Elastic Collision Questions in Hindi

(D) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,टक्कर के बाद पहले पिंड $(m_1 = m)$ का वेग $(v_1)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
यहाँ $m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$u_1 = v$,और $u_2 = 0$ दिया गया है:
$v_1 = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right) v + 0 = \left( \frac{-m}{3m} \right) v = -\frac{v}{3}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_i)$ = $\frac{1}{2} mv^2$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE_f)$ = $\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m \left( -\frac{v}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{v^2}{9} \right) = \frac{1}{18} mv^2$
$KE_i$ और $KE_f$ का अनुपात:
$\frac{KE_i}{KE_f} = \frac{\frac{1}{2} mv^2}{\frac{1}{18} mv^2} = \frac{1/2}{1/18} = \frac{18}{2} = 9$
अतः,अनुपात $9 : 1$ है।

(A) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाली दो वस्तुओं के बीच आमने-सामने की प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,वस्तुएं अपने वेगों की अदला-बदली कर लेती हैं।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ हैं,और अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$,जो सरल होकर $u_1 + u_2 = v_1 + v_2$ हो जाता है।
समान द्रव्यमान के लिए प्रत्यास्थ टक्कर के गुण के अनुसार: $v_1 = u_2$ और $v_2 = u_1$ होता है।
यहाँ अंतिम वेग $v_1 = +3\,m/s$ और $v_2 = -2\,m/s$ दिए गए हैं।
इसलिए,प्रारंभिक वेग $u_1 = v_2 = -2\,m/s$ और $u_2 = v_1 = +3\,m/s$ होंगे।

(C) $1$. ब्लॉक $A$ और ब्लॉक $B$ के बीच पहली प्रत्यास्थ टक्कर के दौरान:
$V_A = \left(\frac{M-m}{M+m}\right)u$
$V_B = \left(\frac{2M}{M+m}\right)u$
$2$. टक्कर के बाद,ब्लॉक $B$ ब्लॉक $C$ की ओर बढ़ता है और स्प्रिंग को संपीड़ित करता है। अधिकतम संपीड़न के समय,ब्लॉक $B$ और $C$ के वेग समान हो जाते हैं (मान लें कि यह वेग $v$ है)।
$3$. ब्लॉक $B$ और $C$ के निकाय के लिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m V_B = (m + m)v$
$m \left(\frac{2M}{M+m}\right)u = 2mv$
$v = \left(\frac{M}{M+m}\right)u$
$4$. ब्लॉक $A$ के सापेक्ष ब्लॉक $C$ का वेग:
$V_{CA} = V_C - V_A = v - V_A$
$V_{CA} = \left(\frac{M}{M+m}\right)u - \left(\frac{M-m}{M+m}\right)u$
$V_{CA} = \left(\frac{M - M + m}{M+m}\right)u = \left(\frac{m}{M+m}\right)u$

(B) समान द्रव्यमान वाले पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,यदि आने वाले पिंडों की संख्या बाहर जाने वाले पिंडों की संख्या के बराबर है,तो टकराने वाला पिंड स्थिर हो जाता है और अपना वेग स्थिर पिंड को स्थानांतरित कर देता है।
यहाँ,$2$ गेंदें $v$ वेग से गति कर रही हैं और $6$ समान स्थिर गेंदों की पंक्ति से टकराती हैं।
रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$2$ आने वाली गेंदें स्थिर हो जाएंगी और पंक्ति के दाईं ओर से $2$ गेंदें समान वेग $v$ के साथ बाहर निकलेंगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
यद्यपि निकाय की कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है,लेकिन टक्कर के दौरान ऊर्जा के आदान-प्रदान के कारण व्यक्तिगत कणों की गतिज ऊर्जा बदल सकती है।
इसलिए,दोनों कणों की कुल गतिज ऊर्जा ही वह राशि है जो संरक्षित रहती है।

(A) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाली दो वस्तुओं के बीच आमने-सामने की प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,वेगों का आदान-प्रदान हो जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ हैं,और अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
समान द्रव्यमान वाली एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के गुणों के अनुसार,$v_1 = u_2$ और $v_2 = u_1$ होता है।
यहाँ अंतिम वेग $v_1 = +3 \, m/s$ और $v_2 = -2 \, m/s$ दिए गए हैं।
इसलिए,प्रारंभिक वेग $u_1 = v_2 = -2 \, m/s$ और $u_2 = v_1 = +3 \, m/s$ होने चाहिए।
अतः,मूल वेग $-2 \, m/s$ और $+3 \, m/s$ हैं।

(C) लिफ्ट से टकराने से ठीक पहले गेंद की गति $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
$g = 9.8\, m/s^2$ और $h = 10\, m$ लेने पर,हमें $v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14\, m/s$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि नीचे की दिशा धनात्मक है। टक्कर से पहले गेंद का वेग $u_1 = 14\, m/s$ है और लिफ्ट का वेग $u_2 = 1\, m/s$ है।
चूंकि लिफ्ट का द्रव्यमान गेंद के द्रव्यमान से बहुत अधिक है $(M_{lift} \gg M_{ball})$,यह टक्कर प्रभावी रूप से $u_2$ वेग से गतिमान एक स्थिर दीवार के साथ प्रत्यास्थ टक्कर है।
टक्कर के बाद गेंद का वेग $v_1$,सूत्र $v_1 = 2u_2 - u_1$ (जमीन के सापेक्ष) द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_1 = 2(1) - 14 = 2 - 14 = -12\, m/s$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गेंद $12\, m/s$ की गति से ऊपर की ओर बढ़ रही है।

