Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(B) સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d$ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં અવરોધક બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $F \cdot d = \frac{1}{2} m v^2$.
આમ,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $d = \frac{m v^2}{2F}$ છે.
જો બંને વાહનો માટે અવરોધક બળ $F$ (બ્રેકિંગ ફોર્સ) સમાન હોય અને તેમનો પ્રારંભિક વેગ $v$ સમાન હોય,તો સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ વાહનના દળ $m$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(d \propto m)$.
કારનું દળ ટ્રકના દળ કરતા ઓછું હોવાથી $(m_{\text{car}} < m_{\text{truck}})$,કાર સ્થિર થાય તે પહેલાં ઓછું અંતર કાપશે.

(A) મણકા $Q$ માટે, સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગ $v$ અચળ છે, તેથી સમક્ષિતિજ અંતર $AB$ કાપવા માટે લીધેલ સમય ${t_Q} = \frac{AB}{v}$ છે。
કણ $P$ માટે, વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. જેમ કણ વાટકામાં નીચે સરકે છે, તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તે ઝડપ મેળવે છે. તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x$ કોઈપણ બિંદુએ પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક $v$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય છે કારણ કે કણ સૌથી નીચલા બિંદુ $C$ તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તે પ્રવેગિત થાય છે અને પછી પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે, પરંતુ તેની ઝડપ $B$ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી સમગ્ર માર્ગ દરમિયાન પ્રારંભિક ઝડપ $v$ કરતા વધારે રહે છે. કણ $P$ માટે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક ગતિ દરમિયાન હંમેશા $v$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવાથી, $P$ નો સરેરાશ સમક્ષિતિજ વેગ $v$ કરતા વધારે હોય છે. તેથી, સમાન સમક્ષિતિજ અંતર $AB$ કાપવા માટે $P$ દ્વારા લીધેલ સમય $Q$ દ્વારા લીધેલ સમય કરતા ઓછો હોય છે. આમ, ${t_P} < {t_Q}$.

(D) જ્યારે ટ્રોલીઓને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ તેઓ સમાન મૂલ્યનું પણ વિરુદ્ધ દિશામાં રેખીય વેગમાન $p$ ધરાવે છે.
કોઈપણ ટ્રોલી દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગતિઊર્જા ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ સામે થતા કાર્ય દ્વારા વ્યય પામે છે.
તેથી,$\mu mg S = \frac{p^2}{2m}$.
અહીં $p$ અને $\mu$ બંને ટ્રોલી માટે અચળ હોવાથી,$S \propto \frac{1}{m^2}$ મળે છે.
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2 = \left( \frac{3m}{m} \right)^2 = \frac{9}{1}$ થાય છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા તેના પર થયેલા કુલ કાર્ય જેટલી હોય છે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ = લાગુ પાડેલું બળ $(F)$ - ઘર્ષણ બળ $(f_k)$.
$f_k = \mu N = \mu mg = 0.2 \times 5 \times 10 = 10\,N$.
પરિણામી બળ = $25\,N - 10\,N = 15\,N$.
થયેલું કાર્ય = પરિણામી બળ $\times$ સ્થાનાંતર $(S)$.
થયેલું કાર્ય = $15\,N \times 10\,m = 150\,J$.
તેથી,પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા $150\,J$ છે.

(A) કુલ કાર્ય $(W_{total})$ એ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $(W_g)$ અને ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $(W_f)$ નો સરવાળો છે.
$W_{total} = W_g + W_f$
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W_g = mgh$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W_g = 2 \, kg \times 10 \, m/s^2 \times 10 \, m = 200 \, J$.
આપેલ કુલ કાર્ય $W_{total} = 300 \, J$ છે.
તેથી,ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_f = W_{total} - W_g$.
$W_f = 300 \, J - 200 \, J = 100 \, J$.

(D) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ બે લંબ બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$F_{net} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{5 \, N}{10 \, kg} = 0.5 \, m/s^2$.
સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ કરીને $t = 10 \, s$ સમયે વેગ $v$:
$v = u + at = 0 + (0.5 \, m/s^2)(10 \, s) = 5 \, m/s$.
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર:
$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 10 \, kg \times (5 \, m/s)^2 = 5 \times 25 = 125 \, J$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
દડો દીવાલ સાથે અથડાય છે અને સમાન ઝડપ $v$ સાથે પાછો ફરે છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ જેટલી જ રહે છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,દડા દ્વારા દીવાલ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય એ દીવાલ દ્વારા દડા પર કરવામાં આવેલ કાર્યના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
દીવાલનું દળ અનંત હોવાથી,તે ખસતી નથી (સ્થાનાંતર $d = 0$).
આમ,દીવાલ દ્વારા દડા પર કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \cdot d = 0$ છે.
પરિણામે,દડા દ્વારા દીવાલ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય પણ $Zero$ છે.

