Work Done by Variable Force and Force-Displacement Graph Questions in Gujarati

(A) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $P = \frac{dK}{dt}$.
આપેલ છે કે $P = 3t^2 - 2t + 1$.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K$ શોધવા માટે,આપણે $t_1 = 2 \text{ s}$ થી $t_2 = 4 \text{ s}$ સુધી પાવરનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ:
$\Delta K = \int_{2}^{4} P \, dt = \int_{2}^{4} (3t^2 - 2t + 1) \, dt$.
સંકલન કરતા:
$\Delta K = [t^3 - t^2 + t]_{2}^{4}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$t = 4$ માટે: $4^3 - 4^2 + 4 = 64 - 16 + 4 = 52$.
$t = 2$ માટે: $2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6$.
તેથી,$\Delta K = 52 - 6 = 46 \text{ J}$.

(C) પાવર $P$ એ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ ના સમયની સાપેક્ષમાં બદલાવનો દર છે: $P = \frac{d(K.E.)}{dt}$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K.E.$ એ આપેલા સમયગાળા દરમિયાન પાવરના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\Delta K.E. = \int_{t_1}^{t_2} P \, dt = \int_{2}^{4} (4t^3 - 5t + 2) \, dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\Delta K.E. = [t^4 - \frac{5}{2}t^2 + 2t]_{2}^{4}$.
$t = 4$ માટે: $(4)^4 - \frac{5}{2}(4)^2 + 2(4) = 256 - 40 + 8 = 224$.
$t = 2$ માટે: $(2)^4 - \frac{5}{2}(2)^2 + 2(2) = 16 - 10 + 4 = 10$.
આમ,$\Delta K.E. = 224 - 10 = 214 \, J$.

(C) $x$-અક્ષ પર લાગતા ચલ બળ $F$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = 3x^2 - 2x + 7$,$x_1 = 0$,અને $x_2 = 5$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (3x^2 - 2x + 7) \, dx$
$W = [x^3 - x^2 + 7x]_{0}^{5}$
$W = (5^3 - 5^2 + 7(5)) - (0^3 - 0^2 + 7(0))$
$W = (125 - 25 + 35) - 0$
$W = 135 \, J$.

(C) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x = 0$ થી $x = 35\,m$ સુધી થતું કાર્ય શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = 10$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ,$x = 10$ થી $x = 30$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ અને $x = 30$ થી $x = 35$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ગણીશું.
$x = 0$ થી $x = 10$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $\frac{1}{2} \times (10) \times (10) = 50\,J$.
$x = 10$ થી $x = 30$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $(30 - 10) \times 10 = 200\,J$.
$x = 30$ થી $x = 35$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $\frac{1}{2} \times (10 + 5) \times (35 - 30) = \frac{1}{2} \times 15 \times 5 = 37.5\,J$.
કુલ કાર્ય $W = 50 + 200 + 37.5 = 287.5\,J$.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x = 0$ થી $x = 6$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30\,J$.
$x = 6$ થી $x = 9$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}_2 = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (9 - 6) \times (-5) = 3 \times (-5) = -15\,J$.
$x = 9$ થી $x = 13$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}_3 = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (13 - 9) \times 5 = 4 \times 5 = 20\,J$.
$x = 13$ થી $x = 16$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}_4 = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (16 - 13) \times (-5) = 3 \times (-5) = -15\,J$.
કુલ કાર્ય $W = \text{Area}_1 + \text{Area}_2 + \text{Area}_3 + \text{Area}_4 = 30 - 15 + 20 - 15 = 20\,J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = K_f - K_i$.
અહીં $K_i = 25\,J$ આપેલ છે,તેથી $20 = K_f - 25$.
આમ,$K_f = 20 + 25 = 45\,J$.

(A) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જેમાં ક્ષેત્રફળની બીજગણિતીય સંજ્ઞા ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે.
આલેખ પરથી,$x = 0$ થી $x = 4\,m$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની ઉપરનો ત્રિકોણ છે:
ક્ષેત્રફળ$_1 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4\,m \times 20\,N = 40\,J$.
$x = 4\,m$ થી $x = 8\,m$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની નીચેનો ત્રિકોણ છે:
ક્ષેત્રફળ$_2 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (8 - 4)\,m \times (-20\,N) = \frac{1}{2} \times 4\,m \times (-20\,N) = -40\,J$.
કુલ કાર્ય $W = \text{ક્ષેત્રફળ}_1 + \text{ક્ષેત્રફળ}_2 = 40\,J + (-40\,J) = 0\,J$.

(A) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 25\, J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,જે $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
થયેલું કાર્ય $W = \int_{0}^{8} F dx = \text{આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
$x=0$ થી $x=2$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની ઉપરનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\, J$.
$x=2$ થી $x=5$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની નીચેનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 3 \times (-1) = -1.5\, J$.
$x=5$ થી $x=8$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની ઉપરનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\, J$.
કુલ કાર્ય $W = 2 - 1.5 + 4.5 = 5\, J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = K_i + W = 25 + 5 = 30\, J$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE = KE_{final} - KE_{initial}$
કરેલું કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ = ($x=0$ થી $x=2$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ) + ($x=2$ થી $x=3$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ)
ક્ષેત્રફળ = $(2\, m \times 2\, N) + \frac{(2\, N + 3\, N) \times (3\, m - 2\, m)}{2}$
ક્ષેત્રફળ = $4\, J + \frac{5\, N \times 1\, m}{2} = 4\, J + 2.5\, J = 6.5\, J$
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,$KE_{initial} = 0$.
તેથી,$KE_{final} = 6.5\, J$.

