Work Done by Variable Force and Force-Displacement Graph Questions in Gujarati

(C) કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int (\alpha y dx + 2 \alpha x dy)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\alpha = -1$,તેથી $W = \int (-y dx - 2x dy)$.
$AB$ માર્ગ પર: $y=1, dy=0, x: 0 \to 1$. $W_{AB} = \int_0^1 (-1) dx = -1 \ J$.
$BC$ માર્ગ પર: $x=1, dx=0, y: 1 \to 0.5$. $W_{BC} = \int_1^{0.5} -2(1) dy = -2(0.5 - 1) = 1 \ J$.
$CD$ માર્ગ પર: $y=0.5, dy=0, x: 1 \to 0.5$. $W_{CD} = \int_1^{0.5} -0.5 dx = -0.5(-0.5) = 0.25 \ J$.
$DE$ માર્ગ પર: $x=0.5, dx=0, y: 0.5 \to 0$. $W_{DE} = \int_{0.5}^0 -2(0.5) dy = -1(-0.5) = 0.5 \ J$.
$EF$ માર્ગ પર: $y=0, dy=0, x: 0.5 \to 0$. $W_{EF} = \int_{0.5}^0 0 dx = 0 \ J$.
$FA$ માર્ગ પર: $x=0, dx=0, y: 0 \to 1$. $W_{FA} = \int_0^1 -2(0) dy = 0 \ J$.
કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DE} + W_{EF} + W_{FA} = -1 + 1 + 0.25 + 0.5 + 0 + 0 = 0.75 \ J$.

(D) આપેલ બળ $\vec{F} = K \left[ \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{i} + \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{j} \right]$ છે.
ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$,જ્યાં $r^2 = x^2 + y^2$.
આ કિંમતો બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{F} = K \left[ \frac{r \cos \theta}{r^3} \hat{i} + \frac{r \sin \theta}{r^3} \hat{j} \right] = \frac{K}{r^2} (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$.
અહીં $\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ એ એકમ ત્રિજ્યાવર્તી સદિશ $\hat{r}$ છે,તેથી બળ $\vec{F} = \frac{K}{r^2} \hat{r}$ થાય.
આ એક કેન્દ્રીય બળ છે જે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં કાર્ય કરે છે.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે,સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{l}$ હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી સદિશ $\hat{r}$ ને લંબ હોય છે (વર્તુળને સ્પર્શક).
બળ સંપૂર્ણપણે ત્રિજ્યાવર્તી હોવાથી અને સ્થાનાંતર સ્પર્શકની દિશામાં હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ થાય.

(D) બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય રેખા સંકલન $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int (x^2 y \, dx + y^2 \, dy)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંકલન મુજબ: $W = \int_0^4 x^2(10-x) \, dx + \int_0^2 y^2 \, dy$
$W = [\frac{10x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_0^4 + [\frac{y^3}{3}]_0^2$
$W = \frac{640}{3} - 64 + \frac{8}{3} = \frac{648}{3} - 64 = 216 - 64 = 152 \ J$.

(C) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = \alpha + \beta x^2$ આપેલ છે,તેથી $x = 0$ થી $x = 1 \ m$ ના સ્થાનાંતર માટે થયેલું કાર્ય:
$W = \int_{0}^{1} (\alpha + \beta x^2) \, dx = 5 \ J$.
પદનું સંકલન કરતા:
$W = [\alpha x + \frac{\beta x^3}{3}]_{0}^{1} = 5$.
સીમાઓ મૂકતા:
$(\alpha(1) + \frac{\beta(1)^3}{3}) - (0) = 5$.
$\alpha = 1 \ N$ આપેલ હોવાથી:
$1 + \frac{\beta}{3} = 5$.
$\frac{\beta}{3} = 4$.
$\beta = 12 \ N/m^2$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $v_{i} = 10 \ m/s$,બળ $F = -kx$,જ્યાં $k = 10 \ N/m$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$a = \frac{F}{m} = -\frac{kx}{m} = -\frac{10x}{1} = -10x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,તેથી $v \frac{dv}{dx} = -10x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{10}^{v} v \, dv = \int_{0.1}^{1.9} -10x \, dx$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{10}^{v} = -10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.1}^{1.9}$.
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 1.9^2 - 0.1^2 \right)$.
$\frac{v^2 - 100}{2} = -5 \left( 3.61 - 0.01 \right) = -5 \left( 3.60 \right) = -18$.
$v^2 - 100 = -36$.
$v^2 = 64$.
$v = 8 \ m/s$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $dW = F \cdot dx = dK$.
તેથી,બળ $F$ એ $K-x$ આલેખના ઢાળ દ્વારા મળે છે: $F = \frac{dK}{dx}$.
$x = 6 \ m$ અને $x = 10 \ m$ વચ્ચેના વિસ્તાર માટે,આલેખ $(6, 20)$ અને $(10, 0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{0 - 20}{10 - 6} = \frac{-20}{4} = -5 \ N$ છે.
બળનું મૂલ્ય $|F| = |\frac{dK}{dx}| = |-5| = 5 \ N$ છે.
આમ,$x = 9 \ m$ પર બળનું મૂલ્ય $5 \ N$ છે.

