Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(A) ધારો કે કણને $h$ ઊંચાઈએથી $u_x = u$ જેટલા પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ સાથે મુક્ત કરવામાં આવે છે।
કોઈપણ સમયે $t$ પર, સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $v_x = u$ (અચળ) છે।
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો શિરોલંબ વેગનો ઘટક $v_y = gt$ છે।
સમય $t$ પર કણનો કુલ વેગ $v$ એ $v^2 = v_x^2 + v_y^2 = u^2 + (gt)^2$ દ્વારા મળે છે।
ગતિઊર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(u^2 + g^2t^2)$ દ્વારા મળે છે।
આ સમીકરણને $E = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mg^2t^2$ તરીકે લખી શકાય।
આ સમીકરણ $E = At^2 + B$ ના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $A = \frac{1}{2}mg^2$ અને $B = \frac{1}{2}mu^2$ છે।
અહીં $A > 0$ હોવાથી, $E$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે, જે $t = 0$ સમયે શૂન્યતર $y$-અંતઃખંડ (જ્યાં $E = \frac{1}{2}mu^2$) ધરાવે છે।
તેથી, સાચો આલેખ તે છે જે $E$-અક્ષ પર ધન મૂલ્યથી શરૂ થતો પરવલયાકાર વધારો દર્શાવે છે।

(C) $1$. કોઈપણ સંઘાતમાં,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગતું હોય તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિ ઊર્જા બંને સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે,પરંતુ કુલ ગતિ ઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી (કેટલીક ઊર્જા ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ સ્વરૂપે વ્યય થાય છે).
$4$. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે તે યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે જ્યારે ગતિ ઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.

(D) કાર્યની વ્યાખ્યા $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{s}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ (ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ) લાગે છે.
વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થ માટે સ્થાનાંતર સદિશ હંમેશા તે બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા (અને તેથી બળ) હંમેશા સ્પર્શક (સ્થાનાંતર) ને લંબ હોવાથી,પથના દરેક બિંદુએ ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = F s \cos(90^{\circ}) = F s (0) = 0$.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે,કુલ કાર્ય શૂન્ય થાય છે.

(C) $20 \ cm$ ની ઊંચાઈએ પદાર્થની પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા $E_i = mgh$ છે.
પૃથ્વી સાથે અથડાયા પછી,$75\%$ યાંત્રિક ઊર્જાનો વ્યય થાય છે.
તેથી,બાકી રહેલી યાંત્રિક ઊર્જા $E_f = E_i - 0.75 E_i = 0.25 E_i = \frac{1}{4} E_i$ છે.
ધારો કે પદાર્થ નવી ઊંચાઈ $h'$ સુધી પહોંચે છે. અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા $E_f = mgh'$ છે.
ઊર્જાને સરખાવતા: $mgh' = \frac{1}{4} mgh$.
આમ,$h' = \frac{h}{4} = \frac{20 \ cm}{4} = 5 \ cm$.

(A) અવલોકનકાર ઢળતી સપાટી પર છે. કારણ કે બ્લોક ફાચર (wedge) પર સરકતો નથી,તેથી ઢળતી સપાટીની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.
કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
ઢળતી સપાટી પરના અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતર $\vec{S} = 0$ હોવાથી,આ અવલોકનકાર દ્વારા જોવામાં આવતા બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.

(C) પંપનો આઉટપુટ પાવર $P_{out} = \frac{mgh}{t} = \rho V g h / t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ એ પાણીની ઘનતા છે。
આપેલ છે: $h = 30 \ m$, $V/t = 0.5 \ m^3/min = \frac{0.5}{60} \ m^3/s$, અને કાર્યક્ષમતા $\eta = 0.70$.
$P_{out} = 10^3 \times \frac{0.5}{60} \times 9.8 \times 30 = 1000 \times \frac{0.5}{2} \times 9.8 = 500 \times 4.9 = 2450 \ W$.
ઇનપુટ પાવર $P_{in}$ અને આઉટપુટ પાવર વચ્ચેનો સંબંધ $\eta = P_{out} / P_{in}$ છે。
તેથી, $P_{in} = P_{out} / \eta = 2450 / 0.70 = 3500 \ W$.

(A) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી ઊંચા બિંદુએ ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા સૌથી નીચા બિંદુએ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$PE_{top} - PE_{bottom} = KE_{bottom}$
$mg(h_2 - h_1) = \frac{1}{2}mv_{max}^2$
$v_{max} = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}$
અહીં $g = 10 \ ms^{-2}$,$h_2 = 2 \ m$,અને $h_1 = 0.75 \ m$ આપેલ છે.
$v_{max} = \sqrt{2 \times 10 \times (2 - 0.75)}$
$v_{max} = \sqrt{20 \times 1.25}$
$v_{max} = \sqrt{25} = 5 \ ms^{-1}$.

