Work Done by Variable Force and Force-Displacement Graph Questions in Gujarati

(C) થયેલું કાર્ય રેખા સંકલન $W = \int \overrightarrow F \cdot d\overrightarrow r = \int (-K(y\hat i + x\hat j)) \cdot (dx\hat i + dy\hat j) = -K \int (y\,dx + x\,dy) = -K \int d(xy)$ દ્વારા મળે છે.
માર્ગ $1$: $(0, 0)$ થી $(a, 0)$ સુધી. અહીં $y = 0$,તેથી $dy = 0$. થયેલું કાર્ય $W_1 = -K \int_0^a (0) dx = 0$.
માર્ગ $2$: $(a, 0)$ થી $(a, a)$ સુધી. અહીં $x = a$,તેથી $dx = 0$. થયેલું કાર્ય $W_2 = -K \int_0^a (a) dy = -K[ay]_0^a = -Ka^2$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 0 + (-Ka^2) = -Ka^2$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
$\Delta K = W$
$\frac{1}{2}m(v^2 - u^2) = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$
અહીં $m = 8\,kg$,$u = 0\,m/s$,$F = 3x$,$x_1 = 2\,m$,અને $x_2 = 10\,m$ આપેલ છે.
$\frac{1}{2} \times 8 \times (v^2 - 0^2) = \int_{2}^{10} 3x \, dx$
$4v^2 = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{10}$
$4v^2 = \frac{3}{2} [10^2 - 2^2]$
$4v^2 = \frac{3}{2} [100 - 4] = \frac{3}{2} \times 96 = 3 \times 48 = 144$
$v^2 = \frac{144}{4} = 36$
$v = 6\,m/s$.

(B) ચલ બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \int_{0}^{x_1} F \cdot dx$
આપેલ બળ $F = Cx$ ને સંકલનમાં મૂકતા:
$W = \int_{0}^{x_1} Cx \, dx$
અહીં $C$ અચળ હોવાથી,તેને સંકલનની બહાર લઈ શકાય:
$W = C \int_{0}^{x_1} x \, dx$
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = C \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$W = C \left( \frac{x_1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{2}Cx_1^2$

(D) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$.
અહીં $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$,અને $x_2 = 5$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$.
$W = (35 - 25 + 125) - 0$.
$W = 135 \, J$.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર $S = \frac{t^3}{3}$ છે.
વેગ $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}\right) = t^2\, m/s$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t\, m/s^2$.
બળ $F = ma = 3 \times 2t = 6t\, N$.
થયેલું કાર્ય $W = \int F\, dS = \int_0^2 F \left(\frac{dS}{dt}\right) dt = \int_0^2 (6t)(t^2) dt$.
$W = \int_0^2 6t^3 dt = 6 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^2 = \frac{6}{4} [16 - 0] = 1.5 \times 16 = 24\, J$.

(A) પ્રતિપ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $a = -kx$ જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma = -mkx$ થાય.
આ સ્થાનાંતર $x$ માટે આ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \int_0^x F \, dx = \int_0^x (-mkx) \, dx = -\frac{1}{2}mkx^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = W$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $-\Delta K = -W = \frac{1}{2}mkx^2$ છે.
અહીં $m$ અને $k$ અચળાંક હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ બળ-સ્થાન $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x = 1 \, cm$ થી $x = 5 \, cm$ સુધી થયેલ કાર્ય શોધવા માટે,આપણે આ સીમાઓ વચ્ચેના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ:
$1$. $x = 1 \, cm$ થી $x = 2 \, cm$: બળ $10 \, dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $10 \times (2 - 1) = 10 \, erg$.
$2$. $x = 2 \, cm$ થી $x = 3 \, cm$: બળ $20 \, dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $20 \times (3 - 2) = 20 \, erg$.
$3$. $x = 3 \, cm$ થી $x = 4 \, cm$: બળ $-20 \, dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $-20 \times (4 - 3) = -20 \, erg$.
$4$. $x = 4 \, cm$ થી $x = 5 \, cm$: બળ $10 \, dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $10 \times (5 - 4) = 10 \, erg$.
કુલ કાર્ય $W = 10 + 20 - 20 + 10 = 20 \, erg$.