(C) ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થયેલું કાર્ય સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F(x) = (5+3x) \text{ N}$,$x_i = 2 \text{ m}$,અને $x_f = 6 \text{ m}$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{6} (5+3x) \, dx$.
પદાવલિનું સંકલન કરતા: $W = [5x + \frac{3x^2}{2}]_{2}^{6}$.
સીમાઓ મૂકતા: $W = (5(6) + \frac{3(6)^2}{2}) - (5(2) + \frac{3(2)^2}{2})$.
$W = (30 + 54) - (10 + 6) = 84 - 16 = 68 \text{ J}$.

(C) $P-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કરેલા કાર્ય જેટલું હોય છે, જે ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $(\Delta K)$ જેટલું છે.
આપેલ દળ $m = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times (\text{ઊંચાઈ})$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (2 + 8) \times 5 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \text{ J}$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે, તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે. આમ, $t = 5 \text{ s}$ સમયે અંતિમ ગતિઊર્જા $K = 25 \text{ J}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$, જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
$25 = \frac{p^2}{2 \times 0.5}$
$25 = \frac{p^2}{1}$
$p^2 = 25$
$p = 5 \text{ kg m/s} = 5 \text{ N-s}$.

(NONE) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $F-s$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$20 \, m$ અંતર માટે થયેલું કુલ કાર્ય શોધવા માટે, આપણે $s = 0 \, m$ થી $s = 20 \, m$ સુધીના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ગણીશું.
આ ક્ષેત્રફળ ત્રણ ભાગોનું બનેલું છે:
$1$. $s = 0$ થી $s = 4 \, m$ સુધીનો ત્રિકોણ, જેનો પાયો $4 \, m$ અને ઊંચાઈ $10 \, N$ છે: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \, J$.
$2$. $s = 4$ થી $s = 15 \, m$ સુધીનો લંબચોરસ, જેની પહોળાઈ $11 \, m$ અને ઊંચાઈ $10 \, N$ છે: $\text{Area}_2 = 11 \times 10 = 110 \, J$.
$3$. $s = 15$ થી $s = 20 \, m$ સુધીનો સમલંબ ચતુષ્કોણ, જેની સમાંતર બાજુઓ $10 \, N$ અને $20 \, N$ છે અને ઊંચાઈ $5 \, m$ છે: $\text{Area}_3 = \frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = \frac{1}{2} \times 30 \times 5 = 75 \, J$.
કુલ કાર્ય $W = 20 + 110 + 75 = 205 \, J$.

(D) ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \ dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F(x) = 6x^2 - 4x$,$x_1 = 2 \ m$,અને $x_2 = 4 \ m$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{4} (6x^2 - 4x) \ dx$.
પદાવલિનું સંકલન કરતા: $W = [\frac{6x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}]_{2}^{4} = [2x^3 - 2x^2]_{2}^{4}$.
સીમાઓ મૂકતા: $W = (2(4)^3 - 2(4)^2) - (2(2)^3 - 2(2)^2)$.
$W = (2(64) - 2(16)) - (2(8) - 2(4))$.
$W = (128 - 32) - (16 - 8)$.
$W = 96 - 8 = 88 \ J$.