(B) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = \int_{0}^{6} F \cdot dx = x = 0$ થી $x = 6$ સુધીના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ.
આ ક્ષેત્રફળમાં $x = 0$ થી $x = 3$ સુધીનો લંબચોરસ અને $x = 3$ થી $x = 6$ સુધીનો ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (3 - 0) \times 3 = 9 \text{ એકમ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (6 - 3) \times 3 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \text{ એકમ}$.
કુલ કાર્ય $W = 9 + 4.5 = 13.5 \text{ J}$.

(A) ચલ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ બળ-સ્થાન આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપણે $x = 1\, cm$ થી $x = 5\, cm$ સુધી થયેલ કાર્યની ગણતરી કરવાની છે.
$x = 1$ થી $x = 2$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: $F = 10\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. કાર્ય $W_1 = 10 \times 1 = 10\, erg$.
$x = 2$ થી $x = 3$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: $F = 20\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. કાર્ય $W_2 = 20 \times 1 = 20\, erg$.
$x = 3$ થી $x = 4$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: $F = -20\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. કાર્ય $W_3 = -20 \times 1 = -20\, erg$.
$x = 4$ થી $x = 5$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: $F = 10\, dyne$,$\Delta x = 1\, cm$. કાર્ય $W_4 = 10 \times 1 = 10\, erg$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 10 + 20 - 20 + 10 = 20\, erg$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta KE)$ એ કરેલા કાર્ય $(W)$ જેટલો હોય છે.
કરેલું કાર્ય એ સમયની સાપેક્ષમાં પાવરનું સંકલન છે: $\Delta KE = \int_{t_1}^{t_2} P \, dt$.
આપેલ છે કે $P = 3t^2 - 2t + 1$,તેથી $t = 2$ થી $t = 4$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta KE = \int_{2}^{4} (3t^2 - 2t + 1) \, dt$
$= [t^3 - t^2 + t]_{2}^{4}$
$= (4^3 - 4^2 + 4) - (2^3 - 2^2 + 2)$
$= (64 - 16 + 4) - (8 - 4 + 2)$
$= 52 - 6 = 46 \text{ J}$.

(B) ચલ બળ $F$ દ્વારા $x_i$ થી $x_f$ સુધી ગતિ કરતા કણ પર થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ બળ $F = cx$ છે અને સંકલનની સીમાઓ $x = 0$ થી $x = x_1$ છે,તેથી આપણે સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીએ:
$W = \int_{0}^{x_1} cx \, dx$
અહીં $c$ અચળ હોવાથી,તેને સંકલનની બહાર લઈ શકાય:
$W = c \int_{0}^{x_1} x \, dx$
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x_1}$
$W = c \left( \frac{x_1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$W = \frac{1}{2} cx_1^2$

(C) પ્રવેગ-સ્થાનાંતર વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int a \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$a = \frac{F}{m}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $\int \frac{F}{m} \, dx = \frac{1}{m} \int F \, dx$ મળે છે.
કાર્ય $W = \int F \, dx$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta KE$ જેટલું હોવાથી,આ પદ $\frac{\Delta KE}{m}$ બને છે.
તેથી,પ્રવેગ-સ્થાનાંતર વક્રનું ક્ષેત્રફળ એકમ દળ દીઠ ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે.

(B) ચલ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F_x \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{F} = (-6x^3 \hat{i}) \, N$,તેથી બળનો ઘટક $F_x = -6x^3$ છે.
સંકલનની સીમાઓ $x_i = 4 \, m$ થી $x_f = -2 \, m$ સુધીની છે.
$W = \int_{4}^{-2} (-6x^3) \, dx$
$W = -6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{4}^{-2}$
$W = -6 \left( \frac{(-2)^4}{4} - \frac{4^4}{4} \right)$
$W = -6 \left( \frac{16}{4} - \frac{256}{4} \right)$
$W = -6 \left( 4 - 64 \right)$
$W = -6 \left( -60 \right) = 360 \, J$.

(B) ચલ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થાનાંતરના સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int F \, dx$.
આપેલ બળ $F = ax + bx^2$ માટે,આપણે ખેંચાયા વગરની સ્થિતિ $(x = 0)$ થી ખેંચાયેલી સ્થિતિ $(x = L)$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$W = \int_{0}^{L} (ax + bx^2) \, dx$
$W = \left[ \frac{ax^2}{2} + \frac{bx^3}{3} \right]_{0}^{L}$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = \left( \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3} \right) - (0 + 0)$
$W = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^3}{3}$

(D) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
અહીં $F = 15 - 4x$ આપેલ છે અને કાપેલું અંતર $x = 0$ થી $x = 2\,m$ છે.
$W = \int_{0}^{2} (15 - 4x) dx$.
પદાવલિનું સંકલન કરતા: $W = [15x - 2x^2]_{0}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા: $W = (15(2) - 2(2)^2) - (15(0) - 2(0)^2)$.
$W = (30 - 8) - 0 = 22\,J$.