(C) જ્યારે દડાને ટાવરની ટોચ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $h_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $h_n \propto (2n - 1)$ થાય છે.
પ્રથમ,બીજી અને ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n = 1, 2, 3)$:
$h_I \propto (2(1) - 1) = 1$
$h_{II} \propto (2(2) - 1) = 3$
$h_{III} \propto (2(3) - 1) = 5$
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $h_I : h_{II} : h_{III} = 1 : 3 : 5$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = mgh$ છે.
$m$ અને $g$ અચળ હોવાથી,થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર એ કાપેલા અંતરના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે:
$W_I : W_{II} : W_{III} = h_I : h_{II} : h_{III} = 1 : 3 : 5$.

(B) આંતરિક વિસ્ફોટને કારણે પદાર્થ બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થતો હોવાથી,તંત્રનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$8 \times 2 = 4v_1 + 4v_2$
$\Rightarrow v_1 + v_2 = 4$ ...$(i)$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા + મુક્ત થયેલી ઉર્જા = અંતિમ ગતિ ઉર્જા
$\frac{1}{2} \times 8 \times (2)^2 + 16 = \frac{1}{2} \times 4 \times v_1^2 + \frac{1}{2} \times 4 \times v_2^2$
$16 + 16 = 2v_1^2 + 2v_2^2$
$v_1^2 + v_2^2 = 16$ ...(ii)
$(i)$ પરથી,$v_2 = 4 - v_1$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$v_1^2 + (4 - v_1)^2 = 16$
$v_1^2 + 16 - 8v_1 + v_1^2 = 16$
$2v_1^2 - 8v_1 = 0$
$2v_1(v_1 - 4) = 0$
તેથી,$v_1 = 0$ અથવા $v_1 = 4 \, m/s$.
જો $v_1 = 0$,તો $v_2 = 4 \, m/s$. જો $v_1 = 4$,તો $v_2 = 0$.
આમ,એક ભાગ સ્થિર થઈ જાય છે અને બીજો ભાગ મૂળ પદાર્થની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(C) $m$ દળ અને $P$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થોના વેગમાન સમાન હોવાથી $(P_1 = P_2 = P)$,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થશે.
આમ,$E_1 : E_2$ નો ગુણોત્તર $m_2 : m_1$ છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બ્રેકિંગ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય કારની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$|W| = |\Delta K|$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m u^2$
અહીં બ્રેકિંગ બળ $F$ અને કારનું દળ $m$ અચળ હોવાથી,અટકવાનું અંતર $s$ એ પ્રારંભિક વેગ $u$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે:
$s \propto u^2$
આપેલ છે કે $u_1 = 30 \, km/h$ માટે,અટકવાનું અંતર $s_1 = 8 \, m$ છે.
$u_2 = 60 \, km/h$ માટે,નવું અટકવાનું અંતર $s_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$
$\frac{s_2}{8} = \left( \frac{60}{30} \right)^2$
$\frac{s_2}{8} = (2)^2 = 4$
$s_2 = 8 \times 4 = 32 \, m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળાનું પ્રારંભિક વેગમાન એ અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્ર (ગોળો + થેલી) ના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે:
$mV = (m + M)v_{\text{sys}}$ ... $(i)$
જ્યાં $v_{\text{sys}}$ એ અથડામણ પછી તરત જ તંત્રનો વેગ છે.
અથડામણ પછી,તંત્ર (ગોળો + થેલી) ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પછી તરત જ તંત્રની ગતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2}(m + M)v_{\text{sys}}^2 = (m + M)gh$
$v_{\text{sys}}^2 = 2gh$
$v_{\text{sys}} = \sqrt{2gh}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી $v_{\text{sys}}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$mV = (m + M)\sqrt{2gh}$
$V = \left(\frac{m + M}{m}\right)\sqrt{2gh}$

(D) પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ વેગમાન છે અને $m$ એ દળ છે.
વેગમાન માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \sqrt{2mK}$ મળે છે.
બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા $K$ સમાન હોવાથી,વેગમાન $P$ એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto \sqrt{m})$.
આપેલ છે કે પ્રથમ પદાર્થ હલકો છે $(M_1 < M_2)$,તેથી હલકા પદાર્થનું વેગમાન ભારે પદાર્થના વેગમાન કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,$M_1 V_1 < M_2 V_2$ અથવા $M_2 V_2 > M_1 V_1$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h$ છે. આ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ છે.
જ્યારે દડો જમીન પર પડે છે,ત્યારે તેની બધી સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી $KE_{initial} = mgh$.
જમીન સાથે અથડાતી વખતે,તે તેની ગતિઊર્જાના $50\%$ ગુમાવે છે.
બાકી રહેલી ગતિઊર્જા $KE_{final} = 0.5 \times KE_{initial} = 0.5 mgh$ છે.
જેમ દડો ફરી ઉપર જાય છે,તેમ આ ગતિઊર્જા નવી ઊંચાઈ $h'$ પર ફરીથી સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આમ,$mgh' = 0.5 mgh$.
$h'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h' = 0.5 h$ મળે છે,જે પ્રારંભિક ઊંચાઈના અડધા જેટલી છે.