(D) ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$
અહીં $F(x) = 3x^2 - 2x + 7$,$x_1 = 0 \text{ m}$ અને $x_2 = 5 \text{ m}$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (3x^2 - 2x + 7) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$W = [x^3 - x^2 + 7x]_{0}^{5}$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = (5^3 - 5^2 + 7(5)) - (0^3 - 0^2 + 7(0))$
$W = (125 - 25 + 35) - 0$
$W = 100 + 35 = 135 \text{ J}$.
આમ,થયેલું કાર્ય $135 \text{ J}$ છે.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
અહીં $F(x) = (6x^2 - 4x + 3) \text{ N}$,$x_1 = 2 \text{ m}$,અને $x_2 = 5 \text{ m}$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{5} (6x^2 - 4x + 3) dx$
$W = [\frac{6x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 3x]_{2}^{5}$
$W = [2x^3 - 2x^2 + 3x]_{2}^{5}$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = [2(5)^3 - 2(5)^2 + 3(5)] - [2(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2)]$
$W = [2(125) - 2(25) + 15] - [2(8) - 2(4) + 6]$
$W = [250 - 50 + 15] - [16 - 8 + 6]$
$W = 215 - 14 = 201 \text{ J}$.

(D) ચલ બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F \cdot dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં $F = Kx^3$, $K = 2 \,N \cdot m^{-3}$ અને સ્થાનાંતર $x = 0 \,m$ થી $x = 2 \,m$ સુધીનું છે。
$W = \int_{0}^{2} Kx^3 dx = K \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 2 \times \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right)$.
$W = 2 \times \left( \frac{16}{4} \right) = 2 \times 4 = 8 \,J$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$,પ્રવેગ $a(x) = \beta x$,જ્યાં $\beta = 5 \,s^{-2}$.
બળ $F = m \cdot a = 1 \cdot (5x) = 5x \,N$.
કાર્ય $W = \int_{x_1}^{x_2} F dx$.
એકમોને મીટરમાં ફેરવતા: $x_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$ અને $x_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
$W = \int_{0.02}^{0.05} 5x dx = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.02}^{0.05}$.
$W = \frac{5}{2} [ (0.05)^2 - (0.02)^2 ]$.
$W = 2.5 [ 25 \times 10^{-4} - 4 \times 10^{-4} ]$.
$W = 2.5 \times 21 \times 10^{-4} = 52.5 \times 10^{-4} \,J$.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$
આપેલ છે કે $F(x) = 17 - 2x + 6x^2$,$x_i = 0 \text{ m}$,અને $x_f = 8 \text{ m}$.
$W = \int_{0}^{8} (17 - 2x + 6x^2) \, dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$W = [17x - x^2 + 2x^3]_{0}^{8}$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = [17(8) - (8)^2 + 2(8)^3] - [0]$
$W = [136 - 64 + 2(512)]$
$W = [72 + 1024]$
$W = 1096 \text{ J}$

(C) ચલ બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{F} = -5x^4 \hat{i}$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i}$ આપેલ છે,તેથી કાર્ય:
$W = \int_{2}^{-2} (-5x^4) dx$
$W = -5 \int_{2}^{-2} x^4 dx$
$W = -5 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{2}^{-2}$
$W = -[x^5]_{2}^{-2}$
$W = -[(-2)^5 - (2)^5]$
$W = -[-32 - 32]$
$W = -[-64] = 64 \text{ J}$.

(A) આપેલ છે, બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = \frac{mg}{9}$.
બળ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = Cx$ ખૂણો બનાવે છે, જ્યાં $C = 10^{\circ} \text{ m}^{-1}$.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos(\theta) = F \cos(Cx)$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા: $W_{\text{net}} = \Delta K.E.$
$\int_0^x F \cos(Cx) dx = \frac{1}{2}mv^2$.
જ્યારે $\theta = 30^{\circ}$ થાય, ત્યારે $x = \frac{30^{\circ}}{10^{\circ} \text{ m}^{-1}} = 3 \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\int_0^3 \frac{mg}{9} \cos(Cx) dx = \frac{1}{2}mv^2$.
$\frac{g}{9} \left[ \frac{\sin(Cx)}{C} \right]_0^3 = \frac{1}{2}v^2$.
જો આપણે ગણતરીમાં આપેલ વિકલ્પ મુજબ આગળ વધીએ તો: $\frac{10}{9 \times 10} \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} v^2$.
$\frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} v^2$.
$v^2 = \frac{1}{9} \implies v = \frac{1}{3} = 0.33 \text{ m s}^{-1}$.