(C) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય બળ-સ્થાનાંતર આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x = 0$ થી $x = 35\,m$ સુધી થયેલું કાર્ય શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = 10$ સુધીના ત્રિકોણ,$x = 10$ થી $x = 30$ સુધીના લંબચોરસ અને $x = 30$ થી $x = 35$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ગણીશું.
$1$. $x = 0$ થી $x = 10$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: આ $10\,m$ પાયો અને $10\,N$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે. ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\,J$.
$2$. $x = 10$ થી $x = 30$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: આ $(30 - 10) = 20\,m$ પહોળાઈ અને $10\,N$ ઊંચાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે. ક્ષેત્રફળ $= 20 \times 10 = 200\,J$.
$3$. $x = 30$ થી $x = 35$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: આ $10\,N$ અને $5\,N$ સમાંતર બાજુઓ અને $(35 - 30) = 5\,m$ ઊંચાઈ ધરાવતો સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (10 + 5) \times 5 = \frac{1}{2} \times 15 \times 5 = 37.5\,J$.
કુલ કાર્ય $= 50 + 200 + 37.5 = 287.5\,J$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ચોખ્ખા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. વૈકલ્પિક રીતે,કાર્ય $W = \int F \, dx = \int m a \, dx = m \int a \, dx$.
અહીં,$m = 10 \, kg$. સંકલન $\int a \, dx$ એ પ્રવેગ-સ્થાનાંતર આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આલેખ એ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 8 \, cm = 8 \times 10^{-2} \, m$ અને ઊંચાઈ $h = 20 \, cm/s^2 = 0.2 \, m/s^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-2} \, m) \times (0.2 \, m/s^2) = 0.8 \times 10^{-2} \, m^2/s^2$.
થયેલું કાર્ય $W = m \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 10 \, kg \times (0.8 \times 10^{-2} \, m^2/s^2) = 8 \times 10^{-2} \, J$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય એ મહત્તમ ઊંચાઈએ કારની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય = $F-x$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 11 \, m \times 100 \, N = 550 \, J$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો = $mgh = 5 \, kg \times 10 \, m/s^2 \times h$.
બંનેને સરખાવતા: $550 = 50 \times h$.
તેથી,$h = 11 \, m$.

(D) પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ નીચે મુજબ છે:
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (2)^2 = 50\, J$
અવરોધક બળ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4\, m \times 20\, N = 40\, J$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f)$:
$K_f = K_i - W_{\text{resistive}}$
$K_f = 50\, J - 40\, J = 10\, J$

(D) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ = $4 \, m$ અને $12 \, m$ સમાંતર બાજુઓ અને $10 \, N$ ઊંચાઈ ધરાવતા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (12 + 4) \times 10 = \frac{1}{2} \times 16 \times 10 = 80 \, J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$K_i = 0$.
$80 = \frac{1}{2} m v^2$
$80 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times v^2$
$v^2 = \frac{80 \times 2}{0.1} = 1600$
$v = \sqrt{1600} = 40 \, m/s$.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-X)$ ગ્રાફ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$X = 0.5 \, m$ અને $X = 2.5 \, m$ વચ્ચે થયેલ કાર્ય શોધવા માટે,આપણે આ બે બિંદુઓ વચ્ચેના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ.
$X = 0.5 \, m$ પર,બળ $F \approx 10 \, N$ છે.
$X = 2.5 \, m$ પર,બળ $F \approx 4 \, N$ છે.
વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળને સમલંબ ચતુષ્કોણ તરીકે ગણતા:
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} \times (F_1 + F_2) \times (X_2 - X_1)$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} \times (10 + 4) \times (2.5 - 0.5)$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} \times 14 \times 2 = 14 \, J$.
વક્ર ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ હોવાથી,વાસ્તવિક ક્ષેત્રફળ એ બે બિંદુઓને જોડતી સીધી રેખા દ્વારા બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા થોડું વધારે હશે.
તેથી,થયેલ કાર્ય આશરે $16 \, J$ છે.

(B) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $3\,m$ ($x=0$ થી $x=3$ સુધી) અને $6\,m$ ($x=0$ થી $x=6$ સુધી) છે,અને ઊંચાઈ $3\,N$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્ષેત્રફળની ગણતરી લંબચોરસ ($x=0$ થી $x=3$ સુધી) અને ત્રિકોણ ($x=3$ થી $x=6$ સુધી) ના સરવાળા તરીકે કરી શકાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $3\,m \times 3\,N = 9\,J$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (6-3)\,m \times 3\,N = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\,J$.
કુલ થયેલું કાર્ય = $9\,J + 4.5\,J = 13.5\,J$.