(D) આંતરિક બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્રની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બે દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા: $KE_i = 2 \times (\frac{1}{2} \times m \times v^2) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 5^2) = 50 \ J$.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા: $KE_f = 0 \ J$ (કારણ કે તેઓ સ્થિર થઈ જાય છે).
આંતરિક બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \Delta KE = KE_f - KE_i = 0 - 50 = -50 \ J$.
જોકે,તેમને સ્થિર કરવા માટે થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લેતા,તે $50 \ J$ છે.

(D) ધારો કે દળ $m$ છે. સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,સંઘાત બાદ કણો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
શરૂઆતમાં,કણોની ઝડપ $v$ અને $2v$ છે. ધારો કે કોણીય ઝડપ $\omega$ અને $2\omega$ છે. પ્રથમ સંઘાત સમયે બંને કણો દ્વારા કપાયેલ કુલ ખૂણો $2\pi$ છે. તેથી,$\omega t_1 + 2\omega t_1 = 2\pi$,જે $t_1 = \frac{2\pi}{3\omega}$ આપે છે.
આ સમયે,પ્રથમ કણે $\theta_1 = \omega t_1 = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$ નો ખૂણો કાપ્યો છે અને બીજા કણે $240^\circ$ નો ખૂણો કાપ્યો છે.
પ્રથમ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પછી,તેઓ વેગની અદલાબદલી કરે છે. હવે,જે કણ $2v$ વેગથી ગતિ કરતો હતો તે $v$ વેગથી ગતિ કરશે અને તેનાથી ઉલટું.
બીજા સંઘાત માટે,સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ હજુ પણ $3\omega$ છે,તેથી લાગતો સમય $t_2 = \frac{2\pi}{3\omega}$ છે.
આ સમયમાં,જે કણનો વેગ $v$ હતો (હવે $2v$) તે વધારાનો $240^\circ$ ખૂણો કાપે છે,અને બીજો કણ $120^\circ$ કાપે છે.
$v$ વેગથી શરૂઆત કરનાર કણ દ્વારા કપાયેલ કુલ ખૂણો $120^\circ + 240^\circ = 360^\circ$ છે. આ કણ બીજા સંઘાત સમયે બિંદુ $A$ પર પહોંચે છે.
બીજો કણ પણ તે જ સમયે બિંદુ $A$ પર પહોંચે છે. આમ,બંનેને બિંદુ $A$ પર પહોંચવા માટે પ્રથમ સંઘાત પછી માત્ર $1$ વધુ સંઘાતની જરૂર છે.