(A) ચલ બળ $\vec F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ રેખા સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int \vec F \cdot d\vec r$.
અહીં $\vec F = (2x\hat i + y\hat j)$ અને $d\vec r = (dx\hat i + dy\hat j)$ છે.
$W = \int_{(0,0)}^{(1,2)} (2x\hat i + y\hat j) \cdot (dx\hat i + dy\hat j) = \int_{(0,0)}^{(1,2)} (2x\,dx + y\,dy)$.
પદોનું અલગ-અલગ સંકલન કરતા:
$W = \int_{0}^{1} 2x\,dx + \int_{0}^{2} y\,dy$.
$W = [x^2]_{0}^{1} + [\frac{y^2}{2}]_{0}^{2}$.
$W = (1^2 - 0^2) + (\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2})$.
$W = 1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3\,units$.

(D) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = \int F \, dx = \text{આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
$x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ ધન અને $x$-અક્ષની નીચેના ક્ષેત્રફળ ઋણ લેવામાં આવે છે.
$1$. $x=0$ થી $x=1$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: પાયો $1$ અને ઊંચાઈ $10$ ધરાવતો ત્રિકોણ. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5\,J$.
$2$. $x=1$ થી $x=2$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: પહોળાઈ $1$ અને ઊંચાઈ $10$ ધરાવતો લંબચોરસ. ક્ષેત્રફળ $A_2 = 1 \times 10 = 10\,J$.
$3$. $x=2$ થી $x=3$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: પાયો $1$ અને ઊંચાઈ $10$ ધરાવતો ત્રિકોણ. ક્ષેત્રફળ $A_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 10 = 5\,J$.
$4$. $x=3$ થી $x=4$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: પાયો $1$ અને ઊંચાઈ $-10$ ધરાવતો ત્રિકોણ. ક્ષેત્રફળ $A_4 = \frac{1}{2} \times 1 \times (-10) = -5\,J$.
$5$. $x=4$ થી $x=5$ માટેનું ક્ષેત્રફળ: પહોળાઈ $1$ અને ઊંચાઈ $-10$ ધરાવતો લંબચોરસ. ક્ષેત્રફળ $A_5 = 1 \times (-10) = -10\,J$.
કુલ કાર્ય $W = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 5 + 10 + 5 - 5 - 10 = 5\,J$.

(A) ચલ બળ $F_x$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{x_i}^{x_f} F_x \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F_x = -6x^3$ અને સીમાઓ $x_i = 4\, m$ થી $x_f = -2\, m$ છે.
$W = \int_{4}^{-2} (-6x^3) \, dx$
$W = -6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{4}^{-2}$
$W = -\frac{6}{4} [(-2)^4 - (4)^4]$
$W = -1.5 [16 - 256]$
$W = -1.5 [-240]$
$W = 360\, J$.

(C) આપેલા આલેખ પરથી,આપણે બળના ઘટકો માટેના સમીકરણો નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $F_x$ વિરુદ્ધ $x$ માટે: ઢાળ $\tan(37^\circ) = 3/4$ છે. અંતઃખંડ $10$ છે. તેથી,$F_x = \frac{3}{4}x + 10$.
$2$. $F_y$ વિરુદ્ધ $y$ માટે: રેખા $(0, 20)$ અને $(15, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $(0-20)/(15-0) = -4/3$ છે. તેથી,$F_y = -\frac{4}{3}y + 20$.
$3$. $F_z$ વિરુદ્ધ $z$ માટે: રેખા $(0, -16)$ અને $(12, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $(0 - (-16))/(12-0) = 16/12 = 4/3$ છે. તેથી,$F_z = \frac{4}{3}z - 16$.
થયેલું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{x_A}^{x_B} F_x dx + \int_{y_A}^{y_B} F_y dy + \int_{z_A}^{z_B} F_z dz$.
$W = \int_{0}^{8} (\frac{3}{4}x + 10) dx + \int_{5}^{20} (-\frac{4}{3}y + 20) dy + \int_{12}^{0} (\frac{4}{3}z - 16) dz$.
દરેક સંકલનની ગણતરી કરતા:
$W_x = [\frac{3}{8}x^2 + 10x]_0^8 = \frac{3}{8}(64) + 10(8) = 24 + 80 = 104 \ J$.
$W_y = [-\frac{2}{3}y^2 + 20y]_5^{20} = (-\frac{2}{3}(400) + 400) - (-\frac{2}{3}(25) + 100) = (-\frac{800}{3} + \frac{1200}{3}) - (-\frac{50}{3} + \frac{300}{3}) = \frac{400}{3} - \frac{250}{3} = \frac{150}{3} = 50 \ J$.
$W_z = [\frac{2}{3}z^2 - 16z]_{12}^0 = (0) - (\frac{2}{3}(144) - 16(12)) = -(96 - 192) = -(-96) = 96 \ J$.
કુલ કાર્ય $W = 104 + 50 + 96 = 250 \ J$.