(D) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $0 < x < a$ વિસ્તાર માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U(x)$ એ $x$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. તેથી,ઢાળ $\frac{dU}{dx}$ એ ધન અચળાંક છે. પરિણામે,$F = -(\text{ધન અચળાંક})$ એ ઋણ અચળાંક મળે છે.
$2$. $x > a$ વિસ્તાર માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U(x)$ અચળ છે. તેથી,ઢાળ $\frac{dU}{dx} = 0$ થાય છે. પરિણામે,$F = 0$ મળે છે.
$3$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $0 < x < a$ માટે અચળ ઋણ બળ અને $x > a$ માટે શૂન્ય બળ દર્શાવે છે,તે આલેખ $D$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
થયેલ કાર્ય $(W)$ = $x=1$ થી $x=2$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ + $x=2$ થી $x=3$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ + $x=3$ થી $x=4$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ $1$ ($x=1$ થી $2$): $F = 10 \; N$,$\Delta x = 1 \; m$. ક્ષેત્રફળ = $10 \times 1 = 10 \; J$.
ક્ષેત્રફળ $2$ ($x=2$ થી $3$): $F = -10 \; N$,$\Delta x = 1 \; m$. ક્ષેત્રફળ = $-10 \times 1 = -10 \; J$.
ક્ષેત્રફળ $3$ ($x=3$ થી $4$): $F = 10 \; N$,$\Delta x = 1 \; m$. ક્ષેત્રફળ = $10 \times 1 = 10 \; J$.
કુલ કાર્ય = $10 + (-10) + 10 = 10 \; J$.

(B) થયેલું કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપણે $x = 0 \text{ m}$ થી $x = 5 \text{ m}$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ ગણવું પડશે.
$1$. $x = 0$ થી $x = 1$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5 \text{ J}$.
$2$. $x = 1$ થી $x = 2$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (લંબચોરસ): $1 \times 10 = 10 \text{ J}$.
$3$. $x = 2$ થી $x = 3$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (લંબચોરસ,$x$-અક્ષની નીચે): $1 \times (-5) = -5 \text{ J}$.
$4$. $x = 3$ થી $x = 4$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $0 \text{ J}$.
$5$. $x = 4$ થી $x = 5$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5 \text{ J}$.
કુલ કાર્ય $W = 5 + 10 - 5 + 0 + 5 = 15 \text{ J}$.

(B) બળ અચળાંક $K$ એ બળ-સ્થાનાંતર આલેખના ઢાળ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $F = Kx$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખા સ્થાનાંતર અક્ષ ($X$-અક્ષ) સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ સ્થાનાંતર સાથે ઘટી રહ્યું હોવાથી,બળ અચળાંકનું મૂલ્ય ઢાળના માન દ્વારા નક્કી થાય છે: $K = |\tan(30^{\circ})|$.
$K = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) જ્યારે કોઈ કણ $x_i$ થી $x_f$ સ્થાન સુધી ગતિ કરે ત્યારે ચલ બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_i}^{x_f} F \, dx$.
અહીં આપેલ બળ $F = Cx$ છે અને સીમાઓ $x_i = 0$ થી $x_f = x_1$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકીએ:
$W = \int_{0}^{x_1} Cx \, dx$.
અહીં $C$ અચળ હોવાથી,તેને સંકલનની બહાર લઈ શકાય:
$W = C \int_{0}^{x_1} x \, dx$.
$x$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન $\frac{x^2}{2}$ થાય છે.
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$W = C \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1} = C \left( \frac{{x_1}^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{2} C{x_1}^2$.
આમ,થતું કાર્ય $\frac{1}{2} C{x_1}^2$ છે.

(A) બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ બળ-સ્થાનના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપણે $x = 1 \; cm$ થી $x = 5 \; cm$ સુધીના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
$1$. $x = 1$ થી $x = 2$ સુધી,બળ $10 \; dynes$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_1 = 10 \times (2 - 1) = 10 \; erg$.
$2$. $x = 2$ થી $x = 3$ સુધી,બળ $20 \; dynes$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_2 = 20 \times (3 - 2) = 20 \; erg$.
$3$. $x = 3$ થી $x = 4$ સુધી,બળ $-20 \; dynes$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_3 = -20 \times (4 - 3) = -20 \; erg$.
$4$. $x = 4$ થી $x = 5$ સુધી,બળ $10 \; dynes$ છે. ક્ષેત્રફળ $A_4 = 10 \times (5 - 4) = 10 \; erg$.
કુલ કાર્ય $W = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 10 + 20 - 20 + 10 = 20 \; erg$.