(B) લિફ્ટની મોટર દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $(W)$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર અને ઘર્ષણ સામે થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે.
$W = \Delta PE + \Delta KE + W_{\text{friction}}$
$W = mgh + \frac{1}{2}mv^2 + Fs$
આપેલ છે: $m = 2000 \ kg$,$h = 25 \ m$,$v = 3 \ ms^{-1}$,$F = 500 \ N$,$g = 9.8 \ ms^{-2}$.
$W = (2000 \times 9.8 \times 25) + (\frac{1}{2} \times 2000 \times 3^2) + (500 \times 25)$
$W = 490000 + 9000 + 12500$
$W = 511500 \ J$
$kJ$ માં રૂપાંતર કરતા: $W = 511.5 \ kJ$.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલ ઊર્જા $E_1$ એ પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે: $E_1 = \frac{1}{2} m v^2 + mgh = \frac{1}{2} m (12)^2 + m(10)(12) = 72m + 120m = 192m$.
બીજા કિસ્સામાં,દડાને એવી રીતે ફેંકવામાં આવે છે કે તે માત્ર $h = 12 \ m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચે. આ ઊંચાઈ પર,તેનો અંતિમ વેગ $0$ થાય છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જરૂરી ઊર્જા $E_2$ એ તે ઊંચાઈ પરની સ્થિતિ ઊર્જા જેટલી હોય છે: $E_2 = mgh = m(10)(12) = 120m$.
બચત થયેલી ઊર્જા $E_1 - E_2 = 192m - 120m = 72m$ છે.
ઊર્જાની બચતની ટકાવારી $\frac{E_1 - E_2}{E_1} \times 100 = \frac{72m}{192m} \times 100 = 37.5\% \approx 38\%$ છે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કરેલા કાર્યની બરાબર હોય છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કરેલું કાર્ય
$mgh = \int \mu N ds$
અહીં ખૂણો $\theta$ નાનો હોવાથી,લંબબળ $N \approx mg \cos \theta \approx mg$ લઈ શકાય.
તેથી,$mgh = \mu mg s$
$s = \frac{h}{\mu} = \frac{1 \ cm}{0.01} = \frac{0.01 \ m}{0.01} = 1 \ m$.
આમ,કણે કાપેલું કુલ અંતર $1 \ m$ છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન અને સંઘાત પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = M V_0 \hat{i} + m V_0 \hat{j}$ છે.
સંઘાત પછી,કણો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને $(M + m)$ દળનો એક પદાર્થ બને છે જે $\vec{V}'$ વેગથી ગતિ કરે છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{P}_f = (M + m) \vec{V}'$ છે.
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ લેતા:
$M V_0 \hat{i} + m V_0 \hat{j} = (M + m) \vec{V}'$.
તેથી,અંતિમ વેગ $\vec{V}' = \frac{M V_0 \hat{i} + m V_0 \hat{j}}{M + m} = \frac{M \hat{i} + m \hat{j}}{M + m} V_0$ થશે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 0.18 \ kg$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 2 \ N/m$,ઘર્ષણ ગુણાંક $\mu = 0.1$,સ્થાનાંતર $x = 0.06 \ m$,પ્રારંભિક વેગ $V = N/10 \ m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તમામ બળો દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$
$-(\mu mg)x - \frac{1}{2}kx^2 = 0 - \frac{1}{2}mV^2$
કિંમતો મૂકતા:
$-(0.1 \times 0.18 \times 10 \times 0.06) - \frac{1}{2} \times 2 \times (0.06)^2 = -\frac{1}{2} \times 0.18 \times V^2$
$-(0.0108) - (0.0036) = -0.09 V^2$
$-0.0144 = -0.09 V^2$
$V^2 = \frac{0.0144}{0.09} = 0.16$
$V = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m/s$
આપેલ છે કે $V = N/10$,તેથી $0.4 = N/10 \implies N = 4$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ટુકડા પર થતું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{total} = \Delta K$.
અહીં,કુલ કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય $(W_g)$ અને ઘર્ષણ જેવા અસંરક્ષી બળો વડે થતું કાર્ય $(W_{nc})$ નો સરવાળો છે.
ટુકડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે સ્થિર થાય છે,તેથી $\Delta K = 0$.
$W_g + W_{nc} = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય $W_g = mg \Delta h$ છે,જ્યાં $\Delta h$ એ શિરોલંબ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે $m = 1 \ kg$,$g = 9.8 \ m/s^2$,અને $\Delta h = 0.2 \ m$.
$W_g = 1 \times 9.8 \times 0.2 = 1.96 \ J$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1.96 + W_{nc} = 0$.
તેથી,$W_{nc} = -1.96 \ J$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં $x$ મીટર જેટલું સંકોચન થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ સ્પ્રિંગ બળ અને ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલા કાર્યના સરવાળા જેટલો હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ (મહત્તમ સંકોચન સમયે).
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = -\frac{1}{2} k x^2$.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -f_k x = -15x$.
$W_{net} = \Delta K$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $0 - 16 = -\frac{1}{2} (10,000) x^2 - 15x$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $5000x^2 + 15x - 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-15 + \sqrt{15^2 - 4(5000)(-16)}}{2(5000)} = \frac{-15 + \sqrt{225 + 320000}}{10000} \approx \frac{-15 + 565.8}{10000} \approx 0.055 \ m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $x = 0.055 \times 100 = 5.5 \ cm$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_A v_A + m_B v_B$
આપેલ છે: $m_A = 200 \ g = 0.2 \ kg$,$m_B = 400 \ g = 0.4 \ kg$,$v_A = 0.3 \ m/s$.
દડા એકબીજાની તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,$A$ નો વેગ ધન $(v_A = 0.3 \ m/s)$ અને $B$ નો વેગ ઋણ $(v_B)$ લઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન = $(0.2 \times 0.3) + (0.4 \times v_B)$.
અથડામણ પછી બંને દડા સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી અંતિમ વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0.06 + 0.4 v_B = 0$
$0.4 v_B = -0.06$
$v_B = -\frac{0.06}{0.4} = -0.15 \ m/s$.
આમ,દડા $B$ નો વેગ $-0.15 \ m/s$ છે.

(D) એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ટ્રેનની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)$
આપેલ છે: $m = 3 \times 10^6 \ kg$,$v_1 = 5 \ m/s$,$v_2 = 25 \ m/s$,$t = 5 \ minutes = 300 \ s$.
$W = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^6) \times (25^2 - 5^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^6 \times (625 - 25)$
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^6 \times 600 = 900 \times 10^6 \ J$.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{900 \times 10^6 \ J}{300 \ s} = 3 \times 10^6 \ W$.
$1 \ MW = 10^6 \ W$ હોવાથી,પાવર $3 \ MW$ થાય.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{gravity} + W_{friction} = \Delta K$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને સમક્ષિતિજ સપાટી પર સ્થિર થાય છે,તેથી $\Delta K = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mgh$ છે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -f \cdot S = -\mu N \cdot S = -\mu mg \cdot S$ છે.
સરવાળો શૂન્ય લેતા: $mgh - \mu mgS = 0$.
$mg$ વડે ભાગતા: $h - \mu S = 0$.
$S$ માટે ઉકેલતા: $S = \frac{h}{\mu}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1.0}{0.20} = 5 \ m$.

