Elastic Collision Questions in Hindi

(B) टक्कर के अल्प समय के दौरान,बिलियर्ड गेंदों में विरूपण (deformation) होता है,जिससे स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का भंडारण होता है।
चूंकि विरूपण चरण के दौरान कुछ गतिज ऊर्जा $(KE)$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,इसलिए संपर्क समय के दौरान कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
हालाँकि,दो गेंदों की प्रणाली के लिए,प्रणाली पर कार्य करने वाला परिणामी बाहरी बल शून्य होता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि शुद्ध बाहरी बल शून्य है,तो टक्कर की पूरी प्रक्रिया के दौरान,संपर्क के समय सहित,प्रणाली का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।

(N/A) जब गेंद $A$ निचले बिंदु पर पहुँचती है,तो उसका वेग क्षैतिज होता है। चूँकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान हैं,इसलिए वेगों का आदान-प्रदान हो जाता है।
$(a)$ समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक पिंड विरामावस्था में हो,गतिमान पिंड रुक जाता है और स्थिर पिंड गतिमान पिंड का वेग प्राप्त कर लेता है। अतः,टक्कर के बाद गोलक $A$ निचले बिंदु पर रुक जाएगा। वह ऊँचाई जिस तक यह ऊपर उठेगा,$0\,m$ है।
$(b)$ वह गति जिससे गोलक $B$ चलना शुरू करता है,उस गति के बराबर है जिससे गोलक $A$,गोलक $B$ से टकराता है। गोलक $A$ के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,जब यह $h = 1\,m$ की ऊँचाई से नीचे गिरता है:
$v = \sqrt{2gh}$
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1}$
$v = \sqrt{19.6} \approx 4.43\,m/s$.

(C) प्रत्यास्थ टक्कर में,कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। हालाँकि,प्रश्न में टकराने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा में हुई हानि पूछी गई है। मान लीजिए कि पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_1 = v$ है। दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 2m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
टक्कर के बाद,पहले पिंड का अंतिम वेग $v_1$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$.
मान रखने पर: $v_1 = \frac{m - 2m}{m + 2m} v + 0 = \frac{-m}{3m} v = -v/3$.
पहले पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 1/2 \ mv^2$ है।
पहले पिंड की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 1/2 \ m(v_1)^2 = 1/2 \ m(-v/3)^2 = 1/2 \ m(v^2/9) = 1/18 \ mv^2$ है।
टकराने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = 1/2 \ mv^2 - 1/18 \ mv^2$ है।
$\Delta K = (9/18 - 1/18) \ mv^2 = 8/18 \ mv^2 = 4/9 \ mv^2$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$
$m(u\hat{i}) + 3m(0) = m(v\hat{j}) + 3m\vec{v}_1$
$m(u\hat{i} - v\hat{j}) = 3m\vec{v}_1$
$\vec{v}_1 = \frac{u\hat{i} - v\hat{j}}{3}$
परिमाण का वर्ग लेने पर:
$v_1^2 = \frac{u^2 + v^2}{9} \quad \dots(1)$
चूंकि टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है, इसलिए गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है:
$K_i = K_f$
$\frac{1}{2}mu^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(3m)v_1^2$
$u^2 = v^2 + 3v_1^2$
समीकरण $(1)$ को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$u^2 = v^2 + 3\left(\frac{u^2 + v^2}{9}\right)$
$u^2 = v^2 + \frac{u^2 + v^2}{3}$
$3u^2 = 3v^2 + u^2 + v^2$
$2u^2 = 4v^2$
$v^2 = \frac{u^2}{2}$
$v = \frac{u}{\sqrt{2}}$

(A) संवेग संरक्षण के नियम से:
$Mv + m \times 0 = Mv_1 + mv_2$
$\Rightarrow M(v - v_1) = mv_2 \dots (i)$
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से (चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है):
$\frac{1}{2}Mv^2 + 0 = \frac{1}{2}Mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\Rightarrow M(v^2 - v_1^2) = mv_2^2 \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{M(v - v_1)(v + v_1)}{M(v - v_1)} = \frac{mv_2^2}{mv_2}$
$v + v_1 = v_2 \dots (iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर,हल्की वस्तु का अंतिम वेग $(v_2)$:
$v_2 = \frac{2Mv}{M + m}$
चूंकि $M \gg m$,अतः $M + m \approx M$ लेने पर:
$v_2 = \frac{2Mv}{M} = 2v$.

(C) एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, पिंड $A$ का अंतिम वेग $(v_1)$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
यहाँ $m_1 = 4m$, $u_1 = u$, $m_2 = 2m$, और $u_2 = 0$ दिया गया है:
$v_1 = \left( \frac{4m - 2m}{4m + 2m} \right) u + 0 = \left( \frac{2m}{6m} \right) u = \frac{1}{3} u$
पिंड $A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} (4m) u^2 = 2mu^2$ है।
पिंड $A$ की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (4m) (\frac{1}{3} u)^2 = 2m (\frac{1}{9} u^2) = \frac{2}{9} mu^2$ है।
पिंड $A$ द्वारा खोई गई ऊर्जा $\Delta K = K_i - K_f = 2mu^2 - \frac{2}{9} mu^2 = \frac{16}{9} mu^2$ है।
खोई गई ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{16}{9} mu^2}{2mu^2} = \frac{8}{9}$ है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले निकाय का कुल संवेग टक्कर के बाद निकाय के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm}$ है।
टक्कर से पहले,कण का संवेग $p_i = mv$ है और छड़ विराम अवस्था में है $(p_{rod} = 0)$।
टक्कर के बाद,कण विराम अवस्था में आ जाता है,इसलिए इसका संवेग $0$ है। छड़ $v_{cm}$ वेग से गति करती है।
रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$mv + 0 = 0 + Mv_{cm}$
$v_{cm}$ के लिए हल करने पर:
$v_{cm} = \frac{mv}{M}$