(D) ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \ dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$ અને $x_2 = 5 \ m$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \ dx$
$W = [7x - x^2 + x^3]_0^5$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (0 - 0 + 0)$
$W = 35 - 25 + 125$
$W = 135 \ J$.

(B) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x = 1 \ m$ થી $x = 5 \ m$ ના અંતરાલ માટે,આપણે વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ:
$1$. $x = 1 \ m$ થી $x = 2 \ m$ સુધી: બળ $F = 10 \ N$ અચળ છે. ક્ષેત્રફળ $= (2 - 1) \times 10 = 10 \ J$.
$2$. $x = 2 \ m$ થી $x = 3 \ m$ સુધી: બળ $F = 5 \ N$ અચળ છે. ક્ષેત્રફળ $= (3 - 2) \times 5 = 5 \ J$.
$3$. $x = 3 \ m$ થી $x = 4 \ m$ સુધી: બળ $F = -5 \ N$ અચળ છે. ક્ષેત્રફળ $= (4 - 3) \times (-5) = -5 \ J$.
$4$. $x = 4 \ m$ થી $x = 5 \ m$ સુધી: બળ $0 \ N$ થી $10 \ N$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે. ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (5 - 4) \times 10 = 5 \ J$.
કુલ કાર્ય $= 10 + 5 - 5 + 5 = 15 \ J$.

(B) ચલ બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = cx$,$x_i = 0$ અને $x_f = x_1$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$W = \int_{0}^{x_1} cx \, dx$
$W = c \int_{0}^{x_1} x \, dx$
$W = c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
$W = c \left( \frac{x_1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$W = \frac{1}{2} cx_1^2$

(A) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F_x \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F_x = -6x^3$,$x_i = 4 \ m$,અને $x_f = -2 \ m$ છે.
$W = \int_{4}^{-2} (-6x^3) \, dx$
$W = -6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{4}^{-2}$
$W = -\frac{6}{4} [(-2)^4 - (4)^4]$
$W = -1.5 [16 - 256]$
$W = -1.5 [-240]$
$W = 360 \ J$.

(B) કણ સંતુલનમાં હોય તે માટે ચોખ્ખું બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આલેખ પરથી,$x = x_1$ અને $x = x_2$ બંને સ્થાને $F = 0$ છે.
સ્થાયી સંતુલન માટે,જો કણને સંતુલન સ્થિતિમાંથી સહેજ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો બળ એવી દિશામાં લાગવું જોઈએ જે કણને પાછું સંતુલન સ્થિતિમાં લાવે (પુનઃસ્થાપક બળ).
$x = x_1$ પાસે,જો કણને સહેજ જમણી બાજુ $(x > x_1)$ ખસેડવામાં આવે,તો બળ $F$ ધન બને છે,જે તેને $x_1$ થી દૂર ધકેલે છે. તેથી,$x_1$ એ અસ્થાયી સંતુલન બિંદુ છે.
$x = x_2$ પાસે,જો કણને સહેજ જમણી બાજુ $(x > x_2)$ ખસેડવામાં આવે,તો બળ $F$ ઋણ બને છે (પુનઃસ્થાપક બળ),જે તેને પાછું $x_2$ તરફ ધકેલે છે. જો તેને સહેજ ડાબી બાજુ $(x < x_2)$ ખસેડવામાં આવે,તો બળ $F$ ધન બને છે (પુનઃસ્થાપક બળ),જે તેને પાછું $x_2$ તરફ ધકેલે છે. તેથી,$x = x_2$ એ સ્થાયી સંતુલન બિંદુ છે.

