एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के बाद दो वस्तुओं के वेग के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं पर विचार करें जो $X$-दिशा में एक सीधी रेखा में गति कर रही हैं। मान लीजिए उनके प्रारंभिक वेग क्रमशः $v_{1i}$ और $v_{2i}$ हैं,जहाँ $v_{1i} > v_{2i}$ है।
टक्कर के बाद,मान लीजिए उनके अंतिम वेग $v_{1f}$ और $v_{2f}$ हैं। एक प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
रैखिक संवेग का संरक्षण:
$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$
$m_1(v_{1i} - v_{1f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$ ---$(1)$
गतिज ऊर्जा का संरक्षण:
$\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2$
$m_1(v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = m_2(v_{2f}^2 - v_{2i}^2)$
$m_1(v_{1i} - v_{1f})(v_{1i} + v_{1f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})(v_{2f} + v_{2i})$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$v_{1i} + v_{1f} = v_{2f} + v_{2i}$
$v_{1f} = v_{2f} + v_{2i} - v_{1i}$ ---$(3)$
समीकरण $(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$m_1(v_{1i} - (v_{2f} + v_{2i} - v_{1i})) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$
$m_1(2v_{1i} - v_{2i} - v_{2f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$
$2m_1 v_{1i} - m_1 v_{2i} - m_1 v_{2f} = m_2 v_{2f} - m_2 v_{2i}$
$2m_1 v_{1i} + (m_2 - m_1)v_{2i} = (m_1 + m_2)v_{2f}$
$v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_{2i}$
इसी प्रकार,$v_{1f}$ के लिए:
$v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_{2i}$