Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(D) ट्यूनिंग फोर्क एक सिरे पर बंद पाइप में वायु स्तंभ के साथ अनुनाद बनाता है। अनुनाद की स्थिति $n = \frac{(2N - 1)v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N = 1, 2, 3, \dots$ कंपन के प्रकार को दर्शाता है।
दिया गया है $n = 340 \ Hz$ और $v = 340 \ m/s$,वायु स्तंभ की लंबाई $l$ है:
$l = \frac{(2N - 1)v}{4n} = \frac{(2N - 1) \times 340}{4 \times 340} = \frac{2N - 1}{4} \ m = (2N - 1) \times 25 \ cm$.
$N = 1$ के लिए,$l_1 = 25 \ cm$.
$N = 2$ के लिए,$l_2 = 75 \ cm$.
$N = 3$ के लिए,$l_3 = 125 \ cm$ (संभव नहीं है क्योंकि नली की ऊँचाई $120 \ cm$ है)।
पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h$,$h = H_{tube} - l$ द्वारा दी जाती है।
$l_1 = 25 \ cm$ के लिए,$h_1 = 120 - 25 = 95 \ cm$.
$l_2 = 75 \ cm$ के लिए,$h_2 = 120 - 75 = 45 \ cm$.
अनुनाद के लिए आवश्यक पानी की न्यूनतम ऊँचाई $45 \ cm$ है।

(C) एक सामान्य मनुष्य द्वारा सुनी जा सकने वाली अधिकतम आवृत्ति $20,000 \ Hz$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$N$ वें मोड की आवृत्ति $f_N = (2N - 1)f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_1 = 1500 \ Hz$ मूल आवृत्ति है।
हमें $f_N \le 20,000 \ Hz$ की आवश्यकता है।
$(2N - 1) \times 1500 \le 20,000$
$2N - 1 \le \frac{20,000}{1500} \approx 13.33$
$2N \le 14.33 \implies N \le 7.16$.
चूंकि $N$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए अधिकतम मोड संख्या $N = 7$ है।
ओवरटोन्स की संख्या $(N - 1)$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,ओवरटोन्स की संख्या $= 7 - 1 = 6$.

(C) दोनों सिरों पर खुली पाइप में,खुले सिरे हमेशा विस्थापन एंटीनोड होते हैं। चूंकि दबाव में परिवर्तन विस्थापन के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए खुले सिरों पर दबाव में परिवर्तन न्यूनतम (शून्य) होता है। अतः,यह कथन कि 'दोनों सिरों पर दबाव परिवर्तन अधिकतम होगा' गलत है।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $(f_1)$ का सूत्र $f_1 = \frac{v}{4L}$ है।
दिया गया है: $v = 340 \, m s^{-1}$ और $L = 85 \, cm = 0.85 \, m$.
मान रखने पर: $f_1 = \frac{340}{4 \times 0.85} = \frac{340}{3.4} = 100 \, Hz$.
बंद पाइप की प्राकृतिक आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज होती हैं: $f_n = (2n - 1)f_1$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$.
आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं: $100 \, Hz, 300 \, Hz, 500 \, Hz, 700 \, Hz, 900 \, Hz, 1100 \, Hz, 1300 \, Hz, \dots$.
हमें $1250 \, Hz$ से कम आवृत्तियों की संख्या ज्ञात करनी है।
ये आवृत्तियाँ $100, 300, 500, 700, 900, 1100$ हैं।
अतः,कुल $6$ संभावित प्राकृतिक दोलन प्राप्त होते हैं।

(A) दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी के लिए,अनुनादी आवृत्तियाँ $v_n = n \cdot v_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $v_0$ मूल आवृत्ति (सबसे कम अनुनादी आवृत्ति) है और $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
किन्हीं भी दो क्रमागत अनुनादी आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta v = v_{n+1} - v_n = (n+1)v_0 - nv_0 = v_0$ होता है।
यह दिया गया है कि $420\, Hz$ और $315\, Hz$ अनुनादी आवृत्तियाँ हैं और इनके बीच कोई अन्य अनुनादी आवृत्ति नहीं है,इसलिए ये क्रमागत हार्मोनिक्स होने चाहिए।
अतः,मूल आवृत्ति $v_0$ इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$v_0 = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.

(D) $L'$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \frac{v}{2L'}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है। दूसरा ओवरटोन $3$-रे हार्मोनिक $(n=3)$ के बराबर होता है। अतः,$f_{open} = 3 \frac{v}{2L'}$.
$L$ लंबाई वाली बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$ है। पहला ओवरटोन $3$-रे हार्मोनिक $(n=3)$ के बराबर होता है। अतः,$f_{closed} = 3 \frac{v}{4L}$.
प्रश्न के अनुसार,आवृत्तियाँ समान हैं:
$3 \frac{v}{2L'} = 3 \frac{v}{4L}$
दोनों पक्षों से $3v$ को हटाने पर:
$\frac{1}{2L'} = \frac{1}{4L}$
$L'$ के लिए हल करने पर:
$2L' = 4L \implies L' = 2L \; m$.

(B) एक सिरे पर बंद वायु स्तंभ के लिए,अनुनाद विषम हार्मोनिक्स पर होता है।
मूल आवृत्ति (प्रथम हार्मोनिक) सबसे छोटी लंबाई $l_1$ के अनुरूप है:
$l_1 = \frac{\lambda}{4} = 50\, cm$
अगला अनुनाद (तीसरा हार्मोनिक) लंबाई $l_2$ पर होता है:
$l_2 = \frac{3\lambda}{4}$
$\lambda = 4 \times 50\, cm = 200\, cm$ प्रतिस्थापित करने पर:
$l_2 = 3 \times \left(\frac{200}{4}\right) = 3 \times 50 = 150\, cm$.