(C) શૃંખલાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L}$ છે.
શરૂઆતમાં,લટકતા ભાગની લંબાઈ $l_0 = \frac{L}{3}$ છે. આ લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda l_0 = \frac{M}{L} \cdot \frac{L}{3} = \frac{M}{3}$ થાય.
જ્યારે શૃંખલાનો $x$ જેટલો ભાગ હજુ પણ લટકી રહ્યો હોય,ત્યારે લટકતા ભાગની લંબાઈ $(\frac{L}{3} - x)$ થાય.
આ લટકતા ભાગનું વજનબળ $F(x) = \lambda (\frac{L}{3} - x)g = \frac{M}{L}(\frac{L}{3} - x)g$ છે.
શૃંખલાને પાછી ટેબલ પર ખેંચવા માટે,આપણે આ વજનબળ જેટલું જ બળ લગાડવું પડે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ $x = 0$ થી $x = L/3$ સુધીના સ્થાનાંતર માટે બળનું સંકલન છે:
$W = \int_{0}^{L/3} \frac{M}{L}(\frac{L}{3} - x)g \, dx$
$W = \frac{Mg}{L} [\frac{L}{3}x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{L/3}$
$W = \frac{Mg}{L} [\frac{L^2}{9} - \frac{L^2}{18}] = \frac{Mg}{L} [\frac{L^2}{18}] = \frac{MgL}{18}$.

(D) આપેલ સ્થાનાંતર $s = \frac{t^3}{3}$ છે.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) = t^2 \ m/s$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \ m/s^2$.
બળ $F = ma = 3 \times 2t = 6t \ N$.
થતું કાર્ય $W = \int F \cdot ds$.
કારણ કે $ds = v \cdot dt = t^2 \ dt$,તેથી:
$W = \int_{0}^{2} (6t) \cdot (t^2 \ dt) = \int_{0}^{2} 6t^3 \ dt$.
$W = 6 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{6}{4} [2^4 - 0^4] = \frac{3}{2} \times 16 = 24 \ J$.

(B) ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F(x) = 3x^2 - 2x + 7$,$x_1 = 0$ અને $x_2 = 10 \ m$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{10} (3x^2 - 2x + 7) dx$
$W = [x^3 - x^2 + 7x]_{0}^{10}$
$W = (10^3 - 10^2 + 7(10)) - (0^3 - 0^2 + 7(0))$
$W = 1000 - 100 + 70$
$W = 970 \ J$.

(D) બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (12 + (8 - 4)) \times 10 = \frac{1}{2} \times (12 + 4) \times 10 = \frac{1}{2} \times 16 \times 10 = 80 \ J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલ કાર્ય એ ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$.
કણ સ્થિર સ્થિતિથી શરૂ થતો હોવાથી,$K_i = 0$.
$80 = \frac{1}{2} m v^2$.
$80 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times v^2$.
$160 = 0.1 \times v^2$.
$v^2 = 1600$.
$v = 40 \ m/s$.

(A) કુલ કાર્ય નક્કી કરવા માટે,આપણે સૂક્ષ્મ સ્થળાંતર $dx$ માટે થયેલું સૂક્ષ્મ કાર્ય $dW$ નીચે મુજબ ગણીએ છીએ:
$dW = F \cdot dx = F dx \cos \theta$
અહીં બળ એ સ્થળાંતરની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$.
$dW = F dx = (10 + 0.5x) dx$
હવે,કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે $x = 0$ થી $x = 2$ સુધી સંકલન કરતા:
$W = \int_{0}^{2} (10 + 0.5x) dx$
$W = [10x + 0.5 \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$W = [10x + 0.25x^2]_{0}^{2}$
$W = (10(2) + 0.25(2)^2) - (10(0) + 0.25(0)^2)$
$W = 20 + 0.25(4) = 20 + 1 = 21 \text{ એકમ}$.

(D) પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \ J$.
અવરોધક બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 20 = 40 \ J$.
બળ અવરોધક હોવાથી,કાર્ય ઋણ ગણાશે: $W = -40 \ J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$K_f - K_i = W$.
$K_f = K_i + W = 100 - 40 = 60 \ J$.

(B) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x = 1 \ cm$ થી $x = 5 \ cm$ ના અંતરાલ માટે:
$1$. $x = 1 \ cm$ થી $x = 2 \ cm$ સુધી,બળ $F = 10 \ dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $1 \ cm \times 10 \ dyne = 10 \ erg$.
$2$. $x = 2 \ cm$ થી $x = 3 \ cm$ સુધી,બળ $F = 20 \ dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $1 \ cm \times 20 \ dyne = 20 \ erg$.
$3$. $x = 3 \ cm$ થી $x = 4 \ cm$ સુધી,બળ $F = -20 \ dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $1 \ cm \times (-20 \ dyne) = -20 \ erg$.
$4$. $x = 4 \ cm$ થી $x = 5 \ cm$ સુધી,બળ $F = 10 \ dyne$ છે. ક્ષેત્રફળ = $1 \ cm \times 10 \ dyne = 10 \ erg$.
કુલ કાર્ય = $10 + 20 - 20 + 10 = 20 \ erg$.