(A) मान लीजिए कि $m_{1}$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u$ है और टक्कर के बाद $m_{1}$ और $m_{2}$ के अंतिम वेग विपरीत दिशाओं में $v$ हैं। चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ (elastic) है,हम रैखिक संवेग संरक्षण और प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) का उपयोग करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण:
$m_{1}u = m_{2}v - m_{1}v$
$m_{1}u = v(m_{2} - m_{1})$ --- $(1)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}} = \frac{v - (-v)}{u - 0} = 1$
$2v = u$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में $u = 2v$ रखने पर:
$m_{1}(2v) = v(m_{2} - m_{1})$
$2m_{1} = m_{2} - m_{1}$
$m_{2} = 3m_{1}$
$\frac{m_{2}}{m_{1}} = 3$
अतः,$m_{2} : m_{1}$ का अनुपात $3:1$ है।

(C) एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए जहाँ दूसरा पिंड शुरू में विराम अवस्था में है,दूसरे पिंड का अंतिम वेग $V_2$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_2 = \frac{2m_1 u_1}{m_1 + m_2}$
यहाँ,$m_1 = M$,$m_2 = m$,और $u_1 = u$ है। इन मानों को रखने पर:
$V_2 = \frac{2Mu}{M + m}$
शर्त $m << M$ दी गई है,इसलिए हम $M + m \approx M$ मान सकते हैं।
अतः,$V_2 \approx \frac{2Mu}{M} = 2u$।
इस प्रकार,अभिकथन $A$ सही है।
कारण $R$ बताता है कि प्रत्यास्थ टक्कर में संवेग और गतिज ऊर्जा संरक्षित रहते हैं,जो वेग समीकरणों को प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाने वाला मौलिक सिद्धांत है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है कि $\theta_{1} = \theta_{2} = \theta$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$x$-दिशा में: $M V_{0} = M V_{1} \cos \theta + m V_{2} \cos \theta$
$y$-दिशा में: $0 = M V_{1} \sin \theta - m V_{2} \sin \theta$
$y$-दिशा के समीकरण से,हमें $M V_{1} = m V_{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $V_{2} = \frac{M V_{1}}{m}$.
इसे $x$-दिशा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $M V_{0} = (M V_{1} + m \cdot \frac{M V_{1}}{m}) \cos \theta = 2 M V_{1} \cos \theta$,जिससे $V_{0} = 2 V_{1} \cos \theta$ प्राप्त होता है।
प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2} M V_{0}^{2} = \frac{1}{2} M V_{1}^{2} + \frac{1}{2} m V_{2}^{2}$
$V_{0} = 2 V_{1} \cos \theta$ और $V_{2} = \frac{M V_{1}}{m}$ का मान रखने पर:
$M (4 V_{1}^{2} \cos^{2} \theta) = M V_{1}^{2} + m (\frac{M V_{1}}{m})^{2}$
$4 M \cos^{2} \theta = M + \frac{M^{2}}{m}$
$M$ से विभाजित करने पर: $4 \cos^{2} \theta = 1 + \frac{M}{m}$
चूंकि $\cos^{2} \theta \leq 1$,इसलिए $1 + \frac{M}{m} \leq 4$,जिसका अर्थ है कि $\frac{M}{m} \leq 3$.
अतः,अनुपात $M/m$ का सबसे बड़ा संभावित मान $3$ है।

(C) माना गतिशील कण का द्रव्यमान $m_1 = m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_1 = u_0$ है।
माना स्थिर कण का द्रव्यमान $m_2 = 5m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
हेड-ऑन प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,दूसरे कण का अंतिम वेग $V_2$ इस प्रकार है:
$V_2 = \frac{2m_1 u_1}{m_1 + m_2} = \frac{2m u_0}{m + 5m} = \frac{2m u_0}{6m} = \frac{u_0}{3}$.
स्थिर कण में स्थानांतरित गतिज ऊर्जा उसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} m_2 V_2^2$ है।
$K_2 = \frac{1}{2} (5m) \left(\frac{u_0}{3}\right)^2 = \frac{5}{2} m \frac{u_0^2}{9} = \frac{5}{18} m u_0^2$.
गतिशील कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} m u_0^2$ है।
स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का प्रतिशत $\frac{K_2}{K_1} \times 100$ है।
$\frac{\frac{5}{18} m u_0^2}{\frac{1}{2} m u_0^2} \times 100 = \frac{5}{18} \times 2 \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 = 55.55\% \approx 55.5\%$.