(D) સંરક્ષી બળ માટે,$F = -dU/dx$. સંતુલન ત્યાં હોય છે જ્યાં $F = 0$ હોય. આપેલ $F-x$ આલેખમાં,બિંદુ $A$ અને $C$ પર બળ શૂન્ય છે.
સંતુલન બિંદુ અસ્થાયી ત્યારે કહેવાય જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી થોડું સ્થાનાંતર કરવાથી ઉદ્ભવતું બળ પદાર્થને સંતુલન બિંદુથી દૂર ધકેલે.
અસ્થાયી સંતુલન માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ મહત્તમ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $d^2U/dx^2 < 0$. કારણ કે $F = -dU/dx$,આ $dF/dx > 0$ ને અનુરૂપ છે.
બિંદુ $A$ પર,$F-x$ આલેખનો ઢાળ $(dF/dx)$ ઋણ છે.
બિંદુ $C$ પર,$F-x$ આલેખનો ઢાળ $(dF/dx)$ ધન છે.
તેથી,બિંદુ $C$ પર પદાર્થ અસ્થાયી સંતુલનમાં છે.

(A) ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલા કાર્યની બરાબર છે,જે બળ-સ્થાનાંતર આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ = $x = 0$ થી $5$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ + $x = 5$ થી $10$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ + $x = 10$ થી $20$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (5 + 15) \times 5 + (15 \times 5) + \frac{1}{2} \times (15 + 10) \times 10$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 20 \times 5 + 75 + \frac{1}{2} \times 25 \times 10$
ક્ષેત્રફળ = $50 + 75 + 125 = 250\, J$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $250\, J$ છે.

(C) $y$-અક્ષ પર લાગતા ચલ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{y_1}^{y_2} F \, dy$.
અહીં $F = 20 + 10y$,$y_1 = 0 \; m$ અને $y_2 = 1 \; m$ આપેલ છે,તેથી:
$W = \int_{0}^{1} (20 + 10y) \, dy$.
પદ પ્રમાણે સંકલન કરતા:
$W = [20y + 10 \cdot \frac{y^2}{2}]_{0}^{1}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$W = [20y + 5y^2]_{0}^{1}$.
સીમાઓ (limits) લાગુ પાડતા:
$W = (20(1) + 5(1)^2) - (20(0) + 5(0)^2)$.
$W = 20 + 5 = 25 \; J$.

(C) બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2$. અહીં દળ $m = 500 \; g = 0.5 \; kg$ છે.
$1$. $X = 8 \; m$ સુધી થયેલ કાર્ય:
$W_8 = (20 \; N \times 5 \; m) + (10 \; N \times 3 \; m) = 100 + 30 = 130 \; J$.
$W = \frac{1}{2} m v^2$ સૂત્ર વાપરતા: $130 = \frac{1}{2} (0.5) v_8^2 \Rightarrow v_8^2 = 520 \Rightarrow v_8 = \sqrt{520} \approx 22.8 \; m/s \approx 23 \; m/s$.
$2$. $X = 12 \; m$ સુધી થયેલ કાર્ય:
$W_{12} = W_8 + (8 \; m \text{ થી } 10 \; m \text{ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ}) + (10 \; m \text{ થી } 12 \; m \text{ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ})$.
$8 \; m$ થી $10 \; m$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ = $(2 \; m) \times (-25 \; N) = -50 \; J$.
$10 \; m$ થી $12 \; m$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ = $(2 \; m) \times (10 \; N) = 20 \; J$.
$W_{12} = 130 - 50 + 20 = 100 \; J$.
$W = \frac{1}{2} m v^2$ સૂત્ર વાપરતા: $100 = \frac{1}{2} (0.5) v_{12}^2 \Rightarrow v_{12}^2 = 400 \Rightarrow v_{12} = 20 \; m/s \approx 20.6 \; m/s$ (સૌથી નજીકનો વિકલ્પ).
આમ, વેગ આશરે $23 \; m/s$ અને $20.6 \; m/s$ છે.

(B) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય રેખા સંકલન $W = \int_{A}^{B} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A(1, 0)$ અને $B(0, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું સમીકરણ $y = -x + 1$ અથવા $x + y = 1$ છે.
તેથી,$d\overrightarrow{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j}$.
કાર્ય $W = \int_{A}^{B} (-x \hat{i} + y \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j}) = \int_{A}^{B} (-x dx + y dy)$ છે.
$x=1$ થી $x=0$ અને $y=0$ થી $y=1$ ની મર્યાદાઓ મૂકતા:
$W = \int_{1}^{0} -x dx + \int_{0}^{1} y dy$
$W = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{1}^{0} + \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$W = -\left( \frac{0^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) + \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$W = -\left( 0 - 0.5 \right) + \left( 0.5 - 0 \right) = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ J}$.