(D) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के बाद पहले पिंड का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{1} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) u_{1} + \frac{2 m_{2} u_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
यहाँ $m_{1} = m$,$m_{2} = 2m$,$u_{1} = v$,और $u_{2} = 0$ है:
$v_{1} = \left(\frac{m - 2m}{m + 2m}\right) v + \frac{2(2m)(0)}{3m} = \left(\frac{-m}{3m}\right) v = -\frac{v}{3}$
पहले पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $KE_{i} = \frac{1}{2} mv^{2}$
पहले पिंड की अंतिम गतिज ऊर्जा: $KE_{f} = \frac{1}{2} m\left(-\frac{v}{3}\right)^{2} = \frac{1}{2} m \left(\frac{v^{2}}{9}\right) = \frac{KE_{i}}{9}$
$KE_{i}$ और $KE_{f}$ का अनुपात:
$\frac{KE_{i}}{KE_{f}} = \frac{KE_{i}}{KE_{i}/9} = 9$
अतः,अनुपात $9 : 1$ है।

(B) माना $m_1$ भारी पिंड का द्रव्यमान है और $m_2$ छोटी वस्तु का द्रव्यमान है। दिया गया है कि $m_1 \gg m_2$ है।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और पिंड $m_1$ बहुत भारी है,इसलिए यह टक्कर के बाद भी अपने प्रारंभिक वेग $u_1 = 30\, m/s$ से गति करना जारी रखता है।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $e = 1$ होता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक का सूत्र $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ है,जहाँ $u_1 = 30\, m/s$,$u_2 = 0$,$v_1 = 30\, m/s$,और $v_2 = v$ है।
मान रखने पर: $1 = \frac{v - 30}{30 - 0}$।
$1 = \frac{v - 30}{30} \Rightarrow v - 30 = 30 \Rightarrow v = 60\, m/s$।

(A) मान लीजिए $v_{1}$ टक्कर से ठीक पहले का वेग है और $v_{2}$ टक्कर के ठीक बाद का वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$h$ ऊँचाई से गिरने वाली वस्तु का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
टक्कर से ठीक पहले वेग: $v_{1} = \sqrt{2gh_{1}} = \sqrt{2 \times g \times 10}$.
टक्कर के ठीक बाद वेग: $v_{2} = \sqrt{2gh_{2}} = \sqrt{2 \times g \times 2.5}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\sqrt{2gh_{1}}}{\sqrt{2gh_{2}}} = \sqrt{\frac{h_{1}}{h_{2}}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{10}{2.5}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,वेगों का अनुपात $2$ है।

(B) मान लीजिए टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $u_1$ है और लिफ्ट का वेग $u_2$ है।
$1$. टक्कर से पहले गेंद का वेग ज्ञात करें:
$v^2 - u^2 = 2gh$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0$,$g=10\,m/s^2$,और $h=5\,m$:
$u_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10\,m/s$ (नीचे की ओर)।
$2$. निर्देशांक प्रणाली निर्धारित करें:
ऊपर की दिशा को धनात्मक $(+)$ और नीचे की दिशा को ऋणात्मक $(-)$ लें।
अतः,$u_1 = -10\,m/s$ और $u_2 = +1\,m/s$।
$3$. टक्कर का विश्लेषण:
चूंकि लिफ्ट गेंद से बहुत भारी है $(m_{lift} \gg m_{ball})$,इसलिए प्रत्यास्थ टक्कर $(e=1)$ के बाद लिफ्ट का वेग अपरिवर्तित रहेगा।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए सापेक्ष वेग सूत्र का उपयोग करते हुए: $v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2)$।
चूंकि $v_2 = u_2 = 1\,m/s$ है:
$v_1 - 1 = -1(-10 - 1)$
$v_1 - 1 = -1(-11)$
$v_1 - 1 = 11$
$v_1 = 12\,m/s$।
परिणाम धनात्मक है,इसलिए गेंद $12\,m/s$ के वेग से ऊपर की ओर उछलेगी।

(A) $1$. सबसे पहले,ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करके टक्कर से ठीक पहले गोले का वेग ज्ञात करें। निलंबन ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा नीचे गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
$2$. दिए गए $h = 1\,m$ और $g = 10\,m/s^2$ के लिए,वेग $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 1} = \sqrt{20}\,m/s$ है।
$3$. समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = 0.1\,kg)$ के दो पिंडों के बीच टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है। समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर में,पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
$4$. चूंकि गोले का वेग $v$ था और ब्लॉक विरामावस्था में था,इसलिए टक्कर के बाद गोला रुक जाता है और ब्लॉक $v$ वेग से गति करने लगता है।
$5$. टक्कर के बाद ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (\sqrt{20})^2 = 0.05 \times 20 = 1\,J$ है।

(C) सम्मुख प्रत्यास्थ टक्कर में,$m_1$ द्रव्यमान की वस्तु से $m_2$ द्रव्यमान की वस्तु (जो प्रारंभ में स्थिर है) में स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2}$
यहाँ,$m_1 = m$ और $m_2 = nm$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{4(m)(nm)}{(m + nm)^2}$
$f = \frac{4nm^2}{m^2(1 + n)^2}$
$f = \frac{4n}{(1 + n)^2}$