(B) અવરોધક બળ $F = -k v^{\frac{1}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m a = -k v^{\frac{1}{3}}$,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $a = -\frac{k}{m} v^{\frac{1}{3}}$ છે.
કારણ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,તેથી $v \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{m} v^{\frac{1}{3}}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v^{1 - \frac{1}{3}} dv = -\frac{k}{m} dx$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v^{\frac{2}{3}} dv = -\frac{k}{m} dx$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રારંભિક વેગ $v_0$ થી અંતિમ વેગ $0$ સુધી $s$ અંતર માટે સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{0} v^{\frac{2}{3}} dv = -\frac{k}{m} \int_{0}^{s} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા: $\left[ \frac{v^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \right]_{v_0}^{0} = -\frac{k}{m} s$.
આનાથી $-\frac{3}{5} v_0^{\frac{5}{3}} = -\frac{k}{m} s$ મળે છે.
આમ,$s = \frac{3m}{5k} v_0^{\frac{5}{3}}$,જે સૂચવે છે કે $s \propto v_0^{\frac{5}{3}}$.
આને $s \propto v_0^\beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = \frac{5}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ $m = 1 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \ m \ s^{-1}$
અવરોધક બળ $F = -0.5/x$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = K_f - K_i$
ગોળી અટકી જાય છે,તેથી $K_f = 0$,એટલે કે $W = -K_i = -\frac{1}{2} m u^2$
$W = -\frac{1}{2} \times 1 \times (2)^2 = -2 \ J$
વળી,$W = \int_{x_1}^{x_2} F \ dx = \int_{10-L/2}^{10+L/2} -\frac{0.5}{x} \ dx$
$-0.5 [\ln(x)]_{10-L/2}^{10+L/2} = -2$
$\ln \left( \frac{10+L/2}{10-L/2} \right) = \frac{-2}{-0.5} = 4$
$\frac{10+L/2}{10-L/2} = e^4 = 55$
$10 + L/2 = 55(10 - L/2)$
$10 + L/2 = 550 - 27.5L$
$28L = 540$
$L = 540 / 28 \approx 19.28 \ m$
$1$ દશાંશ અંક સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$L = 19.3 \ m$.

(C) પદાર્થ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, $W = \Delta K = K_f - K_i$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી, પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ છે.
થયેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $3 \, m$ ($x=3$ થી $x=6$ સુધી) અને $9 \, m$ ($x=0$ થી $x=9$ સુધી) છે, અને ઊંચાઈ $20 \, N$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times 20 = \frac{1}{2} \times 12 \times 20 = 120 \, J$.
આમ, થયેલું કાર્ય $W = 120 \, J$.
કાર્યને ગતિઊર્જા સાથે સરખાવતા: $120 = \frac{1}{2} m v^2$.
અહીં $m = 2.4 \, kg$ આપેલ છે, તેથી $120 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times v^2$.
$120 = 1.2 \times v^2$.
$v^2 = \frac{120}{1.2} = 100$.
$v = 10 \, m/s$.

(C) બ્લોક પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બ્લોક $x = 0$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી કોઈપણ સ્થાન $x$ પર ગતિઊર્જા $KE$ એ કરેલા કાર્ય $W = \int_{0}^{x} F \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$KE = \int_{0}^{x} (9 - x^2) \, dx = 9x - \frac{x^3}{3}$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધવા માટે,આપણે બળ $F = 0$ લઈએ છીએ જેથી સંતુલન સ્થાન મળે જ્યાં પ્રવેગ શૂન્ય હોય:
$9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \ m$.
$x = 3 \ m$ પર,ગતિઊર્જા:
$KE_{max} = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - 0 = 27 - 9 = 18 \ J$.