(C) $L$ लंबाई के एक खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
इससे,पाइप की लंबाई $L = \frac{v}{2n}$ होती है।
$n_{1}$ और $n_{2}$ मूल आवृत्तियों वाले दो पाइपों के लिए,उनकी लंबाई $L_{1} = \frac{v}{2n_{1}}$ और $L_{2} = \frac{v}{2n_{2}}$ है।
जब इन दो पाइपों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नए पाइप की कुल लंबाई $L_{new} = L_{1} + L_{2}$ हो जाती है।
नए पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L_{new}} = \frac{v}{2(L_{1} + L_{2})}$ है।
$L_{1}$ और $L_{2}$ के मान रखने पर:
$n = \frac{v}{2(\frac{v}{2n_{1}} + \frac{v}{2n_{2}})} = \frac{v}{v(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})} = \frac{1}{\frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}}$.
अतः,$n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$.

(B) एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुमत आवृत्तियाँ (हार्मोनिक्स) $f_n = n \cdot f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक $(n = 1, 3, 5, \dots)$ होना चाहिए और $f_0$ मूल आवृत्ति है।
ऐसी नली के लिए दो क्रमिक हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $2f_0$ होता है।
दिया गया है कि दो निकटतम हार्मोनिक्स $f_1 = 220\, Hz$ और $f_2 = 260\, Hz$ हैं।
इन दो हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $2f_0 = 260\, Hz - 220\, Hz = 40\, Hz$ है।
अतः,मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{40\, Hz}{2} = 20\, Hz$ है।

(A) $l'$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2l'}$ द्वारा दी जाती है।
$l$ लंबाई वाली बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{4l}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$ (विषम हार्मोनिक्स)।
बंद ऑर्गन पाइप का तीसरा हार्मोनिक $n = 3$ के अनुरूप है,इसलिए $f_{closed, 3} = \frac{3v}{4l}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$f_{open} = f_{closed, 3}$ है।
अतः,$\frac{v}{2l'} = \frac{3v}{4l}$ होता है।
$l'$ के लिए सरल करने पर,$l' = \frac{4l}{6} = \frac{2l}{3}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $l = 20 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $l' = \frac{2 \times 20}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \ cm$ होता है।

(B) अनुनाद नली के प्रयोग में,दो क्रमिक अनुनाद स्थितियों के बीच की दूरी ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2} = L_2 - L_1$.
यहाँ,$L_1 = 20\,cm = 0.20\,m$ और $L_2 = 73\,cm = 0.73\,m$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{\lambda}{2} = 0.73\,m - 0.20\,m = 0.53\,m$.
इसका अर्थ है कि $\lambda = 2 \times 0.53\,m = 1.06\,m$.
ध्वनि का वेग $v$ सूत्र $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है।
यहाँ $f = 320\,Hz$ दिया गया है।
$v = 320 \times 1.06 = 339.2\,m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,ध्वनि का वेग $339\,m/s$ है।

(C) एक बंद ऑर्गन पाइप (अनुनाद नली) के लिए,अनुनाद की लंबाई $l_n = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहले अनुनाद $(n=1)$ के लिए,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = 16\,cm$ है।
दूसरे अनुनाद $(n=2)$ के लिए,$l_2 = 3 \frac{\lambda}{4} = 3 \times 16 = 48\,cm$ है।
अतः,अगला अनुनाद $48\,cm$ पर प्राप्त होगा।

(C) $l$ लंबाई की दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = v / (2l)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
जब पाइप का $3/4$ भाग पानी में डूबा होता है,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $l' = l - (3/4)l = l/4$ हो जाती है।
यह वायु स्तंभ एक सिरे पर बंद पाइप की तरह कार्य करता है।
एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_2 = v / (4l')$ द्वारा दी जाती है।
$l' = l/4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f_2 = v / (4 \times (l/4)) = v/l$ प्राप्त होता है।
$f_1$ और $f_2$ की तुलना करने पर,हमें $f_2 = 2 \times (v / (2l)) = 2f_1$ मिलता है।
अतः,अनुपात $f_1/f_2 = f_1 / (2f_1) = 1/2 = 0.5$ है।

(C) $l$ लंबाई वाले बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4l} = 220 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम ध्वनि की गति $v = 220 \times 4l = 880l \ m/s$ प्राप्त करते हैं।
जब पाइप का $\frac{1}{4}$ भाग पानी से भर दिया जाता है,तो वायु स्तंभ की लंबाई $l' = l - \frac{1}{4}l = \frac{3}{4}l$ हो जाती है।
इस वायु स्तंभ की नई मूल आवृत्ति $n' = \frac{v}{4l'} = \frac{v}{4(\frac{3}{4}l)} = \frac{v}{3l}$ है।
बंद पाइप का पहला ओवरटोन मूल आवृत्ति का $3$ गुना होता है।
इसलिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_{1st} = 3 \times n' = 3 \times \frac{v}{3l} = \frac{v}{l}$ है।
$v = 880l$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f_{1st} = \frac{880l}{l} = 880 \ Hz$ प्राप्त होता है।

(B) नली एक बंद ऑर्गन पाइप के रूप में कार्य करती है क्योंकि एक सिरा पानी की सतह से बंद है और दूसरा सिरा खुला है। बंद पाइप के लिए अनुनाद की स्थिति $l = \frac{(2N - 1)v}{4f}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ अनुनाद का क्रम है,$v = 330 \ m/s$ ध्वनि की गति है और $f = 660 \ Hz$ आवृत्ति है।
मान रखने पर: $1.5 = \frac{(2N - 1) \times 330}{4 \times 660}$.
समीकरण को सरल करने पर: $1.5 = \frac{(2N - 1)}{8}$.
$12 = 2N - 1$.
$2N = 13$.
$N = 6.5$.
चूंकि $N$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $N$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं। इस प्रकार,कुल $6$ अनुनाद सुनाई देंगे।