(B) प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान,$m = 0.05\,kg$ है।
एक गेंद का प्रारंभिक वेग,$u = 10\,m/s$ है।
टकराव के बाद उसी गेंद का अंतिम वेग,$v = -10\,m/s$ है (क्योंकि यह विपरीत दिशा में वापस लौटती है)।
एक गेंद के संवेग में परिवर्तन,$\Delta P = m(v - u) = 0.05 \times (-10 - 10) = 0.05 \times (-20) = -1\,kg\cdot m/s$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta P| = 1\,kg\cdot m/s$ है।
लगाया गया औसत बल $F = \frac{|\Delta P|}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\Delta t = 0.005\,s$,इसलिए $F = \frac{1}{0.005} = \frac{1000}{5} = 200\,N$ है।

(D) चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
माना $M$ का प्रारंभिक वेग $u_1$ है,और $M$ तथा $M/2$ के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग का संरक्षण:
$M u_1 = M v_1 + (M/2) v_2$
$u_1 = v_1 + v_2/2$
$2 u_1 = 2 v_1 + v_2$ ... $(i)$
गतिज ऊर्जा का संरक्षण:
$(1/2) M u_1^2 = (1/2) M v_1^2 + (1/2) (M/2) v_2^2$
$u_1^2 = v_1^2 + v_2^2/2$
$2 u_1^2 = 2 v_1^2 + v_2^2$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से,$u_1 = (2 v_1 + v_2) / 2$. इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$2 ((2 v_1 + v_2) / 2)^2 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$2 (4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2) / 4 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$(4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2) / 2 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2 = 4 v_1^2 + 2 v_2^2$
$4 v_1 v_2 = v_2^2$
चूंकि $v_2 \neq 0$,इसलिए $v_2 = 4 v_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$M$ और $M/2$ के अंतिम वेगों का अनुपात $x = v_1 / v_2 = 1 / 4$ है।

(D) मान लीजिए कि टक्कर से ठीक पहले $m$ द्रव्यमान की गेंद का वेग $u$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम से, $\frac{1}{2}mu^2 = mgh$, अतः $u = \sqrt{2gh}$।
प्रत्यास्थ टक्कर में, गतिज ऊर्जा और रैखिक संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद गेंद का वेग (विपरीत दिशा में) $v_1$ है और ब्लॉक का वेग $v_2$ है।
संवेग संरक्षण: $mu = 2mv_2 - mv_1 \Rightarrow u = 2v_2 - v_1 \quad \dots (i)$
गतिज ऊर्जा संरक्षण: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(2m)v_2^2 \Rightarrow u^2 = v_1^2 + 2v_2^2 \quad \dots (ii)$
$(i)$ से, $2v_2 = u + v_1$। इस मान को $(ii)$ में रखने पर:
$u^2 = v_1^2 + 2\left(\frac{u+v_1}{2}\right)^2 = v_1^2 + \frac{(u+v_1)^2}{2}$
$2u^2 = 2v_1^2 + u^2 + v_1^2 + 2uv_1$
$u^2 - 2uv_1 - 3v_1^2 = 0$
$(u - 3v_1)(u + v_1) = 0$
चूँकि $v_1$ विपरीत दिशा में चाल है, इसलिए $v_1 = \frac{u}{3}$।
गेंद द्वारा प्राप्त नई ऊँचाई $h'$ का मान $mgh' = \frac{1}{2}mv_1^2$ से दिया जाता है।
$h' = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(u/3)^2}{2g} = \frac{u^2}{18g} = \frac{2gh}{18g} = \frac{h}{9}$।

(D) टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के अनुसार:
$M V = M V^{\prime} + m v \implies M(V - V^{\prime}) = m v \dots (i)$
गतिज ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} M V^{\prime 2} + \frac{1}{2} m v^2 \implies M(V^2 - V^{\prime 2}) = m v^2 \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{M(V^2 - V^{\prime 2})}{M(V - V^{\prime})} = \frac{m v^2}{m v}$
$\frac{(V - V^{\prime})(V + V^{\prime})}{(V - V^{\prime})} = v$
$V + V^{\prime} = v$
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) माना $\text{2m}$ द्रव्यमान की गेंद का वेग $\text{u}_0$ है और दो गेंदों की प्रणाली स्थिर है। प्रत्यास्थ टक्कर के बाद, माना $\text{2m}$ द्रव्यमान की गेंद का वेग $\text{v}_1$ है और $\text{m}$ द्रव्यमान की पहली गेंद का वेग $\text{v}_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $\text{2m u}_0 = \text{2m v}_1 + \text{m v}_2 \implies \text{2u}_0 = \text{2v}_1 + \text{v}_2$.
चूंकि टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ है, प्रत्यावस्थान गुणांक $\text{e} = 1 = \frac{\text{v}_2 - \text{v}_1}{\text{u}_0} \implies \text{v}_2 - \text{v}_1 = \text{u}_0$.
इन दो समीकरणों को हल करने पर: $\text{v}_2 = \text{u}_0 + \text{v}_1$. इसे संवेग समीकरण में रखने पर: $\text{2u}_0 = \text{2v}_1 + (\text{u}_0 + \text{v}_1) = \text{3v}_1 + \text{u}_0 \implies \text{3v}_1 = \text{u}_0 \implies \text{v}_1 = \frac{\text{u}_0}{3}$.
अतः $\text{v}_2 = \text{u}_0 + \frac{\text{u}_0}{3} = \frac{\text{4u}_0}{3}$.
कंपन ऊर्जा द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में दो-गेंद प्रणाली की गतिज ऊर्जा है। दो-गेंद प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र का वेग $\text{v}_{cm} = \frac{\text{m}(\text{v}_2) + \text{m}(0)}{\text{2m}} = \frac{\text{v}_2}{2} = \frac{\text{2u}_0}{3}$ है।
कंपन ऊर्जा $\text{E}_v = \frac{1}{2} \mu \text{v}_{rel}^2$, जहाँ $\mu = \frac{\text{m} \cdot \text{m}}{\text{m}+\text{m}} = \frac{\text{m}}{2}$ और $\text{v}_{rel} = \text{v}_2 - 0 = \frac{\text{4u}_0}{3}$ है।
$\text{E}_v = \frac{1}{2} \left( \frac{\text{m}}{2} \right) \left( \frac{\text{4u}_0}{3} \right)^2 = \frac{\text{m}}{4} \cdot \frac{\text{16u}_0^2}{9} = \frac{\text{4mu}_0^2}{9}$.
$\text{2m}$ द्रव्यमान की गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $\text{K}_i = \frac{1}{2} (\text{2m}) \text{u}_0^2 = \text{mu}_0^2$ है।
अनुपात $\frac{\text{E}_v}{\text{K}_i} = \frac{\text{4mu}_0^2 / 9}{\text{mu}_0^2} = \frac{4}{9}$ है।