(B) ક્ષિતિજ સમાંતર દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mv = MV + m(v/2)$
જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછી તરત જ ટુકડાનો વેગ છે.
$MV = mv - mv/2 = mv/2$
$V = mv / 2M$
હવે,ટુકડો $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય ત્યારે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(1/2)MV^2 = Mgh$
$h = V^2 / 2g$
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = (mv / 2M)^2 / 2g = (m^2v^2 / 4M^2) / 2g = m^2v^2 / 8M^2g$

(C) ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે,ઊંચાઈ $h = 12 \ m$ છે અને તે ઊંચાઈએ વેગ $v = 12 \ m/s$ છે. ધારો કે $g = 10 \ m/s^2$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,માણસ દ્વારા આપવામાં આવેલી કુલ ઊર્જા એ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E_1 = mgh + \frac{1}{2}mv^2$
$E_1 = m(10)(12) + \frac{1}{2}m(12)^2 = 120m + 72m = 192m$
બીજા કિસ્સામાં,માણસ દડાને એવી રીતે ફેંકે છે કે તે શૂન્ય વેગ સાથે માત્ર $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે:
$E_2 = mgh = m(10)(12) = 120m$
બચત થયેલી ઊર્જા $\Delta E = E_1 - E_2 = 192m - 120m = 72m$ છે.
બચત થયેલી ઊર્જાની ટકાવારી:
$\text{Percentage} = \left( \frac{\Delta E}{E_1} \right) \times 100 = \left( \frac{72m}{192m} \right) \times 100 = \left( \frac{3}{8} \right) \times 100 = 37.5\% \approx 38\%$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W_{gravity} + W_{friction} + W_{spring} = \Delta KE = 0$ (કારણ કે બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે પણ સ્થિર થાય છે).
ધારો કે સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન $x$ છે.
બ્લોક દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $(0.5 + x) \ m$ છે.
$W_{gravity} = mg(0.5 + x) \sin 30^\circ = 2 \times 10 \times (0.5 + x) \times 0.5 = 10(0.5 + x) = 5 + 10x$.
$W_{friction} = -\mu N (0.5 + x) = -\mu mg \cos 30^\circ (0.5 + x) = -0.3 \times 2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times (0.5 + x) = -3\sqrt{3}(0.5 + x) \approx -2.598 - 5.196x$.
$W_{spring} = -\frac{1}{2}kx^2 = -\frac{1}{2} \times 4000 \times x^2 = -2000x^2$.
કુલ કાર્યનો સરવાળો: $(5 + 10x) - (2.598 + 5.196x) - 2000x^2 = 0$.
$2.402 + 4.804x - 2000x^2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $2000x^2 - 4.804x - 2.402 = 0$ ને ઉકેલતા:
$x = \frac{4.804 + \sqrt{(4.804)^2 - 4(2000)(-2.402)}}{2(2000)} \approx 0.03587 \ m \approx 35.87 \ mm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $34.67 \ mm$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 1200 \ kg$,ઝડપ $v = 10 \ m/s$,તણાવ $f = 1000 \ N$.
ભાગ $1$: સમતલ રસ્તા પર દળ પર વપરાતો પાવર:
$P = f \times v = 1000 \ N \times 10 \ m/s = 10^4 \ W$.
ભાગ $2$: ઢાળ પર ગતિ કરતી વખતે તણાવ:
$6 \ m$ લંબાઈમાં $1 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢાળ માટે,$\sin \theta = \frac{1}{6}$.
ઢાળ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરવા માટે,જરૂરી બળ $F$ એ તણાવ $f$ અને ઢાળની દિશામાં વજનના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$F = f + Mg \sin \theta$
$F = 1000 \ N + (1200 \ kg \times 9.8 \ m/s^2 \times \frac{1}{6})$
$F = 1000 \ N + (200 \times 9.8) \ N$
$F = 1000 \ N + 1960 \ N = 2960 \ N$.

(D) ઉડયનનો સમય $T = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1 \ s$ છે.
ધારો કે સંઘાત પછી દડાનો વેગ $v_b$ અને ગોળીનો વેગ $v_u$ છે.
દડા માટે: $20 = v_b \times T \implies v_b = 20 \ m/s$.
ગોળી માટે: $100 = v_u \times T \implies v_u = 100 \ m/s$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m_{bullet} V = m_{ball} v_b + m_{bullet} v_u$
$0.01 \times V = 0.2 \times 20 + 0.01 \times 100$
$0.01 V = 4 + 1$
$0.01 V = 5$
$V = 500 \ m/s$.