(B) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (n+1)f_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति है।
अतः,$5$वां ओवरटोन $6$वें हार्मोनिक मोड के अनुरूप है ($n=5$,इसलिए हार्मोनिक संख्या $p = n+1 = 6$)।
$p$वें हार्मोनिक मोड में कंपन करने वाली खुली ऑर्गन पाइप में:
नोड्स की संख्या $(N)$ = $p = 6$।
एंटीनोड्स की संख्या $(A)$ = $p + 1 = 6 + 1 = 7$।
इसलिए,इसमें $6$ नोड्स और $7$ एंटीनोड्स होते हैं।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ ओवरटोन $(n+1)^{th}$ हार्मोनिक के अनुरूप होता है।
डोरी की लंबाई $L$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $L = (n+1) \frac{\lambda}{2} \dots (1)$.
निकटतम नोड और एंटीनोड के बीच की दूरी हमेशा $\frac{\lambda}{4}$ होती है। प्रश्न के अनुसार,यह दूरी $d$ है। इसलिए,$\frac{\lambda}{4} = d$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 4d$.
समीकरण $(1)$ में $\lambda = 4d$ का मान रखने पर:
$L = (n+1) \frac{4d}{2}$
$L = 2d(n+1)$.

(A) दी गई ध्वनि तरंगों की आवृत्ति $\nu = 660 \, Hz$ और वेग $v = 330 \, m/s$ है।
ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{330}{660} = 0.5 \, m$ है।
जब ध्वनि तरंगें एक पूर्णतः परावर्तक दीवार से परावर्तित होती हैं,तो आपतित और परावर्तित तरंगों के व्यतिकरण के कारण अप्रगामी तरंगें (stationary waves) बनती हैं।
परावर्तक सतह (दीवार) पर हमेशा विस्थापन का निस्पंद (node) बनता है।
वायु कणों का कंपन आयाम उस बिंदु पर अधिकतम होता है जहाँ प्रस्पंद (antinode) बनता है।
दीवार (निस्पंद) से अधिकतम आयाम वाले पहले बिंदु (प्रस्पंद) तक की न्यूनतम दूरी $d = \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें $d = \frac{0.5}{4} = 0.125 \, m$ प्राप्त होता है।

(B) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,लंबाई $L$ को $L = \frac{n \lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
दूसरे हार्मोनिक मोड के लिए,$n = 2$ है। इसलिए,$L = \frac{2 \lambda}{2} = \lambda$ है।
एक खुली ऑर्गन पाइप में,सिरे हमेशा विस्थापन के लिए एंटीनोड्स $(A)$ होते हैं,जो दबाव भिन्नता के लिए नोड्स (निस्पंद बिंदु) के अनुरूप होते हैं। विस्थापन के लिए नोड्स $(N)$ वे बिंदु हैं जहाँ दबाव कंपन अधिकतम होता है।
दूसरे हार्मोनिक मोड में,स्थिर तरंग पैटर्न में तीन एंटीनोड्स और दो नोड्स होते हैं। नोड्स एक सिरे से $\frac{\lambda}{4}$ और $\frac{3\lambda}{4}$ की दूरी पर स्थित होते हैं। चूँकि $L = \lambda$ है,ये स्थितियाँ एक सिरे से $\frac{L}{4}$ और $\frac{3L}{4}$ की दूरी पर हैं।
अतः,दबाव कंपन नली के अंदर किसी भी सिरे से $\frac{L}{4}$ की दूरी पर अधिकतम होता है।

(C) $l$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
$(l+x)$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{2(l+x)}$ द्वारा दी जाती है।
बीट आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$।
$f_{beat} = \frac{v}{2l} - \frac{v}{2(l+x)} = \frac{v}{2} \left( \frac{1}{l} - \frac{1}{l+x} \right)$।
$f_{beat} = \frac{v}{2} \left( \frac{l+x-l}{l(l+x)} \right) = \frac{v}{2} \left( \frac{x}{l(l+x)} \right)$।
चूंकि $x << l$,हम $l+x \approx l$ मान सकते हैं।
इसलिए,$f_{beat} \approx \frac{v}{2} \left( \frac{x}{l^2} \right) = \frac{vx}{2l^2}$।

(C) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{\nu}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\lambda = \frac{340}{340} = 1 \, m = 100 \, cm$.
एक बंद ऑर्गन पाइप (अनुनाद नली) के लिए,अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $l$,$l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ को संतुष्ट करती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
वायु स्तंभ की संभावित लंबाइयाँ:
$n=1$ के लिए: $l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \, cm$.
$n=2$ के लिए: $l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{300}{4} = 75 \, cm$.
$n=3$ के लिए: $l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{500}{4} = 125 \, cm$.
चूंकि नली की कुल लंबाई $120 \, cm$ है,इसलिए $l_3 = 125 \, cm$ संभव नहीं है।
जैसे-जैसे पानी डाला जाता है,वायु स्तंभ की लंबाई कम होती जाती है। पहला अनुनाद $l_2 = 75 \, cm$ पर होता है।
पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h = \text{कुल लंबाई} - \text{वायु स्तंभ की लंबाई} = 120 \, cm - 75 \, cm = 45 \, cm$.