(D) જો હવાનો અવરોધ ન હોત,તો દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ ઉર્જા સંરક્ષણ અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{14 \times 14}{2 \times 9.8} = \frac{196}{19.6} = 10\, m$.
જોકે,હવાના અવરોધને કારણે,દડો ફક્ત $8.0\, m$ ની ઊંચાઈ સુધી જ પહોંચે છે.
હવાના અવરોધ દ્વારા વ્યય થયેલી ઉર્જા એ આદર્શ સ્થિતિમાં પ્રાપ્ત થતી સ્થિતિ ઉર્જા અને વાસ્તવિક સ્થિતિમાં પ્રાપ્ત થયેલી સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે:
$\text{વ્યય થયેલી ઉર્જા} = mg(H_{ideal} - H_{actual})$
$\text{વ્યય થયેલી ઉર્જા} = 0.5 \times 9.8 \times (10 - 8)$
$\text{વ્યય થયેલી ઉર્જા} = 0.5 \times 9.8 \times 2 = 9.8\, J$.

(C) મશીન દ્વારા આપવામાં આવતી ઊર્જા $E_{in} = 12 \, J$ છે।
કાર્યક્ષમતા $75\%$ હોવાથી, દળને ઊંચકવા માટે થયેલું ઉપયોગી કાર્ય $(W)$ $W = 0.75 \times 12 \, J = 9 \, J$ છે।
આ કાર્ય ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે: $mgh = 9 \, J$.
અહીં $m = 1 \, kg$ અને $g = 10 \, m \, s^{-2}$ લેતા, $1 \times 10 \times h = 9$, તેથી $h = 0.9 \, m$ મળે છે।
જ્યારે આ દળ $h$ અંતરથી નીચે પડે છે, ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે।
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{1}{2}mv^2 = mgh$.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.9} = \sqrt{18} \, m \, s^{-1}$.

(A) જ્યારે બે પદાર્થો અથડાય છે,ત્યારે અથડામણ સામાન્ય રીતે અસ્થિતિસ્થાપક હોય છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન,તંત્રની કુલ ગતિ ઊર્જાનો અમુક ભાગ વ્યય પામે છે.
આ વ્યય પામેલી ગતિ ઊર્જા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે,મુખ્યત્વે ઉષ્મા ઊર્જામાં,જેના કારણે પદાર્થોના તાપમાનમાં વધારો થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $1$. તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન (બ્લોક $C$) $P_i = mv$ છે.
$2$. $C$ અને $A$ વચ્ચેની સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,બ્લોક $C$ સ્થિર થઈ જાય છે અને બ્લોક $A$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. હવે,તંત્રમાં સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બ્લોક્સ $A$ અને $B$ છે,જેમાં $A$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે અને $B$ સ્થિર છે.
$3$. મહત્તમ સંકોચન $x$ સમયે,બંને બ્લોક્સ $A$ અને $B$ સમાન વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે. તંત્ર $(A+B)$ માટે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m + m)V \implies V = \frac{v}{2}$.
$4$. તંત્ર $(A+B)$ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$A$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા = $(A+B)$ ની અંતિમ ગતિ ઉર્જા + સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)V^2 + \frac{1}{2}Kx^2$.
$5$. $V = \frac{v}{2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx^2$
$Kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$
$x = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$.

(A) આપેલ છે કે વેગમાન $(P)$ નું મૂલ્ય અને ગતિઊર્જા $(K)$ નું મૂલ્ય સમાન છે:
$P = K$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P = mv$ અને $K = \frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા:
$mv = \frac{1}{2}mv^2$
ધારો કે $m \neq 0$ અને $v \neq 0$,તો બંને બાજુને $mv$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{1}{2}v$
$v = 2 \, m/s$
આમ,પદાર્થનો વેગ $2 \, m/s$ છે.