(D) माना कण $A$ का प्रारंभिक वेग $u_A$ है और कण $B$ का वेग $0$ है। माना अंतिम वेग $v_A$ और $v_B$ हैं। दिया गया है कि वे समान चाल से विपरीत दिशाओं में गति करते हैं,इसलिए $v_A = -v$ और $v_B = v$ लें।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m_A u_A = m_A (-v) + m_B v$
$m_A u_A = (m_B - m_A) v$ --- $(1)$
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से (पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर):
$\frac{1}{2} m_A u_A^2 = \frac{1}{2} m_A (-v)^2 + \frac{1}{2} m_B v^2$
$m_A u_A^2 = (m_A + m_B) v^2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{m_A u_A^2}{m_A u_A} = \frac{(m_A + m_B) v^2}{(m_B - m_A) v}$
$u_A = \frac{(m_A + m_B) v}{(m_B - m_A)}$
$u_A$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$m_A \left[ \frac{(m_A + m_B) v}{(m_B - m_A)} \right] = (m_B - m_A) v$
$m_A (m_A + m_B) = (m_B - m_A)^2$
$m_A^2 + m_A m_B = m_B^2 - 2 m_A m_B + m_A^2$
$3 m_A m_B = m_B^2$
$3 m_A = m_B$

(B) सतह पर लगाया गया बल गेंदों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है。
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ और लंबवत है, इसलिए प्रत्येक गेंद का वेग $u$ से बदलकर $-u$ हो जाता है。
एक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(-u) - mu = -2mu$ है。
एक गेंद के लिए संवेग परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 2mu$ है。
चूंकि प्रति इकाई समय में $n$ गेंदें सतह से टकराती हैं, इसलिए संवेग परिवर्तन की कुल दर $F = n \times |\Delta p|$ है。
अतः, सतह पर लगने वाला बल $F = 2mun$ है。

(B) दो गोलों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के दौरान,आवेगी बल उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा ($SR$ रेखा) के अनुदिश कार्य करता है।
यह बल $SR$ रेखा के अनुदिश दोनों वस्तुओं के संवेग में परिवर्तन का कारण बनता है।
हालाँकि,$SR$ रेखा के लंबवत कोई आवेगी बल कार्य नहीं करता है।
इसलिए,$SR$ रेखा के लंबवत प्रत्येक वस्तु के संवेग का घटक अपरिवर्तित (संरक्षित) रहता है।
अतः,$M_1$ का संवेग $SR$ के लंबवत दिशा में संरक्षित रहता है।

(D) टक्कर से पहले गेंद के वेग को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = -u \sin \theta$ (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए क्षैतिज दिशा में कोई आवेग नहीं लगता है,इसलिए क्षैतिज वेग अपरिवर्तित रहता है: $v_x = u \cos \theta$।
ऊर्ध्वाधर दिशा में,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को अभिलंब के अनुदिश अलग होने के वेग और पास आने के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $e = \frac{v_y}{u_y}$।
इस प्रकार,टक्कर के बाद ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = e u \sin \theta$ (ऊपर की ओर) है।
सतह द्वारा गेंद पर लगाया गया आवेग $I$ गेंद के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $\vec{I} = m(\vec{v} - \vec{u})$।
चूंकि क्षैतिज संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए आवेग केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में होता है: $I = m(v_y - u_y) = m(e u \sin \theta - (-u \sin \theta)) = m u(1+e) \sin \theta$।
गेंद द्वारा सतह पर लगाए गए आवेग का परिमाण सतह द्वारा गेंद पर लगाए गए आवेग के परिमाण के बराबर होता है,जो $m u(1+e) \sin \theta$ है।

(D) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2)$ वाली दो वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक वस्तु शुरू में विराम अवस्था में हो,यदि टक्कर तिरछी है,तो दोनों वस्तुएं एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कोण पर चलती हैं,न कि विपरीत दिशाओं में। अतः,कथन $(d)$ गलत है।
$(a)$ के लिए: जब $m_1 \ll m_2$ होता है,तो संवेग का स्थानांतरण वास्तव में अधिकतम होता है।
$(c)$ के लिए: जब $m_1 = m_2$ होता है और $m_2$ विराम अवस्था में होता है,तो पहली गेंद रुक जाती है और दूसरी गेंद पहली गेंद के प्रारंभिक वेग से चलती है,जिसके परिणामस्वरूप $100\%$ गतिज ऊर्जा का स्थानांतरण होता है।