(D) माना प्रोटॉन का प्रारंभिक वेग $u$ है और टक्कर के बाद प्रोटॉन और कण के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं। माना प्रोटॉन प्रारंभिक दिशा के साथ $\theta$ कोण पर गति करता है, तो कण $(90^\circ - \theta)$ कोण पर गति करता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक दिशा में ($x$-अक्ष): $mu = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \cos(90^\circ - \theta) = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta$ ...$(i)$
लंबवत दिशा में ($y$-अक्ष): $0 = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \sin(90^\circ - \theta) = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta$ ...$(ii)$
समीकरण $(ii)$ से, $Mv_2 \cos \theta = mv_1 \sin \theta$, इसलिए $Mv_2 = mv_1 \tan \theta$.
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है, गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$
$mu^2 = mv_1^2 + Mv_2^2$ ...$(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(mu)^2 = (mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta)^2 + (mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta)^2$
$m^2u^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$ ...$(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर:
$m(mv_1^2 + Mv_2^2) = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m^2v_1^2 + m M v_2^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m M v_2^2 = M^2v_2^2$
$m = M$
अतः, अज्ञात कण का द्रव्यमान $m$ है।

(C) $m_1$ द्रव्यमान का कण जो $u_1$ वेग से गति कर रहा है और $m_2$ द्रव्यमान का कण जो स्थिर है $(u_2 = 0)$,उनके बीच टक्कर के बाद पहले कण का अंतिम वेग $v_1$ इस प्रकार है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
पहले कण द्वारा संरक्षित गतिज ऊर्जा का अंश:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_1 u_1^2} = \left( \frac{v_1}{u_1} \right)^2 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ दिया गया है:
$\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right)^2 = \left( \frac{-m}{3m} \right)^2 = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$
गतिज ऊर्जा में होने वाली हानि का अंश:
$\frac{\Delta K}{K_i} = 1 - \frac{K_f}{K_i} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
ऊर्जा में प्रतिशत हानि:
$\text{प्रतिशत हानि} = \frac{8}{9} \times 100 \approx 88.89\% \approx 90\%$

(C) छोटे कोणों के लिए,$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ होता है। निम्नतम बिंदु पर $m$ द्रव्यमान के गोलक का वेग $v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta_0)} \approx \sqrt{2gl(\frac{\theta_0^2}{2})} = \theta_0 \sqrt{gl}$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,गोलक $v'$ वेग से वापस उछलता है और $\theta_1$ कोण तक पहुँचता है,इसलिए $v' = \theta_1 \sqrt{gl}$ होगा।
स्थिर $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक के साथ प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद गोलक $m$ का वेग $v' = \left( \frac{m - M}{m + M} \right)v$ होता है।
चूंकि गोलक वापस उछलता है,इसलिए इसका वेग प्रारंभिक दिशा के सापेक्ष ऋणात्मक है,अतः $v' = -\theta_1 \sqrt{gl}$ होगा।
इस प्रकार,$-\theta_1 \sqrt{gl} = \left( \frac{m - M}{m + M} \right) \theta_0 \sqrt{gl}$।
$-\theta_1 = \frac{m - M}{m + M} \theta_0 \implies -\theta_1(m + M) = \theta_0(m - M)$।
$-m\theta_1 - M\theta_1 = m\theta_0 - M\theta_0$।
$M(\theta_0 - \theta_1) = m(\theta_0 + \theta_1)$।
$M = m\left( \frac{\theta_0 + \theta_1}{\theta_0 - \theta_1} \right)$।

(D) मान लीजिए अल्फा-कण का प्रारंभिक वेग $v_0$ है और इसका अंतिम वेग $-v_1$ है (क्योंकि यह पीछे की ओर प्रकीर्णित होता है)।
मान लीजिए नाभिक का द्रव्यमान $M$ है और इसका अंतिम वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv_0 = -mv_1 + Mv_2$ --- $(1)$
$1$-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के गुण के अनुसार:
$v_0 = v_1 + v_2$ --- $(2)$
$(2)$ से,$v_1 = v_0 - v_2$। इस मान को $(1)$ में रखने पर:
$mv_0 = -m(v_0 - v_2) + Mv_2$
$mv_0 = -mv_0 + mv_2 + Mv_2$
$2mv_0 = (m + M)v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{2mv_0}{m + M}$
अल्फा-कण की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv_1^2$ है।
यह दिया गया है कि यह अपनी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i = \frac{1}{2}mv_0^2)$ का $64\%$ खो देता है,इसलिए शेष गतिज ऊर्जा $K_i$ का $36\%$ है:
$K_f = 0.36 K_i \Rightarrow \frac{1}{2}mv_1^2 = 0.36 \times \frac{1}{2}mv_0^2$
$v_1^2 = 0.36 v_0^2 \Rightarrow v_1 = 0.6 v_0$
प्रत्यास्थ टक्कर में अंतिम वेग के सूत्र का उपयोग करने पर: $v_1 = \left( \frac{m - M}{m + M} \right) v_0$ (जहाँ $v_1$,$v_0$ की दिशा में है)।
चूंकि यह पीछे की ओर प्रकीर्णित होता है,$v_1 = -0.6 v_0$,इसलिए $\frac{m - M}{m + M} = -0.6$.
$m - M = -0.6m - 0.6M$
$1.6m = 0.4M \Rightarrow M = 4m$.

(B) माना $2\,kg$ द्रव्यमान वाले पिंड का प्रारंभिक वेग $v_0$ है और अंतिम वेग $v_0/4$ है। माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m$ है और उसका अंतिम वेग $v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$2v_0 = 2(v_0/4) + mv$
$2v_0 = v_0/2 + mv$
$mv = 3v_0/2$ --- $(1)$
चूंकि टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है,इसलिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ है:
$e = (v_{2} - v_{1}) / (u_{1} - u_{2}) = 1$
$v - v_0/4 = v_0 - 0$
$v = v_0 + v_0/4 = 5v_0/4$
$v$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$m(5v_0/4) = 3v_0/2$
$m = (3/2) * (4/5) = 12/10 = 1.2\,kg$.