(D) $L = 105 \, cm$ लंबाई वाली बंद पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरा ओवरटोन $n = 3$ के अनुरूप है,इसलिए लंबाई $L$ और तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $L = \frac{(2n+1)\lambda}{4} = \frac{7\lambda}{4}$ है।
दिया गया है $L = 105 \, cm$,तो $105 = \frac{7\lambda}{4}$,जिससे हमें $\lambda = \frac{105 \times 4}{7} = 60 \, cm$ प्राप्त होता है।
एक बंद पाइप में,बंद सिरा विस्थापन नोड (दबाव एंटीनोड) होता है और खुला सिरा विस्थापन एंटीनोड (दबाव नोड) होता है।
दबाव नोड बंद सिरे से $x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$ की दूरी पर होते हैं।
$\lambda = 60 \, cm$ के लिए,दबाव नोड की स्थितियाँ $x = 15 \, cm, 45 \, cm, 75 \, cm, \dots$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$45 \, cm$ एक दबाव नोड है।

(D) दिया गया है: हवा में ध्वनि की गति,$v = 350 \, m/s$. ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति,$f = 1750 \, Hz$.
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $L$ वायु स्तंभ की लंबाई है।
प्रारंभ में,$L_1 = 25 \, cm = 0.25 \, m$. मान रखने पर: $1750 = \frac{(2n-1) \times 350}{4 \times 0.25}$.
$1750 = \frac{(2n-1) \times 350}{1} \implies 2n-1 = \frac{1750}{350} = 5 \implies 2n = 6 \implies n = 3$.
उसी ट्यूनिंग फोर्क के साथ फिर से अनुनाद करने के लिए,अगली अनुनाद लंबाई $L_2$,$n = 4$ के अनुरूप है।
$1750 = \frac{(2 \times 4 - 1) \times 350}{4 \times L_2} \implies 1750 = \frac{7 \times 350}{4 \times L_2}$.
$L_2 = \frac{7 \times 350}{4 \times 1750} = \frac{2450}{7000} = 0.35 \, m = 35 \, cm$.
पाइप को ऊपर उठाने की न्यूनतम दूरी $\Delta L = L_2 - L_1 = 35 \, cm - 25 \, cm = 10 \, cm$ है।

(A) $l$ लंबाई के एक बंद ऑर्गन पाइप में,अनुमत आवृत्तियाँ $\nu_n = (2n + 1) \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ कंपन के प्रकार को दर्शाता है।
$n = 0$ के लिए,$\nu_0 = \frac{v}{4l}$ (मूल आवृत्ति या पहला हार्मोनिक)।
$n = 1$ के लिए,$\nu_1 = 3 \frac{v}{4l}$ (पहला ओवरटोन या तीसरा हार्मोनिक)।
$n = 2$ के लिए,$\nu_2 = 5 \frac{v}{4l}$ (दूसरा ओवरटोन या पाँचवाँ हार्मोनिक)।
सामान्य तौर पर,$p^{th}$ ओवरटोन के लिए,हम $n = p$ रखते हैं। आवृत्ति $\nu_p = (2p + 1) \frac{v}{4l}$ है।
चूँकि मूल आवृत्ति $\nu_0 = \frac{v}{4l}$ है,इसलिए हमारे पास $\nu_p = (2p + 1) \nu_0$ है।
अतः,$p^{th}$ ओवरटोन $(2p + 1)^{th}$ हार्मोनिक के अनुरूप है।

(C) अंत सुधार (end correction) के साथ बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें मोड की आवृत्ति $\nu_{n}^{\prime} = \frac{(2n-1)v}{4(L+0.6r_1)}$ है,जहाँ $0.6r_1$ अंत सुधार है।
मूल मोड $(n=1)$ के लिए,$\nu_{1}^{\prime} = \frac{v}{4(L+0.6r_1)}$.
अंत सुधार के साथ खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$m$-वें मोड की आवृत्ति $\nu_{m} = \frac{mv}{2(L+2 \times 0.6r_2)}$ है,जहाँ $0.6r_2$ प्रत्येक सिरे पर अंत सुधार है।
पहले ओवरटोन $(m=2)$ के लिए,$\nu_{2} = \frac{2v}{2(L+1.2r_2)} = \frac{v}{L+1.2r_2}$.
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद करती हैं,इसलिए $\nu_{1}^{\prime} = \nu_{2}$.
अतः,$\frac{v}{4(L+0.6r_1)} = \frac{v}{L+1.2r_2}$.
$L + 1.2r_2 = 4L + 2.4r_1$.
$1.2r_2 - 2.4r_1 = 3L$.
$1.2$ से विभाजित करने पर,हमें $r_2 - 2r_1 = 2.5L$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $L'$ और $L$ क्रमशः बंद और खुले ऑर्गन पाइप की लंबाई हैं।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $\nu_n' = \frac{n v}{4 L'}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए $(n = 1, 3, 5, \dots)$।
बंद पाइप का प्रथम ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप होता है,इसलिए $\nu_{1st, closed} = \frac{3 v}{4 L'}$।
खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$m^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $\nu_m = \frac{m v}{2 L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 1, 2, 3, \dots$।
खुले पाइप का प्रथम ओवरटोन $2^{nd}$ हार्मोनिक $(m=2)$ के अनुरूप होता है,इसलिए $\nu_{1st, open} = \frac{2 v}{2 L} = \frac{v}{L}$।
दिया गया है कि $\nu_{1st, closed} = \nu_{1st, open}$,इसलिए $\frac{3 v}{4 L'} = \frac{v}{L}$,जिसका अर्थ है $\frac{L'}{L} = \frac{3}{4}$।
दिया गया है कि बंद पाइप का $n^{th}$ हार्मोनिक,खुले पाइप के $m^{th}$ हार्मोनिक के बराबर है: $\frac{n v}{4 L'} = \frac{m v}{2 L}$।
$\frac{L'}{L} = \frac{3}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{n}{4(3/4)} = \frac{m}{2} \implies \frac{n}{3} = \frac{m}{2} \implies 2n = 3m$।
विकल्पों की जाँच करने पर: $n=9$ और $m=6$ के लिए,$2(9) = 18$ और $3(6) = 18$। अतः,$n=9$ और $m=6$ सही युग्म है।