(A) અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_1 = (m + M) v'$
$v' = \frac{m v_1}{m + M} \quad \dots(i)$
અથડામણ પછી બ્લોક-ગોળી તંત્ર માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} (m + M) (v')^2 = (m + M) gh$
$(v')^2 = 2gh$
$v' = \sqrt{2gh} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $v'$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{2gh} = \frac{m v_1}{m + M}$
$v_1 = \frac{m + M}{m} \sqrt{2gh}$

(A) જ્યારે મણકો $A$ ઉપરથી નીચે સરકીને $B$ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = m_1 g (2R)$
$\therefore v_1^2 = 4gR \implies v_1 = \sqrt{4gR} \quad ... (1)$
અથડામણ બાદ મણકો $A$ સ્થિર થઈ જતો હોવાથી,તેનું તમામ વેગમાન મણકા $B$ ને મળે છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\therefore v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1 = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{4gR} \quad ... (2)$
અથડામણ બાદ,મણકો $B$ કેન્દ્ર $O$ ની ઊંચાઈએ પહોંચે છે,જે $R$ જેટલું ઊર્ધ્વ સ્થાનાંતર છે. તેની ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_2 g R$
$\therefore v_2^2 = 2gR \implies v_2 = \sqrt{2gR}$
સમીકરણ $(2)$ માં $v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\sqrt{2gR} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{4gR}$
$\therefore \frac{m_1}{m_2} = \frac{\sqrt{2gR}}{\sqrt{4gR}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) અને $B$ વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $m(9) = m(v_A) + 2m(v_B) \implies 9 = v_A + 2v_B \dots(i)$
સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e=1$ લેતા: $v_B - v_A = e(u_A - u_B) = 1(9 - 0) = 9 \implies v_B - v_A = 9 \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $3v_B = 18 \implies v_B = 6 \ m/s$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેના સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $(2m)(v_B) + m(0) = (2m + m)v_f$
$2m(6) = 3m(v_f)$
$12m = 3m(v_f)$
$v_f = 4 \ m/s$.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot u = -1 \cdot 2 + 5 \cdot v \implies 5v - 2 = u \quad \dots (i)$
સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે પુનઃપ્રસ્થાપન ગુણાંક $e=1$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$1 = \frac{v - (-2)}{u} \implies v + 2 = u \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \; ms^{-1}$
$u = 1 + 2 = 3 \; ms^{-1}$
વિકલ્પોની ચકાસણી:
$(A)$ તંત્રનું કુલ વેગમાન $= 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \; kg \; ms^{-1}$. આ વિધાન સાચું છે.
$(B)$ સંઘાત પછી $5 \; kg$ દળનું વેગમાન $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \; kg \; ms^{-1}$.
$(C)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા $0.05 \; J$ નથી.
$(D)$ તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot u^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3^2 = 4.5 \; J$.

(D) અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતાં:
$m u = (M + m) v$
આપેલ છે: $m = 10^{-2} \ kg$,$u = 2 \times 10^2 \ m/s$,$M = 1 \ kg$.
$10^{-2} \times (2 \times 10^2) = (1 + 10^{-2}) v$
$2 = 1.01 v \Rightarrow v = \frac{2}{1.01} \approx 1.98 \ m/s$
હવે,સંયુક્ત તંત્રની ગતિ ઊર્જા ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચતા સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} (M + m) v^2 = (M + m) gh$
$h = \frac{v^2}{2g}$
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતાં:
$h = \frac{(2/1.01)^2}{2 \times 9.8} = \frac{3.92}{19.6} \approx 0.2 \ m$

(C) આકૃતિ પરથી,શિરોલંબ બળો સંતુલિત છે:
$F \sin \theta + N = Mg$
$N = Mg - F \sin \theta$
પદાર્થને ખેંચવા માટે જરૂરી સમક્ષિતિજ બળ ઘર્ષણ બળ $f$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$F \cos \theta = f = \mu N$
$F \cos \theta = \mu (Mg - F \sin \theta)$
$F$ માટે પદ ગોઠવતા:
$F \cos \theta = \mu Mg - \mu F \sin \theta$
$F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu Mg$
$F = \frac{{\mu Mg}}{{\cos \theta + \mu \sin \theta}}$
$d$ જેટલા અંતર માટે પદાર્થ પર થતું કાર્ય $W$:
$W = F \cdot d = \frac{{\mu Mgd}}{{\cos \theta + \mu \sin \theta}}$

(A) $(1)$ લાગુ પાડેલા બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W_f = F \cdot s = 60 \times 5 = 300 \ J$.
$(2)$ સ્થિતિ ઊર્જા $U = mgh = 5 \times 9.8 \times 5 = 245 \ J$.
$(3)$ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી કાર્ય જેટલો હોય છે: $K = W_{net} = W_f + W_g = 300 - 245 = 55 \ J$.
$(4)$ ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$55 = \frac{1}{2} \times 5 \times v^2$. તેથી,$v^2 = \frac{55 \times 2}{5} = 22$. આમ,$v = \sqrt{22} \approx 4.69 \ m/s$.