(D) ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$ અને $x_2 = 5 \, m$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$
$W = (35 - 25 + 125) - 0$
$W = 135 \, J$.

(A) થયેલ કાર્ય $W$ એ બળના સ્થાનાંતરની સાપેક્ષ સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int F \, dx = \int m \cdot a \, dx = m \int a \, dx$.
અહીં,$\int a \, dx$ એ પ્રવેગ-સ્થાનના આલેખ હેઠળ ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આલેખ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
પાયો $= 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$ અને વેધ $= 20 \ cm/s^2 = 20 \times 10^{-2} \ m/s^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (8 \times 10^{-2} \ m) \times (20 \times 10^{-2} \ m/s^2) = 80 \times 10^{-4} \ m^2/s^2 = 8 \times 10^{-3} \ m^2/s^2$.
હવે,$W = m \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 10 \ kg \times (8 \times 10^{-3} \ m^2/s^2) = 80 \times 10^{-3} \ J = 8 \times 10^{-2} \ J$.

(A) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ બળ-સ્થાનના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x = 1 \; cm$ થી $x = 5 \; cm$ ના અંતરાલ માટે:
$1$. $x = 1$ થી $x = 2$ માટે,ક્ષેત્રફળ એ $10 \; dyne$ ઊંચાઈ અને $1 \; cm$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે: $Area_1 = 10 \times 1 = 10 \; erg$.
$2$. $x = 2$ થી $x = 3$ માટે,ક્ષેત્રફળ એ $20 \; dyne$ ઊંચાઈ અને $1 \; cm$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે: $Area_2 = 20 \times 1 = 20 \; erg$.
$3$. $x = 3$ થી $x = 4$ માટે,ક્ષેત્રફળ એ x-અક્ષની નીચે $-20 \; dyne$ ઊંચાઈ અને $1 \; cm$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે: $Area_3 = -20 \times 1 = -20 \; erg$.
$4$. $x = 4$ થી $x = 5$ માટે,ક્ષેત્રફળ એ $10 \; dyne$ ઊંચાઈ અને $1 \; cm$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે: $Area_4 = 10 \times 1 = 10 \; erg$.
કુલ કાર્ય $W = Area_1 + Area_2 + Area_3 + Area_4 = 10 + 20 - 20 + 10 = 20 \; erg$.

(A) $x = 0$ આગળ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i$ નીચે મુજબ મળે:
$K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (2)^2 = 50 \ J$.
અવરોધક બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. બળ અવરોધક હોવાથી તે સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે,તેથી કાર્ય ઋણ થશે:
$W = -(\text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}) = -\left( \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} \right) = -\left( \frac{1}{2} \times 4 \times 20 \right) = -40 \ J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$x = 4 \ m$ આગળ અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$:
$K_f = K_i + W = 50 \ J + (-40 \ J) = 10 \ J$.

(B) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-d)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખમાં $d = 3\, m$ થી $d = 7\, m$ સુધી એક લંબચોરસ અને $d = 7\, m$ થી $d = 12\, m$ સુધી એક ત્રિકોણ બને છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (7 - 3) \times 2 = 4 \times 2 = 8\, J$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (12 - 7) \times 2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5\, J$.
કુલ કાર્ય = $\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = 8 + 5 = 13\, J$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $v_i = 10 \, m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500 \, J$.
પ્રતિરોધક બળ $F = -0.1 \, x \, N$ છે.
પ્રતિરોધક બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{20}^{30} (-0.1 \, x) \, dx$.
$W = -0.1 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{20}^{30} = -0.1 \times \frac{1}{2} (30^2 - 20^2) = -0.05 \times (900 - 400) = -0.05 \times 500 = -25 \, J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = K_f - K_i$.
$K_f = W + K_i = -25 \, J + 500 \, J = 475 \, J$.

