Elastic Collision Questions in Hindi

(A) माना गतिशील पिंड का द्रव्यमान $m_1$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। स्थिर पिंड का द्रव्यमान $M_2 = n m_1$ है और उसका प्रारंभिक वेग $0$ है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,संवेग संरक्षण के नियम से:
$m_1 u = m_1 v_1 + M_2 v_2$
$m_1 u = m_1 v_1 + n m_1 v_2$
$u = v_1 + n v_2$ ... $(i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है,इसलिए:
$v_2 - v_1 = u - 0$
$v_1 = v_2 - u$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$u = (v_2 - u) + n v_2$
$2u = (n + 1) v_2$
$v_2 = \frac{2u}{n + 1}$
गतिशील पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} m_1 u^2$ है।
स्थिर पिंड में स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} M_2 v_2^2$ है।
$K_2 = \frac{1}{2} (n m_1) \left( \frac{2u}{n + 1} \right)^2 = \frac{1}{2} n m_1 \frac{4 u^2}{(n + 1)^2} = \left( \frac{1}{2} m_1 u^2 \right) \frac{4n}{(n + 1)^2}$.
स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{K_2}{K_1} = \frac{4n}{(n + 1)^2}$ है।

(A) माना कि पहली गेंद की त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm$ और दूसरी गेंद की त्रिज्या $r_2 = 4 \,cm$ है।
यह मानते हुए कि दोनों गेंदें समान घनत्व $\rho$ वाले पदार्थ से बनी हैं, द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{2}{4}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है, जिसका अर्थ है $m_2 = 8m_1$।
एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, पहली गेंद (जो शुरू में स्थिर है) का अंतिम वेग $v_1$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_1 = \left(\frac{2m_2}{m_1 + m_2}\right) u_2$, जहाँ $u_2 = 81 \,cm \,s^{-1}$ दूसरी गेंद का प्रारंभिक वेग है।
मान रखने पर:
$v_1 = \left(\frac{2(8m_1)}{m_1 + 8m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \left(\frac{16m_1}{9m_1}\right) \times 81$
$v_1 = \frac{16}{9} \times 81 = 16 \times 9 = 144 \,cm \,s^{-1}$।

(D) माना पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $u_1 = u$ है और दूसरी गेंद का वेग $u_2 = 0$ है। टक्कर के बाद, पहली गेंद का वेग $v_1 = \frac{u}{3}$ है।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है, इसलिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद पहली गेंद के वेग का सूत्र $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{u}{3} = \frac{2 - M}{2 + M} u + 0$.
$u$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{2 - M}{2 + M}$.
वज्र-गुणन करने पर: $2 + M = 3(2 - M) = 6 - 3M$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $M + 3M = 6 - 2$, जो $4M = 4$ देता है।
अतः, $M = 1 \,kg$।

(A) मान लीजिए प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m$ है। अर्ध-वृत्ताकार पथ पर $A$ और $B$ के बीच की दूरी $\pi r$ है। मान लीजिए $A$ का प्रारंभिक वेग $v_0$ है। चूंकि $A$ ने $t$ समय में $\pi r$ दूरी तय की है,इसलिए $v_0 = \frac{\pi r}{t}$ है।
पहली टक्कर के बाद,संवेग संरक्षण के नियम और प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार,$A$ और $B$ के वेग $v_A = \frac{v_0(1-e)}{2}$ और $v_B = \frac{v_0(1+e)}{2}$ हो जाते हैं।
अब गोले वृत्ताकार खांचे में एक ही दिशा में गति कर रहे हैं। उनके बीच का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_B - v_A = v_0 e$ है।
अगली बार टकराने के लिए उन्हें जो दूरी तय करनी है,वह खांचे की पूरी परिधि है,जो $2\pi r$ है।
अगली टक्कर के लिए लगा समय $t' = \frac{2\pi r}{v_{rel}} = \frac{2\pi r}{v_0 e}$ है।
$v_0 = \frac{\pi r}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t' = \frac{2\pi r}{(\pi r / t) e} = \frac{2t}{e}$ प्राप्त होता है।