(N/A) લાગુ પાડેલા બળનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $x = 20 \; m$ પર,લાગુ પાડેલું બળ $\vec{F} = 50 \; N \neq 0$ છે. આપણને આપેલ છે કે ઘર્ષણ બળ $f$ નું મૂલ્ય $|f| = 50 \; N$ છે. તે ગતિનો વિરોધ કરે છે અને $F$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. તેથી તેને બળની ધરીની નકારાત્મક બાજુ પર દર્શાવવામાં આવે છે.
સ્ત્રી દ્વારા થયેલ કાર્ય:
$W_F = \text{લંબચોરસ } ABCD \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \text{સમલંબ ચતુષ્કોણ } CDEI \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$W_F = (100 \; N \times 10 \; m) + \frac{1}{2} \times (100 \; N + 50 \; N) \times (20 \; m - 10 \; m)$
$W_F = 1000 \; J + \frac{1}{2} \times 150 \; N \times 10 \; m$
$W_F = 1000 \; J + 750 \; J = 1750 \; J$
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય:
$W_f = \text{લંબચોરસ } AGHI \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$W_f = (-50 \; N) \times 20 \; m$
$W_f = -1000 \; J$
બળની ધરીની નકારાત્મક બાજુ પરનું ક્ષેત્રફળ ઋણ ચિહ્ન ધરાવે છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે: $K_{f} - K_{i} = W$.
$W = \int_{0.1}^{2.01} F_{r} \, dx = \int_{0.1}^{2.01} \left( -\frac{k}{x} \right) dx = -k [\ln(x)]_{0.1}^{2.01} = -k \ln\left( \frac{2.01}{0.1} \right) = -k \ln(20.1)$.
અહીં $m = 1 \; kg$,$v_{i} = 2 \; m \; s^{-1}$,અને $k = 0.5 \; J$ આપેલ છે:
$K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^{2} = \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^{2} = 2 \; J$.
$K_{f} = K_{i} - k \ln(20.1) = 2 - 0.5 \times \ln(20.1)$.
$\ln(20.1) \approx 3.00$ લેતા,$K_{f} = 2 - 0.5 \times 3.00 = 2 - 1.5 = 0.5 \; J$.
હવે,$v_{f} = \sqrt{\frac{2 K_{f}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5}{1}} = \sqrt{1} = 1 \; m \; s^{-1}$.

(N/A) જે બળનું મૂલ્ય અથવા દિશા (અથવા બંને) સ્થાન સાથે બદલાય છે તેને ચલ બળ કહેવામાં આવે છે. કુદરતમાં અચળ બળ દુર્લભ છે; ચલ બળ વધુ સામાન્ય રીતે જોવા મળે છે.
આકૃતિ એક પરિમાણમાં ચલ બળ $F(x)$ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતર $x$ નો આલેખ દર્શાવે છે.
જો સ્થાનાંતર $\Delta x$ ખૂબ નાનું હોય,તો આ અંતરાલ દરમિયાન બળ $F(x)$ ને આશરે અચળ ગણી શકાય. આ નાના સ્થાનાંતર દરમિયાન થયેલું કાર્ય નાના લંબચોરસ પટ્ટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે $\Delta W = F(x) \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ કાર્ય એ પ્રારંભિક સ્થાન $x_i$ થી અંતિમ સ્થાન $x_f$ સુધીની આવી તમામ છાયાંકિત લંબચોરસ પટ્ટીઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે,જે નીચે મુજબ લખાય છે:
$W = \sum_{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x$
જો સ્થાનાંતર $\Delta x$ ને શૂન્યની નજીક લાવવામાં આવે,તો સરવાળામાં પદોની સંખ્યા મર્યાદા વિના વધે છે,અને સરવાળો વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલા ચોક્કસ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,સમગ્ર માર્ગ પર થયેલું કાર્ય:
$W = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x$
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx$
આમ,ચલ બળ માટે,થયેલું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) ચલ બળ એવું બળ છે જેનું મૂલ્ય અથવા દિશા (અથવા બંને) સમય અથવા સ્થાન સાથે બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,સ્પ્રિંગ બળ $(F = -kx)$ અથવા અંતર સાથે બદલાતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
એક પરિમાણમાં,જો કોઈ પદાર્થ પર $F(x)$ બળ લાગતું હોય,તો પદાર્થનું પ્રારંભિક સ્થાન $x_i$ થી અંતિમ સ્થાન $x_f$ સુધી સ્થાનાંતર થાય ત્યારે થતું કાર્ય $W$ એ બળનું સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં સંકલન (integral) કરવાથી મળે છે:
$W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) \, dx$

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $x_1$ થી $x_2$ સ્થાન સુધી ગતિ કરે ત્યારે ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
ભૌમિતિક રીતે,આ સંકલન $x_1$ અને $x_2$ સીમાઓ વચ્ચેના બળ-સ્થાન $(F-x)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળને દર્શાવે છે.
તેથી,બળ-સ્થાન આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ બળ દ્વારા થયેલા કાર્યને અનુરૂપ છે.

(B) બળ-સ્થાનાંતર $(F-x)$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$W = \int F \, dx$,જે $F-x$ આલેખમાં વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળને સમાન છે.