(C) $P$ બિંદુ આગળ (જે વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્રની સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે),કેન્દ્રગામી બળ લંબબળ $N$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. આપેલ છે કે કેન્દ્રગામી બળ $mg$ છે,તેથી:
$\frac{mv_P^2}{R} = mg$
$\therefore v_P^2 = Rg$
સૌથી નીચેના બિંદુ $L$ અને બિંદુ $P$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}mv_P^2 + mgR$
$v_P^2 = Rg$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}m(Rg) + mgR = \frac{3}{2}mgR$
$v_L^2 = 3gR$
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા બિંદુ $L$ આગળ બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv_L^2$
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m(3gR)$
$kx^2 = 3mgR$
$x = \sqrt{\frac{3mgR}{k}}$

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રયુક્ત બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_F = F \times S = 25 \,N \times 10 \,m = 250 \,J$.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -f_k \times S = -(\mu \,mg) \times S$.
$W_f = -(0.2 \times 5 \,kg \times 10 \,m/s^2) \times 10 \,m = -10 \,N \times 10 \,m = -100 \,J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_F + W_f = 250 \,J - 100 \,J = 150 \,J$.
તેથી,બ્લોક દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $150 \,J$ છે.

(A) પગલું $1$: કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ઢાળના તળિયે બ્લોકનો વેગ શોધો.
$v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$a = g \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s^2$,અને $s = 2 \, m$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \times 5 \times 2 = 20 \, m^2/s^2$.
પગલું $2$: ખરબચડી સપાટી પર કાપેલું અંતર શોધો.
ક્ષૈતિજ સપાટી પર,ઘર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રતિપ્રવેગ $a' = \mu g = 0.25 \times 10 = 2.5 \, m/s^2$ છે.
$v_f^2 = v^2 - 2a'S$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$ (અંતિમ વેગ શૂન્ય છે):
$0 = 20 - 2 \times 2.5 \times S$.
$5S = 20 \implies S = 4 \, m$.

(A) કુલ કાર્ય એ સમક્ષિતિજ સપાટી પર થયેલ કાર્ય અને ઊંચાઈ પર લઈ જતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્યનો સરવાળો છે.
$1$. સમક્ષિતિજ સપાટી પર થયેલ કાર્ય $(W_1)$:
$W_1 = F \times s = 8 \ N \times 1 \ m = 8 \ J$
$2$. બ્લોકને ઊંચકવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $(W_2)$:
$W_2 = mgh = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 2 \ m = 20 \ J$
$3$. કુલ કાર્ય $(W_{total})$:
$W_{total} = W_1 + W_2 = 8 \ J + 20 \ J = 28 \ J$

(D) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F$ એ બે લંબ બળોના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે: $F = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = F / m = 5 \ N / 10 \ kg = 0.5 \ m/s^2$ થાય.
સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ કરીને $t = 10 \ s$ સમય પછીનો વેગ $v = u + at = 0 + (0.5 \ m/s^2)(10 \ s) = 5 \ m/s$ મળે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 10 \ kg \times (5 \ m/s)^2 = 5 \times 25 = 125 \ J$ થાય.

(D) પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = 10\; kg\; m/s$ છે. બળ $F = 0.2\; N$ એ $t = 10\; s$ સમય માટે લાગે છે.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = F \times t$ છે.
$P_2 - P_1 = F \times t$
$P_2 = P_1 + F \times t = 10 + (0.2 \times 10) = 10 + 2 = 12\; kg\; m/s$.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_2 - K_1 = \frac{P_2^2}{2m} - \frac{P_1^2}{2m} = \frac{1}{2m} (P_2^2 - P_1^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta K = \frac{1}{2 \times 5} (12^2 - 10^2) = \frac{1}{10} (144 - 100) = \frac{44}{10} = 4.4\; J$.