(B) एक-विमीय प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर में,पहले द्रव्यमान $m_1$ का अंतिम वेग $v_1$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1}{m_1 + m_2}$
जहाँ $u_1$ द्रव्यमान $m_1$ का प्रारंभिक वेग है और $m_2$ प्रारंभ में विराम अवस्था में है $(u_2 = 0)$।
प्रश्न के अनुसार,द्रव्यमान $m_1$ वापस लौट आता है,जिसका अर्थ है कि इसका अंतिम वेग $v_1$ इसके प्रारंभिक वेग $u_1$ की विपरीत दिशा में है। अतः,$v_1$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$v_1$ को ऋणात्मक होने के लिए,अंश $(m_1 - m_2)$ को ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $m_1 - m_2 < 0$ या $m_1 < m_2$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद ब्लॉकों के वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
प्रारंभिक संवेग = $mv + (2m)(0) = mv$.
अंतिम संवेग = $m(0) + (2m)v_2 = 2mv_2$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = 2mv_2$,जिससे $v_2 = v/2$ प्राप्त होता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के वेग और दृष्टिकोण (approach) के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
दृष्टिकोण का वेग = $v - 0 = v$.
पृथक्करण का वेग = $v_2 - 0 = v_2 = v/2$.
इसलिए,$e = \frac{v/2}{v} = 0.5$।

(B) कथन $(A)$ सत्य है। प्रत्यास्थ टक्कर की परिभाषा के अनुसार,गतिज ऊर्जा और रैखिक संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं। $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जिनके प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ तथा अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्यास्थ टक्कर के लिए $e = 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$। यह पुष्टि करता है कि टक्कर के बाद अलग होने की सापेक्ष गति,टक्कर से पहले पास आने की सापेक्ष गति के बराबर होती है।
कारण $(R)$ भी सत्य है। किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
हालाँकि,केवल रैखिक संवेग का संरक्षण यह नहीं बताता है कि सापेक्ष गति स्थिर क्यों रहती है; यह गुण प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा के संरक्षण का परिणाम है। इसलिए,कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(B) मान लीजिए $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = 3\,kg$,$u_1$ $1\,kg$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग है,और $u_2 = 0$ $3\,kg$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग है।
टक्कर के बाद,$1\,kg$ द्रव्यमान का वेग $v_1 = -2\,m/s$ है (क्योंकि यह दिशा उलट देता है)।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$1(u_1) + 3(0) = 1(-2) + 3(v_2)$
$u_1 = -2 + 3v_2 \quad \dots(1)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$1 = \frac{v_2 - (-2)}{u_1 - 0} \Rightarrow u_1 = v_2 + 2 \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ से $v_2 = u_1 - 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$u_1 = -2 + 3(u_1 - 2)$
$u_1 = -2 + 3u_1 - 6$
$2u_1 = 8$
$u_1 = 4\,m/s$.

(C) $1$. गेंद $P$ ऊंचाई $h = 20\,cm = 0.2\,m$ से नीचे फिसलती है।
$2$. ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से ठीक पहले गेंद $P$ का वेग $v_P = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. मान रखने पर: $v_P = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2\,m/s$।
$4$. चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और दोनों गेंदों का द्रव्यमान समान है,इसलिए टक्कर के बाद वेग आपस में बदल जाते हैं।
$5$. टक्कर से पहले,गेंद $P$ का वेग $v_P = 2\,m/s$ है और गेंद $Q$ स्थिर है $(v_Q = 0)$।
$6$. टक्कर के बाद,गेंद $P$ स्थिर हो जाती है $(v_P' = 0)$ और गेंद $Q$ उस वेग के साथ चलती है जो टक्कर से पहले गेंद $P$ का था $(v_Q' = v_P = 2\,m/s)$।

(B) एक प्रत्यास्थ टक्कर में, रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ हैं, और अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग का संरक्षण: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ => $m_1(u_1 - v_1) = m_2(v_2 - u_2)$ (समीकरण $1$)।
गतिज ऊर्जा का संरक्षण: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ => $m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2(v_2^2 - u_2^2)$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $u_1 + v_1 = v_2 + u_2$ => $u_1 - u_2 = v_2 - v_1$।
यह दर्शाता है कि दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग $(u_1 - u_2)$ पृथक्करण के सापेक्ष वेग $(v_2 - v_1)$ के बराबर है। अतः, $\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ भी सत्य है क्योंकि बाहरी बलों की अनुपस्थिति में किसी भी टक्कर (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है। हालाँकि, सापेक्ष गति के गुण को व्युत्पन्न करने के लिए केवल संवेग का संरक्षण पर्याप्त नहीं है; गतिज ऊर्जा का संरक्षण आवश्यक है। इसलिए, $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान है,इसलिए प्रत्येक टक्कर के बाद कणों के वेग आपस में बदल जाएंगे।
मान लीजिए कि कण समय $t$ पर बिंदु $A$ से $\theta$ कोण पर टकराते हैं।
पहले कण द्वारा तय की गई दूरी $R\theta = vt$ है।
दूसरे कण द्वारा तय की गई दूरी $R(2\pi - \theta) = 2vt$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\theta}{2\pi - \theta} = \frac{vt}{2vt} = \frac{1}{2}$।
इससे $2\theta = 2\pi - \theta$ प्राप्त होता है,इसलिए $3\theta = 2\pi$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$।
$120^{\circ}$ पर पहली टक्कर के बाद,वेग आपस में बदल जाते हैं। जिस कण की गति $v$ थी,उसकी गति अब $2v$ हो जाती है,और जिसकी गति $2v$ थी,उसकी गति $v$ हो जाती है।
वे एक-दूसरे के सापेक्ष अगले $120^{\circ}$ तय करने के बाद फिर से टकराएंगे,जो बिंदु $A$ से $240^{\circ}$ के कोण पर होता है।
इस दूसरी टक्कर के बाद,वेग फिर से बदल जाते हैं। इसके बाद कण बिंदु $A$ तक पहुँचने के लिए शेष $120^{\circ}$ की दूरी एक साथ तय करेंगे।
इस प्रकार,वे $2$ टक्करों के बाद बिंदु $A$ पर पहुँचेंगे।