(C) બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ ટુકડાઓનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન છે: $p_1 = p_2 = p$.
ગતિઊર્જા $E$ એ વેગમાન $p$ અને દળ $m$ સાથે $E = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,બે ટુકડાઓની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{p^2 / (2m_1)}{p^2 / (2m_2)} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{3\,g}{1\,g} = 3$.
આનો અર્થ એ છે કે $E_1 = 3E_2$,જ્યાં $E_1$ એ નાના ટુકડાની ગતિઊર્જા ($1\,g$ દળ) છે અને $E_2$ એ મોટા ટુકડાની ગતિઊર્જા ($3\,g$ દળ) છે.
કુલ ગતિઊર્જા $E_1 + E_2 = 6.4 \times 10^4\,J$ આપેલ છે.
કુલ ઊર્જાના સમીકરણમાં $E_1 = 3E_2$ મૂકતા:
$3E_2 + E_2 = 6.4 \times 10^4\,J$
$4E_2 = 6.4 \times 10^4\,J$
$E_2 = 1.6 \times 10^4\,J$.
હવે,નાના ટુકડાની ગતિઊર્જા $(E_1)$ શોધતા:
$E_1 = 3 \times (1.6 \times 10^4\,J) = 4.8 \times 10^4\,J$.

(A) એન્જિનનું આઉટપુટ કાર્ય $(W_{out})$ = $mgh = 100 \times 10 \times 10 = 10^4 \ J$.
કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ = $\frac{W_{out}}{W_{in}}$.
ઇનપુટ ઉર્જા $(W_{in})$ = $\frac{W_{out}}{\eta} = \frac{10^4}{0.60} = \frac{10^4 \times 100}{60} = \frac{10^5}{6} \ J$.
એન્જિનનો પાવર $(P)$ = $\frac{W_{in}}{t} = \frac{10^5 / 6}{5} = \frac{10^5}{30} = \frac{100000}{30} \approx 3333.33 \ W$.
$kW$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $P = 3.33 \ kW \approx 3.3 \ kW$.

(A) આપેલ છે: $m_{1} = m_{2} = m$,$u_{1} = u$,અને $u_{2} = 0$.
ધારો કે અથડામણ પછી ગોળાઓના વેગ $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u = m v_{1} + m v_{2} \implies u = v_{1} + v_{2} \dots (i)$
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_{2} - v_{1}}{u_{1} - u_{2}} = \frac{v_{2} - v_{1}}{u - 0} \implies v_{2} - v_{1} = e u \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $2 v_{2} = u(1 + e) \implies v_{2} = \frac{u(1 + e)}{2}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $2 v_{1} = u(1 - e) \implies v_{1} = \frac{u(1 - e)}{2}$
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\frac{u(1 - e)}{2}}{\frac{u(1 + e)}{2}} = \frac{1 - e}{1 + e}$ થાય.

(D) બે પદાર્થો વચ્ચેની કોઈપણ અથડામણમાં,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
અથડામણ દરમિયાન,ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નો અમુક અંશ અન્ય સ્વરૂપોમાં જેવા કે ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.
તેથી,જ્યાં સુધી અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક ન હોય ત્યાં સુધી ગતિ ઊર્જા સામાન્ય રીતે સંરક્ષિત રહેતી નથી.
તાપમાન અને વેગ એ અથડામણમાં સંરક્ષિત રાશિઓ નથી.
આમ,એકમાત્ર રાશિ જે સંરક્ષિત રહે છે તે તંત્રનું વેગમાન છે.

(B) જ્યારે દડો $h_1$ ઊંચાઈએથી શિરોલંબ નીચે પડે છે,ત્યારે જમીન સાથે અથડાતા પહેલા તેનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
અથડામણ પછી,દડો $h_2$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે,તેથી જમીન સાથે અથડાયા પછી તેનો વેગ $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ (ઉપરની તરફ) હોય છે.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = -\sqrt{2gh_1}$ અને અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = +\sqrt{2gh_2}$ થાય.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{P} = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta \vec{P} = m(\sqrt{2gh_2} - (-\sqrt{2gh_1})) = m(\sqrt{2gh_1} + \sqrt{2gh_2})$.

(C) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ તમામ પ્રકારની અથડામણો માટે સાચો છે,ભલે તે સ્થિતિસ્થાપક હોય કે અસ્થિતિસ્થાપક,જો સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,પરંતુ કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી કારણ કે કેટલીક ઊર્જા ગરમી,અવાજ અથવા વિરૂપણ જેવા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,એ વિધાન કે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી પરંતુ વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તે સાચું છે.

(A) $2 \,m$ ની ઊંચાઈ $h$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgh$ છે.
ઉછળ્યા પછી $1.5 \,m$ ની ઊંચાઈ $h'$ પર દડાની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U' = mgh'$ છે.
અથડામણ દરમિયાન ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta U = U - U' = mg(h - h')$ છે.
ગુમાવેલી ઉર્જાનો અંશ $\frac{\Delta U}{U} = \frac{mg(h - h')}{mgh} = \frac{h - h'}{h}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 - 1.5}{2} = \frac{0.5}{2} = \frac{1}{4}$.

