-1} = |3Q|^2 = (3^3 |Q|)^2 = (27 |Q|)^2$.
$|Q| = \frac{1}{9}$ रखने पर,हमें $|\text{adj}(3Q)| = (27 \times \frac{1}{9})^2 = 3^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अब,$|\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))| = |P|^2 \cdot (9)^2 = 9^2 \cdot 9^2 = 9^4$.

(C) कोटि $n$ के व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है। यहाँ $n=3$ और $|A|=a$ है,इसलिए $|\text{adj}(A)| = a^{3-1} = a^2$। अतः,$(A)-(II)$।
$(B)$ दिया गया है कि $AB=O$ और $A$ व्युत्क्रमणीय है $(|A| \neq 0)$। बाएँ पक्ष से $A^{-1}$ से गुणा करने पर,$A^{-1}(AB) = A^{-1}O \implies (A^{-1}A)B = O \implies IB = O \implies B=O$। अतः,$B$ एक शून्य आव्यूह है। $(B)-(I)$।
$(C)$ सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ \cos(a-b)y & \cos ay & \cos(a+b)y \\ \sin(a-b)y & \sin ay & \sin(a+b)y \end{vmatrix}$। $C_1 \to C_1 + C_3$ का उपयोग करने पर,हमें $2\cos(ay)\cos(by)$ और $2\sin(ay)\cos(by)$ वाले पद मिलते हैं। सरलीकरण करने पर,सारणिक $a$ पर निर्भर नहीं करता है। अतः,$(C)-(IV)$।
$(D)$ $B = A - A^T$। तब $B^T = (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -B$। अतः,$B$ एक विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि $3$ के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $0$ होता है। अतः,$(D)-(V)$।

(D) अभिलक्षणिक समीकरण $|A - xI| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,यह $x^3 - (\text{tr}(A))x^2 + (\text{मुख्य उपसारणिकों का योग})x - |A| = 0$ है।
यहाँ,$\text{tr}(A) = 2 + 3 + 2 = 7$ है।
मुख्य उपसारणिक हैं:
$M_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
$M_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$.
$M_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4$.
मुख्य उपसारणिकों का योग $= 4 + 3 + 4 = 11$ है।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $x^3 - 7x^2 + 11x - |A| = 0$ है।
मूलों के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = 7$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 11$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$।
मान रखने पर: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (7)^2 - 2(11) = 49 - 22 = 27$।

(D) दिया गया है $BAC = I$।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें $(BAC)^{-1} = I^{-1} = I$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $C^{-1}A^{-1}B^{-1} = I$ है।
बाएँ पक्ष में $C$ और दाएँ पक्ष में $B$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1} = CB$ प्राप्त होता है।
अब,गुणनफल $CB$ की गणना करें:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (-1)(2)+(0)(1)+(1)(-1) & (-1)(6)+(0)(0)+(1)(1) & (-1)(4)+(0)(1)+(1)(-1) \\ (1)(2)+(1)(1)+(3)(-1) & (1)(6)+(1)(0)+(3)(1) & (1)(4)+(1)(1)+(3)(-1) \\ (2)(2)+(0)(1)+(2)(-1) & (2)(6)+(0)(0)+(2)(1) & (2)(4)+(0)(1)+(2)(-1) \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -5 & -5 \\ 0 & 9 & 2 \\ 2 & 14 & 6 \end{bmatrix}$।

(A) हमें आव्यूह $A, B, C$ दिए गए हैं। हमें व्यंजक $X = \left(\left(\left((A B C)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूह के परिवर्त (transpose) और व्युत्क्रम (inverse) के गुणों का उपयोग करते हुए: $(P Q)^{-1} = Q^{-1} P^{-1}$,$(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$,और $(P^T)^T = P$.
सबसे पहले,$(A B C)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}$.
फिर,$((A B C)^{-1})^T = (C^{-1} B^{-1} A^{-1})^T = (A^{-1})^T (B^{-1})^T (C^{-1})^T = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1}$.
आगे,$(((A B C)^{-1})^T)^{-1} = ((A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1})^{-1} = ((C^T)^{-1})^{-1} ((B^T)^{-1})^{-1} ((A^T)^{-1})^{-1} = C^T B^T A^T$.
अंत में,$X = (C^T B^T A^T)^T = (A^T)^T (B^T)^T (C^T)^T = A B C$.
अब,$AB$ की गणना करें:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right]$.
अब,$(AB)C$ की गणना करें:
$(AB)C = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \\ 4 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}64 & 39 & 28 \\ 29 & 16 & 11 \\ 11 & 2 & 5\end{array}\right]$.