(N/A) કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે અને તે $E = K + V(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઉર્જા છે અને $V(x)$ એ સ્થિતિ ઉર્જા છે. આપેલ છે કે $E = E_0$,તેથી $K = E_0 - V(x)$.
$1$. ગતિ ઉર્જા $(K)$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ:
- બિંદુ $A$ અને $F$ પર,$V(x) = E_0$,તેથી $K = E_0 - E_0 = 0$.
- $C$ અને $D$ ની વચ્ચે,$V(x) = 0$,તેથી $K = E_0$ (મહત્તમ ગતિ ઉર્જા).
- બિંદુ $B$ પર,$V(x) > 0$,તેથી $K = E_0 - V(x) < E_0$.
- $K$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ એ સ્થિતિ ઉર્જાના આલેખનું $E_0$ જેટલું ઉપર તરફ સ્થાનાંતરિત થયેલું પ્રતિબિંબ હશે.
$2$. વેગ $(v)$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ:
- કારણ કે $K = \frac{1}{2} m v^2$,તેથી $v = \pm \sqrt{\frac{2K}{m}}$.
- $A$ અને $F$ પર,$K = 0$,તેથી $v = 0$.
- $C$ અને $D$ પર,$K$ મહત્તમ છે,તેથી $v$ મહત્તમ છે $(v = \pm \sqrt{\frac{2E_0}{m}})$.
- વેગનો આલેખ $v$ માટે ધન અને ઋણ બંને મૂલ્યો દર્શાવશે જે કણની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિને અનુરૂપ છે.

(B) ચલ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ અથવા સંકલન $W = \int F(x) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ભાગ માટે $(0 \leq x \leq 15\, m)$,બળ અચળ $F = 200\, N$ છે.
$W_1 = 200 \times 15 = 3000\, J$.
બીજા ભાગ માટે $(15 < x \leq 30\, m)$,બળ $15\, m$ ના અંતરમાં $200\, N$ થી ઘટીને $100\, N$ થાય છે.
બળનું વિધેય $F(x) = 200 - \frac{200 - 100}{15}(x - 15) = 200 - \frac{100}{15}(x - 15) = 300 - \frac{100}{15}x$ છે.
$W_2 = \int_{15}^{30} (300 - \frac{100}{15}x) dx = [300x - \frac{100}{30}x^2]_{15}^{30}$.
$W_2 = (300(30) - \frac{100}{30}(900)) - (300(15) - \frac{100}{30}(225)) = (9000 - 3000) - (4500 - 750) = 6000 - 3750 = 2250\, J$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 3000 + 2250 = 5250\, J$ છે.

(A) આપેલ બળ $F = -\alpha x^{2}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = -\alpha x^{2}$,તેથી $a = -\frac{\alpha}{m} x^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $v \frac{dv}{dx} = -\frac{\alpha}{m} x^{2}$.
ચલને અલગ કરતા,$v dv = -\frac{\alpha}{m} x^{2} dx$.
બંને બાજુ $v = v_{0}$ થી $v = 0$ અને $x = 0$ થી $x = x_{f}$ ની મર્યાદામાં સંકલન કરતા:
$\int_{v_{0}}^{0} v dv = -\frac{\alpha}{m} \int_{0}^{x_{f}} x^{2} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left[ \frac{v^{2}}{2} \right]_{v_{0}}^{0} = -\frac{\alpha}{m} \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{x_{f}}$.
$0 - \frac{v_{0}^{2}}{2} = -\frac{\alpha}{m} \frac{x_{f}^{3}}{3}$.
$\frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{\alpha x_{f}^{3}}{3m}$.
$x_{f}$ માટે ઉકેલતા:
$x_{f}^{3} = \frac{3 m v_{0}^{2}}{2 \alpha}$.
$x_{f} = \left( \frac{3 m v_{0}^{2}}{2 \alpha} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(D) $y$-અક્ષ પર લાગતા ચલ બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{y_1}^{y_2} F_y \, dy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = (5y + 20) \hat{j} \, N$,તેથી સ્થાનાંતરની દિશામાં બળનો ઘટક $F_y = (5y + 20) \, N$ છે.
સંકલનની સીમાઓ $y_1 = 0 \, m$ થી $y_2 = 10 \, m$ છે.
$W = \int_{0}^{10} (5y + 20) \, dy$
$W = \left[ \frac{5y^2}{2} + 20y \right]_{0}^{10}$
$W = \left( \frac{5(10)^2}{2} + 20(10) \right) - (0 + 0)$
$W = \left( \frac{5 \times 100}{2} + 200 \right)$
$W = 250 + 200 = 450 \, J$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta KE)$ એ કણ પર થયેલા કાર્ય $(W)$ જેટલો હોય છે.
થયેલું કાર્ય રેખા સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int (4x \hat{i} + 3y^2 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$.
આનું સાદું રૂપ: $W = \int_{1}^{2} 4x \, dx + \int_{2}^{3} 3y^2 \, dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$W = [2x^2]_{1}^{2} + [y^3]_{2}^{3}$.
$W = (2(2)^2 - 2(1)^2) + (3^3 - 2^3)$.
$W = (8 - 2) + (27 - 8)$.
$W = 6 + 19 = 25 \, J$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં $25 \, J$ નો ફેરફાર થાય છે.

