Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(C) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
$l$ लंबाई वाली पहली पाइप के लिए,आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2l}$ है।
$(l + \Delta l)$ लंबाई वाली दूसरी पाइप के लिए,आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{2(l + \Delta l)}$ है।
बीट आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_{beat} = n_1 - n_2 = \frac{v}{2l} - \frac{v}{2(l + \Delta l)}$.
$\frac{v}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $f_{beat} = \frac{v}{2} \left( \frac{1}{l} - \frac{1}{l + \Delta l} \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f_{beat} = \frac{v}{2} \left( \frac{l + \Delta l - l}{l(l + \Delta l)} \right) = \frac{v \Delta l}{2l(l + \Delta l)}$.
चूंकि $\Delta l$,$l$ की तुलना में बहुत छोटा है,हम $l + \Delta l \approx l$ मान सकते हैं।
अतः,$f_{beat} \approx \frac{v \Delta l}{2l^2}$.

(A) एक सिरे पर बंद नली के लिए,मूल आवृत्ति $f_{closed} = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $L$ नली की लंबाई है।
दिया गया है $f_{closed} = 512 \ Hz$।
दोनों सिरों पर खुली नली के लिए,मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $f_{open} = 2 \times f_{closed}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f_{open} = 2 \times 512 \ Hz = 1024 \ Hz$।

(C) $l_1$ लंबाई वाली बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{c1} = \frac{v}{4l_1}$ है। प्रथम ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक है,$f_{c,over1} = 3 \times \frac{v}{4l_1} = \frac{3v}{4l_1}$।
$l_2$ लंबाई वाली खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{o1} = \frac{v}{2l_2}$ है। प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक है,$f_{o,over1} = 2 \times \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{l_2}$।
यह दिया गया है कि प्रथम ओवरटोन की आवृत्ति समान है:
$\frac{3v}{4l_1} = \frac{v}{l_2}$
$\frac{3}{4l_1} = \frac{1}{l_2}$
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{4}$
अतः,उनकी लंबाई का अनुपात $3:4$ है।

(D) $l$ लंबाई के बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{4l}$ है। प्रथम ओवरटोन अगला हार्मोनिक है,जो $f_1 = \frac{3v}{4l}$ है।
समान लंबाई $l$ के खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{open,0} = \frac{v}{2l}$ है।
खुले पाइप का प्रथम ओवरटोन $f_{open,1} = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l}$ है।
$f_1 = \frac{3v}{4l}$ की तुलना विकल्पों से करने पर:
- विकल्प $A$: $f_{open,0} = \frac{v}{2l} = \frac{2v}{4l} \neq \frac{3v}{4l}$.
- विकल्प $B$: $2 \times f_{open,0} = 2 \times \frac{v}{2l} = \frac{v}{l} = \frac{4v}{4l} \neq \frac{3v}{4l}$.
- विकल्प $C$: $f_{open,1} = \frac{v}{l} = \frac{4v}{4l} \neq \frac{3v}{4l}$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(C) एक बंद पाइप (बर्तन) के लिए,मूल आवृत्ति $n$ का मान $n = \frac{v}{4l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l$ वायु स्तंभ की लंबाई है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{l}$ है।
जब बर्तन को आंशिक रूप से पानी से भरा जाता है,तो वायु स्तंभ की लंबाई $l$ कम हो जाती है।
चूंकि आवृत्ति $n$,लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए $l$ में कमी होने से आवृत्ति $n$ में वृद्धि होती है।
अतः,वायु स्तंभ के कंपन की आवृत्ति बढ़ जाती है।