(C) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા-સ્થળાંતર વક્રનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $E$ નું સ્થળાંતર $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dE}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}m \times 2v \times \frac{dv}{dx} = mv \frac{dv}{dx}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \times \frac{dt}{dx} = a \times \frac{1}{v}$,જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ છે.
આ કિંમતને ઢાળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dE}{dx} = mv \times (\frac{a}{v}) = ma$.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,ઢાળ $\frac{dE}{dx}$ એ પ્રવેગ $a$ ના સમપ્રમાણમાં છે (ખરેખર,તે કણ પર લાગતા બળ $F = ma$ જેટલો છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ બળ $F = x^3 - 3x \ N$ અને દળ $m = 1 \ kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = F/m = (x^3 - 3x) / 1 = x^3 - 3x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$v \frac{dv}{dx} = x^3 - 3x$.
બંને બાજુ $x = 1$ થી $x = 3$ સુધી અને વેગ $u = 0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{v} v \, dv = \int_{1}^{3} (x^3 - 3x) \, dx$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{v} = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3}$.
$\frac{v^2}{2} = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{3(3^2)}{2} \right) - \left( \frac{1^4}{4} - \frac{3(1^2)}{2} \right)$.
$\frac{v^2}{2} = \left( \frac{81}{4} - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \right)$.
$\frac{v^2}{2} = (20.25 - 13.5) - (0.25 - 1.5) = 6.75 - (-1.25) = 8$.
$v^2 = 16$,જે આપણને $v = 4 \ m/s$ આપે છે.

(C) બળ $\vec F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય રેખા સંકલન $W = \int \vec F \cdot d\vec r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec F = k(y\hat i + x\hat j)$ અને $d\vec r = dx\hat i + dy\hat j$ આપેલ છે,તેથી કાર્ય $W = \int k(y\hat i + x\hat j) \cdot (dx\hat i + dy\hat j) = k \int (y\,dx + x\,dy)$ થશે.
અહીં નોંધો કે $y\,dx + x\,dy = d(xy)$ થાય છે.
તેથી,$W = k \int_{(3,5)}^{(5,7)} d(xy) = k [xy]_{(3,5)}^{(5,7)}$.
સીમાઓ મૂકતા: $W = k [(5 \times 7) - (3 \times 5)] = k [35 - 15] = 20k$.
આમ,થયેલું કાર્ય $20k$ છે.

(B) અવલોકનકાર $A$ (જમીનના સંદર્ભમાં) માટે,બ્લોક સ્થિર થાય ત્યાં સુધી $x$ જેટલું અંતર કાપે છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ $F = -kx$ છે (ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં).
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા બ્લોક પર થયેલ કાર્ય $W = \int_{0}^{x} (-kx) dx = -\frac{1}{2}kx^2$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{net} = \Delta K = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2$.
સપાટી લીસી હોવાથી અને અન્ય કોઈ સમક્ષિતિજ બળ ન હોવાથી,સ્પ્રિંગના લંબબળ $N$ દ્વારા થતું કાર્ય એ બ્લોક પર થયેલ એકમાત્ર કાર્ય છે.
તેથી,લંબબળ $N$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $-\frac{1}{2}mv_0^2$ છે.

(B) રબર બેન્ડને સૂક્ષ્મ અંતર $dx$ જેટલું ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $dW = F dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બળ $F = ax + bx^2$ મૂકતા,આપણને $dW = (ax + bx^2) dx$ મળે છે.
રબર બેન્ડને $0$ થી $L$ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W$ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું સંકલન કરીશું:
$W = \int_{0}^{L} (ax + bx^2) dx$
$W = \int_{0}^{L} ax dx + \int_{0}^{L} bx^2 dx$
$W = a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} + b \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{L}$
$W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3}$

(A) આપેલ છે: બળ $F = 6t$,દળ $m = 1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
$6t = 1 \cdot \frac{dv}{dt} \implies dv = 6t \, dt$.
$t = 0$ થી $t = 1 \ s$ સુધી સંકલન કરતા:
$v = \int_{0}^{1} 6t \, dt = 6 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = 3 \ m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times (3^2 - 0^2) = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \ J$.

(A) ઘર્ષણ બળ $F = k x^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = -\frac{F}{m} = -\frac{k x^n}{m}$ છે.
સંબંધ $a = v \frac{dv}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v \frac{dv}{dx} = -\frac{k x^n}{m}$ મળે છે.
બંને બાજુ તેમના ચલના સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{0} v \, dv = -\int_{0}^{x} \frac{k}{m} x^n \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$[-\frac{v^2}{2}]_{v_0}^{0} = -\frac{k}{m} [\frac{x^{n+1}}{n+1}]_{0}^{x}$.
$0 - \frac{v_0^2}{2} = -\frac{k}{m} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{k x^{n+1}}{m(n+1)}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^{n+1} = \frac{m v_0^2 (n+1)}{2k}$.
$x = [\frac{m v_0^2 (n+1)}{2k}]^{1/(n+1)}$.