(B) ધારો કે ચેઈનની કુલ લંબાઈ $L = 2 \ m$ છે અને તેનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
જ્યારે ચેઈનનો અડધો ભાગ કિનારી પર લટકે છે,ત્યારે લટકતી લંબાઈ $l = L/2 = 1 \ m$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની કિનારીથી $h_1 = l/2 = 0.5 \ m$ નીચે છે.
ટેબલ પર રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કિનારીથી $h_2 = (L-l)/2 = 0.5 \ m$ અંતરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $PE_i + KE_i = PE_f + KE_f$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE_i = -(M/2)g(l/2) + (M/2)g(0) = -MgL/8$.
જ્યારે આખી ચેઈન ટેબલ છોડે ત્યારે અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કિનારીથી $L/2$ નીચે હોય): $PE_f = -Mg(L/2) = -MgL/2$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta PE = PE_i - PE_f = -MgL/8 - (-MgL/2) = 3MgL/8$.
આ ફેરફાર અંતિમ ગતિ ઉર્જા જેટલો હોય છે: $1/2 M v^2 = 3MgL/8$.
$v^2 = 3gL/4 = 3(10)(2)/4 = 15$.
$v = \sqrt{15} \approx 3.87 \ m/s$,જે આશરે $4 \ m/s$ છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m_1 v_1 = 1 \times 0.4 = 0.4 \ kg \cdot m/s$ એ x-અક્ષની દિશામાં છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ દડો y-અક્ષની દિશામાં $p_{1f} = 1 \times 0.3 = 0.3 \ kg \cdot m/s$ વેગમાન સાથે ગતિ કરે છે.
ધારો કે બીજા દડાનું વેગમાન $\vec{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j}$ છે.
x-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$p_{ix} = p_{1fx} + P_x \implies 0.4 = 0 + P_x \implies P_x = 0.4 \ kg \cdot m/s$.
y-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$p_{iy} = p_{1fy} + P_y \implies 0 = 0.3 + P_y \implies P_y = -0.3 \ kg \cdot m/s$.
બીજા દડાના વેગમાનનું મૂલ્ય:
$P = \sqrt{P_x^2 + P_y^2} = \sqrt{(0.4)^2 + (-0.3)^2} = \sqrt{0.16 + 0.09} = \sqrt{0.25} = 0.5 \ kg \cdot m/s$.

(A) $1$. અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ (ધારો કે ગોળી બ્લોકમાં ખૂંપી જાય છે):
$mv = (m + M)V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછી તરત જ ગોળી અને બ્લોકનો સામાન્ય વેગ છે.
$2$. અથડામણ પછી,સંયુક્ત તંત્ર $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}(m + M)V^2 = (m + M)gh$
$V^2 = 2gh$
$V = \sqrt{2gh}$
$3$. વેગમાનના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$mv = (m + M)\sqrt{2gh}$
$v = \frac{m + M}{m}\sqrt{2gh}$

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું વેગમાન અને અથડામણ પછીનું વેગમાન સમાન હોય છે.
$mv + M(0) = m(v/2) + MV$
$mv = mv/2 + MV$
$MV = mv/2$
$V = mv / 2M$
અહીં,$V$ એ ગોળી પસાર થયા પછી તરત જ લાકડાના બ્લોકનો વેગ છે.
ત્યારબાદ બ્લોક $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે,જ્યાં તેની ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$1/2 MV^2 = Mgh$
$h = V^2 / 2g$
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = (mv / 2M)^2 / 2g$
$h = (m^2v^2 / 4M^2) / 2g$
$h = m^2v^2 / 8M^2g$

(B) ખોરાકમાંથી મળતી કુલ ઊર્જા $E = 10^5 \ calories$ છે.
$1 \ calorie = 4.2 \ J$ હોવાથી,જૂલમાં ઊર્જા $E = 10^5 \times 4.2 \ J = 4.2 \times 10^5 \ J$ થશે.
માણસની કાર્યક્ષમતા $28\%$ છે,તેથી થયેલું ઉપયોગી કાર્ય $W$ એ કુલ ઊર્જાના $28\%$ છે:
$W = 0.28 \times 4.2 \times 10^5 \ J = 1.176 \times 10^5 \ J$.
$h$ ઊંચાઈ સુધી ચઢવા માટે કરેલું કાર્ય સ્થિતિઊર્જાના સૂત્ર $W = mgh$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $m = 60 \ kg$ અને $g = 9.8 \ m/s^2$ છે.
કાર્યને સરખાવતા: $60 \times 9.8 \times h = 1.176 \times 10^5$.
$588 \times h = 117600$.
$h = \frac{117600}{588} = 200 \ m$.

(C) બ્લોક પર કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય $W_{total} = 300\, J$ છે.
આ કાર્ય બ્લોકની સ્થિતિ ઊર્જા વધારવા અને ઘર્ષણનો સામનો કરવા માટે વપરાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 2\, kg \times 10\, m/s^2 \times 10\, m = 200\, J$.
ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_f)$ એ કુલ કાર્ય અને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલા કાર્ય વચ્ચેનો તફાવત છે:
$W_f = W_{total} - \Delta U$
$W_f = 300\, J - 200\, J = 100\, J$.

(D) પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ નીચે મુજબ છે: $K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (20)^2 = 200\,J$.
હવાના ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = 200\,J$.
$m = 1\,kg$ અને $g = 10\,m/s^2$ નો ઉપયોગ કરતા,સૈદ્ધાંતિક મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{200}{1 \times 10} = 20\,m$ મળે છે.
જોકે,હવાના ઘર્ષણને કારણે પદાર્થ માત્ર $h' = 18\,m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.
આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિઊર્જા $U_f = mgh' = 1 \times 10 \times 18 = 180\,J$ છે.
હવાના ઘર્ષણને કારણે વ્યય થયેલી ઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને અંતિમ સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta E = K_i - U_f = 200\,J - 180\,J = 20\,J$.