(A) एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,विराम अवस्था में स्थित कण $(m_2)$ से टकराने वाले पहले कण $(m_1)$ का अंतिम वेग $v_1$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
यहाँ $m_1 = m$,$m_2 = 2m$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m u_1^2$ दी गई है।
टक्कर के बाद पहले कण की अंतिम गतिज ऊर्जा $E'$ होगी:
$E' = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right)^2 u_1^2$
$E' = \left( \frac{-m}{3m} \right)^2 \left( \frac{1}{2} m u_1^2 \right)$
$E' = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 E = \frac{1}{9} E$
अतः,टक्कर के बाद पहले कण की गतिज ऊर्जा $\frac{E}{9}$ होगी।

(D) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक पिंड प्रारंभ में विराम अवस्था में होता है,टक्कर के बाद पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
चूंकि गोलक $A$ और गोलक $B$ का द्रव्यमान समान है और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए गोलक $A$ अपना पूरा वेग गोलक $B$ को स्थानांतरित कर देता है।
परिणामस्वरूप,टक्कर के तुरंत बाद गोलक $A$ विराम अवस्था में आ जाता है और गोलक $B$ उस वेग से गति करना शुरू कर देता है जो टक्कर से ठीक पहले गोलक $A$ के पास था।

(C) न्यूटन का प्रत्यावस्थान का नियम कहता है कि प्रत्यावस्थान गुणांक $e$,पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग का अनुपात है।
$e = \frac{\text{पृथक्करण का सापेक्ष वेग}}{\text{दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग}}$
दिए गए चित्र से,प्रभाव से ठीक पहले वेग $u_1 = 3u$ और $u_2 = u$ हैं।
इसलिए,दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग $u_1 - u_2 = 3u - u = 2u$ है।
प्रभाव के ठीक बाद के वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
इसलिए,पृथक्करण का सापेक्ष वेग $v_2 - v_1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = \frac{v_2 - v_1}{2u}$
$e \times 2u = v_2 - v_1$

(B) $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए,संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$
$m_{1}(u_{1} - v_{1}) = m_{2}(v_{2} - u_{2})$ $...(i)$
गतिज ऊर्जा $(KE)$ संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$
$m_{1}(u_{1}^{2} - v_{1}^{2}) = m_{2}(v_{2}^{2} - u_{2}^{2})$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$u_{1} + v_{1} = v_{2} + u_{2}$
$(u_{1} - u_{2}) = (v_{2} - v_{1})$
$\frac{v_{2} - v_{1}}{u_{1} - u_{2}} = 1$
यह अनुपात प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ है। पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए,$e = 1$ होता है। परिभाषा के अनुसार,'प्रत्यास्थ' और 'पूर्णतः प्रत्यास्थ' शब्द एक ही भौतिक प्रक्रिया को संदर्भित करते हैं जिसमें संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।

(A) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो पहली टक्कर से ठीक पहले उसका वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ होता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ के साथ पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = ev_0 = e\sqrt{2gh}$ हो जाता है।
पहली उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = ev_1 = e^2\sqrt{2gh}$ हो जाता है।
दूसरी उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ है।
सामान्य तौर पर,$n$ उछालों के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = e^{2n}h$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ के लिए,ऊँचाई $h_2 = e^{2(2)}h = e^4h$ होगी।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
माना $m_1 = 5\, kg$ पहले पिंड का द्रव्यमान है और $u_1 = 10\, m/s$ उसका प्रारंभिक वेग है।
माना $m_2 = 20\, kg$ दूसरे पिंड का द्रव्यमान है और $u_2 = 0\, m/s$ उसका प्रारंभिक वेग है।
टक्कर के बाद,पहला पिंड विराम अवस्था में आ जाता है,इसलिए $v_1 = 0\, m/s$ है।
माना $v_2$ दूसरे पिंड का अंतिम वेग है।
संरक्षण का समीकरण: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ है।
मान रखने पर: $(5 \times 10) + (20 \times 0) = (5 \times 0) + (20 \times v_2)$।
$50 + 0 = 0 + 20 v_2$।
$50 = 20 v_2$।
$v_2 = \frac{50}{20} = 2.5\, m/s$।

(A) जब समान द्रव्यमान की दो वस्तुएं पूर्णतः प्रत्यास्थ सम्मुख (head-on) टक्कर करती हैं,तो वे अपने वेगों का आदान-प्रदान कर लेती हैं।
मान लीजिए कि चारों गेंदों का द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = m$ है।
पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $v_1 = 0.4\, m/s$ है,और अन्य गेंदें विराम अवस्था में हैं $(v_2 = v_3 = v_4 = 0)$।
$1$. गेंद $1$ और गेंद $2$ के बीच टक्कर: गेंद $1$ विराम में आ जाती है,और गेंद $2$ $0.4\, m/s$ का वेग प्राप्त कर लेती है।
$2$. गेंद $2$ और गेंद $3$ के बीच टक्कर: गेंद $2$ विराम में आ जाती है,और गेंद $3$ $0.4\, m/s$ का वेग प्राप्त कर लेती है।
$3$. गेंद $3$ और गेंद $4$ के बीच टक्कर: गेंद $3$ विराम में आ जाती है,और गेंद $4$ $0.4\, m/s$ का वेग प्राप्त कर लेती है।
अतः,अंतिम गेंद का वेग $0.4\, m/s$ है।