(B) આલેખ પરથી, ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પર સ્થિતિઊર્જા $V = 0 \ J$ છે।
અનંત અંતરે જવા માટે, કણે કોઈપણ એક બાજુના સ્થિતિઊર્જા અવરોધને ઓળંગવો પડે।
ડાબી બાજુએ સ્થિતિઊર્જા અવરોધનું શિખર $x = -1 \ m$ પર $V_{left} = 1 \ J$ છે।
જમણી બાજુએ સ્થિતિઊર્જા અવરોધનું શિખર $x = 3 \ m$ પર $V_{right} = 4 \ J$ છે।
દૂર જવા માટે, કણ પાસે ઓછામાં ઓછો અવરોધ ઓળંગવા માટે પૂરતી ગતિઊર્જા હોવી જોઈએ।
તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ ગતિઊર્જા $K_{min} = V_{left} = 1 \ J$ છે।
ગતિઊર્જાના સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2 = 1$
$0.25 \times v^2 = 1$
$v^2 = 4$
$v = 2 \ ms^{-1}$.

(C) પાવરને $P = \frac{dw}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,થયેલ કાર્ય $w$ એ સમયની સાપેક્ષમાં પાવરના સંકલન દ્વારા મળે છે: $w = \int P \, dt$.
આનો અર્થ એ છે કે બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $P-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
જેમ કે પાવર $P$ હંમેશા ધન છે (જેમ કે આલેખમાં $t$-અક્ષની ઉપર દર્શાવેલ છે),જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે તેમ તેમ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સતત વધતું જાય છે.
તેથી,સમય $t = 0$ થી $t_2$ સુધી આગળ વધતા કાર્ય $w$ હંમેશા વધતું જશે.

(D) સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ સંરક્ષી બળ દ્વારા થતા કાર્ય $W_c$ સાથે $\Delta U = -W_c$ તરીકે સંબંધિત છે.
કારણ કે $W_c = \int_{0}^{x_1} F(x) dx$,તેથી સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = -\int_{0}^{x_1} F(x) dx$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta U$ એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળનું ઋણ મૂલ્ય છે.
આલેખ $1$ માટે,બળ ધન છે,તેથી ક્ષેત્રફળ ધન છે,અને $\Delta U_1 = -(\frac{1}{2} F_1 x_1) = -0.5 F_1 x_1$.
આલેખ $2$ માટે,બળ ધન છે,તેથી ક્ષેત્રફળ ધન છે,અને $\Delta U_2 = -(F_1 x_1) = -1.0 F_1 x_1$.
આલેખ $3$ માટે,બળ ઋણ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ ઋણ છે,અને $\Delta U_3 = -(-\frac{1}{2} F_1 x_1) = +0.5 F_1 x_1$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $-1.0 F_1 x_1 < -0.5 F_1 x_1 < +0.5 F_1 x_1$.
આમ,સૌથી ઓછાથી સૌથી વધુનો ક્રમ $2, 1, 3$ છે.

(D) આપેલ સ્થાન: $x = 3t - 4t^2 + t^3$
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -8 + 6t$
દળ $m = 3.0 \ g = 3 \times 10^{-3} \ kg$
થયેલું કાર્ય $W = \int F dx = \int m a v dt = \int_{0}^{4} m a v dt$
$W = \int_{0}^{4} (3 \times 10^{-3}) (-8 + 6t) (3 - 8t + 3t^2) dt$
$W = 3 \times 10^{-3} \int_{0}^{4} (-24 + 64t - 24t^2 + 18t - 48t^2 + 18t^3) dt$
$W = 3 \times 10^{-3} \int_{0}^{4} (18t^3 - 72t^2 + 82t - 24) dt$
$W = 3 \times 10^{-3} [\frac{18t^4}{4} - \frac{72t^3}{3} + \frac{82t^2}{2} - 24t]_{0}^{4}$
$W = 3 \times 10^{-3} [4.5(256) - 24(64) + 41(16) - 24(4)]$
$W = 3 \times 10^{-3} [1152 - 1536 + 656 - 96] = 3 \times 10^{-3} [176] = 0.528 \ J = 528 \ mJ$