(D) સામાન્ય અથડામણમાં,બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીને કારણે તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
જોકે,ગતિઊર્જા સામાન્ય રીતે સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે કેટલીક ઊર્જા ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જા તરીકે વ્યય પામે છે.
અથડામણ દરમિયાન વિરૂપણ બળો દ્વારા થતા કાર્યને કારણે પદાર્થોની આંતરિક ઊર્જા બદલાય છે,તેથી તાપમાનમાં પણ ફેરફાર થાય છે.
તેથી,માત્ર વેગમાન જ અચળ રહે છે.

(D) $1$. ગતિ કરતા પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન: $p_i = m_1 v_1 = 10 \, g \times 100 \, cm/s = 1000 \, g \cdot cm/s$.
$2$. અથડામણ પછી,બંને દળ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,જેથી કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 10 \, g + 10 \, g = 20 \, g$ થાય છે.
$3$. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $p_i = p_f \implies 1000 = (m_1 + m_2) v_{sys} \implies 1000 = 20 \times v_{sys}$.
$4$. તંત્રનો વેગ શોધતા: $v_{sys} = 50 \, cm/s = 0.5 \, m/s$.
$5$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની ગતિ ઉર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\frac{1}{2} M v_{sys}^2 = Mgh$.
$6$. $h$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $h = \frac{v_{sys}^2}{2g}$.
$7$. $g$ ને $cm/s^2$ માં ફેરવતા: $g = 10 \, m/s^2 = 1000 \, cm/s^2$.
$8$. $h$ ની ગણતરી કરતા: $h = \frac{50^2}{2 \times 1000} = \frac{2500}{2000} = 1.25 \, cm$.

(D) પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $(K_i)$ = $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2$
$K_i = \frac{1}{2} \times 3 \times (32)^2 + \frac{1}{2} \times 4 \times (5)^2$
$K_i = \frac{1}{2} \times 3 \times 1024 + 2 \times 25 = 1536 + 50 = 1586 \,J$
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $(K_f)$ = $\frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2$
$K_f = \frac{1}{2} \times (3 + 4) \times (5)^2 = \frac{1}{2} \times 7 \times 25 = 87.5 \,J$
ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો = $K_i - K_f = 1586 - 87.5 = 1498.5 \,J$
આમ,$1498.5 \,J$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(B) કેન્દ્રગામી બળ આપેલ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $mv^2/r = K/r^2$.
આના પરથી,ગતિ ઉર્જા ($K$.$E$.) મળે છે: $K.E. = 1/2 mv^2 = K/(2r)$.
સ્થિતિ ઉર્જા ($P$.$E$.) બળનું સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે: $U = -\int_{\infty}^{r} F \cdot dr = -\int_{\infty}^{r} (-K/r^2) \, dr = -K/r$.
કુલ ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = K.E. + P.E. = K/(2r) - K/r = -K/(2r)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $t = \sqrt{x} + 3$.
$x$ માટે ગોઠવતા: $\sqrt{x} = t - 3$,તેથી $x = (t - 3)^2$.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 2(t - 3)$.
$t = 0 \ s$ સમયે,પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 2(0 - 3) = -6 \ m/s$.
$t = 6 \ s$ સમયે,અંતિમ વેગ $v_2 = 2(6 - 3) = 6 \ m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2}m(6^2 - (-6)^2) = \frac{1}{2}m(36 - 36) = 0 \ J$.

(C) ધારો કે લાકડા દ્વારા આપવામાં આવતો સરેરાશ અવરોધ $R$ છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે).
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ ($d$ ઊંડાઈએ બ્લેડ અટકી જાય છે).
છરી પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને અવરોધક બળ ($R$ ઉપરની તરફ) છે.
કુલ સ્થાનાંતર $(h + d)$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $mg(h + d)$.
અવરોધ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $-R \cdot d$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ: $W_{net} = \Delta K$
$mg(h + d) - R \cdot d = 0 - 0$
$mg(h + d) = R \cdot d$
$R = \frac{mg(h + d)}{d} = mg\left( \frac{h}{d} + 1 \right) = mg\left( 1 + \frac{h}{d} \right)$.

(A) ધારો કે શેલનું દળ $M$ છે. જ્યારે તેને $v$ વેગથી $\theta$ ખૂણે છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પથના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ તેનો વેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $v_x = v \cos \theta$ હોય છે.
વિસ્ફોટ પહેલાં શેલનું વેગમાન $P_i = Mv \cos \theta$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,શેલ $m = M/2$ દળના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
એક ટુકડો તેના પથ પર પાછો ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ $-v \cos \theta$ (મૂળ સમક્ષિતિજ દિશાની વિરુદ્ધ) થાય છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $V$ છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$P_i = P_f$
$Mv \cos \theta = m(-v \cos \theta) + mV$
કારણ કે $m = M/2$,તેથી:
$Mv \cos \theta = \frac{M}{2}(-v \cos \theta) + \frac{M}{2}V$
$M/2$ વડે ભાગતા:
$2v \cos \theta = -v \cos \theta + V$
$V = 3v \cos \theta$
આમ,બીજા ટુકડાની ઝડપ $3v \cos \theta$ છે.