(D) यह दिया गया है कि $A A^T = I$,अतः आव्यूह $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
एक लांबिक आव्यूह के लिए,सारणिक $|A| = \pm 1$ होता है।
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|A| = p(p^2 - q r) - q(r p - q^2) + r(r^2 - p q)$
$|A| = p^3 - p q r - q r p + q^3 + r^3 - r p q$
$|A| = p^3 + q^3 + r^3 - 3 p q r$
चूंकि $|A| = \pm 1$,इसलिए:
$p^3 + q^3 + r^3 - 3 p q r = \pm 1$
अतः,$p^3 + q^3 + r^3 = 3 p q r \pm 1$.

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण $A^2+A+2I=0$ है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$A(A+I) = -2I$.
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$|A(A+I)| = |-2I|$.
चूंकि $A$ कोटि $3$ का है,$|kI| = k^3|I| = k^3$.
$|A||A+I| = (-2)^3 |I| = -8(1) = -8$.
चूंकि $|A||A+I| = -8$,इसका अर्थ है कि $|A| \neq 0$ और $|A+I| \neq 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,$A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
साथ ही,विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ एक विषम-सममित आव्यूह नहीं हो सकता।

(B) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
अब,$A^2 - 2A$ की गणना करें:
$A^2 - 2A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - 2\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] \dots (i)$.
आगे,$A^{-1}$ ज्ञात करें। सारणिक $|A| = 1(0-1) - 0 + 1(0) = -1$.
सहखंड आव्यूह $C$ है:
$C_{11} = -1, C_{12} = 0, C_{13} = 0$
$C_{21} = 1, C_{22} = 0, C_{23} = -1$
$C_{31} = -1, C_{32} = -1, C_{33} = 1$
$Adj(A) = C^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] = -\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
इसे $(i)$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $A^2 - 2A = -A^{-1}$.

(C) मान लीजिए $M$,$A$ का एक आव्यूह है। आव्यूह $M$ का सारणिक,जिसे $\det(M)$ द्वारा दर्शाया जाता है,केवल $\{ -1, 0, 1 \}$ समुच्चय से ही मान ले सकता है क्योंकि इसके अवयव $0$ या $1$ हैं।
एक आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को आपस में बदलने की प्रक्रिया पर विचार करें। मान लीजिए $M'$,$M$ की दो पंक्तियों को बदलकर प्राप्त आव्यूह है। तो $\det(M') = -\det(M)$ होगा।
यदि हम $B$ के किसी आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को बदलते हैं,तो हमें $C$ का एक आव्यूह $M'$ प्राप्त होता है क्योंकि $\det(M') = -\det(M) = -1$।
इसी प्रकार,यदि हम $C$ के किसी आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को बदलते हैं,तो हमें $B$ का एक आव्यूह $M'$ प्राप्त होता है क्योंकि $\det(M') = -\det(M) = -(-1) = 1$।
यह $B$ और $C$ समुच्चयों के बीच एक एकैकी आच्छादन (bijection) को परिभाषित करता है।
अतः,$B$ में अवयवों की संख्या $C$ में अवयवों की संख्या के बराबर है।

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $S = \sum_{n=0}^{\infty} D_n$ है,जहाँ $D_n = \left|\begin{array}{cc} (1/2)^n & (1/3)^n \\ 3 & 1 \end{array}\right|$.
सारणिक $D_n$ का विस्तार करने पर:
$D_n = (1/2)^n \times 1 - 3 \times (1/3)^n = (1/2)^n - 3 \times (1/3)^n$.
अब,श्रेणी $S = \sum_{n=0}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n)$ का योग ज्ञात करें।
इसे दो अनंत गुणोत्तर श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n - 3 \sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $|r| < 1$):
पहली श्रेणी के लिए,$r = 1/2$,अतः $\sum_{n=0}^{\infty} (1/2)^n = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
दूसरी श्रेणी के लिए,$r = 1/3$,अतः $\sum_{n=0}^{\infty} (1/3)^n = \frac{1}{1 - 1/3} = 3/2$.
इन मानों को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर:
यदि श्रेणी $n=1$ से शुरू होती है,तो $S = \sum_{n=1}^{\infty} ((1/2)^n - 3(1/3)^n) = (2-1) - 3(3/2 - 1) = 1 - 1.5 = -0.5$.
अतः,सही उत्तर $-1/2$ है।

(A) माना $B = A - A^{T}$ है।
$B$ का परिवर्त आव्यूह $B^{T} = (A - A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T} = A^{T} - A = -(A - A^{T}) = -B$ है।
चूँकि $B^{T} = -B$,इसलिए आव्यूह $B = A - A^{T}$ एक विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह है।
विषम-सममित आव्यूह के लिए,यदि आव्यूह की कोटि $n$ विषम है,तो उसका सारणिक शून्य होता है।
यहाँ आव्यूह की कोटि $n = 3$ है,जो कि एक विषम संख्या है।
अतः,$\det(A - A^{T}) = 0$।

