Elastic Collision Questions in Hindi

(D) दो वस्तुओं के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ $B$ प्रारंभ में स्थिर है:
$v_A' = \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) v$
$v_B' = \left( \frac{2m_A}{m_A + m_B} \right) v$
दिया गया है कि $v_B' = 1.6v$,इसलिए:
$1.6v = \left( \frac{2m_A}{m_A + m_B} \right) v \Rightarrow 1.6(m_A + m_B) = 2m_A \Rightarrow 1.6m_A + 1.6m_B = 2m_A \Rightarrow 0.4m_A = 1.6m_B \Rightarrow \frac{m_A}{m_B} = 4$
अब,$v_A'$ ज्ञात करें:
$v_A' = \left( \frac{4m_B - m_B}{4m_B + m_B} \right) v = \left( \frac{3m_B}{5m_B} \right) v = 0.6v$
$A$ से $B$ में स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का अंश $A$ की गतिज ऊर्जा में हुई कमी को उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$\text{प्रतिशत स्थानांतरित} = \frac{\frac{1}{2}m_A v^2 - \frac{1}{2}m_A (v_A')^2}{\frac{1}{2}m_A v^2} \times 100\%$
$= \left( 1 - \left( \frac{v_A'}{v} \right)^2 \right) \times 100\% = (1 - (0.6)^2) \times 100\% = (1 - 0.36) \times 100\% = 64\%$

(A) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,पहले पिंड $(m_1 = m)$ का टक्कर के बाद का वेग,जब दूसरा पिंड $(m_2 = 2m)$ प्रारंभ में विराम अवस्था $(u_2 = 0)$ में हो,इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{m - 2m}{m + 2m} v = -\frac{v}{3}$
टक्कर से पहले पहले पिंड की गतिज ऊर्जा $KE_{before} = \frac{1}{2} m v^2$ है।
टक्कर के बाद पहले पिंड की गतिज ऊर्जा $KE_{after} = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (-\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{9}$ है।
टक्कर से पहले और बाद की गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{KE_{before}}{KE_{after}} = \frac{\frac{1}{2} m v^2}{\frac{1}{2} m \frac{v^2}{9}} = 9 : 1$.

(C) चूंकि गोले चिकने हैं,इसलिए टक्कर के दौरान उनके बीच कोई स्पर्शरेखीय बल कार्य नहीं करता है।
कोई स्पर्शरेखीय बल न होने के कारण,किसी भी गोले पर कोई टॉर्क नहीं लगता है।
चूंकि कोई टॉर्क नहीं लगाया गया है,इसलिए प्रत्येक गोले का उसके अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
इसलिए,गोले $A$ का कोणीय वेग अपरिवर्तित रहता है,अतः $\omega_A = \omega$।
चूंकि गोला $B$ शुरू में स्थिर था और उस पर कोई टॉर्क नहीं लगाया गया था,इसलिए उसका कोणीय वेग $\omega_B = 0$ रहता है।

(C) चूंकि गोले चिकने हैं,इसलिए टक्कर के दौरान उनके बीच कोई स्पर्शरेखीय बल कार्य नहीं करता है।
चूंकि कोई स्पर्शरेखीय बल नहीं है,इसलिए किसी भी गोले की घूर्णी अवस्था को बदलने के लिए कोई टॉर्क नहीं लगता है।
इसलिए,गोले $A$ का कोणीय संवेग अपरिवर्तित रहता है और गोला $B$ कोई घूर्णन प्राप्त नहीं करता है।
अतः,$\omega_A = \omega$ और $\omega_B = 0$ होता है।

(C) पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए,$m_1$ द्रव्यमान का पिंड जब $m_2$ द्रव्यमान के स्थिर पिंड से टकराता है,तो खोई गई गतिज ऊर्जा का अंश इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ दिया गया है:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{4(m)(2m)}{(m + 2m)^2}$
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{8m^2}{(3m)^2} = \frac{8m^2}{9m^2} = \frac{8}{9}$
अतः,$m$ द्रव्यमान वाला पिंड अपनी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $8/9$ भाग खो देता है।

(D) दो समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाली वस्तुओं के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,टक्कर के बाद उनके वेग आपस में बदल जाते हैं।
प्रारंभिक वेग $u_1 = V$ और $u_2 = -2V$ हैं।
टक्कर के बाद,अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार होंगे:
$v_1 = u_2 = -2V$
$v_2 = u_1 = V$
अतः,टक्कर के बाद दोनों गेंदों के वेग क्रमशः $-2V$ और $V$ होंगे।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
दिया गया है:
$m_1 = 400 \ kg$,$u_1 = 72 \ km/h$
$m_2 = 4000 \ kg$,$u_2 = 9 \ km/h$
चूंकि कार वापस उछलती है,इसलिए इसका अंतिम वेग $v_1 = -18 \ km/h$ (प्रारंभिक दिशा के विपरीत) होगा।
मान रखने पर:
$400 \times 72 + 4000 \times 9 = 400 \times (-18) + 4000 \times v_2$
$28800 + 36000 = -7200 + 4000 v_2$
$64800 = -7200 + 4000 v_2$
$72000 = 4000 v_2$
$v_2 = 18 \ km/h$.