(A) जब समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुएं पूर्णतः प्रत्यास्थ एक-आयामी टक्कर करती हैं,तो वे अपने वेगों का आदान-प्रदान करती हैं।
प्रारंभ में,$v_{A} = 5 \ m/s$,$v_{B} = 2 \ m/s$,और $v_{C} = 4 \ m/s$ है।
सबसे पहले,गोला $A$,गोला $B$ से टकराता है। समान द्रव्यमान होने के कारण,वे वेगों का आदान-प्रदान करते हैं: $v_{A}' = 2 \ m/s$ और $v_{B}' = 5 \ m/s$।
अब,गोला $B$ ($5 \ m/s$ के वेग से गतिमान) गोला $C$ ($4 \ m/s$ के वेग से गतिमान) से टकराता है। वे वेगों का आदान-प्रदान करते हैं: $v_{B}'' = 4 \ m/s$ और $v_{C}' = 5 \ m/s$।
इस प्रकार,अंतिम वेग $v_{A} = 2 \ m/s$,$v_{B} = 4 \ m/s$,और $v_{C} = 5 \ m/s$ हैं।
अभिकथन $(A)$ कहता है कि अंतिम वेग $4 \ m/s, 2 \ m/s, 5 \ m/s$ हैं,जो गलत है।
कारण $(R)$ एक सही भौतिक सिद्धांत है।
इसलिए,$(A)$ गलत है लेकिन $(R)$ सही है।

(B) मान लीजिए दीवार का वेग $v_w = 20 \ m/s$ (दाईं ओर,धनात्मक दिशा) है।
टक्कर से पहले गेंद का वेग $u = -10 \ m/s$ (बाईं ओर,ऋणात्मक दिशा) है।
गेंद का द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$ है।
$v_w$ वेग से गतिमान एक विशाल दीवार के साथ प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद गेंद का वेग $v = 2v_w - u$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = 2(20) - (-10) = 40 + 10 = 50 \ m/s$.
गेंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE = KE_f - KE_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$ है।
$\Delta KE = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (50^2 - (-10)^2) = 0.25 \times (2500 - 100) = 0.25 \times 2400 = 600 \ J$.

(C) दो समान द्रव्यमानों $(m_1 = m_2 = m)$ के बीच द्विविमीय पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक द्रव्यमान प्रारंभ में विरामावस्था में है,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार दोनों कणों के अंतिम वेगों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $\theta_1 = 30^{\circ}$,अतः हमारे पास संबंध $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$ है।
इसलिए,$\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) माना $2m$ द्रव्यमान के कण का प्रारंभिक वेग $v_1$ है और $2m$ तथा $m$ द्रव्यमान के कणों के अंतिम वेग क्रमशः $v_{1f}$ और $v_{2f}$ हैं,जो $\theta$ और $\phi$ कोण पर हैं।
$x$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण:
$2mv_1 = 2mv_{1f} \cos \theta + mv_{2f} \cos \phi$ ---$(i)$
$y$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण:
$0 = 2mv_{1f} \sin \theta - mv_{2f} \sin \phi \implies 2mv_{1f} \sin \theta = mv_{2f} \sin \phi$ ---(ii)
गतिज ऊर्जा संरक्षण:
$\frac{1}{2}(2m)v_1^2 = \frac{1}{2}(2m)v_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2 \implies 2v_1^2 = 2v_{1f}^2 + v_{2f}^2$ ---(iii)
$(i)$ और (ii) से,$mv_{2f} \cos \phi = 2m(v_1 - v_{1f} \cos \theta)$ और $mv_{2f} \sin \phi = 2mv_{1f} \sin \theta$.
दोनों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(mv_{2f})^2 = 4m^2(v_1^2 + v_{1f}^2 - 2v_1v_{1f} \cos \theta)$.
(iii) से $v_{2f}^2 = 2v_1^2 - 2v_{1f}^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m^2(2v_1^2 - 2v_{1f}^2) = 4m^2(v_1^2 + v_{1f}^2 - 2v_1v_{1f} \cos \theta)$.
$v_1^2 - v_{1f}^2 = 2v_1^2 + 2v_{1f}^2 - 4v_1v_{1f} \cos \theta$.
$3v_{1f}^2 - (4v_1 \cos \theta)v_{1f} + v_1^2 = 0$.
$v_{1f}$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$(4v_1 \cos \theta)^2 - 4(3)(v_1^2) \geq 0 \implies 16v_1^2 \cos^2 \theta - 12v_1^2 \geq 0$.
$\cos^2 \theta \geq \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \implies \cos \theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta$ का अधिकतम मान $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ है।