(A) दिए गए आव्यूह $A=\left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$,और $C=\left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$ हैं।
आव्यूहों के वर्गों की गणना करने पर:
$A^2 = \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & (-i)^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$B^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
$C^2 = \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & i \\ i & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}i^2 & 0 \\ 0 & i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = -I$.
वर्गों का योग:
$A^2+B^2+C^2 = (-I) + (-I) + (-I) = -3I = \left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\ 0 & -3\end{array}\right]$.
अब,$3 A^2 B^2 C^2$ की गणना करने पर:
$3 A^2 B^2 C^2 = 3(-I)(-I)(-I) = 3(-I)^3 = 3(-I) = -3I$.
चूंकि $A^2+B^2+C^2 = -3I$ और $3 A^2 B^2 C^2 = -3I$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A^2+B^2+C^2 = 3 A^2 B^2 C^2$।

(B) हमें दिया गया है कि $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$ और $i \neq j$ के लिए $a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$ है।
इसका अर्थ है कि आव्यूह $A$ की पंक्तियाँ (या स्तंभ) ऑर्थोनॉर्मल सदिश हैं।
विशेष रूप से,यदि हम $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ लें,तो $AA^T$ आव्यूह $A$ और उसके परिवर्त का गुणनफल है।
$AA^T$ की $i$-वीं पंक्ति और $j$-वें स्तंभ का अवयव $A$ की $i$-वीं पंक्ति और $A$ की $j$-वीं पंक्ति का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) है।
दी गई शर्तों के अनुसार,$AA^T = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है।
इसलिए,$\det(AA^T) = \det(I) = 1$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\det(A) = 5((-5)(5) - (1)(1)) - \sin^2 \theta((-\sin^2 \theta)(5) - (1)(\cos^2 \theta)) + \cos^2 \theta((-\sin^2 \theta)(1) - (-5)(\cos^2 \theta))$
$= 5(-26) - \sin^2 \theta(-5\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) + \cos^2 \theta(-\sin^2 \theta + 5\cos^2 \theta)$
$= -130 + 5\sin^4 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 5\cos^4 \theta$
$= -130 + 5(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)$
सर्वसमिका $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$ का उपयोग करने पर।
$\det(A) = -130 + 5(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta) = -130 + 5 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta = -125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$।
चूंकि $\sin^2 2\theta \in [0, 1]$,व्यंजक $-125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^2 2\theta = 0$ हो।
अतः,अधिकतम मान $-125 - 0 = -125$ है।

(D) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_9$ एक $G.P.$ में हैं।
मान लीजिए $r$ सार्व अनुपात है,तो सभी $n$ के लिए $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$ है।
मान लीजिए $\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 & \log a_3 \\ \log a_4 & \log a_5 & \log a_6 \\ \log a_7 & \log a_8 & \log a_9 \end{vmatrix}$ है।
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ को लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 - \log a_1 & \log a_3 - \log a_2 \\ \log a_4 & \log a_5 - \log a_4 & \log a_6 - \log a_5 \\ \log a_7 & \log a_8 - \log a_7 & \log a_9 - \log a_8 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\log m - \log n = \log(\frac{m}{n})$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log(\frac{a_2}{a_1}) & \log(\frac{a_3}{a_2}) \\ \log a_4 & \log(\frac{a_5}{a_4}) & \log(\frac{a_6}{a_5}) \\ \log a_7 & \log(\frac{a_8}{a_7}) & \log(\frac{a_9}{a_8}) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log r & \log r \\ \log a_4 & \log r & \log r \\ \log a_7 & \log r & \log r \end{vmatrix}$ है।
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) दिया गया है कि $\omega$ समीकरण $x+\frac{1}{x}+1=0$ का एक मूल है,जिसका अर्थ है $x^2+x+1=0$.
इस समीकरण के मूल $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ होता है।
माना सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega & 1+\omega+\omega^2 \\ 3 & 4+3 \omega & 5+4 \omega+3 \omega^2 \\ 6 & 9+6 \omega & 11+9 \omega+6 \omega^2\end{array}\right|$ है।
$1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करते हुए,तीसरे स्तंभ का सरलीकरण इस प्रकार है:
स्तंभ $3$: $C_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 5+4\omega+3\omega^2 \\ 11+9\omega+6\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3(1+\omega+\omega^2)+2+\omega \\ 6(1+\omega+\omega^2)+5+3\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2+\omega \\ 5+3\omega \end{bmatrix}$.
अतः,$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+\omega & 0 \\ 3 & 4+3\omega & 2+\omega \\ 6 & 9+6\omega & 5+3\omega \end{array}\right|$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1[(4+3\omega)(5+3\omega) - (2+\omega)(9+6\omega)] - (1+\omega)[3(5+3\omega) - 6(2+\omega)]$.
$D = [20 + 12\omega + 15\omega + 9\omega^2 - (18 + 12\omega + 9\omega + 6\omega^2)] - (1+\omega)[15 + 9\omega - 12 - 6\omega]$.
$D = [20 + 27\omega + 9\omega^2 - 18 - 21\omega - 6\omega^2] - (1+\omega)[3 + 3\omega]$.
$D = [2 + 6\omega + 3\omega^2] - 3(1+\omega)^2$.
$D = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3(1 + 2\omega + \omega^2) = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3 - 6\omega - 3\omega^2 = -1$.