(C) अनुनाद नली में,पहले अनुनाद के लिए वायु स्तंभ की लंबाई $l_1 = \frac{\lambda}{4} - e$ होती है,जहाँ $e$ अंत संशोधन (end correction) है।
दूसरे अनुनाद के लिए,लंबाई $l_2 = \frac{3\lambda}{4} - e$ होती है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $l_2 - l_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$।
अतः,$\lambda = 2(l_2 - l_1)$।
पहले अनुनाद के समीकरण में $\lambda$ का मान रखने पर: $l_1 = \frac{2(l_2 - l_1)}{4} - e = \frac{l_2 - l_1}{2} - e$।
इसलिए,अंत संशोधन $e = \frac{l_2 - l_1}{2} - l_1 = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$।
विस्थापन प्रस्पंद नली के खुले सिरे से $e$ दूरी ऊपर स्थित होता है। अतः,दूरी $\frac{l_2 - 3l_1}{2}$ है।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n-1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n=1, 2, 3, ...$ क्रमशः मूल,$1^{st}$ ओवरटोन,$2^{nd}$ ओवरटोन आदि को दर्शाते हैं।
$3^{rd}$ ओवरटोन के लिए,$n=4$,इसलिए आवृत्ति $f_4 = (2(4)-1)f_0 = 7f_0$ है।
$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के संदर्भ में पाइप की लंबाई $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ होती है।
$3^{rd}$ ओवरटोन $(n=4)$ के लिए,$l = \frac{7\lambda}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = \frac{4l}{7}$।
बंद ऑर्गन पाइप में बंद सिरे (नोड) से $x$ दूरी पर विस्थापन आयाम $y(x) = a \sin(kx)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k = \frac{2\pi}{(4l/7)} = \frac{7\pi}{2l}$ रखने पर,हमें $y(x) = a \sin\left(\frac{7\pi x}{2l}\right)$ प्राप्त होता है।
$x = l/7$ पर,आयाम $y(l/7) = a \sin\left(\frac{7\pi (l/7)}{2l}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = a(1) = a$ होगा।

(D) अनुनाद नली में,अनुनाद लंबाइयाँ $L_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4} + e$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है।
क्रमागत अनुनाद लंबाइयों के बीच का अंतर $\Delta L = L_{n+1} - L_n = \frac{\lambda}{2}$ होता है।
दी गई पहली अनुनाद लंबाई $L_1 = 40\, cm$ और दूसरी अनुनाद लंबाई $L_2 = 122\, cm$ है,इसलिए अंतर:
$\Delta L = 122\, cm - 40\, cm = 82\, cm$ है।
चूंकि क्रमागत अनुनाद लंबाइयों के बीच का अंतर स्थिर रहता है,इसलिए तीसरी अनुनाद लंबाई $L_3$ होगी:
$L_3 = L_2 + \Delta L = 122\, cm + 82\, cm = 204\, cm$.

(A) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है। खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $\nu_{open} = \frac{v}{2L}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $\nu_{closed} = \frac{v}{4L}$ है।
विस्पंद आवृत्ति $b = |\nu_{open} - \nu_{closed}| = |\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = \frac{v}{4L} = 4$ द्वारा दी जाती है।
यदि प्रत्येक पाइप की लंबाई दोगुनी कर दी जाए,तो नई लंबाई $L' = 2L$ हो जाती है।
नई आवृत्तियाँ $\nu'_{open} = \frac{v}{2(2L)} = \frac{v}{4L}$ और $\nu'_{closed} = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L}$ हैं।
नई विस्पंद आवृत्ति $b' = |\nu'_{open} - \nu'_{closed}| = |\frac{v}{4L} - \frac{v}{8L}| = \frac{v}{8L}$ है।
चूंकि $\frac{v}{4L} = 4$,इसलिए $\frac{v}{8L} = \frac{4}{2} = 2$ है।
अतः,उत्पन्न विस्पंदों की संख्या $2$ होगी।