$(A)$ $\text{हेड-ऑन प्रत्यास्थ टक्कर में,पास आने का सापेक्ष वेग,दूर जाने के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।}$
$\text{मान लीजिए कि दो कणों के द्रव्यमान } m_1 \text{ और } m_2 \text{ हैं।}$
$\text{प्रारंभिक वेग } u_1 = 5 \,m/s \text{ और } u_2 = 3 \,m/s \text{ हैं।}$
$\text{अंतिम वेग } v_1 = 4 \,m/s \text{ और } v_2 = ? \text{ हैं।}$
$\text{पास आने का सापेक्ष वेग } u_1 - u_2 = 5 - 3 = 2 \,m/s \text{ है।}$
$\text{दूर जाने का सापेक्ष वेग } v_2 - v_1 = v_2 - 4 \text{ है।}$
$\text{चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,} u_1 - u_2 = v_2 - v_1$.
$\text{मान रखने पर: } 2 = v_2 - 4$.
$\text{इसलिए,} v_2 = 2 + 4 = 6 \,m/s$.
$\text{चूंकि परिणाम धनात्मक है,दूसरा कण उसी दिशा में गति करता है।}$

(B) मान लीजिए कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ है। पहले गोले का प्रारंभिक वेग $u_1 = 3u$ है और दूसरे गोले का वेग $u_2 = 0$ है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद पहले और दूसरे गोले के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m(3u) + m(0) = mv_1 + mv_2$,जो सरल होकर $v_1 + v_2 = 3u$ हो जाता है (समीकरण $1$)।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{3u - 0}$,जिससे हमें $v_2 - v_1 = 3ue$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $2v_2 = 3u(1 + e) \implies v_2 = \frac{3u(1 + e)}{2}$।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर: $2v_1 = 3u(1 - e) \implies v_1 = \frac{3u(1 - e)}{2}$।
दूसरे गोले के वेग और पहले गोले के वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{3u(1 + e) / 2}{3u(1 - e) / 2} = \frac{1 + e}{1 - e}$ है।

(A) माना $m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u$ है और $M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $0$ है。
माना टक्कर के बाद $m$ द्रव्यमान का अंतिम वेग $v_1$ है और $M$ द्रव्यमान का अंतिम वेग $v_2$ है。
दिया गया है कि टक्कर के बाद $m$ द्रव्यमान का कण रुक जाता है,इसलिए $v_1 = 0$ है。
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mu + M(0) = m(0) + Mv_2$ है。
यह $mu = Mv_2$ में सरल हो जाता है,इसलिए $v_2 = \frac{mu}{M}$ है。
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है。
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $e = \frac{\frac{mu}{M} - 0}{u - 0} = \frac{mu/M}{u} = \frac{m}{M}$ प्राप्त होता है。

(B) प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2 + 0 = \frac{1}{2} m v^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m (v/3)^2 + \frac{1}{2} m v_2'^2$,जहाँ $v_2'$ दूसरी गेंद की चाल है।
चूँकि टक्कर प्रत्यास्थ है,$K_i = K_f$.
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v^2/9) + \frac{1}{2} m v_2'^2$.
$\frac{1}{2} m$ से भाग देने पर,हमें $v^2 = \frac{v^2}{9} + v_2'^2$ प्राप्त होता है।
$v_2'^2 = v^2 - \frac{v^2}{9} = \frac{8v^2}{9}$.
अतः,$v_2' = \sqrt{\frac{8}{9}} v = \frac{2\sqrt{2}}{3} v$.

(B) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ प्राप्त होते हैं।
यहाँ दिया गया है कि टक्कर के बाद पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं,अर्थात $m_1$ अब $v_2$ वेग से और $m_2$ अब $v_1$ वेग से गति करता है। यह गुण तब संभव है जब दोनों पिंडों का द्रव्यमान समान हो।
यदि $m_1 = m_2$ है,तो प्रत्यास्थ टक्कर के बाद पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
अतः,अनुपात $\frac{m_2}{m_1} = 1$ होगा।

(C) प्रत्यास्थ टक्कर में रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v_{a}$ और $-v_{b}$ हैं (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं)।
टक्कर के बाद,वेग क्रमशः $-v_{b}$ और $v_{a}$ हो जाते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_{a}v_{a} - m_{b}v_{b} = m_{a}(-v_{b}) + m_{b}v_{a}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$m_{a}v_{a} + m_{a}v_{b} = m_{b}v_{a} + m_{b}v_{b}$
$m_{a}(v_{a} + v_{b}) = m_{b}(v_{a} + v_{b})$
चूंकि $(v_{a} + v_{b}) \neq 0$,इसलिए दोनों पक्षों को $(v_{a} + v_{b})$ से विभाजित करने पर:
$m_{a} = m_{b}$
अतः,अनुपात $\frac{m_{a}}{m_{b}} = 1$ है।

(A) स्थिर दीवार के साथ एक प्रत्यास्थ टक्कर में,अणु समान गति $v$ के साथ विपरीत दिशा में वापस लौटता है।
एक टक्कर में अणु के संवेग में परिवर्तन = $mv - (-mv) = 2mv$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,एक टक्कर में दीवार के संवेग में परिवर्तन,अणु के संवेग में परिवर्तन के बराबर और विपरीत होता है,जो $2mv$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $5$ टक्करें होती हैं,इसलिए दीवार के संवेग में प्रति सेकंड कुल परिवर्तन $5 \times 2mv = 10mv$ होगा।

(B) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और निकट आने के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा और संवेग संरक्षित रहते हैं।
ऐसी टक्कर में,पृथक्करण का सापेक्ष वेग,निकट आने के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।
इसलिए,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$।

(B) प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,टक्कर से पहले की कुल गतिज ऊर्जा टक्कर के बाद की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद दूसरे ब्लॉक की चाल $v_2$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(0)^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$.
$KE_i = KE_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\frac{1}{2}m$ से भाग देने पर:
$v^2 = v_1^2 + v_2^2$
$v_2^2 = v^2 - v_1^2$
$v_2 = \sqrt{v^2 - v_1^2}$.