(D) बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l$ नली की लंबाई है।
$1$. हवा को हाइड्रोजन गैस से बदलना: चूंकि $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$,ध्वनि की गति मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(v \propto \frac{1}{\sqrt{M}})$। चूंकि हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $(M_{H_2})$ हवा के मोलर द्रव्यमान $(M_{air})$ से कम होता है,इसलिए हाइड्रोजन में ध्वनि की गति अधिक होती है,जिससे आवृत्ति $n$ बढ़ जाती है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
$2$. नली की लंबाई कम करना: चूंकि $n \propto \frac{1}{l}$,लंबाई $l$ को कम करने से मूल आवृत्ति $n$ बढ़ जाती है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3$. नली के बंद सिरे को खोलना: एक खुली नली की मूल आवृत्ति $n_{open} = \frac{v}{2l}$ होती है,जो बंद नली की मूल आवृत्ति $(n_{closed} = \frac{v}{4l})$ की दोगुनी होती है। अतः,सिरा खोलने से आवृत्ति बढ़ जाती है। विकल्प $(C)$ सही है।
चूंकि तीनों विधियाँ मूल आवृत्ति को बढ़ाती हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{v}{4l}$ है।
यहाँ,$n = 166 \,Hz$ और $v = 332 \,m/s$ है।
लंबाई $l$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $l = \frac{v}{4n}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $l = \frac{332}{4 \times 166} = \frac{332}{664} = 0.5 \,m$.
अतः,हवा के स्तंभ की लंबाई $0.5 \,m$ है।

(A) खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $(n)$ का सूत्र है: $n = \frac{v}{2l}$।
दिया गया है:
ध्वनि का वेग $(v)$ = $350 \ m/s$।
पाइप की लंबाई $(l)$ = $50 \ cm = 0.5 \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$n = \frac{350}{2 \times 0.5} = \frac{350}{1} = 350 \ Hz$।
अतः,मूल आवृत्ति $350 \ Hz$ है।

(B) $l$ लंबाई वाले बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति (प्रथम स्वर) $n_1 = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 330 \ m/s$ और $l = 1 \ m$ दिया गया है,इसलिए $n_1 = \frac{330}{4 \times 1} = \frac{330}{4} \ Hz$ प्राप्त होता है।
बंद पाइप में स्वरों की आवृत्तियाँ विषम गुणकों में होती हैं: $n_k = (2k - 1)n_1$,जहाँ $k = 1, 2, 3, ...$ है।
प्रथम स्वर $n_1 = 1 \times n_1$ है।
दूसरा स्वर (प्रथम अधिस्वरक) $n_2 = 3 \times n_1 = 3 \times \frac{330}{4} \ Hz$ होगा।

(C) $l$ लंबाई वाले एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{closed}} = \frac{v}{4l} = f$ द्वारा दी जाती है।
समान लंबाई $l$ वाले एक खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{open}} = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $n_{\text{open}} = 2 \times \left( \frac{v}{4l} \right) = 2f$ प्राप्त होता है।
अतः,खुले ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $2f$ है।

(B) मनुष्य द्वारा सुनी जा सकने वाली न्यूनतम आवृत्ति $f_{min} = 20 \ Hz$ होती है।
$l$ लंबाई के बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{v}{4l}$ है।
केवल सुनाई देने वाली ध्वनि उत्पन्न करने वाली पाइप की अधिकतम लंबाई $l$ ज्ञात करने के लिए,हम न्यूनतम श्रव्य आवृत्ति का उपयोग करेंगे:
$20 = \frac{336}{4l}$
$l = \frac{336}{4 \times 20}$
$l = \frac{336}{80}$
$l = 4.2 \ m$.
अतः,पाइप की अधिकतम लंबाई $4.2 \ m$ है।

(C) $L_1$ लंबाई वाले बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$k$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $n = \frac{(2k+1)v}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है। पहले ओवरटोन के लिए,$k=1$,इसलिए $n_1 = \frac{3v}{4L_1}$.
$L_2$ लंबाई वाले खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$m$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $n = \frac{(m+1)v}{2L_2}$ द्वारा दी जाती है। तीसरे ओवरटोन के लिए,$m=3$,इसलिए $n_2 = \frac{4v}{2L_2} = \frac{2v}{L_2}$.
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए $n_1 = n_2$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{3v}{4L_1} = \frac{2v}{L_2}$.
अनुपात $\frac{L_1}{L_2}$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3v}{4} \times \frac{1}{2v} = \frac{3}{8}$.
अतः,अनुपात $3:8$ है।