(D) ધારો કે અથડામણ પછી ગોળા $A$ નો વેગ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $v'$ છે.
$x$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_2 v = m_1 v' \cos \theta + m_2(0)$
$m_1 v' \cos \theta = m_2 v \quad ... (i)$
$y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$0 = m_1 v' \sin \theta + m_2 \left(\frac{v}{2}\right)$
$m_1 v' \sin \theta = -\frac{m_2 v}{2} \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{m_1 v' \sin \theta}{m_1 v' \cos \theta} = \frac{-m_2 v / 2}{m_2 v}$
$\tan \theta = -\frac{1}{2}$
$\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ જે $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.

(B) ધારો કે $2m$ દળ ધરાવતા ત્રીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}'$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન,$\vec{P}_i = 0$ (કારણ કે પદાર્થ સ્થિર છે).
અંતિમ વેગમાન,$\vec{P}_f = m v \hat{i} + m v \hat{j} + 2m \vec{v}'$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$.
$0 = m v \hat{i} + m v \hat{j} + 2m \vec{v}'$.
$\vec{v}' = -\frac{v}{2} \hat{i} - \frac{v}{2} \hat{j}$.
$v'$ નું મૂલ્ય $v' = \sqrt{(-\frac{v}{2})^2 + (-\frac{v}{2})^2} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
વિસ્ફોટને કારણે ઉત્પન્ન થતી કુલ ગતિઊર્જા એ ત્રણેય ટુકડાઓની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) (v')^2$.
$K.E. = m v^2 + m (\frac{v}{\sqrt{2}})^2$.
$K.E. = m v^2 + m (\frac{v^2}{2}) = \frac{3}{2} m v^2 = 1.5 m v^2$.

(D) ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે,ઊંચાઈ $h = 20 \, m$ છે,અને જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાંનો વેગ $v$ છે.
નીચેની ગતિ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 + 2gh \quad ... (i)$
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે તેની ગતિ ઉર્જાના $50\%$ ગુમાવે છે. બાકી રહેલી ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4}mv^2$ છે.
આ બાકી રહેલી ઉર્જા દડાને તે જ ઊંચાઈ $h$ સુધી પાછા ફરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે:
$\frac{1}{4}mv^2 = mgh$
$v^2 = 4gh$
$v^2 = 4gh$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$4gh = v_0^2 + 2gh$
$v_0^2 = 2gh$
$v_0 = \sqrt{2gh}$
અહીં $g = 10 \, m/s^2$ અને $h = 20 \, m$ આપેલ છે:
$v_0 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.

(B) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 10\, g = 0.01\, kg$
ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 400\, m s^{-1}$
બ્લોકનું દળ,$M = 2\, kg$
બ્લોકની ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ,$h = 10\, cm = 0.1\, m$
ધારો કે અથડામણ પછી તરત જ બ્લોકની ઝડપ $v_1$ છે અને બ્લોકમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ગોળીની ઝડપ $v$ છે.
અથડામણ પછી બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} M v_1^2 = Mgh$
$v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4\, m s^{-1}$
($g = 9.8\, m s^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા).
અથડામણ દરમિયાન તંત્ર (ગોળી + બ્લોક) માટે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mu = Mv_1 + mv$
$0.01 \times 400 = 2 \times 1.4 + 0.01 \times v$
$4 = 2.8 + 0.01v$
$0.01v = 1.2$
$v = 120\, m s^{-1}$

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$,ઊંચાઈ $h = 1\,km = 1000\,m$,અંતિમ વેગ $v = 50\,m s^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m s^{-2}$.
$(i)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_g)$: $W_g = mgh = 10^{-3} \times 10 \times 1000 = 10\,J$.
(ii) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_g + W_r = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
કિંમતો મૂકતા: $10 + W_r = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (50)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 2500 = 1.25\,J$.
તેથી,$W_r = 1.25 - 10 = -8.75\,J$.

(D) જ્યારે $m_2$ સ્થિર હોય ત્યારે $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે:
$1$. જો $m_1 \gg m_2$ હોય,તો $m_2$ નો અંતિમ વેગ $v_2 = \frac{2m_1}{m_1+m_2} u_1 \approx 2u_1$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે કારણ કે તે $4u_1$ હોવાનો દાવો કરે છે.
$2$. ત્રાંસા સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં જ્યાં $m_1 = m_2$ હોય અને $m_2$ સ્થિર હોય,ત્યારે સંઘાત પછી બંને દડાઓ એકબીજાને $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ પણ ખોટો છે કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાનો દાવો કરે છે.
$3$. આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને ખોટા વિધાનો હોવાથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.