(C) एक विमीय पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,स्थिर अवस्था में रखे $m_2$ द्रव्यमान के पिंड का टक्कर के बाद का वेग $v_2$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_2 = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1$
यहाँ,$m_1 = M$,$m_2 = m$,$u_1 = u$,और $u_2 = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \left( \frac{2M}{M + m} \right) u$
दिए गए विकल्पों के अनुसार उत्तर प्राप्त करने के लिए,अंश और हर को $M$ से विभाजित करने पर:
$v = \frac{2u}{\frac{M+m}{M}} = \frac{2u}{1 + \frac{m}{M}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $1$. जब पहले गोले $(m = 0.1 \ kg)$ को $1 \ m$ लंबाई की क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$2$. टक्कर से ठीक पहले पहले गोले की गतिज ऊर्जा $K_1 = mgh = 0.1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 1 \ m = 1 \ J$ होती है।
$3$. समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक पिंड शुरू में विराम अवस्था में होता है,पिंड अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
$4$. इसलिए,पहला गोला विराम अवस्था में आ जाता है,और दूसरा गोला पहले गोले की पूरी गतिज ऊर्जा प्राप्त कर लेता है।
$5$. दूसरे गोले द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $1 \ J$ है।

(B) समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में,वस्तुएं अपने वेगों का आदान-प्रदान करती हैं।
टक्कर से पहले: कण का वेग $v$ है और गोलक विरामावस्था में है (वेग $0$)।
टक्कर के बाद: कण विरामावस्था में आ जाता है (वेग $0$) और गोलक $v$ वेग प्राप्त कर लेता है।
अब,गोलक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{v^2}{2g}$

(C) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,पहले पिंड का अंतिम वेग $v_1$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \frac{2m_2 u_2}{m_1 + m_2}$
चूंकि दूसरा पिंड स्थिर है,इसलिए $u_2 = 0$। अतः:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
दिया गया है कि अंतिम वेग $v_1 = \frac{u_1}{1.5}$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{u_1}{1.5} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
$\frac{1}{1.5} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = 1.5(m_1 - m_2)$
$m_1 + m_2 = 1.5m_1 - 1.5m_2$
$2.5m_2 = 0.5m_1$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2.5}{0.5} = 5$.

(C) एक विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ दूसरा पिंड प्रारंभ में स्थिर है,पहले पिंड $(m_1)$ की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$ का सूत्र है:
$K_f = K_i \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
यहाँ $m_1 = 8 \ kg$,$m_2 = 2 \ kg$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = E$ दी गई है।
मान रखने पर:
$K_f = E \left( \frac{8 - 2}{8 + 2} \right)^2$
$K_f = E \left( \frac{6}{10} \right)^2$
$K_f = E \left( 0.6 \right)^2$
$K_f = 0.36E$.

(A) $m_1$ द्रव्यमान वाले प्रक्षेप्य और $m_2$ द्रव्यमान वाले स्थिर लक्ष्य के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,न्यूट्रॉन द्वारा खोई गई गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta E}{E} = \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_1 = 1$ और नाभिक का द्रव्यमान $m_2 = A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta E}{E} = \frac{4(1)(A)}{(1+A)^2} = \frac{4A}{(A+1)^2}$.
यदि प्रश्न नाभिक को स्थानांतरित गतिज ऊर्जा के अंश के बारे में है,तो यह $\frac{4A}{(A+1)^2}$ है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न न्यूट्रॉन द्वारा शेष रखी गई गतिज ऊर्जा के अंश के बारे में है,तो सही विकल्प $A$ है।

(A) टक्कर प्रत्यास्थ है,जिसका अर्थ है कि रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए टक्कर के बाद दूसरे ब्लॉक की चाल $v'$ है।
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}M V^2 + 0 = \frac{1}{2}M \left( \frac{V}{3} \right)^2 + \frac{1}{2}M (v')^2$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}M$ से विभाजित करने पर:
$V^2 = \frac{V^2}{9} + (v')^2$
$(v')^2 = V^2 - \frac{V^2}{9}$
$(v')^2 = \frac{8V^2}{9}$
$v' = \sqrt{\frac{8V^2}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}V$

(D) समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद वस्तुओं के वेग आपस में बदल जाते हैं।
दिया गया है: गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $(u_A)$ = $0.5 \, m s^{-1}$ और गेंद $B$ का प्रारंभिक वेग $(u_B)$ = $-0.3 \, m s^{-1}$ है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए गेंद $A$ का अंतिम वेग $(v_A)$,$u_B$ के बराबर होगा और गेंद $B$ का अंतिम वेग $(v_B)$,$u_A$ के बराबर होगा।
अतः,$v_A = -0.3 \, m s^{-1}$ और $v_B = 0.5 \, m s^{-1}$।
प्रश्न में $B$ और $A$ के वेग क्रमशः पूछे गए हैं,जो $v_B$ और $v_A$ हैं।
इस प्रकार,वेग $0.5 \, m s^{-1}$ और $-0.3 \, m s^{-1}$ होंगे।

(A) $m_1$ द्रव्यमान का कण जो $v_1$ वेग से गति कर रहा है और $m_2$ द्रव्यमान का कण जो विरामावस्था में है,के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर के लिए,पहले कण का अंतिम वेग $v_1'$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1' = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_1$
यहाँ,न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_1 = 1$ और नाभिक का द्रव्यमान $m_2 = A$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,न्यूट्रॉन का अंतिम वेग है:
$v_1' = \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right) v$
न्यूट्रॉन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m_1 v^2$ है।
न्यूट्रॉन की अंतिम गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2$ है।
प्रतिधारित ऊर्जा का अंश $\frac{E'}{E} = \frac{\frac{1}{2} m_1 (v_1')^2}{\frac{1}{2} m_1 v^2} = \left( \frac{v_1'}{v} \right)^2$ है।
$v_1'$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{E'}{E} = \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2 = \left( \frac{A - 1}{A + 1} \right)^2$.