(B) અથડામણો સંપૂર્ણપણે અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,બધા બ્લોક્સ એક પછી એક ચોંટી જશે અને સંયુક્ત દળ તરીકે ગતિ કરશે.
ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ બ્લોકને $L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{L}{v}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,પ્રથમ અને બીજો બ્લોક એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mv = (2m)v_1$,તેથી $v_1 = \frac{v}{2}$.
આ સંયુક્ત તંત્રને આગામી $L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{L}{v/2} = \frac{2L}{v}$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,ત્રણેય બ્લોક્સ $v_2 = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$ વેગથી ગતિ કરશે.
આગામી $L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_3 = \frac{L}{v/3} = \frac{3L}{v}$ છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$(n-1)$-મા અને $n$-મા બ્લોક વચ્ચેનું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_{n-1} = \frac{(n-1)L}{v}$ છે.
છેલ્લા બ્લોકને ગતિ શરૂ કરવા માટે લાગતો કુલ સમય આ અંતરાલોનો સરવાળો છે:
$T = \frac{L}{v} + \frac{2L}{v} + \frac{3L}{v} + ... + \frac{(n-1)L}{v} = \frac{L}{v} (1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) = \frac{L}{v} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)L}{2v}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ઊભી દિશામાં ગતિ કરતા કણ માટે,સ્થિતિઊર્જા $(U)$ એ $U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ઊંચાઈ $(h)$ નું સુરેખ વિધેય છે.
આમ,$U$ વિરુદ્ધ $h$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઊર્જા $(T = E + U)$ અચળ રહે છે.
તેથી,$E = T - U = T - mgh$.
આ દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જા $(E)$ એ ઊંચાઈ $(h)$ નું ઋણ ઢાળ ધરાવતું સુરેખ વિધેય છે.
જેમ ઊંચાઈ $(h)$ વધે છે,તેમ સ્થિતિઊર્જા $(U)$ સુરેખ રીતે વધે છે અને ગતિઊર્જા $(E)$ સુરેખ રીતે ઘટે છે.
આલેખ $(A)$ ઊંચાઈ $(h)$ ના સંદર્ભમાં $U$ નો સુરેખ વધારો અને $E$ નો સુરેખ ઘટાડો યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) $h$ ઊંચાઈએ પદાર્થની સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$,ઊંચાઈ $h = 30 \,m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$.
યાંત્રિક ઉર્જા $E = 5 \times 9.8 \times 30 = 1470 \,J$.
ઉષ્મા અને કાર્યના તુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$W = JQ$,જ્યાં $J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક છે $(J \approx 4.2 \,J/cal)$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = \frac{W}{J} = \frac{1470}{4.2} = 350 \,cal$.

(B) વ્યક્તિનું દળ $m = 60 \, kg$ છે.
મળતી કુલ ઉષ્મા ઊર્જા $Q = 10^5 \, \text{cal}$ છે.
શરીરની કાર્યક્ષમતા $\eta = 28 \% = 0.28$ છે.
શરીર દ્વારા કરવામાં આવતું ઉપયોગી કાર્ય $W = \eta \times Q \times J$ છે,જ્યાં $J = 4.2 \, J/\text{cal}$.
$W = 0.28 \times 10^5 \times 4.2 \, J$.
આ કાર્યનો ઉપયોગ $h$ ઊંચાઈ સુધી ચઢવા માટે થાય છે,તેથી $W = mgh$.
$60 \times 9.8 \times h = 0.28 \times 10^5 \times 4.2$.
$588 \times h = 117600$.
$h = \frac{117600}{588} = 200 \, m$.
તેથી,વ્યક્તિ $200 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી ચઢી શકે છે.

(A) ધારો કે લોલકના ગોળાનું દળ $m$ છે અને લોલકની લંબાઈ $l = 2\,m$ છે.
બિંદુ $P$ પર,બિંદુ $Q$ ની સાપેક્ષમાં લોલકની સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgl = m \times 10 \times 2 = 20m\,J$ છે.
જ્યારે લોલક $P$ થી $Q$ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે હવાના અવરોધને કારણે તે તેની કુલ ઉર્જાના $10\%$ ગુમાવે છે.
તેથી,$Q$ આગળ ગતિ ઉર્જા એ $P$ આગળની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાના $90\%$ છે.
$K_Q = 0.9 \times U = 0.9 \times mgl$
$\frac{1}{2}mv^2 = 0.9 \times m \times 10 \times 2$
$\frac{1}{2}v^2 = 0.9 \times 20 = 18$
$v^2 = 36$
$v = 6\,m/s$.