(C) गेंद $A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = p^2 / (2m)$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$।
गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = p/m = \sqrt{2K/m}$ है।
टक्कर के बाद,गेंद $A$ ऋणात्मक $x$-दिशा में $K' = K/9$ गतिज ऊर्जा के साथ गति करती है।
मान लीजिए $v_1$ गेंद $A$ का अंतिम वेग है। तब $\frac{1}{2}mv_1^2 = K/9$,जिससे $v_1 = \sqrt{2K/(9m)} = \frac{1}{3}\sqrt{2K/m} = u_1/3 = p/(3m)$ प्राप्त होता है।
चूंकि टक्कर एक-आयामी है,हम रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं:
$p_{initial} = p_{final}$
$p = -mv_1 + p_B$
$p_B = p + mv_1$
$v_1 = p/(3m)$ का मान रखने पर:
$p_B = p + m(p/(3m)) = p + p/3 = 4p/3$।

(A) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाले दो पिंडों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार प्राप्त होते हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}u_2$
चूंकि $m_1 = m_2$ है,इसलिए ये समीकरण $v_1 = u_2$ और $v_2 = u_1$ में सरल हो जाते हैं।
कथन $A$ उस विशिष्ट स्थिति का वर्णन करता है जहाँ $u_2 = 0$ है,जिसके परिणामस्वरूप $v_1 = 0$ और $v_2 = u_1$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
कथन $B$ इसी सिद्धांत का सामान्य मामला है,जो भी सत्य है। अतः,दोनों कथन सही हैं।

(D) मान लीजिए कि टक्कर के बाद $m$ और $2m$ द्रव्यमान वाले पिंडों के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv + (2m)(0) = mv_1 + 2mv_2$,जो सरल होकर $v = v_1 + 2v_2$ (समीकरण $1$) हो जाता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ $u_1 = v$ और $u_2 = 0$ दिया गया है,इसलिए $e = \frac{v_2 - v_1}{v}$,जिसका अर्थ है $v_1 = v_2 - ev$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $v = (v_2 - ev) + 2v_2$.
$v(1+e) = 3v_2$,इसलिए $v_2 = \frac{v(1+e)}{3}$.
अब,$v_2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $v_1 = \frac{v(1+e)}{3} - ev = \frac{v + ev - 3ev}{3} = \frac{v(1-2e)}{3}$.
वेगों का अनुपात $v_1/v_2 = \frac{v(1-2e)/3}{v(1+e)/3} = \frac{1-2e}{1+e}$ है।

(B) माना गतिशील कण का द्रव्यमान $m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। स्थिर कण का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{n}$ है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए,हम रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करते हैं:
$mu = mv_1 + \frac{m}{n}v_2 \Rightarrow u = v_1 + \frac{v_2}{n}$ (समीकरण $1$)
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e=1$ का उपयोग करते हुए:
$v_2 - v_1 = u \Rightarrow v_1 = v_2 - u$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$u = (v_2 - u) + \frac{v_2}{n} \Rightarrow 2u = v_2(1 + \frac{1}{n}) = v_2(\frac{n+1}{n})$
$v_2 = \frac{2nu}{n+1}$
स्थिर कण को स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} m' v_2^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{n}) (\frac{2nu}{n+1})^2 = \frac{1}{2} \frac{m}{n} \frac{4n^2 u^2}{(n+1)^2} = \frac{2mnu^2}{(n+1)^2}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mu^2$ है।
स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{K'}{K} = \frac{\frac{2mnu^2}{(n+1)^2}}{\frac{1}{2} mu^2} = \frac{4n}{(n+1)^2}$ है।

