निम्नलिखित में से कौन सा 3 times 3 वास्तविक प | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $M$ एक $3 	imes 3$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला आव्यूह है ताकि $M^2 = A$ हो। तब $\det(M^2) = \det(A)$,जिसका अर्थ है $(\det(M))^2 = \det(A

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$A, B$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $M$ एक $3 	imes 3$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला आव्यूह है ताकि $M^2 = A$ हो। तब $\det(M^2) = \det(A)$,जिसका अर्थ है $(\det(M))^2 = \det(A)$। चूंकि $M$ की प्रविष्टियाँ वास्तविक हैं,$\det(M)$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $(\det(M))^2 \ge 0$। अतः,$A$ के एक वास्तविक आव्यूह का वर्ग होने के लिए,इसका सारणिक (determinant) गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।विकल्प $A$ के लिए: $\det(A) = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -1 विकल्प $B$ के लिए: $\det(B) = \det \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -1 विकल्प $C$ के लिए: $\det(C) = 1 > 0$। यह तत्समक आव्यूह $I^2 = I$ का वर्ग है।विकल्प $D$ के लिए: $\det(D) = \det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = 1 > 0$। यह आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ का वर्ग है।अतः,$A$ और $B$ वास्तविक $3 	imes 3$ आव्यूहों के वर्ग नहीं हैं।

निम्नलिखित में से कौन सा $3 \times 3$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले आव्यूह का वर्ग $NOT$ है?

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