(D) જ્યારે બ્લોક $C$,બ્લોક $A$ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેઓ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે (સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારતા) અથવા વેગમાનનું સ્થાનાંતરણ કરે છે. $C$ અને $A$ સમાન દળ $m$ ધરાવતા હોવાથી,અથડામણ પછી $C$ અટકી જાય છે અને $A$ એ $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
હવે,સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બ્લોક્સ $A$ અને $B$ ના તંત્રનો વિચાર કરો. તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $mv$ છે.
ધારો કે મહત્તમ સંકોચનના સમયે બ્લોક્સ $A$ અને $B$ નો સામાન્ય વેગ $V$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m + m)V \Rightarrow V = \frac{v}{2}$.
મહત્તમ સંકોચન $x$ પર,તંત્રની ગતિ ઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં અને બાકીની ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m+m)V^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx^2 \Rightarrow x^2 = \frac{mv^2}{2K} \Rightarrow x = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$.
મહત્તમ સંકોચન સમયે,$A-B$ તંત્રની ગતિ ઊર્જા:
$K.E. = \frac{1}{2}(2m)V^2 = m(\frac{v}{2})^2 = \frac{mv^2}{4}$.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ મેળવવા માટે,દડાને જમીન સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવો આવશ્યક છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર:
$R_{max} = \frac{u^2}{g}$ --- $(i)$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દબાયેલી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા દડાની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m u^2$
$u^2 = \frac{k x^2}{m}$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$R_{max} = \frac{k x^2}{m g}$
આપેલ મૂલ્યો:
$k = 600 \,N/m$
$x = 5 \,cm = 0.05 \,m$
$m = 15 \,g = 0.015 \,kg$
$g = 10 \,m/s^2$
$R_{max} = \frac{600 \times (0.05)^2}{0.015 \times 10} = \frac{600 \times 0.0025}{0.15} = \frac{1.5}{0.15} = 10 \,m.$

(B) બે કણો વચ્ચેના કોઈપણ સંઘાત માટે,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
ગતિઊર્જા ફક્ત સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં જ સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે કઈ રાશિ 'સામાન્ય રીતે' કોઈપણ સંઘાત માટે સંરક્ષિત રહે છે,તેથી રેખીય વેગમાન એ સાચો જવાબ છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$K_i = 0$,તેથી $W = K_f = \frac{1}{2}mv^2$.
$(1)$ જ્યારે કાર્ય મહત્તમ હોય ત્યારે ઝડપ મહત્તમ હોય છે. $F-x$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કાર્ય દર્શાવે છે. $x = 0$ થી $x = 3 \ m$ સુધી ક્ષેત્રફળ ધન છે. તેથી,$x = 3 \ m$ પર ઝડપ મહત્તમ છે.
$(2)$ $x = 0$ થી $x = 3 \ m$ સુધીનું કાર્ય એ ત્રિકોણ અને સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે: $W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2}(5+10)(1) + \frac{1}{2}(2)(10) = 7.5 + 10 = 17.5 \ J$.
$W = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$17.5 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 \implies v^2 = 17.5 \implies v = \sqrt{17.5} \approx 4.18 \ ms^{-1}$.
$(3)$ જ્યારે કુલ કાર્ય શૂન્ય થાય ત્યારે ઝડપ ફરીથી શૂન્ય થાય છે. $x = 3$ થી $x = 6$ સુધીનું ઋણ ક્ષેત્રફળ $-15 \ J$ છે. ગણતરી મુજબ,કણ $x = 6 \ m$ પર ફરીથી સ્થિર થાય છે.

(C) જ્યારે તોપનો ગોળો હવામાં વિસ્ફોટ પામે છે,ત્યારે આ વિસ્ફોટ આંતરિક બળો (વિસ્ફોટકમાં સંગ્રહિત રાસાયણિક ઊર્જા) ને કારણે થાય છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થતો હોવાથી,ગોળાનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
જોકે,આંતરિક રાસાયણિક ઊર્જા ટુકડાઓની ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના પરિણામે તંત્રની કુલ ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ ગોળાનું દળ $m_1 = m$ અને બીજા ગોળાનું દળ $m_2 = 2m$ છે. પ્રથમ ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = u$ અને બીજા ગોળાનો વેગ $u_2 = 0$ છે.
સંઘાત બાદ ગોળાઓના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$, જે $mu = mv_1 + 2mv_2$ આપે છે, તેથી $u = v_1 + 2v_2$ અથવા $v_1 = u - 2v_2$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $0 \le e \le 1$ હોવાથી, આપણને $0 \le v_2 - v_1 \le u$ મળે છે.
$v_1 = u - 2v_2$ ને અસમતામાં મૂકતા: $0 \le v_2 - (u - 2v_2) \le u$, જેનું સાદું રૂપ $0 \le 3v_2 - u \le u$ થાય છે.
બધા પદોમાં $u$ ઉમેરતા: $u \le 3v_2 \le 2u$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{u}{3} \le v_2 \le \frac{2u}{3}$.
આમ, બીજા ગોળાના વેગ $v$ ની અવધિ $\frac{u}{3} \le v \le \frac{2u}{3}$ છે.