(A) मान लीजिए $m_1$ का प्रारंभिक वेग $\vec{u}_1$ है और अंतिम वेग $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ हैं। चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,गतिज ऊर्जा और संवेग संरक्षित रहते हैं।
संवेग संरक्षण: $m_1 \vec{u}_1 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m_1^2 u_1^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2$.
चूंकि कण एक-दूसरे के साथ $90^{\circ}$ पर गति करते हैं,$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$,इसलिए $m_1^2 u_1^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2$.
गतिज ऊर्जा संरक्षण: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$,जिसका अर्थ है $m_1 u_1^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2$.
ऊर्जा संरक्षण से,$m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2 v_2^2$.
संवेग संरक्षण से,$m_1^2(u_1^2 - v_1^2) = m_2^2 v_2^2$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $m_1 = m_2$. अतः,अनुपात $\frac{m_2}{m_1} = 1$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
टक्कर से पहले कुल संवेग $=$ टक्कर के बाद कुल संवेग
$m_1 u + m_2(0) = m_1 \left(\frac{2u}{3}\right) + m_2 v$
$m_1 u - \frac{2}{3} m_1 u = m_2 v$
$\frac{1}{3} m_1 u = m_2 v$ --- $(i)$
चूंकि टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है,इसलिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$\frac{v - 2u/3}{u - 0} = 1$
$v - \frac{2u}{3} = u$
$v = u + \frac{2u}{3} = \frac{5u}{3}$
$v$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{1}{3} m_1 u = m_2 \left(\frac{5u}{3}\right)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{5u/3}{u/3} = 5$

(D) माना $1 \ kg$ द्रव्यमान की गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है। टक्कर के बाद,पहली गेंद $Y$-अक्ष के अनुदिश $v_1$ वेग से चलती है,और $m$ द्रव्यमान की दूसरी गेंद $X$-अक्ष के नीचे $30^{\circ}$ के कोण पर $v_2$ वेग से चलती है।
$X$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$1 \cdot u = m v_2 \cos(30^{\circ}) \implies u = m v_2 \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v_2 = \frac{2u}{m\sqrt{3}} \quad ... (1)$
$Y$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$0 = 1 \cdot v_1 - m v_2 \sin(30^{\circ}) \implies v_1 = m v_2 \sin(30^{\circ}) = m v_2 \cdot \frac{1}{2} \implies v_2 = \frac{2v_1}{m} \quad ... (2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$\frac{2u}{m\sqrt{3}} = \frac{2v_1}{m} \implies v_1 = \frac{u}{\sqrt{3}}$.
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है:
$\frac{1}{2} (1) u^2 = \frac{1}{2} (1) v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2$
$u^2 = v_1^2 + m v_2^2$
$v_1 = \frac{u}{\sqrt{3}}$ और $v_2 = \frac{2v_1}{m} = \frac{2u}{m\sqrt{3}}$ का मान रखने पर:
$u^2 = \left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)^2 + m \left(\frac{2u}{m\sqrt{3}}\right)^2$
$u^2 = \frac{u^2}{3} + m \cdot \frac{4u^2}{3m^2} = \frac{u^2}{3} + \frac{4u^2}{3m}$
$1 = \frac{1}{3} + \frac{4}{3m} \implies \frac{2}{3} = \frac{4}{3m} \implies m = 2 \ kg$.

(A) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
दिया गया है:
$u_1 = 3 \ m/s$,$u_2 = 1.5 \ m/s$
$v_1 = 2.5 \ m/s$,$v_2 = 3.5 \ m/s$
मान रखने पर:
$e = \frac{3.5 - 2.5}{3 - 1.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
अतः,प्रत्यावस्थान गुणांक लगभग $0.67$ है।

(C) समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक वस्तु प्रारंभ में स्थिर है,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम से: $\vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$.
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान हैं,गतिज ऊर्जा का संरक्षण देता है: $v_1^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2$.
इन दो समीकरणों की तुलना सदिश संबंध $\vec{v}_1^2 = (\vec{v}_1' + \vec{v}_2')^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2 + 2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2'$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $2\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2' = 0$.
इसका अर्थ है कि अंतिम वेग सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य है,जिसका तात्पर्य है कि टक्कर के बाद दोनों गेंदों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है (यदि टक्कर सम्मुख/head-on न हो)।