(A) ચલ બળ $F(y)$ દ્વારા કણને $y_1$ થી $y_2$ સુધી સ્થાનાંતરિત કરવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{y_1}^{y_2} F(y) dy$.
અહીં $F(y) = -\frac{K}{y^2}$,$y_1 = a$,અને $y_2 = 2a$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $W = \int_{a}^{2a} (-\frac{K}{y^2}) dy$.
$W = -K \int_{a}^{2a} y^{-2} dy$.
$y^{-2}$ નું સંકલન $-y^{-1} = -\frac{1}{y}$ થાય છે.
$W = -K [-\frac{1}{y}]_{a}^{2a}$.
$W = K [\frac{1}{y}]_{a}^{2a}$.
$W = K (\frac{1}{2a} - \frac{1}{a})$.
$W = K (\frac{1-2}{2a}) = K (-\frac{1}{2a}) = -\frac{K}{2a}$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 3 \,kg$,સ્થાનાંતર $s = \frac{t^3}{3}$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) = t^2$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t$.
બળ $F = ma = 3 \times 2t = 6t$.
થયેલું કાર્ય $W = \int F \cdot ds = \int_0^2 F \cdot v dt = \int_0^2 (6t)(t^2) dt$.
$W = \int_0^2 6t^3 dt = 6 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^2$.
$W = 6 \times \frac{16}{4} = 6 \times 4 = 24 \,J$.

(D) ચલ બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સ્થાનાંતરના સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$W = \int_{x_1}^{x_2} F \cdot dx$
અહીં $F = (g - x^2) \text{ N}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ છે,તેથી બળ $F = (10 - x^2) \text{ N}$ થાય.
$x = 0$ થી $x = 3$ સુધી સંકલન કરતા:
$W = \int_{0}^{3} (10 - x^2) dx$
$W = [10x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$
$W = (10(3) - \frac{3^3}{3}) - (10(0) - \frac{0^3}{3})$
$W = (30 - \frac{27}{3}) - 0$
$W = 30 - 9 = 21 \text{ J}$

(D) આપેલ છે,દળ $m = 10 \ kg$ અને સ્થાનાંતર $x = \frac{t^3}{25} \ m$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{3t^2}{25} \ m/s$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{6t}{25} \ m/s^2$.
બળ $F = m \cdot a = 10 \cdot \left(\frac{6t}{25}\right) = \frac{12t}{5} \ N$.
થયેલું કાર્ય $dW = F \cdot dx = F \cdot \left(\frac{dx}{dt}\right) dt = \left(\frac{12t}{5}\right) \cdot \left(\frac{3t^2}{25}\right) dt = \frac{36t^3}{125} dt$.
પ્રથમ $2 \ s$ માં થયેલું કુલ કાર્ય $W = \int_{0}^{2} \frac{36t^3}{125} dt = \frac{36}{125} \left[\frac{t^4}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{36}{125} \cdot \frac{16}{4} = \frac{36 \cdot 4}{125} = \frac{144}{125} = 1.152 \ J$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta E_k$।
અતિ સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર $dx$ માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $dW = F \cdot dx$ છે.
તેથી,$F = \frac{dE_k}{dx}$.
આનો અર્થ એ છે કે કણ પર લાગતું બળ એ $E_k$ વિરુદ્ધ $X$ ના આલેખના ઢાળ (slope) જેટલું હોય છે.
આપણે $X = 10 \ m$ પર બળ શોધવાનું છે. આ બિંદુ $X = 8 \ m$ અને $X = 12 \ m$ વચ્ચેના રેખાખંડ પર આવેલું છે.
આ રેખાખંડના અંતિમ બિંદુઓના યામ $(8, 40)$ અને $(12, 20)$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{20 - 40}{12 - 8} = \frac{-20}{4} = -5 \ N$ છે.
$X = 8 \ m$ અને $X = 12 \ m$ ની વચ્ચે ઢાળ અચળ હોવાથી,$X = 10 \ m$ પર લાગતું બળ $-5 \hat{i} \ N$ થશે.

(D) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રથમ $1$ મીટરમાં થયેલું કાર્ય શોધવા માટે, આપણે $x = 0$ અને $x = 1$ ની વચ્ચે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ.
ત્રિકોણનો પાયો $1 \,m$ છે અને ઊંચાઈ $5 \,N$ છે.
$\text{થયેલું કાર્ય} = \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
$\text{થયેલું કાર્ય} = \frac{1}{2} \times 1 \,m \times 5 \,N = 2.5 \,J$.