(B) समान कणों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,यदि $v$ वेग से गति करने वाले कणों की संख्या स्थिर कणों की समान संख्या से टकराती है,तो गतिमान कण स्थिर हो जाते हैं और स्थिर कण समान वेग $v$ के साथ गति करना शुरू कर देते हैं।
यहाँ,$2$ गेंदें $v$ वेग से गति कर रही हैं और वे $6$ स्थिर गेंदों की पंक्ति से टकराती हैं।
समान द्रव्यमान वाले पिंडों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के कारण,$2$ आपतित गेंदें स्थिर हो जाएंगी,और पंक्ति के दाईं ओर से $2$ गेंदें समान वेग $v$ के साथ बाहर निकलेंगी।
पंक्ति में शेष $4$ गेंदें स्थिर रहेंगी।

(A) मान लीजिए कि पूर्व दिशा धनात्मक $(+)$ है और पश्चिम दिशा ऋणात्मक $(-)$ है।
मान लीजिए ट्रक का द्रव्यमान $M$ है और गेंद का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि गेंद हल्की है,इसलिए $M \gg m$ है।
ट्रक का प्रारंभिक वेग $u_1 = +20\, ms^{-1}$ है।
गेंद का प्रारंभिक वेग $u_2 = -25\, ms^{-1}$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,पृथक्करण का सापेक्ष वेग दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।
दृष्टिकोण का वेग $= u_1 - u_2 = 20 - (-25) = 45\, ms^{-1}$।
मान लीजिए $v_1$ और $v_2$ क्रमशः ट्रक और गेंद के अंतिम वेग हैं।
चूंकि $M \gg m$,ट्रक का वेग लगभग अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $v_1 \approx u_1 = 20\, ms^{-1}$।
पृथक्करण का सापेक्ष वेग $v_2 - v_1$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $v_2 - v_1 = 45\, ms^{-1}$।
$v_1 = 20\, ms^{-1}$ रखने पर:
$v_2 - 20 = 45$
$v_2 = 65\, ms^{-1}$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,गेंद $65\, ms^{-1}$ के वेग से पूर्व दिशा में गति करेगी।

(C) माना आने वाली डिस्क की त्रिज्या $r_2$ है। इम्पैक्ट पैरामीटर $b$ का मान $r_2$ दिया गया है।
$r$ और $r_2$ त्रिज्या वाली दो डिस्क के लिए,इम्पैक्ट पैरामीटर $b$ और प्रकीर्णन कोण $\phi$ के बीच का संबंध $\sin \phi = \frac{b}{r+r_2}$ है।
यहाँ $b = r_2$ दिया गया है,इसलिए $\sin \phi = \frac{r_2}{r+r_2}$ होगा।
पहली डिस्क $45^{\circ}$ के कोण पर गति करती है,इसलिए $\phi = 45^{\circ}$ लेने पर:
$\sin 45^{\circ} = \frac{r_2}{r+r_2}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{r_2}{r+r_2}$.
$r+r_2 = \sqrt{2} r_2$.
$r = r_2(\sqrt{2}-1)$.
अतः,$r_2 = \frac{r}{\sqrt{2}-1}$।

(A) इसे हल करने के लिए,हम प्रतिबिंब विधि का उपयोग करते हैं। बिलियर्ड टेबल को उन दो दीवारों पर परावर्तित करें जिनसे गेंद टकराती है। गेंद का पथ दो परावर्तनों के बाद $A$ से पॉकेट $B$ के प्रतिबिंब तक एक सीधी रेखा बन जाता है।
मान लीजिए कि $A$ से पहली दीवार तक की क्षैतिज दूरी $(a-c)$ है। पहली टक्कर के बाद,गेंद चौड़ाई $b$ में यात्रा करती है। दूसरी टक्कर के बाद,यह $a$ की क्षैतिज दूरी तय करती है। $B$ के प्रतिबिंब तक पहुँचने के लिए आवश्यक कुल क्षैतिज विस्थापन $(a-c) + a = 2a - c$ है।
कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $2b$ है।
पथ की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{\text{कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन}}{\text{कुल क्षैतिज विस्थापन}} = \frac{2b}{2a - c}$।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2b}{2a - c} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{2a - c}{2b} \right)$।

(C) $1$. $A$ और $B$ के बीच टक्कर: चूंकि दोनों ब्लॉकों का द्रव्यमान समान $m$ है और टक्कर प्रत्यास्थ है,वे अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं। शुरू में,$v_A = v$ और $v_B = 0$ है। टक्कर के बाद,$v_A = 0$ और $v_B = v$ हो जाता है।
$2$. $B$ और $C$ के बीच टक्कर: ब्लॉक $B$ (द्रव्यमान $m$,वेग $v$) ब्लॉक $C$ (द्रव्यमान $4m$,वेग $0$) से टकराता है। इस प्रत्यास्थ टक्कर के बाद $B$ का अंतिम वेग सूत्र $v_{B}' = \left(\frac{m_B - m_C}{m_B + m_C}\right) v_B + \left(\frac{2m_C}{m_B + m_C}\right) v_C$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $v_{B}' = \left(\frac{m - 4m}{m + 4m}\right) v + 0 = -\frac{3}{5} v = -0.6v$। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ब्लॉक $B$ बाईं ओर $0.6v$ के वेग से गति करता है।
$3$. बाद की गति: ब्लॉक $A$ अब स्थिर है और ब्लॉक $B$ बाईं ओर $0.6v$ के वेग से गति कर रहा है। चूंकि ब्लॉक $B$ $A$ से दूर जा रहा है,इसलिए $A$ और $B$ के बीच अब कोई टक्कर नहीं होगी। अतः,ब्लॉक $A$ का अंतिम वेग $0$ है।