(A) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ ધન હોય છે અને $x$-અક્ષની નીચેના ક્ષેત્રફળ ઋણ હોય છે.
ચાલો દરેક આલેખ માટે ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ ગણીએ:
આકૃતિ-$a$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ઋણ ત્રિકોણ અને $x_{0}$ થી $x_{1}$ સુધીનો ધન ત્રિકોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{1}$ નાનું ધન છે.
આકૃતિ-$b$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ઋણ ત્રિકોણ અને $x_{0}$ થી $x_{2}$ સુધીનો ધન સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{2}$ નોંધપાત્ર રીતે ધન છે.
આકૃતિ-$c$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ઋણ ત્રિકોણ અને $x_{0}$ થી $x_{2}$ સુધીનો મોટો ધન સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{3}$ સૌથી મોટું ધન છે.
આકૃતિ-$d$: ક્ષેત્રફળમાં $0$ થી $x_{0}$ સુધીનો ધન ત્રિકોણ,$x_{0}$ થી $x_{2}$ સુધીનો મોટો ઋણ સમલંબ ચતુષ્કોણ અને $x_{2}$ થી $x_{3}$ સુધીનો નાનો ધન ત્રિકોણ છે. ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ $W_{4}$ ઋણ છે.
ચોખ્ખા ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા,આપણને $W_{3} > W_{2} > W_{1} > W_{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ દળ $m = 2\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 4\,ms^{-1}$ જ્યારે $x = 0.5\,m$ છે.
અવરોધક બળ $F = -kx = -12x$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{F}{m} = \frac{-12x}{2} = -6x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,તેથી $v \frac{dv}{dx} = -6x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{4}^{v} v \, dv = \int_{0.5}^{1.5} -6x \, dx$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{4}^{v} = -6 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.5}^{1.5}$.
$\frac{v^2 - 16}{2} = -3 [ (1.5)^2 - (0.5)^2 ]$.
$\frac{v^2 - 16}{2} = -3 [ 2.25 - 0.25 ] = -3 [ 2 ] = -6$.
$v^2 - 16 = -12$.
$v^2 = 4$,જે આપે છે $v = 2\,ms^{-1}$.

(D) કાર્ય-ગતિઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
થયેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર આલેખમાં $x=4 \,m$ થી $x=8 \,m$ વચ્ચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. આલેખ પરથી,$x=4 \,m$ આગળ $F=1.5 \,N$ અને $x=8 \,m$ આગળ $F=3 \,N$ છે.
આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ (અથવા લંબચોરસ અને ત્રિકોણનો સરવાળો) છે,જેની ઊંચાઈ $h = (8-4) = 4 \,m$ અને સમાંતર બાજુઓ $F_1 = 1.5 \,N$ અને $F_2 = 3 \,N$ છે.
$W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (F_1 + F_2) \times \Delta x = \frac{1}{2} \times (1.5 + 3) \times 4 = 2 \times 4.5 = 9 \,J$.
અહીં $m = 0.5 \,kg$ અને $v_i = 3.16 \,ms^{-1}$ આપેલ છે.
$9 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (v_f^2 - (3.16)^2)$
$9 = 0.25 \times (v_f^2 - 9.9856)$
$36 = v_f^2 - 9.9856$
$v_f^2 = 45.9856$
$v_f \approx 6.78 \,ms^{-1} \approx 6.8 \,ms^{-1}$.

(A) $F-x$ આલેખ એક સીધી રેખા છે. રેખાનું સમીકરણ $F = x \tan \alpha - F_0$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma = m v \frac{dv}{dx}$.
તેથી,$m v \frac{dv}{dx} = x \tan \alpha - F_0$.
બંને બાજુ $x=0$ થી $x=x_f$ સુધી સંકલન કરતા (જ્યાં વેગ $v$ શૂન્યથી શૂન્ય થાય છે):
$\int_{0}^{0} m v \, dv = \int_{0}^{x_f} (x \tan \alpha - F_0) \, dx$.
ડાબી બાજુ $0$ છે,તેથી:
$0 = \left[ \frac{x^2}{2} \tan \alpha - F_0 x \right]_{0}^{x_f}$.
$0 = \frac{x_f^2}{2} \tan \alpha - F_0 x_f$.
કારણ કે $x_f \neq 0$,આપણે $x_f$ વડે ભાગતા:
$0 = \frac{x_f}{2} \tan \alpha - F_0$.
$x_f = \frac{2 F_0}{\tan \alpha}$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_F = \Delta K$
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(v_i = 0)$ અને આપણે તે સ્થાન શોધવાનું છે જ્યાં તેની ઝડપ ફરીથી શૂન્ય થાય $(v_f = 0)$,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0 - 0 = 0$ છે.
તેથી,બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$W_F = \int F dx = 0$
કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $F-x$ વક્ર હેઠળના ચોખ્ખા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
$x=0$ થી $x=3$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (ધન ક્ષેત્રફળ):
ક્ષેત્રફળ$_1 = \frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 1 + \frac{1}{2} \times 20 \times 2 = 15 + 20 = 35 \text{ J}$.
$x=3$ થી $x=6$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (ઋણ ક્ષેત્રફળ):
ક્ષેત્રફળ$_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (-20) = -30 \text{ J}$.
$x=6$ પર કુલ ક્ષેત્રફળ $35 - 30 = 5 \text{ J}$ છે. વિકલ્પો જોતા,$x=6$ એ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(D) જ્યારે કોઈ કણ $x_1$ થી $x_2$ સુધી ગતિ કરે ત્યારે ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $F(x) = 3x^2 + 2x - 10$,$x_1 = 0$ અને $x_2 = 1 \, m$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x - 10) \, dx$
$W = [x^3 + x^2 - 10x]_{0}^{1}$
$W = (1^3 + 1^2 - 10(1)) - (0^3 + 0^2 - 10(0))$
$W = (1 + 1 - 10) - 0$
$W = -8 \, J$.