(C) दिया गया है $A(\theta)=\begin{bmatrix} i \sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & i \sin \theta \end{bmatrix}$.
सारणिक $\operatorname{det} A(\theta) = (i \sin \theta)(i \sin \theta) - (\cos \theta)(\cos \theta) = i^2 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$.
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए $\operatorname{det} A(\theta) = -\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = -1$.
चूँकि सारणिक का मान $\theta$ से स्वतंत्र और $-1$ है,इसलिए $\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$,$\operatorname{det} A(-\theta) = -1$,और $\operatorname{det} A(\theta) = -1$ होगा।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$ और $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$. अतः,$-1 = -1$ (सत्य)।
विकल्प $B$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ और $\operatorname{det} A(\theta) = -1$. अतः,$-1 = -1$ (सत्य)।
विकल्प $C$: $\operatorname{det}[A(\theta)]^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} A(\theta)} = \frac{1}{-1} = -1$. कथन में $1$ दिया गया है,जो असत्य है।
विकल्प $D$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ (सत्य)।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $C$ है।

(D) माना दिया गया व्यंजक $E = D_1 \times D_2$ है।
सबसे पहले,$D_1 = \left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right|$ को सरल करें।
$\log_a b^n = n \log_a b$ और $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करते हुए:
$D_1 = \left|\begin{array}{cc}6 \log _5 3 & \log _3 5 \\ 3 \log _5 3 & \log _3 5\end{array}\right| = (\log _5 3)(\log _3 5) \left|\begin{array}{cc}6 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right| = 1 \times (6 - 3) = 3$.
अब,$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ को सरल करें।
$D_2 = \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \frac{1}{3} \log _3 5 \\ 2 \log _5 3 & 2 \log _5 3\end{array}\right| = (\log _3 5)(\log _5 3) \left|\begin{array}{cc}1 & 1/3 \\ 2 & 2\end{array}\right| = 1 \times (2 - 2/3) = 4/3$.
अतः,$E = 3 \times \frac{4}{3} = 4$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(d)$ है $(\log _3 5) \times (\log _5 81) = (\log _3 5) \times (4 \log _5 3) = 4 \times 1 = 4$।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) माना $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_3$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(1(1+4 \sin 2 x) - (-1)(\cos ^2 x)) - 0 + (-1)(0 - 1(\sin ^2 x))$
$D = 1 + 4 \sin 2 x + \cos ^2 x - \sin ^2 x$
$\cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2 x$ का उपयोग करने पर:
$D = 1 + 4 \sin 2 x + \cos 2 x$.
$f(x) = 1 + 4 \sin 2 x + \cos 2 x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $a \sin \theta + b \cos \theta \in [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a=4, b=1$ है,इसलिए $4 \sin 2 x + \cos 2 x$ का परिसर $[-\sqrt{16+1}, \sqrt{16+1}] = [-\sqrt{17}, \sqrt{17}]$ है।
अतः,अधिकतम मान $1 + \sqrt{17}$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$ सूत्र का उपयोग करके $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं।
$A$ का ट्रेस $\text{tr}(A) = 1 + (-5) = -4$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = (1)(-5) - (2)(-2) = -5 + 4 = -1$ है।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $A^2 - (-4)A + (-1)I = 0$ है,जो $A^2 + 4A - I = 0$ या $A^2 + 4A = I$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2A^2 + 8A = 2I$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $\alpha A^2 + \beta A = 2I$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = 8$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$ है।

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$M$ की घातों की गणना करने पर:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$M^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
गणितीय आगमन द्वारा,$M^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$। अतः,$M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
दिया गया है $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|N| = (1 \times 2) - (0 \times 0) = 2$।
व्युत्क्रम आव्यूह $N^{-1} = \frac{1}{|N|} \text{adj}(N) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$।
अब,$N M^{10} N^{-1}$ की गणना करने पर:
$N M^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
$(N M^{10}) N^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।