(C) मान लीजिए द्रव्यमान $m_1$ का प्रारंभिक वेग $v_1$ है और द्रव्यमान $m_2$ का अंतिम वेग $v_2$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,द्रव्यमान $m_1$ का अंतिम वेग $v_1' = \frac{v_1}{1.5} = \frac{2}{3} v_1$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए,प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $e = 1$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक का सूत्र $e = \frac{v_2 - v_1'}{v_1 - 0}$ है।
मान रखने पर: $1 = \frac{v_2 - \frac{2}{3}v_1}{v_1} \implies v_2 = v_1 + \frac{2}{3}v_1 = \frac{5}{3}v_1$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2$.
वेगों के मान रखने पर: $m_1 v_1 = m_1 (\frac{2}{3} v_1) + m_2 (\frac{5}{3} v_1)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $m_1 v_1 - \frac{2}{3} m_1 v_1 = m_2 \frac{5}{3} v_1$.
$\frac{1}{3} m_1 v_1 = \frac{5}{3} m_2 v_1$.
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{1}$.

(C) $I$. एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है,जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$II$. यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$III$. टक्कर के अंतराल $\Delta t$ के दौरान,पिंड विरूपित (deform) होते हैं और गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा अस्थायी रूप से प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए,टक्कर की प्रक्रिया के दौरान गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
$\therefore$ तीनों कथन सही हैं।

(D) मान लीजिए पहले गोले का द्रव्यमान $m_1$ है और दूसरे का $m_2$ है। चूंकि दोनों स्टील के गोले हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है। अतः,$m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
इसलिए,$m_1 \propto r_1^3$ और $m_2 \propto r_2^3$.
एक विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए जहाँ दूसरा पिंड स्थिर है,पहले पिंड का अंतिम वेग $v_1'$ सूत्र $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $v_1' = \frac{7}{9} v_1$,अतः $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{7}{9}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $9m_1 - 9m_2 = 7m_1 + 7m_2$.
$2m_1 = 16m_2 \implies m_1 = 8m_2$.
चूंकि $m \propto r^3$,इसलिए $r_1^3 = 8r_2^3$.
घनमूल लेने पर: $r_1 = 2r_2$.
$r_1 = 1.2 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $1.2 = 2r_2 \implies r_2 = 0.6 \ cm$.

(A) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ के दो पिंडों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
दिया गया है:
$u_1 = 20 \ ms^{-1}$
$u_2 = -30 \ ms^{-1}$ (विपरीत दिशा में गति कर रही है)
समान द्रव्यमान की प्रत्यास्थ टक्कर के गुणधर्म के अनुसार:
$v_1 = u_2 = -30 \ ms^{-1}$
$v_2 = u_1 = 20 \ ms^{-1}$
अतः,टक्कर के बाद पहले पिंड का वेग $-30 \ ms^{-1}$ और दूसरे पिंड का वेग $20 \ ms^{-1}$ है।

(A) टक्कर से पहले और बाद में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$M(150) + 2M(-v) = M(0) + 2M(v')$ (गेंद $A$ की दिशा को धनात्मक लेने पर)
$150 - 2v = 2v'$
$v' = 75 - v \dots (1)$
अब,प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ इस प्रकार है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$1 = \frac{v' - 0}{150 - (-v)}$
$150 + v = v' \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$75 - v = 150 + v$
$2v = -75$
गति (परिमाण) ज्ञात करने पर,हमें $37.5 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) समान द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर में,कण अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं। इसलिए,आपतित कण का वेग $0$ हो जाता है और स्थिर कण $v$ वेग से गति करने लगता है।
आपतित कण के संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v - 0) = mv$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,आवेग ($F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल) संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
$\text{Area} = \Delta p = mv$.
दिए गए समलंब $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \left( \frac{3T}{4} - \frac{T}{4} \right) \right) \times F_0$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{2T}{4} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{T}{2} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3T}{2} \right) \times F_0 = \frac{3T F_0}{4}$.
क्षेत्रफल को संवेग में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{3T F_0}{4} = mv$
$F_0 = \frac{4mv}{3T}$.

(A) प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ को दो टकराने वाली वस्तुओं के बीच पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण (approach) के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{\text{पृथक्करण का सापेक्ष वेग}}{\text{दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग}}$.
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा और संवेग संरक्षित रहते हैं,जिसका अर्थ है कि पृथक्करण का सापेक्ष वेग,दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।
इसलिए,पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए $e = 1$ होता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए $e = 0$ और अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए $0 < e < 1$ होता है।

(C) प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा और कुल रैखिक संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।
इसके अतिरिक्त,सभी प्रकार की टक्करों में निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(C) दिया गया है: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$u_2 = -10 \ ms^{-1}$।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$2(10) + 4(-10) = 2v_1 + 4v_2$
$20 - 40 = 2v_1 + 4v_2$
$-20 = 2v_1 + 4v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -10 \quad \dots (i)$
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है,इसलिए पृथक्करण का वेग,दृष्टिकोण के वेग (velocity of approach) के बराबर होता है:
$v_2 - v_1 = u_1 - u_2$
$v_2 - v_1 = 10 - (-10) = 20 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = -10 + 20$
$3v_2 = 10 \Rightarrow v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$
$v_2$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{10}{3} - v_1 = 20$
$v_1 = \frac{10}{3} - 20 = \frac{10 - 60}{3} = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$
अतः,अंतिम वेग $v_1 = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$ और $v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$ हैं।