(B) माना कि पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 2 \ kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_1$ है। माना कि दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2$ है,जो प्रारंभ में विराम अवस्था में है $(u_2 = 0)$।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,पहले पिंड का अंतिम वेग $v_1$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
प्रश्न के अनुसार,पहला पिंड अपनी मूल गति के एक-चौथाई वेग से मूल दिशा में गति करना जारी रखता है,इसलिए $v_1 = \frac{u_1}{4}$।
$v_1$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{u_1}{4} = \left( \frac{2 - m_2}{2 + m_2} \right) u_1$
$\frac{1}{4} = \frac{2 - m_2}{2 + m_2}$
$2 + m_2 = 4(2 - m_2)$
$2 + m_2 = 8 - 4m_2$
$5m_2 = 6$
$m_2 = \frac{6}{5} = 1.2 \ kg$।

(B) दो कणों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर की अल्प अवधि के दौरान कणों के बीच आवेगी बल कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,आवेगी बल प्रत्येक व्यक्तिगत कण के संवेग को बदल देता है।
हालाँकि,पूरे निकाय के लिए,आवेगी बल आंतरिक बल होते हैं।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,किसी भी बाहरी बल की अनुपस्थिति में निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
इसलिए,आवेगी बल निकाय के कुल संवेग को नहीं बदल सकता है।

(B) माना भारी पिंड का द्रव्यमान $M$ है और हल्के पिंड का द्रव्यमान $m = M/2$ है। भारी पिंड का प्रारंभिक वेग $u_1 = 6\,ms^{-1}$ है और हल्के पिंड का वेग $u_2 = 0$ है।
एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,दूसरे पिंड (हल्के पिंड) का अंतिम वेग $v_2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_2 = \frac{2M_1 u_1}{M_1 + M_2} + \frac{(M_2 - M_1) u_2}{M_1 + M_2}$
$M_1 = M$,$M_2 = M/2$,$u_1 = 6$,और $u_2 = 0$ रखने पर:
$v_2 = \frac{2M(6)}{M + M/2} + 0$
$v_2 = \frac{12M}{1.5M} = \frac{12}{1.5} = 8\,ms^{-1}$.

(C) माना प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है और दूसरी गेंद विरामावस्था $(0)$ में है।
निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mu^2$ है।
दो समान द्रव्यमानों के बीच अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = \frac{1}{4}m(1-e^2)u^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा में हानि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $\frac{1}{4}$ है:
$\Delta KE = \frac{1}{4} KE_i = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mu^2) = \frac{1}{8}mu^2$.
$\Delta KE$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{4}m(1-e^2)u^2 = \frac{1}{8}mu^2$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{4}mu^2$ से विभाजित करने पर:
$1-e^2 = \frac{1}{2}$.
$e^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) जब समान द्रव्यमान वाले दो कण आमने-सामने की पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर करते हैं,तो वे अपने वेग का आदान-प्रदान करते हैं।
इस परिदृश्य में,दो गतिशील गेंदें स्थिर पंक्ति की पहली गेंद से टकराती हैं। चूंकि द्रव्यमान समान हैं और टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है,इसलिए संवेग और गतिज ऊर्जा श्रृंखला के माध्यम से स्थानांतरित हो जाते हैं।
पहली गतिशील गेंद अपना वेग $V$ पहली स्थिर गेंद को स्थानांतरित करती है,जो फिर इसे अगली गेंद को स्थानांतरित करती है,और इसी तरह,जब तक वेग पंक्ति के अंत तक नहीं पहुंच जाता।
चूंकि दो आने वाली गेंदें हैं,यह प्रक्रिया दोनों के लिए होती है। परिणामस्वरूप,पंक्ति के दाईं ओर की दो गेंदें $V$ की गति से आगे बढ़ेंगी,जबकि शेष गेंदें स्थिर हो जाएंगी।

(B) माना न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m$ है। तो परमाणु का द्रव्यमान $Am$ होगा।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $mu + Am(0) = mv_1 + Amv_2$, जो सरल होकर $u = v_1 + Av_2$ (समीकरण $1$) हो जाता है।
प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है, इसलिए $v_2 - v_1 = u$ (समीकरण $2$) प्राप्त होता है।
समीकरण $2$ से, $v_2 = u + v_1$। इस मान को समीकरण $1$ में रखने पर:
$u = v_1 + A(u + v_1) = v_1 + Au + Av_1 = v_1(1 + A) + Au$।
$v_1(1 + A) = u - Au = u(1 - A)$।
$v_1 = u \frac{1 - A}{1 + A}$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mu^2$ है।
टक्कर के बाद न्यूट्रॉन की अंतिम गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m \left( u \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2$ होगी।
$E' = \left( \frac{1}{2}mu^2 \right) \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2 = E \left( \frac{A - 1}{A + 1} \right)^2$।

(D) एक प्रत्यास्थ संघट्ट में,पूरी प्रक्रिया के दौरान कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है,लेकिन संघट्ट के दौरान गतिज ऊर्जा अस्थायी रूप से प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है और फिर वापस गतिज ऊर्जा में आ जाती है। इसलिए,संपर्क समय के दौरान गतिज ऊर्जा स्थिर नहीं रहती है,अतः $Assertion$ गलत है।
$Reason$ भी गलत है क्योंकि ऊर्जा संरक्षण का नियम एक सार्वभौमिक नियम है; घर्षण के विरुद्ध व्यय की गई ऊर्जा ऊष्मा या ध्वनि में परिवर्तित हो जाती है,और निकाय की कुल ऊर्जा (ऊष्मा/ध्वनि सहित) संरक्षित रहती है।