(A) જ્યારે કોઈ કણ $x_1$ થી $x_2$ સુધી ગતિ કરે ત્યારે ચલ બળ $F(x)$ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$ અને $x_2 = 5$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$
સીમાઓ મૂકતા:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$
$W = (35 - 25 + 125) - 0$
$W = 135 \ J$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $dW = F \cdot dx = dK$.
તેથી,બળ $F$ એ ગતિઊર્જા-સ્થાન આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{dK}{dx}$.
કારણ કે $F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{dK}{dx}$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ એ $K-x$ આલેખના ઢાળના સીધા પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $A$ પર,ઢાળ ધન છે,તેથી બળ ધન છે (પ્રવેગી ગતિ).
બિંદુ $B$ પર,ઢાળ શૂન્ય છે,તેથી બળ શૂન્ય છે.
બિંદુ $C$ પર,ઢાળ શૂન્ય છે,તેથી બળ શૂન્ય છે.
બિંદુ $D$ પર,આલેખનો ઢાળ સૌથી વધુ (મહત્તમ) છે,જેનો અર્થ છે કે બળ અને પરિણામે પ્રવેગ તેમના મહત્તમ મૂલ્યો પર છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે $D$ પાસે કણનો પ્રવેગ મહત્તમ છે.

(D) બળ $F$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
$F \cos \theta = ma$
કારણ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,તેથી:
$F \cos \theta = m v \frac{dv}{dx}$
$2 \cos (kx) = m v \frac{dv}{dx}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $x$ અને $v$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^v m v \, dv = \int_0^x 2 \cos (kx) \, dx$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{2}{k} [\sin (kx)]_0^x$
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ અને $\theta = kx$ હોવાથી:
$K.E. = \frac{2}{k} \sin \theta$
આને આપેલા સમીકરણ $E = \frac{n}{k} \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(B) ચલ બળ $F(y)$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{y_1}^{y_2} F(y) \, dy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F(y) = 5 + 3y^2$,$y_1 = 2 \, m$,અને $y_2 = 5 \, m$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{5} (5 + 3y^2) \, dy$
$W = [5y + y^3]_{2}^{5}$
$W = (5(5) + 5^3) - (5(2) + 2^3)$
$W = (25 + 125) - (10 + 8)$
$W = 150 - 18 = 132 \, J$.

(D) ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ પ્રતિપ્રવેગી બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
પ્રતિપ્રવેગી બળ $F = m \cdot a = m \cdot (2x)$.
પ્રતિપ્રવેગી બળની વિરુદ્ધ કરેલું કાર્ય $W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} m(2x) \, dx = m \cdot x^2$.
આપેલ દળ $m = 10\,g = 10^{-2}\,kg$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $= 10^{-2} \cdot x^2 = \frac{x^2}{100} = \left(\frac{10}{x}\right)^{-2}\,J$.
આને આપેલ પદ $\left(\frac{10}{x}\right)^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(B) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
અહીં $F(x) = 2 + 3x$,$x_1 = 0$,અને $x_2 = 4$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{4} (2 + 3x) dx$.
પદનું સંકલન કરતા: $W = [2x + \frac{3x^2}{2}]_{0}^{4}$.
સીમાઓ મૂકતા: $W = (2(4) + \frac{3(4)^2}{2}) - (2(0) + \frac{3(0)^2}{2})$.
$W = (8 + \frac{3 \times 16}{2}) - 0$.
$W = 8 + 3 \times 8 = 8 + 24 = 32 \, J$.

(A) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
અહીં $F = 5x$,$x_1 = 2\,m$,અને $x_2 = 4\,m$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{4} 5x\,dx$.
$W = 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$.
$W = \frac{5}{2} [4^2 - 2^2]$.
$W = \frac{5}{2} [16 - 4]$.
$W = \frac{5}{2} \times 12$.
$W = 5 \times 6 = 30\,J$.

(A) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = (3x^2 + 2x - 5) \text{ N}$,$x_1 = 2 \text{ m}$,અને $x_2 = 4 \text{ m}$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{4} (3x^2 + 2x - 5) \, dx$
પદોનું સંકલન કરતા: $W = [x^3 + x^2 - 5x]_{2}^{4}$
ઉપરની સીમા $(x = 4)$ માટે કિંમત મુકતા: $(4)^3 + (4)^2 - 5(4) = 64 + 16 - 20 = 60$
નીચેની સીમા $(x = 2)$ માટે કિંમત મુકતા: $(2)^3 + (2)^2 - 5(2) = 8 + 4 - 10 = 2$
કિંમતોની બાદબાકી કરતા: $W = 60 - 2 = 58 \text{ J}$.