(D) एक खुली ऑर्गन पाइप $A$ के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $\nu_{A,n} = (n+1) \frac{v}{2 l_A}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $(n=2)$ $\nu_{A,2} = \frac{3v}{2l_A}$ है।
एक बंद ऑर्गन पाइप $B$ के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $\nu_{B,n} = (2n+1) \frac{v}{4 l_B}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $(n=2)$ $\nu_{B,2} = \frac{5v}{4l_B}$ है।
दिया गया है कि $\nu_{A,2} = \nu_{B,2}$,इसलिए $\frac{3v}{2l_A} = \frac{5v}{4l_B}$।
इसे हल करने पर $\frac{l_B}{l_A} = \frac{5 \times 2}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है। अतः,$B$ और $A$ की लंबाई का अनुपात $5:6$ है।
अब,$A$ का पहला ओवरटोन $(n=1)$ $\nu_{A,1} = \frac{2v}{2l_A} = \frac{v}{l_A}$ है।
$B$ का पहला ओवरटोन $(n=1)$ $\nu_{B,1} = \frac{3v}{4l_B}$ है।
इन आवृत्तियों का अनुपात $\frac{\nu_{A,1}}{\nu_{B,1}} = \frac{v}{l_A} \times \frac{4l_B}{3v} = \frac{4}{3} \times \frac{l_B}{l_A} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$ है।
अतः,दोनों कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) एक खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $T$ स्थिर है,$f \propto \frac{\sqrt{\gamma}}{L \sqrt{M}}$.
मान लीजिए $K = \frac{\sqrt{RT}}{2}$. तब $f = K \frac{\sqrt{\gamma}}{L \sqrt{M}}$.
पाइप $A$ $(H_2)$ के लिए: $L_A = l$,$M_A = 2$,$\gamma_A = 1.4 = 7/5$. अतः,$f_A = K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{2}}$.
पाइप $B$ $(O_2)$ के लिए: $L_B = l/2$,$M_B = 32$,$\gamma_B = 1.4 = 7/5$. अतः,$f_B = K \frac{\sqrt{7/5}}{(l/2) \sqrt{32}} = 2K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{32}}$.
पाइप $C$ $(N_2)$ के लिए: $L_C = 2l/3$,$M_C = 28$,$\gamma_C = 1.4 = 7/5$. अतः,$f_C = K \frac{\sqrt{7/5}}{(2l/3) \sqrt{28}} = \frac{3}{2} K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{28}}$.
पाइप $D$ $(CO_2)$ के लिए: $L_D = l/3$,$M_D = 44$,$\gamma_D = 7/5$. अतः,$f_D = K \frac{\sqrt{7/5}}{(l/3) \sqrt{44}} = 3K \frac{\sqrt{7/5}}{l \sqrt{44}}$.
$f_C/f_D$ की गणना करने पर: $\frac{3K \sqrt{7/5} / (2l \sqrt{28})}{3K \sqrt{7/5} / (l \sqrt{44})} = \frac{1}{2 \sqrt{28}} \times \sqrt{44} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{44}{28}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{7}} = \sqrt{\frac{11}{28}}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ (खुले पाइप के लिए) या $f = \frac{v}{4L}$ (बंद पाइप के लिए) द्वारा दी जाती है।
दोनों स्थितियों में,$f \propto v$,जहाँ $v$ गैस में ध्वनि की गति है।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $T$ नियत है,$v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$. अतः,$f \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
$(A)$ $M(H_2) = 2$,$M(O_2) = 32$. चूंकि $M$ बढ़ता है,$f$ घटता है। कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ $M(O_2) = 32$,$M(N_2) = 28$. चूंकि $M$ घटता है,$f$ बढ़ता है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ $M(He) = 4$,$M(CH_4) = 16$. चूंकि $M$ बढ़ता है,$f$ घटता है। कथन $(C)$ सही है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,लंबाई $L$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का संबंध $n$ वें ओवरटोन के लिए $L = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}$ होता है।
पहले ओवरटोन के लिए,$n = 1$,इसलिए $L = \frac{3\lambda}{4}$।
दिया गया है $L = 1.2 \, m$,इसलिए $\frac{3\lambda}{4} = 1.2 \, m$,जिससे $\lambda = 1.6 \, m$ प्राप्त होता है।
स्थिर तरंगों में,दबाव में परिवर्तन विस्थापन के निस्पंद बिंदुओं (nodes) पर अधिकतम होता है।
एक बंद ऑर्गन पाइप में,खुला सिरा विस्थापन का प्रस्पंद बिंदु (antinode) होता है और बंद सिरा विस्थापन का निस्पंद बिंदु (node) होता है।
विस्थापन के निस्पंद बिंदु बंद सिरे से $x = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \dots$ की दूरी पर होते हैं।
वैकल्पिक रूप से,खुले सिरे से मापने पर,विस्थापन के निस्पंद बिंदु खुले सिरे से $x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \dots$ की दूरी पर होते हैं।
पहले ओवरटोन के लिए,पहला निस्पंद बिंदु (जहाँ दबाव में परिवर्तन अधिकतम होता है) खुले सिरे से $\frac{\lambda}{4} = \frac{1.6}{4} = 0.4 \, m$ की दूरी पर स्थित है।

(C) स्थिर तरंग में दबाव का परिवर्तन $p(x, t) = p_0 \cos(kx) \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
बंद सिरे पर विस्थापन शून्य होता है,जो दबाव के एंटीनोड (अधिकतम दबाव आयाम) के अनुरूप होता है।
खुले सिरे पर दबाव वायुमंडलीय होता है,जो दबाव के नोड (शून्य दबाव आयाम) के अनुरूप होता है।
दिया गया है $p = p_0 \cos \frac{3\pi x}{2} \sin 300\pi t$.
$x = 0$ पर,$p = p_0 \cos(0) \sin(300\pi t) = p_0 \sin(300\pi t)$। चूंकि दबाव का आयाम अधिकतम $(p_0)$ है,इसलिए $x = 0$ एक बंद सिरा है।
दूसरे सिरे के बंद होने के लिए,दबाव का आयाम अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $|\cos \frac{3\pi x}{2}| = 1$।
यह तब होता है जब $\frac{3\pi x}{2} = n\pi$ हो,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
पहली संभावित लंबाई $L > 0$ के लिए,हम $n = 3$ लेते हैं,जिससे $\frac{3\pi L}{2} = 3\pi$,जो $L = 2 \ m$ देता है।
अतः,पाइप दोनों सिरों पर बंद है और इसकी लंबाई $2 \ m$ है।