(A) प्रत्यास्थ टक्कर में,गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है,इसलिए गेंद विपरीत दिशा में समान वेग $u$ के साथ वापस लौटती है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,सतह द्वारा लगाया गया बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
एक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(u - (-u)) = 2mu$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $n$ गेंदें टकराती हैं,इसलिए प्रति सेकंड संवेग में कुल परिवर्तन $n \times 2mu = 2mnu$ है।
अतः,सतह द्वारा अनुभव किया गया बल $F = 2mnu$ है।
$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$ यह बताता है कि प्रत्येक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $2mu$ क्यों होता है।

(A) दो प्रत्यास्थ पिंडों की टक्कर के दौरान,पिंडों में विरूपण (deformation) होता है।
जैसे-जैसे पिंड विरूपित होते हैं,कणों के बीच की अंतर-आणविक दूरी कम हो जाती है,जिससे निकाय की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहनी चाहिए।
चूंकि टक्कर के विरूपण चरण के दौरान प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है,इसलिए इस परिवर्तन की भरपाई के लिए निकाय की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ कम होनी चाहिए।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या करता है।

(B) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए जहाँ पिंड $B$ प्रारंभ में विराम अवस्था में है,पिंड $A$ का अंतिम वेग $v_1$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u$
$m_1 = 4m$ और $m_2 = 2m$ रखने पर:
$v_1 = \left( \frac{4m - 2m}{4m + 2m} \right) u = \left( \frac{2m}{6m} \right) u = \frac{u}{3}$
पिंड $A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}(4m)u^2 = 2mu^2$ है।
पिंड $A$ की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(4m)v_1^2 = \frac{1}{2}(4m)\left(\frac{u}{3}\right)^2 = \frac{2mu^2}{9}$ है।
पिंड $A$ द्वारा खोई गई ऊर्जा $\Delta K = K_i - K_f = 2mu^2 - \frac{2mu^2}{9} = \frac{16mu^2}{9}$ है।
खोई गई ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{16mu^2 / 9}{2mu^2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$ है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m \vec{u}_A + m \vec{u}_B = m \vec{v}_A + m \vec{v}_B$
यहाँ $m = 0.1 \; kg$,$\vec{u}_A = 3 \hat{i} \; ms^{-1}$,$\vec{u}_B = 5 \hat{j} \; ms^{-1}$,और $\vec{v}_A = 4(\hat{i} + \hat{j}) \; ms^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$0.1(3 \hat{i}) + 0.1(5 \hat{j}) = 0.1(4 \hat{i} + 4 \hat{j}) + 0.1 \vec{v}_B$
$0.1$ से भाग देने पर:
$3 \hat{i} + 5 \hat{j} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} + \vec{v}_B$
$\vec{v}_B = (3-4) \hat{i} + (5-4) \hat{j} = -\hat{i} + \hat{j} \; ms^{-1}$.
टक्कर के बाद $B$ की चाल $|\vec{v}_B| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} \; ms^{-1}$ है।
टक्कर के बाद $B$ की गतिज ऊर्जा $K_B = \frac{1}{2} m |\vec{v}_B|^2$ है।
$K_B = \frac{1}{2} (0.1) (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} (0.1) (2) = 0.1 \; J$.
चूंकि $K_B = \frac{x}{10} \; J$,इसलिए $0.1 = \frac{x}{10}$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।

$(53^{\circ})$ रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, चूंकि द्रव्यमान समान हैं $(m_{1} = m_{2})$, हमारे पास है:
$\vec{v}_{1i} = \vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f}$
वेग सदिश का उसी के साथ डॉट गुणनफल लेने पर:
$v_{1i}^{2} = (\vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f}) \cdot (\vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f})$
$v_{1i}^{2} = v_{1f}^{2} + v_{2f}^{2} + 2\vec{v}_{1f} \cdot \vec{v}_{2f}$
$v_{1i}^{2} = v_{1f}^{2} + v_{2f}^{2} + 2v_{1f}v_{2f} \cos(\theta_{1} + \theta_{2})$
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान हैं, गतिज ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:
$\frac{1}{2}m v_{1i}^{2} = \frac{1}{2}m v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m v_{2f}^{2}$
$v_{1i}^{2} = v_{1f}^{2} + v_{2f}^{2}$
$v_{1i}^{2}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$2v_{1f}v_{2f} \cos(\theta_{1} + \theta_{2}) = 0$
चूंकि $v_{1f} \neq 0$ और $v_{2f} \neq 0$, इसलिए $\cos(\theta_{1} + \theta_{2}) = 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है $\theta_{1} + \theta_{2} = 90^{\circ}$।
$\theta_{2} = 37^{\circ}$ दिया गया है, अतः:
$\theta_{1} = 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}$।
इस प्रकार, टक्कर के बाद गेंदें एक-दूसरे के समकोण पर गति करेंगी।