(A) વિધાન $[A]$ જણાવે છે કે કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i = 0$ છે. આનો અર્થ એ નથી કે વ્યક્તિગત વેગ $\vec{v}_i$ શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે,બે કણોના તંત્રમાં જ્યાં $m_1 = m_2$ અને $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$ હોય,ત્યારે કુલ વેગમાન શૂન્ય થાય છે,પરંતુ ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2$ શૂન્ય હોતી નથી. તેથી,$A$ એ $B$ ને સૂચવતું નથી.
વિધાન $[B]$ જણાવે છે કે ગતિ ઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = 0$ છે. દળ $m_i$ અને $v_i^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,સરવાળો શૂન્ય થવા માટે દરેક વ્યક્તિગત વેગ $\vec{v}_i = 0$ હોવો જોઈએ. જો બધા $\vec{v}_i = 0$ હોય,તો કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i$ પણ શૂન્ય જ થાય. તેથી,$B$ એ $A$ ને સૂચવે છે.

(D) શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું વેગમાન શૂન્ય છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બંને પદાર્થોના વેગમાનના મૂલ્યો હંમેશા સમાન રહેવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = p$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = p^2 / (2m)$ છે.
આથી,$K_1 = p^2 / (2m)$ અને $K_2 = p^2 / (2(2m)) = p^2 / (4m) = K_1 / 2$.
કુલ ઊર્જા $E = K_1 + K_2 = K_1 + K_1 / 2 = (3/2) K_1 = 60 \ J$.
$K_1$ માટે ઉકેલતા: $K_1 = (2/3) \times 60 = 40 \ J$.
અહીં $K_1$ એ $m$ દળ (નાના પદાર્થ) સાથે સંકળાયેલ હોવાથી,નાના પદાર્થની ગતિઊર્જા $40 \ J$ થશે.

(B) સંઘાત દરમિયાન,અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = u_1 - u_2$ અને અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_2 - v_1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,$e = 1$,જેનો અર્થ છે કે $v_{rel} = u_{rel}$. અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,$0 < e < 1$,જેનો અર્થ છે કે $v_{rel} < u_{rel}$. આમ,અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ એ અભિગમના સાપેક્ષ વેગ જેટલો અથવા તેનાથી ઓછો હોય છે,જે સંદર્ભ ફ્રેમ અને સંઘાતની પ્રકૃતિના આધારે સાપેક્ષ વેગના મૂલ્ય સમાન અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાને અનુરૂપ છે.

(B) પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,$P = Fv = mav = m(v \frac{dv}{dt})v = mv^2 \frac{dv}{dt}$.
પાવર અચળ હોવાથી,$mv^2 \frac{dv}{dt} = P$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int mv^2 dv = \int P dt$,આપણને $\frac{1}{3} mv^3 = Pt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v^3 \propto t$,અથવા $v \propto t^{1/3}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/3}$.
સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$s \propto \int t^{1/3} dt$,જે $s \propto t^{4/3}$ આપે છે.
ઘાતાંક $4/3 > 1$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $(s)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ નો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો અને ઉપરની તરફ વળેલો વક્ર હશે. આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(A) કુલ કાર્ય $W$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય અને સમક્ષિતિજ બળ દ્વારા થયેલ કાર્યનો સરવાળો છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_g = mgh = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 2 \ m = 20 \ J$.
સમક્ષિતિજ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_f = F \times s = 8 \ N \times 1 \ m = 8 \ J$.
કુલ કાર્ય $W = W_g + W_f = 20 \ J + 8 \ J = 28 \ J$.

(C) $1$. વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે ગતિ ઊર્જા $K = p^2 / (2m)$ છે. જો $K = 0$ હોય,તો $p = 0$ થાય. તેથી,ગતિ ઊર્જા વગર પદાર્થ પાસે વેગમાન હોઈ શકે નહીં.
$2$. વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે હેડ-ઓન સંઘાતમાં,સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય અને દિશા બદલાય છે (સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ અને અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ સમાન હોય છે,પરંતુ દિશા વિરુદ્ધ હોય છે).
$3$. વિધાન $C$ સાચું છે; સ્થિતિ ઊર્જા સંદર્ભ બિંદુના આધારે ઋણ હોઈ શકે છે (દા.ત. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા).
$4$. વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે ગતિ ઊર્જા $K = (1/2)mv^2$ હંમેશા ધન અથવા શૂન્ય હોય છે.
આમ,$A$,$B$ અને $D$ વિધાનો સાચા નથી.