(A) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 5 \ kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $M$ है,जो प्रारंभ में विराम अवस्था में है $(u_2 = 0)$।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है।
टक्कर के बाद,पहले पिंड का वेग $v_1 = \frac{u}{10}$ हो जाता है। माना दूसरे पिंड का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$5u + M(0) = 5 \left(\frac{u}{10}\right) + M v_2$
$5u = \frac{u}{2} + M v_2 \quad \dots (i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के गुण का उपयोग करते हुए $(v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2))$:
$\frac{u}{10} - v_2 = -1(u - 0)$
$v_2 = \frac{u}{10} + u = \frac{11u}{10} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ से $v_2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5u = \frac{u}{2} + M \left(\frac{11u}{10}\right)$
$5 - 0.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$4.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$M = \frac{4.5 \times 10}{11} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \ kg$.

(C) एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि परिभाषा के अनुसार,प्रत्यास्थ टक्कर वह है जिसमें गतिज ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है।
कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि एक प्रत्यास्थ टक्कर के दौरान,टकराने वाली वस्तुओं के बीच ऊर्जा का आदान-प्रदान निश्चित रूप से होता है (संवेग और गतिज ऊर्जा उनके बीच स्थानांतरित होती है),भले ही निकाय की कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती हो।
इसलिए,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग बराबर होता है,क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है।
$m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B$
दिया गया है: $m_A = 20 \ kg$,$u_A = 20 \ m \ s^{-1}$,$m_B = 200 \ kg$,$u_B = 10 \ m \ s^{-1}$.
टक्कर के बाद,$v_A = -10 \ m \ s^{-1}$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में वापस उछलती है)।
मान रखने पर:
$(20 \times 20) + (200 \times 10) = (20 \times -10) + (200 \times v_B)$
$400 + 2000 = -200 + 200 v_B$
$2400 = -200 + 200 v_B$
$2600 = 200 v_B$
$v_B = 13 \ m \ s^{-1}$

(C) दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ $m_2$ प्रारंभ में स्थिर है,टक्कर के बाद दूसरे द्रव्यमान का वेग $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$ द्वारा दिया जाता है।
पहली टक्कर: द्रव्यमान $m_1 = m$,$m_2 = \frac{m}{2}$ से $v_0$ वेग से टकराता है। दूसरी गेंद का वेग $v_1$:
$v_1 = \frac{2m}{m + \frac{m}{2}} v_0 = \frac{2m}{\frac{3m}{2}} v_0 = \frac{4}{3} v_0$.
दूसरी टक्कर: द्रव्यमान $m_2 = \frac{m}{2}$,$m_3 = \frac{m}{4}$ से $v_1 = \frac{4}{3} v_0$ वेग से टकराता है। तीसरी गेंद का वेग $v_2$:
$v_2 = \frac{2(\frac{m}{2})}{\frac{m}{2} + \frac{m}{4}} v_1 = \frac{m}{\frac{3m}{4}} v_1 = \frac{4}{3} v_1 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 v_0$.
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n$-वीं गेंद के लिए,$(n-1)$ टक्करों के बाद वेग $v_{n-1}$ होगा:
$v_{n-1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} v_0$.

(B) जब स्प्रिंग अधिकतम संपीड़ित होती है,तो दोनों ब्लॉक समान वेग $v_{cm}$ से गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv + m(0) = (m + m)v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = \frac{v}{2}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,अंतिम गतिज ऊर्जा और अधिकतम संपीड़न $x$ पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)v_{cm}^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x^2 = \frac{mv^2}{2k} \Rightarrow x = v\sqrt{\frac{m}{2k}}$।