(A) दो समान गोलों के बीच एक प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर में,गोले अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं। यदि गोले बिना छुए एक-दूसरे को पार करते हैं,तो वे अपने मूल वेगों के साथ गति जारी रखते हैं। चूंकि गोले समान हैं,इसलिए पर्दे के पीछे से गुजरने के बाद निकाय की अंतिम स्थिति (वेग और दिशाएं) दोनों स्थितियों में समान होती है। इसलिए,एक प्रेक्षक यह नहीं बता सकता कि गोले टकराए थे या एक-दूसरे के पार निकल गए थे।

(B) मान लीजिए गेंद $2$ का द्रव्यमान $m$ है। तो गेंद $1$ का द्रव्यमान $2m$ है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = (2m)(v) + (m)(0) = 2mv$.
मान लीजिए गेंद $2$ का अंतिम वेग $v_2$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$2mv = (2m)(v/3) + m(v_2)$
$2v = 2v/3 + v_2$
$v_2 = 2v - 2v/3 = 4v/3$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और निकट आने के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$e = (v_2 - v_1) / (u_1 - u_2)$
$e = (4v/3 - v/3) / (v - 0) = (3v/3) / v = v / v = 1$.
चूंकि प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ है,इसलिए यह टक्कर प्रत्यास्थ है।

(C) एक प्रत्यास्थ टक्कर के अल्प समय के दौरान,बिलियर्ड गेंदें विरूपण (deformation) का अनुभव करती हैं।
अधिकतम विरूपण के क्षण पर,गतिज ऊर्जा का एक हिस्सा अस्थायी रूप से प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,टक्कर की प्रक्रिया के दौरान हर क्षण निकाय की गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है,हालांकि टक्कर से पहले और बाद में यह संरक्षित रहती है।
हालाँकि,निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) और कुल रैखिक संवेग पूरी प्रक्रिया के दौरान संरक्षित रहते हैं।

(A) गेंद को $h$ ऊँचाई से $u = \sqrt{2gh}$ के प्रारंभिक वेग के साथ फेंका जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग $v_i$ है:
$v_i^2 = (\sqrt{2gh})^2 + 2gh = 2gh + 2gh = 4gh$
$v_i = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}$
टक्कर के बाद,गेंद वापस $h$ ऊँचाई तक पहुँच जाती है। मान लीजिए टक्कर के बाद का वेग $v_f$ है। ऊपर की ओर गति के लिए $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0 = v_f^2 - 2gh$
$v_f = \sqrt{2gh}$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ टक्कर के बाद के वेग और टक्कर से पहले के वेग का अनुपात है:
$e = \frac{v_f}{v_i} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{4gh}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) माना गतिशील कण का द्रव्यमान $m$ और वेग $u$ है। गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m u^2 = 3 \ J$ है।
स्थिर कण का द्रव्यमान $2m$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m u + 2m(0)}{m + 2m} = \frac{u}{3}$ होगा।
अधिकतम संपीड़न के बिंदु पर (जब दोनों कण $v_{cm}$ वेग से चलते हैं) निकाय की गतिज ऊर्जा $K_{min} = \frac{1}{2} (m + 2m) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} (3m) (\frac{u}{3})^2 = \frac{1}{2} (3m) \frac{u^2}{9} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} m u^2) = \frac{1}{3} (3 \ J) = 1 \ J$ होगी।
अधिकतम संपीड़न पर संचित स्थितिज ऊर्जा $U_{max} = K_{initial} - K_{min} = 3 \ J - 1 \ J = 2 \ J$ होगी।
चूंकि गतिज ऊर्जा $3 \ J$ से घटकर $1 \ J$ हो जाती है और टक्कर के बाद फिर से $3 \ J$ हो जाती है,इसलिए गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात तदनुसार बदलता है। अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) जब समान द्रव्यमान की दो गेंदों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर होती है और एक गेंद शुरू में स्थिर होती है,तो रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम से सदिश समीकरण: $\vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$ प्राप्त होता है।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,$\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(v_1')^2 + \frac{1}{2}m(v_2')^2$,जो सरल होकर $v_1^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2$ हो जाता है।
यह समीकरण पाइथागोरस प्रमेय को दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि वेग सदिश $\vec{v}_1'$,$\vec{v}_2'$ और $\vec{v}_1$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। अतः,टक्कर के बाद दोनों गेंदों के बीच का कोण $90^o$ होना चाहिए।
ऊर्जा स्थानांतरण के संदर्भ में,$100 \%$ स्थानांतरण केवल हेड-ऑन टक्कर (इम्पैक्ट पैरामीटर $= 0$) में ही होता है। शून्य से भिन्न इम्पैक्ट पैरामीटर के लिए,गेंदें किसी कोण पर गति करती हैं और गतिज ऊर्जा उनके बीच विभाजित हो जाती है,जिसका अर्थ है कि ऐसे मामलों में $100 \%$ स्थानांतरण नहीं हो सकता है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) दो समान द्रव्यमानों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक वस्तु शुरू में स्थिर होती है,टक्कर की रेखा के अनुदिश वेग का घटक आपस में बदल जाता है।
मान लीजिए कि केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष है।
गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $v = 10 \, m/s$ है जो $x$-अक्ष के साथ $\theta = 60^o$ का कोण बनाता है।
टक्कर की रेखा के अनुदिश $A$ के वेग का घटक $v_x = v \cos(60^o) = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$ है।
टक्कर की रेखा के लंबवत $A$ के वेग का घटक $v_y = v \sin(60^o) = 10 \times 0.866 = 8.66 \, m/s$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर के दौरान,टक्कर की रेखा के अनुदिश वेग का घटक $A$ से $B$ में स्थानांतरित हो जाता है।
अतः,टक्कर के बाद,$B$ का टक्कर की रेखा के अनुदिश वेग $v_{Bx} = 5 \, m/s$ और $v_{By} = 0$ होता है।
इसलिए,टक्कर के बाद गेंद $B$ का वेग $5 \, m/s$ है।