(B) यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक स्थिति में टक्कर से पहले और बाद में कुल संवेग स्थिर रहता है।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,एक निकाय की कुल गतिज ऊर्जा टक्कर से पहले और बाद में संरक्षित रहती है।
प्रत्येक बॉल बेयरिंग के द्रव्यमान $m$ के लिए,हम लिख सकते हैं:
टक्कर से पहले निकाय की कुल गतिज ऊर्जा:
$= \frac{1}{2} m V^{2} + \frac{1}{2}(2m)(0)^{2} = \frac{1}{2} m V^{2}$
स्थिति $(i)$:
टक्कर के बाद निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
$= \frac{1}{2} m (0)^{2} + \frac{1}{2}(2m) \left( \frac{V}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4} m V^{2}$
चूंकि $\frac{1}{4} m V^{2} \neq \frac{1}{2} m V^{2}$,इसलिए गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं है।
स्थिति $(ii)$:
टक्कर के बाद निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
$= \frac{1}{2}(2m)(0)^{2} + \frac{1}{2} m V^{2} = \frac{1}{2} m V^{2}$
चूंकि $\frac{1}{2} m V^{2} = \frac{1}{2} m V^{2}$,इसलिए गतिज ऊर्जा संरक्षित है।
स्थिति $(iii)$:
टक्कर के बाद निकाय की कुल गतिज ऊर्जा
$= \frac{1}{2}(3m) \left( \frac{V}{3} \right)^{2} = \frac{1}{6} m V^{2}$
चूंकि $\frac{1}{6} m V^{2} \neq \frac{1}{2} m V^{2}$,इसलिए गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं है।
अतः,केवल स्थिति $(ii)$ ही प्रत्यास्थ टक्कर के लिए एक संभावित परिणाम दर्शाती है।

(A) गोलक $A$ बिल्कुल भी ऊपर नहीं उठेगा।
दो समान द्रव्यमानों के बीच एक प्रत्यास्थ टक्कर में,जिसमें एक स्थिर है,जबकि दूसरा कुछ वेग से गति कर रहा है,स्थिर द्रव्यमान वही वेग प्राप्त कर लेता है,जबकि गतिमान द्रव्यमान टक्कर के तुरंत बाद स्थिर हो जाता है। इस स्थिति में,गतिमान द्रव्यमान से स्थिर द्रव्यमान में संवेग और गतिज ऊर्जा का पूर्ण स्थानांतरण होता है।
अतः,$m$ द्रव्यमान का गोलक $A$,समान द्रव्यमान के गोलक $B$ से टकराने के बाद स्थिर हो जाएगा,जबकि गोलक $B$ टक्कर के क्षण गोलक $A$ के वेग के साथ गति करेगा। चूँकि गोलक $A$ निम्नतम बिंदु पर स्थिर हो जाता है,इसलिए यह बिल्कुल भी ऊपर नहीं उठेगा।

(A) दो कठोर बिलियर्ड गेंदों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,स्थितिज ऊर्जा $V(r)$ को दो शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. जब केंद्रों के बीच की दूरी $r$,$2R$ (जहाँ $R$ प्रत्येक गेंद की त्रिज्या है) से अधिक होती है,तो गेंदें परस्पर क्रिया नहीं करती हैं,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $V(r) = 0$ होती है।
$2$. जब दूरी $r$,$2R$ से कम होती है,तो गेंदें संपर्क में होती हैं और उनमें विरूपण होता है,जिससे स्थितिज ऊर्जा में तेजी से वृद्धि होती है। संपर्क बिंदु $r = 2R$ पर,स्थितिज ऊर्जा शून्य होनी चाहिए,और $r < 2R$ के लिए,यह धनात्मक और बढ़ती हुई होनी चाहिए।
दिए गए वक्रों को देखने पर:
- वक्र $(v)$ दर्शाता है कि $r \ge 2R$ के लिए $V(r) = 0$ और $r < 2R$ के लिए $V(r) > 0$,जो परस्पर क्रिया का सही वर्णन करता है।
- वक्र $(i), (ii), (iii), (iv),$ और $(vi)$ इन भौतिक आवश्यकताओं को पूरा नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए,$(ii)$ दर्शाता है कि दूरी के साथ स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है,जो गलत है,और $(i)$ तथा $(vi)$ दर्शाते हैं कि $r > 2R$ के लिए स्थितिज ऊर्जा शून्य नहीं है।
इसलिए,वे वक्र जो प्रत्यास्थ टक्कर का वर्णन नहीं कर सकते हैं,वे $(i), (ii), (iii), (iv),$ और $(vi)$ हैं।

(N/A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं पर विचार करें जो $X$-दिशा में एक सीधी रेखा में गति कर रही हैं। मान लीजिए उनके प्रारंभिक वेग क्रमशः $v_{1i}$ और $v_{2i}$ हैं,जहाँ $v_{1i} > v_{2i}$ है।
टक्कर के बाद,मान लीजिए उनके अंतिम वेग $v_{1f}$ और $v_{2f}$ हैं। एक प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
रैखिक संवेग का संरक्षण:
$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$
$m_1(v_{1i} - v_{1f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$ ---$(1)$
गतिज ऊर्जा का संरक्षण:
$\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2$
$m_1(v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = m_2(v_{2f}^2 - v_{2i}^2)$
$m_1(v_{1i} - v_{1f})(v_{1i} + v_{1f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})(v_{2f} + v_{2i})$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$v_{1i} + v_{1f} = v_{2f} + v_{2i}$
$v_{1f} = v_{2f} + v_{2i} - v_{1i}$ ---$(3)$
समीकरण $(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$m_1(v_{1i} - (v_{2f} + v_{2i} - v_{1i})) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$
$m_1(2v_{1i} - v_{2i} - v_{2f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$
$2m_1 v_{1i} - m_1 v_{2i} - m_1 v_{2f} = m_2 v_{2f} - m_2 v_{2i}$
$2m_1 v_{1i} + (m_2 - m_1)v_{2i} = (m_1 + m_2)v_{2f}$
$v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_{2i}$
इसी प्रकार,$v_{1f}$ के लिए:
$v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_{2i}$