(B) अनुनाद स्तंभ प्रयोग में,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
सर्दियों में पहले अनुनाद के लिए,लंबाई $\ell_1 = 18 \ cm$ है। आवृत्ति $f = \frac{v}{4 \ell_1} = \frac{v}{4 \times 18}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ सर्दियों में ध्वनि की गति है।
गर्मियों में दूसरे अनुनाद के लिए,लंबाई $\ell_2 = x \ cm$ है। आवृत्ति $f = \frac{3v'}{4 \ell_2} = \frac{3v'}{4x}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v'$ गर्मियों में ध्वनि की गति है।
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{v}{4 \times 18} = \frac{3v'}{4x}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 54 \times \frac{v'}{v} \ cm$.
चूंकि गर्मियों में तापमान सर्दियों की तुलना में अधिक होता है,इसलिए ध्वनि की गति $v' > v$ होती है (क्योंकि $v \propto \sqrt{T}$)।
अतः,$x > 54 \ cm$।

(B) दोनों सिरों पर खुली $\ell$ लंबाई वाली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब पाइप को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी आधी लंबाई पानी के अंदर हो,तो वायु स्तंभ की लंबाई $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{2}$ हो जाती है।
चूंकि पाइप अब एक सिरे पर बंद (पानी की सतह द्वारा) और दूसरे सिरे पर खुली है,इसलिए यह एक सिरे पर बंद पाइप के रूप में कार्य करती है।
एक सिरे पर बंद और $\ell^{\prime}$ लंबाई वाली पाइप की मूल आवृत्ति $f^{\prime} = \frac{v}{4\ell^{\prime}}$ होती है।
समीकरण में $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{2}$ रखने पर,हमें $f^{\prime} = \frac{v}{4(\ell/2)} = \frac{v}{2\ell}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्रारंभिक आवृत्ति के साथ तुलना करने पर,हमें $f^{\prime} = f$ प्राप्त होता है।

(D) $L$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
यहाँ $L = 1.95 \, m$ दिया गया है,और दो क्रमिक हार्मोनिक्स $f_n = 275 \, Hz$ और $f_{n+1} = 330 \, Hz$ हैं।
दो क्रमिक हार्मोनिक्स के बीच का अंतर मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ होता है।
$f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L} = 330 - 275 = 55 \, Hz$.
$L$ का मान रखने पर:
$\frac{v}{2 \times 1.95} = 55$.
$v = 55 \times 3.9 = 214.5 \, m/s$.

(A) दोनों सिरों पर स्थिर $d$ लंबाई के तार की मूल आवृत्ति $(n_0)$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $n_0 = \frac{1}{2d} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
चूंकि कॉर्ड अपनी सबसे सरल स्थिर-तरंग अवस्था (मूल मोड) में कंपन करती है,इसलिए कंपन की आवृत्ति $f$ मूल आवृत्ति $n_0$ के बराबर होती है।
इसलिए,$f = \frac{1}{2d} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है: $f^2 = \frac{1}{4d^2} \cdot \frac{T}{\mu}$.
तनाव $T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $T = 4\mu f^2 d^2$.

(B) रेजोनेंस कॉलम प्रयोग में,पहली रेजोनेंस लंबाई $l_1$ का सूत्र है: $\frac{\lambda}{4} = l_1 + e$,जहाँ $e$ एंड करेक्शन है।
$d$ व्यास वाली ट्यूब के लिए एंड करेक्शन $e = 0.3d$ होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा ज्ञात की जाती है,जहाँ $v = 336 \ m/s$ और $f = 512 \ Hz$ है।
$\lambda = \frac{336}{512} \approx 0.65625 \ m = 65.625 \ cm$.
अतः,$\frac{\lambda}{4} = \frac{65.625}{4} = 16.40625 \ cm$.
दिए गए व्यास $d = 4 \ cm$ के लिए,एंड करेक्शन $e = 0.3 \times 4 = 1.2 \ cm$ है।
इन मानों को रेजोनेंस सूत्र में रखने पर: $l_1 = \frac{\lambda}{4} - e = 16.40625 - 1.2 = 15.20625 \ cm$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,रीडिंग $15.2 \ cm$ प्राप्त होती है।

(C) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$2^{nd}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_1 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $L$ डोरी की लंबाई है।
जब एक सिरा मुक्त हो जाता है,तो डोरी एक सिरे पर बंद पाइप की तरह व्यवहार करती है। अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
हमें दिया गया है कि आवृत्ति को $f_1$ से बढ़ाया जाता है। हमें नई विन्यास के लिए पहली अनुनाद आवृत्ति $f_2 > f_1$ ज्ञात करनी है।
$f_2 = \frac{nv}{4L} > f_1 = \frac{v}{L}$ रखने पर,हमें $\frac{nv}{4L} > \frac{v}{L}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n > 4$.
$4$ से बड़ा सबसे छोटा विषम पूर्णांक $n = 5$ है।
अतः,$f_2 = \frac{5v}{4L} = \frac{5}{4} \left( \frac{v}{L} \right) = \frac{5}{4}f_1$.