(C) माना कि दोनों ब्लॉकों का द्रव्यमान $m = 2\, kg$ है। पहले ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $u_1 = 10\, m/s$ है और दूसरे ब्लॉक का वेग $u_2 = 0\, m/s$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं लग रहा है। अतः,निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m u_1 + m u_2 = 2(10) + 2(0) = 20\, kg\cdot m/s$.
जब स्प्रिंग अधिकतम संकुचित होती है,तो दोनों ब्लॉक समान वेग $v_{cm} = \frac{m u_1 + m u_2}{m + m} = \frac{20}{4} = 5\, m/s$ से चलते हैं।
जब स्प्रिंग अपनी मूल लंबाई पर वापस आती है,तो ब्लॉक अलग हो जाते हैं। माना अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_1 + m v_2 = 20 \implies v_1 + v_2 = 10$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 \implies v_1^2 + v_2^2 = 100$.
ऊर्जा समीकरण में $v_2 = 10 - v_1$ रखने पर: $v_1^2 + (10 - v_1)^2 = 100 \implies v_1^2 + 100 - 20 v_1 + v_1^2 = 100 \implies 2 v_1^2 - 20 v_1 = 0$.
इससे $v_1 = 0$ या $v_1 = 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि पहला ब्लॉक दूसरे ब्लॉक से आगे नहीं निकल सकता,इसलिए $v_1 = 0$ और $v_2 = 10\, m/s$ प्राप्त होता है।

(D) $m_2$ द्रव्यमान के स्थिर कण के साथ प्रत्यास्थ रूप से टकराने वाले $m_1$ द्रव्यमान के कण के लिए गतिज ऊर्जा की आंशिक हानि $\frac{\Delta K}{K}$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\Delta K}{K} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$।
ड्यूटेरियम $(m_2 = 2m)$ के साथ टकराने वाले न्यूट्रॉन $(m_1 = m)$ के लिए:
$P_d = \frac{4(m)(2m)}{(m + 2m)^2} = \frac{8m^2}{(3m)^2} = \frac{8}{9} \approx 0.89$।
कार्बन नाभिक $(m_2 = 12m)$ के साथ टकराने वाले न्यूट्रॉन $(m_1 = m)$ के लिए:
$P_c = \frac{4(m)(12m)}{(m + 12m)^2} = \frac{48m^2}{(13m)^2} = \frac{48}{169} \approx 0.28$।
अतः,मान $P_d = 0.89$ और $P_c = 0.28$ हैं।

(B) मान लीजिए कि हल्के कण का द्रव्यमान $m_1$ है और भारी ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2$ है। चूंकि ब्लॉक बहुत भारी है,इसलिए $m_2 \gg m_1$ है।
एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,टक्कर के बाद पहले कण का वेग $v_1'$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2$
यहाँ $v_1 = 12\ m/s$ और $v_2 = 10\ m/s$ दिया गया है। चूंकि $m_2 \gg m_1$,हम $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \approx -1$ और $\frac{2m_2}{m_1 + m_2} \approx 2$ मान सकते हैं।
इन मानों को रखने पर:
$v_1' \approx (-1) \times 12 + (2) \times 10$
$v_1' \approx -12 + 20 = 8\ m/s$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,कण अपनी मूल दिशा में $8\ m/s$ की गति से आगे बढ़ेगा।

(A) प्रत्यावर्तन गुणांक $e$ रैकेट के स्थिर रहने पर गति के अनुपात द्वारा दिया जाता है: $e = \sqrt{h/H} = \sqrt{0.8 H / H} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944$.
मान लीजिए कि गेंद $v_b = 150 \ km/hr$ के वेग के साथ धनात्मक दिशा में चलती है और रैकेट $v_r = -100 \ km/hr$ के वेग के साथ ऋणात्मक दिशा में चलता है।
रैकेट के सापेक्ष गेंद का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_b - v_r = 150 - (-100) = 250 \ km/hr$ है।
टक्कर के बाद,रैकेट के सापेक्ष गेंद का सापेक्ष वेग $v'_{rel}$ को $v'_{rel} = -e \cdot v_{rel} = -0.8944 \times 250 \approx -223.6 \ km/hr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि रैकेट का द्रव्यमान गेंद के द्रव्यमान से बहुत अधिक है,इसलिए रैकेट का वेग $v_r = -100 \ km/hr$ पर अपरिवर्तित रहता है।
गेंद का अंतिम वेग $v'_b$ है $v'_b = v'_{rel} + v_r = -223.6 + (-100) = -323.6 \ km/hr$।
गेंद की गति वेग का परिमाण है,जो $323.6 \ km/hr$ है।