(A) स्थिति $1$: यदि दोनों द्रव्यमान समान हों $(m_{1} = m_{2} = m)$:
$v_{1f} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} + \left(\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{2i}$. मान लीजिए $v_{2i} = 0$,तो हमें $v_{1f} = 0$ और $v_{2f} = v_{1i}$ प्राप्त होता है। द्रव्यमान अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
स्थिति $2$: यदि $m_{2} \gg m_{1}$ (एक हल्का पिंड एक बहुत भारी स्थिर पिंड से टकराता है):
$v_{1f} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx \left(\frac{-m_{2}}{m_{2}}\right) v_{1i} = -v_{1i}$. हल्का पिंड समान चाल से वापस लौटता है।
$v_{2f} = \left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx 0$. भारी पिंड व्यावहारिक रूप से स्थिर रहता है।
स्थिति $3$: यदि $m_{1} \gg m_{2}$ (एक भारी पिंड एक हल्के स्थिर पिंड से टकराता है):
$v_{1f} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx \left(\frac{m_{1}}{m_{1}}\right) v_{1i} = v_{1i}$. भारी पिंड लगभग समान वेग से गति करना जारी रखता है।
$v_{2f} = \left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx \left(\frac{2m_{1}}{m_{1}}\right) v_{1i} = 2v_{1i}$. हल्का पिंड भारी पिंड के वेग के दोगुने वेग से गति करता है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,मान लीजिए कि $m_{1}$ द्रव्यमान की एक गेंद $X$-दिशा में $v_{1i}$ चाल से गति कर रही है और $m_{2}$ द्रव्यमान की एक स्थिर गेंद से प्रत्यास्थ टक्कर करती है।
टक्कर के बाद,ये गेंदें $X$-अक्ष के साथ $\theta_{1}$ और $\theta_{2}$ कोण बनाते हुए $v_{1f}$ और $v_{2f}$ वेग से गति करती हैं।
टक्कर में संवेग संरक्षित रहता है,इसलिए टक्कर से पहले का कुल संवेग = टक्कर के बाद का कुल संवेग।
संवेग के $X$-घटक लेने पर:
$m_{1} v_{1i} = m_{1} v_{1f} \cos \theta_{1} + m_{2} v_{2f} \cos \theta_{2} \quad \dots (1)$
संवेग के $Y$-घटक लेने पर:
$0 = m_{1} v_{1f} \sin \theta_{1} - m_{2} v_{2f} \sin \theta_{2} \quad \dots (2)$
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है:
$\frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2f}^{2} \quad \dots (3)$
यहाँ,हमारे पास तीन स्वतंत्र समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ हैं। आमतौर पर $m_{1}, m_{2}$ और $v_{1i}$ ज्ञात होते हैं,जबकि चार चर $v_{1f}, v_{2f}, \theta_{1}$ और $\theta_{2}$ अज्ञात होते हैं। सभी अज्ञात राशियों को हल करने के लिए,इन चार में से कम से कम एक राशि ज्ञात होनी चाहिए,क्योंकि तीन समीकरण केवल तीन अज्ञात राशियों का ही निर्धारण कर सकते हैं।

(N/A) हेड-ऑन टक्कर एक प्रकार की टक्कर है जहाँ टकराने वाली वस्तुओं के वेग उनके द्रव्यमान केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की दिशा में होते हैं। ऐसी टक्कर में,वस्तुएं प्रभाव से पहले और बाद में एक ही सीधी रेखा में गति करती हैं।

(B) दो समान पिंडों (द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m$) के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर के बाद पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
यदि पिंड $1$ का वेग $v_1$ है और पिंड $2$ का वेग $v_2$ है,तो टक्कर के बाद पिंड $1$ का वेग $v_2$ हो जाएगा और पिंड $2$ का वेग $v_1$ हो जाएगा।

(N/A) यदि टक्कर का अनुभव करने वाली दोनों वस्तुएं टक्कर से पहले और टक्कर के बाद एक ही सीधी रेखा में गति करती हैं,तो ऐसी टक्कर को एक-विमीय टक्कर या सम्मुख (Head-On) टक्कर कहा जाता है।

(A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,पहली वस्तु से दूसरी वस्तु में स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $\Delta K = \frac{4m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2} K_i$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K_i$ पहली वस्तु की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा है।
यह स्थानांतरण तब अधिकतम होता है जब हर $(m_1 + m_2)^2$ अंश के सापेक्ष न्यूनतम हो,जो $m_1 = m_2$ होने पर होता है।
इसलिए,जब समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुएं सम्मुख प्रत्यास्थ टक्कर करती हैं,तो वे अपने वेगों का पूर्णतः आदान-प्रदान कर लेती हैं,जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम ऊर्जा का स्थानांतरण होता है।

(C) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक पिंड प्रारंभ में स्थिर है,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{p}_1 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,$K_1 = K_1' + K_2'$,जिसका अर्थ है कि $\frac{p_1^2}{2m} = \frac{p_1'^2}{2m} + \frac{p_2'^2}{2m}$.
यह समीकरण $p_1^2 = p_1'^2 + p_2'^2$ में सरल हो जाता है।
इसे सदिश समीकरण $\vec{p}_1 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$ के साथ तुलना करने पर,यह पाइथागोरस प्रमेय $(a^2 + b^2 = c^2)$ का पालन करता है।
इसलिए,सदिश $\vec{p}_1'$ और $\vec{p}_2'$ एक-दूसरे के लंबवत होने चाहिए।
अतः,टक्कर के बाद दोनों पिंडों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।