(D) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ हार्मोनिक संख्या है।
मूल आवृत्ति $(n=1)$ पहला हार्मोनिक है।
पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है।
दूसरा ओवरटोन पाँचवाँ हार्मोनिक $(n=3)$ है।
तीसरा ओवरटोन सातवाँ हार्मोनिक $(n=4)$ है।
बंद पाइप में $n$-वें हार्मोनिक के लिए,नोड्स की संख्या $n$ होती है और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
चूँकि तीसरा ओवरटोन $4$-थे हार्मोनिक $(n=4)$ के अनुरूप है,इसलिए पाइप में हवा के स्तंभ में $4$ नोड्स और $4$ एंटीनोड्स होंगे।

(D) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f = 340 \, Hz$ है और ध्वनि की गति $v = 340 \, m/s$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \, m = 100 \, cm$ है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$,$L = \frac{n \lambda}{4}$ को संतुष्ट करती है,जहाँ $n = 1, 3, 5, \ldots$ है।
$\lambda = 100 \, cm$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = \frac{n \times 100}{4} = 25n \, cm$ प्राप्त होता है।
वायु स्तंभ की संभावित लंबाई $L = 25 \, cm, 75 \, cm, 125 \, cm, \ldots$ है।
चूंकि पाइप की कुल लंबाई $120 \, cm$ है,इसलिए वायु स्तंभ की लंबाई $L \le 120 \, cm$ होनी चाहिए। अतः,$L$ के लिए संभावित मान $25 \, cm$ और $75 \, cm$ हैं।
पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h$,$h = 120 - L$ द्वारा दी जाती है।
पानी के स्तंभ की न्यूनतम ऊंचाई ज्ञात करने के लिए,हमें वायु स्तंभ की अधिकतम संभावित लंबाई चुननी होगी,जो $L = 75 \, cm$ है।
इसलिए,$h_{\min} = 120 \, cm - 75 \, cm = 45 \, cm$।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = n f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $f_1$ मूल आवृत्ति है।
दो क्रमागत अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = 252 \ Hz$ और $f_{n+1} = 336 \ Hz$ दी गई हैं।
अनुपात लेने पर: $\frac{f_{n+1}}{f_n} = \frac{(n+1) f_1}{n f_1} = \frac{n+1}{n} = \frac{336}{252}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{336}{252} = \frac{4}{3}$.
अतः,$\frac{n+1}{n} = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $n = 3$.
$f_n = n f_1$ में $n = 3$ रखने पर,हमें $252 = 3 f_1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f_1 = \frac{252}{3} = 84 \ Hz$।

(B) $L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
$l$ लंबाई की पहली पाइप के लिए,आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4l}$ है।
$l + x$ लंबाई की दूसरी पाइप के लिए,आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{4(l + x)}$ है।
बीट आवृत्ति $f_b$ इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = f_1 - f_2 = \frac{v}{4l} - \frac{v}{4(l + x)}$.
$\frac{v}{4}$ को कॉमन लेने पर,हमें मिलता है $f_b = \frac{v}{4} \left( \frac{1}{l} - \frac{1}{l + x} \right) = \frac{v}{4} \left( \frac{l + x - l}{l(l + x)} \right) = \frac{v}{4} \left( \frac{x}{l(l + x)} \right)$.
चूंकि $x << l$,हम $l + x \approx l$ मान सकते हैं,इसलिए $l(l + x) \approx l^2$.
अतः,बीट आवृत्ति $f_b \approx \frac{vx}{4l^2}$ है।

(C) अनुनाद नली प्रयोग में,अनुनाद लंबाई का सूत्र $\ell_n + \varepsilon = \frac{(2n-1)v}{4f_0}$ होता है,जहाँ $\varepsilon$ अंत सुधार (end correction) है,$v$ ध्वनि की गति है और $f_0$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है।
प्रथम अनुनाद $(n=1)$ के लिए: $\ell_1 + \varepsilon = \frac{v}{4f_0}$.
द्वितीय अनुनाद $(n=2)$ के लिए: $\ell_2 + \varepsilon = \frac{3v}{4f_0}$.
तृतीय अनुनाद $(n=3)$ के लिए: $\ell_3 + \varepsilon = \frac{5v}{4f_0}$.
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $\ell_2 - \ell_1 = \frac{3v}{4f_0} - \frac{v}{4f_0} = \frac{2v}{4f_0} = \frac{v}{2f_0}$.
इस प्रकार,क्रमिक अनुनाद लंबाई के बीच का अंतर स्थिर होता है: $\ell_2 - \ell_1 = \ell_3 - \ell_2 = \frac{v}{2f_0}$.
अतः,$\ell_3 = \ell_2 + (\ell_2 - \ell_1) = 2\ell_2 - \ell_1$.

(C) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{th}$ मोड ऑफ वाइब्रेशन की आवृत्ति $(v_{n})_{o} = \frac{nv}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{th}$ मोड ऑफ वाइब्रेशन की आवृत्ति $(v_{n})_{c} = (2n - 1) \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप और बंद पाइप के $n^{th}$ मोड की आवृत्ति का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{(v_{n})_{o}}{(v_{n})_{c}} = \frac{\frac{nv}{2l}}{(2n - 1) \frac{v}{4l}}$
$\frac{(v_{n})_{o}}{(v_{n})_{c}} = \frac{nv}{2l} \times \frac{4l}{(2n - 1)v}$
$\frac{(v_{n})_{o}}{(v_{n})_{c}} = \frac{2n}{2n - 1}$

(B) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4\ell_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell_c = 20\; cm$ है।
खुली ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{2\ell_o}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहला ओवरटोन $n=2$ है,और दूसरा ओवरटोन $n=3$ है।
अतः,खुली ऑर्गन पाइप की दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o,2} = \frac{3v}{2\ell_o}$ है।
प्रश्न के अनुसार,बंद पाइप की मूल आवृत्ति खुली पाइप के दूसरे ओवरटोन के बराबर है:
$\frac{v}{4\ell_c} = \frac{3v}{2\ell_o}$
दोनों पक्षों से $v$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4\ell_c} = \frac{3}{2\ell_o}$
$\ell_o$ के लिए हल करने पर:
$\ell_o = \frac{3 \times 4\ell_c}{2} = 6\ell_c$
$\ell_c = 20\; cm$ रखने पर:
$\ell_o = 6 \times 20\; cm = 120\; cm$.