(B) समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में, जहाँ एक वस्तु शुरू में स्थिर हो, टक्कर के बाद दोनों वस्तुएँ एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कोण पर गति करती हैं।
मान लीजिए गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $\vec{u}_A = 12 \hat{j} \ m/s$ है।
अंतिम वेग $\vec{v}_A$ और $\vec{v}_B$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m\vec{u}_A = m\vec{v}_A + m\vec{v}_B \implies \vec{u}_A = \vec{v}_A + \vec{v}_B$.
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mu_A^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + \frac{1}{2}mv_B^2 \implies u_A^2 = v_A^2 + v_B^2$.
चूँकि $\vec{u}_A = \vec{v}_A + \vec{v}_B$, इसलिए $u_A^2 = v_A^2 + v_B^2 + 2\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B$ होता है। ऊर्जा समीकरण के साथ तुलना करने पर, $\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि गेंदें एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कोण पर गति करती हैं।
टक्कर की ज्यामिति के अनुसार, गेंद $A$ अपने मूल पथ से $60^{\circ}$ के कोण पर विक्षेपित होती है। अतः, $\vec{v}_A$ और $\vec{u}_A$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
वेग के प्रक्षेप का उपयोग करते हुए: $v_A = u_A \cos(60^{\circ}) = 12 \times 0.5 = 6 \ m/s$.

(B) पिंड पर कार्य करने वाला आवेग $J$,औसत बल $F$ और टक्कर की समयावधि $\Delta t$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$J = F \times \Delta t$
यहाँ $F = 100\ N$ और $\Delta t = 0.02\ s$ दिया गया है,अतः आवेग:
$J = 100\ N \times 0.02\ s = 2\ N\cdot s$
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर लगाया गया आवेग उसके रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
$J = \Delta p = m_2(v_2 - u_2)$
चूंकि $2\ kg$ वाला पिंड प्रारंभ में विराम अवस्था में था,इसलिए $u_2 = 0$। अतः:
$2 = 2\ kg \times (v_2 - 0)$
$2 = 2 \times v_2$
$v_2 = 1\ m/s$
अतः,टक्कर के बाद $2\ kg$ वाले पिंड का वेग $1\ m/s$ है।

(A) दो समान द्रव्यमानों के बीच पूरी तरह से लोचदार टक्कर में,जहाँ एक शुरू में स्थिर होता है,वेग का आदान-प्रदान होता है। मान लें कि टक्कर की रेखा स्ट्राइकर के प्रारंभिक वेग वेक्टर के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
टक्कर से पहले: $\vec{u}_1 = v \hat{i}$,$\vec{u}_2 = 0$.
टक्कर के बाद: स्ट्राइकर किनारे के लंबवत चलता है (मान लें कि यह $y$-अक्ष है),इसलिए $\vec{v}_1 = v_1 \hat{j}$. सिक्का किनारे के समानांतर चलता है (मान लें कि यह $x$-अक्ष है),इसलिए $\vec{v}_2 = v_2 \hat{i}$.
संवेग संरक्षण के नियम से: $mv \hat{i} = m v_1 \hat{j} + m v_2 \hat{i}$.
घटकों की तुलना करने पर: $v_2 = v \cos 45^{\circ} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ और $v_1 = v \sin 45^{\circ} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
स्ट्राइकर पर आवेग $\vec{J} = \Delta \vec{p} = m(\vec{v}_1 - \vec{u}_1) = m(\frac{v}{\sqrt{2}} \hat{j} - v \hat{i})$.
आवेग का परिमाण $|\vec{J}| = m \sqrt{(\frac{v}{\sqrt{2}})^2 + (-v)^2} = m \sqrt{\frac{v^2}{2} + v^2} = m \sqrt{\frac{3v^2}{2}} = mv \sqrt{\frac{3}{2}}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{\sqrt{5}}{2} mv$ है।

(A) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण की गति और दृष्टिकोण की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
दृष्टिकोण की गति = $1.8 \text{ m/s} - (-0.2 \text{ m/s}) = 2.0 \text{ m/s}$.
पृथक्करण की गति = $1.4 \text{ m/s} - (-0.6 \text{ m/s}) = 2.0 \text{ m/s}$.
इसलिए,$e = \frac{\text{पृथक्करण की गति}}{\text{दृष्टिकोण की गति}} = \frac{2.0}{2.0} = 1$.
चूंकि प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ है,इसलिए टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है।

(B) समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक वस्तु शुरू में स्थिर हो,टक्कर के बाद दोनों वस्तुएं एक-दूसरे से $90^\circ$ के कोण पर गति करती हैं।
मान लीजिए गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $\vec{u}_A = 12 \hat{j} \ m/s$ है (ऊर्ध्वाधर अक्ष को $y$-अक्ष मानते हुए)।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान हैं,संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार टक्कर के बाद वेग सदिश $\vec{v}_A$ और $\vec{v}_B$ के लिए $\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0$ होता है।
टक्कर की ज्यामिति के अनुसार,गेंद $A$ ऊर्ध्वाधर के साथ $60^\circ$ के कोण पर गेंद $B$ से टकराती है। टक्कर की रेखा (अभिलंब) के अनुदिश वेग का घटक गेंद $B$ को स्थानांतरित हो जाता है,जबकि अभिलंब के लंबवत घटक गेंद $A$ के पास रहता है।
अभिलंब की दिशा में (क्षैतिज $x$-अक्ष) $A$ का वेग घटक $v_{Ax} = 12 \sin(60^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \ m/s$ है।
अभिलंब के लंबवत (ऊर्ध्वाधर $y$-अक्ष) $A$ का वेग घटक $v_{Ay} = 12 \cos(60^\circ) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \ m/s$ है।
समान द्रव्यमान की प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर की रेखा के अनुदिश वेग घटक का आदान-प्रदान होता है। अतः,टक्कर के बाद,$A$ के वेग का $x$-घटक $0$ हो जाता है,और $y$-घटक $6 \ m/s$ रहता है।
इसलिए,गेंद $A$ का अंतिम वेग $6 \ m/s$ है।

(C) दो समान द्रव्यमानों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,जहाँ एक पिंड शुरू में विरामावस्था में होता है,टक्कर की रेखा के अनुदिश वेग का घटक पूरी तरह से लक्ष्य गोले में स्थानांतरित हो जाता है।
मान लीजिए $v = 8 \ m/s$ है। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा (सामान्य अभिलंब) के अनुदिश $A$ के वेग का घटक $v \cos 60^{\circ} = 8 \times 0.5 = 4 \ m/s$ है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत $A$ के वेग का घटक $v \sin 60^{\circ} = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \ m/s$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश वेग का घटक गोले $B$ में स्थानांतरित हो जाता है। इस प्रकार,गोला $B$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश $v_B = 4 \ m/s$ की गति से चलता है।
गोला $A$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत अपने वेग के घटक को बनाए रखता है,जो $v_A = 4\sqrt{3} \ m/s$ है।
चूँकि गोले $A$ के पास केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत वेग का घटक है और गोला $B$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश चलता है,इसलिए उनकी गति की दिशाएँ एक-दूसरे के लंबवत $(90^{\circ})$ होती हैं।
अतः,कथन $(iii)$ और $(iv)$ सही हैं।

(B) माना $1\, kg$ कण का प्रारंभिक वेग $u_1 = 1\, m/s$ है और इसका अंतिम वेग $v_1$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} \times 1 \times (1)^2 = 0.5\, J$ है।
चूंकि कण अपनी गतिज ऊर्जा का $\frac{3}{4}$ भाग खो देता है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i - \frac{3}{4}K_i = \frac{1}{4}K_i = \frac{1}{4} \times 0.5 = 0.125\, J$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \times 1 \times v_1^2 = 0.125 \Rightarrow v_1^2 = 0.25 \Rightarrow v_1 = \pm 0.5\, m/s$.
मानते हुए कि कण उसी दिशा में गति जारी रखता है,$v_1 = 0.5\, m/s$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$1(1) + m(0) = 1(0.5) + m v_2 \Rightarrow m v_2 = 0.5$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$ का उपयोग करते हुए: $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$.
$v_2 - 0.5 = 1 - 0 \Rightarrow v_2 = 1.5\, m/s$.
संवेग समीकरण में $v_2$ का मान रखने पर: $m(1.5) = 0.5 \Rightarrow m = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\, kg$.

(D) प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $e = 1$ होता है।
दृष्टिकोण का वेग (velocity of approach) $u_{rel} = v_1 - v_2$ है।
चूंकि ब्लॉक बहुत भारी है,इसलिए टक्कर के बाद उसका वेग प्रभावी रूप से अपरिवर्तित रहता है,यानी $V_{block} \approx v_2$।
मान लीजिए कि कण का अंतिम वेग $v'$ है।
पृथक्करण का वेग (velocity of separation) $v_{rel} = V_{block} - v' = v_2 - v'$ है।
चूंकि $e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}}$,हमारे पास $1 = \frac{v_2 - v'}{v_1 - v_2}$ है।
इसलिए,$v_1 - v_2 = v_2 - v'$।
$v'$ के लिए हल करने पर,हमें $v' = 2v_2 - v_1$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान का कण $A$ है और $2m$ द्रव्यमान का कण $B$ है। प्रारंभ में,$A$ वेग $v$ से गति कर रहा है और $B$ स्थिर है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$mv + 0 = mv_1 + 2mv_2$
$v = v_1 + 2v_2$ --- $(i)$
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{v - 0} = 1$
$v_2 - v_1 = v$ --- $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$3v_2 = 2v \implies v_2 = \frac{2}{3}v$
$(ii)$ में $v_2$ का मान रखने पर:
$v_1 = v_2 - v = \frac{2}{3}v - v = -\frac{1}{3}v$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि कण $A$ अपनी दिशा बदल लेता है।
अलग होने का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_2 - v_1 = \frac{2}{3}v - (-\frac{1}{3}v) = v$ है।
वृत्ताकार नली में अगली टक्कर के लिए तय की जाने वाली दूरी परिधि $2\pi R$ है।
समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष वेग}} = \frac{2\pi R}{v}$.

(B) माना न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m$ है।
तब स्थिर परमाणु का द्रव्यमान $M = Am$ होगा।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mu + Am(0) = mv_1 + Amv_2$, जो सरल होकर $u = v_1 + Av_2$ देता है ... $(1)$।
प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है, अतः $v_2 - v_1 = u$ ... $(2)$।
समीकरण $(2)$ से, $v_2 = u + v_1$। इस मान को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$u = v_1 + A(u + v_1) = v_1 + Au + Av_1 = v_1(1 + A) + Au$।
$v_1(1 + A) = u - Au = u(1 - A)$।
अतः, $v_1 = u \frac{1 - A}{1 + A}$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mu^2$ है।
टक्कर के बाद न्यूट्रॉन की अंतिम गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m \left( u \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2$ होगी।
$E' = \left( \frac{1}{2}mu^2 \right) \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2 = E \left( \frac{A - 1}{A + 1} \right)^2$।

(A) माना $m_1 = 0.4 \, kg$,$u_1 = 3 \, m/s$,$m_2 = 0.6 \, kg$,और $u_2 = 0 \, m/s$ है।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$(0.4 \times 3) + 0 = 0.4 v_1 + 0.6 v_2 \implies 1.2 = 0.4 v_1 + 0.6 v_2 \implies 2 v_1 + 3 v_2 = 6$ (समीकरण $1$).
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है,इसलिए $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$.
$v_2 - v_1 = 3 - 0 \implies v_2 - v_1 = 3 \implies v_2 = v_1 + 3$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 v_1 + 3(v_1 + 3) = 6 \implies 2 v_1 + 3 v_1 + 9 = 6 \implies 5 v_1 = -3 \implies v_1 = -0.6 \, m/s$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि पहली गेंद वापस लौटती है।
$v_1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$v_2 = -0.6 + 3 = 2.4 \, m/s$.
अतः,दोनों गेंदों की गति $0.6 \, m/s$ और $2.4 \, m/s$ है।

(C) दो समान द्रव्यमानों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ एक वस्तु प्रारंभ में विरामावस्था में है,रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम निम्नलिखित हैं:
$1$. रैखिक संवेग का संरक्षण: $m\vec{v} = m\vec{v}_P + m\vec{v}_Q$,जो सरल होकर $\vec{v} = \vec{v}_P + \vec{v}_Q$ हो जाता है।
$2$. गतिज ऊर्जा का संरक्षण: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_P^2 + \frac{1}{2}mv_Q^2$,जो सरल होकर $v^2 = v_P^2 + v_Q^2$ हो जाता है।
संवेग समीकरण से,हम लिख सकते हैं कि $v^2 = |\vec{v}_P + \vec{v}_Q|^2 = v_P^2 + v_Q^2 + 2v_P v_Q \cos \theta$।
इसे गतिज ऊर्जा समीकरण $v^2 = v_P^2 + v_Q^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $2v_P v_Q \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $v_P$ और $v_Q$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^o$।

(A) माना आपतन कोण $\theta$ है।
चित्र में दिखाई गई टक्कर की ज्यामिति से,त्रिभुज $\Delta PMO$ पर विचार करें जहाँ $P$ टक्कर का बिंदु है,$M$ केंद्रीय रेखा पर $P$ का प्रक्षेप है और $O$ गोले का केंद्र है।
संघट्ट प्राचल $b = PM = 2\sqrt{3} \, cm$ और त्रिज्या $R = OP = 4 \, cm$ है।
$\Delta PMO$ में,$\sin \theta = \frac{PM}{OP} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = 60^{\circ}$.
विक्षेपण कोण $\delta$ कण की प्रारंभिक दिशा और प्रत्यास्थ टक्कर के बाद अंतिम दिशा के बीच का कोण है।
ज्यामिति से,विक्षेपण कोण $\delta = 180^{\circ} - 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta$ का मान रखने पर,हमें $\delta = 180^{\circ} - 2(60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ टक्करों के बाद गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h_n$ का सूत्र $h_n = e^{2n} h$ है,जहाँ $h$ प्रारंभिक ऊँचाई है और $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
यहाँ $h = 80 \ m$,$e = 0.5 = \frac{1}{2}$,और $n = 2$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $h_2 = e^{2 \times 2} h = e^4 h$.
$h_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times 80$.
$h_2 = \frac{1}{16} \times 80 = 5 \ m$.

(A) माना $m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u_1$ है और अंतिम वेग $v_1$ (विपरीत दिशा में) है। माना टक्कर के बाद $M$ द्रव्यमान का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mu_1 = -mv_1 + Mv_2$ $\implies Mv_2 = m(u_1 + v_1)$ $...(i)$
दिया गया है कि कण की अंतिम गतिज ऊर्जा उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $4/9$ है:
$K' = \frac{4}{9} K \implies \frac{1}{2} mv_1^2 = \frac{4}{9} (\frac{1}{2} mu_1^2)$
$v_1^2 = \frac{4}{9} u_1^2 \implies v_1 = \frac{2}{3} u_1$ $...(ii)$
$v_1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$Mv_2 = m(u_1 + \frac{2}{3} u_1) = m(\frac{5}{3} u_1)$ $...(iii)$
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है, इसलिए प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$:
$e = \frac{v_2 - (-v_1)}{u_1 - 0} = 1 \implies v_2 + v_1 = u_1$
$v_2 = u_1 - v_1 = u_1 - \frac{2}{3} u_1 = \frac{1}{3} u_1$ $...(iv)$
समीकरण $(iv)$ से $v_2$ का मान $(iii)$ में रखने पर:
$M(\frac{1}{3} u_1) = m(\frac{5}{3} u_1)$
$M = 5m$

(C) लिफ्ट से टकराने से ठीक पहले गेंद की चाल $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
$g = 9.8 \ m/s^2$ और $h = 10 \ m$ रखने पर,$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \ m/s$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि नीचे की दिशा ऋणात्मक है। टक्कर से पहले गेंद का वेग $u_1 = -14 \ m/s$ है।
लिफ्ट का वेग $u_2 = -1 \ m/s$ है।
चूंकि लिफ्ट का द्रव्यमान गेंद के द्रव्यमान से बहुत अधिक है $(M_{lift} \gg M_{ball})$,लिफ्ट $u_2$ वेग से गतिमान एक स्थिर दीवार की तरह कार्य करती है।
टक्कर के बाद गेंद का वेग $v_1$ सूत्र $v_1 = 2u_2 - u_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_1 = 2(-1) - (-14) = -2 + 14 = 12 \ m/s$।
अतः,गेंद का प्रतिक्षेप वेग $12 \ m/s$ ऊपर की ओर होगा।