(B) बंद पाइप (अनुनाद वायु स्तंभ) के लिए,मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{v}{4l}$ है,जहाँ $n$ आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है और $l$ वायु स्तंभ की लंबाई है।
दिया गया है: $n = 250 \ Hz$ और $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$250 = \frac{v}{4 \times 0.2}$
$250 = \frac{v}{0.8}$
$v = 250 \times 0.8 = 200 \ m/s$।
अतः,हवा में ध्वनि की गति $200 \ m/s$ है।

(B) $L$ लंबाई की खुली नली की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी आधी लंबाई पानी के अंदर हो,तो नली प्रभावी रूप से एक बंद पाइप (एक सिरे पर पानी की सतह द्वारा बंद) बन जाती है,जिसकी नई लंबाई $L' = L/2$ है।
$L'$ लंबाई के बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $L' = L/2$ रखने पर,हमें $f' = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L}$ प्राप्त होता है।
इसकी मूल आवृत्ति के साथ तुलना करने पर,हमें $f' = f_0$ प्राप्त होता है।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,नोटों की आवृत्तियाँ सूत्र $f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ $n^{th}$ नोट को दर्शाता है।
यहाँ,$L = 1.5 \, m$ और $v = 330 \, m/s$ है।
पहला नोट (मूल आवृत्ति) $n = 1$ के अनुरूप है।
दूसरा नोट $n = 2$ के अनुरूप है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर:
$f_2 = \frac{(2 \times 2 - 1)v}{4L} = \frac{3v}{4L}$.
$f_2 = \frac{3 \times 330}{4 \times 1.5} = \frac{990}{6} = 165 \, Hz$.

(B) दोनों सिरों पर खुली पाइप की मूल आवृत्ति $(n_1)$ का सूत्र है: $n_1 = \frac{v}{2l}$।
यहाँ,$v = 330 \ ms^{-1}$ और $l = 30 \ cm = 0.3 \ m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $n_1 = \frac{330}{2 \times 0.3} = \frac{330}{0.6} = 550 \ Hz$।
खुली पाइप में हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $n_k = k \times n_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
हमें स्रोत की आवृत्ति $f = 1.1 \ kHz = 1100 \ Hz$ दी गई है।
$n_k = f$ रखने पर,हमें मिलता है: $k \times 550 = 1100$।
$k$ के लिए हल करने पर: $k = \frac{1100}{550} = 2$।
अतः,$2^{nd}$ हार्मोनिक मोड अनुनादित होता है।

(B) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए कि दो पाइपों की लंबाई $l_1 = 1 \ m$ और $l_2$ है (जहाँ $l_2 < l_1$)।
आवृत्तियाँ $n_1 = \frac{v}{4l_1}$ और $n_2 = \frac{v}{4l_2}$ हैं।
चूँकि $l_2 < l_1$,इसलिए $n_2 > n_1$। बीट आवृत्ति $n_2 - n_1 = 4 \ Hz$ है।
मान रखने पर: $\frac{v}{4l_2} - \frac{v}{4l_1} = 4$.
$\frac{300}{4} \left( \frac{1}{l_2} - \frac{1}{1} \right) = 4$.
$75 \left( \frac{1}{l_2} - 1 \right) = 4$.
$\frac{1}{l_2} - 1 = \frac{4}{75} = 0.0533$.
$\frac{1}{l_2} = 1.0533$.
$l_2 = \frac{1}{1.0533} \approx 0.9493 \ m = 94.93 \ cm$.
अतः,छोटे पाइप की लंबाई लगभग $94.9 \ cm$ है।

(A) अनुनाद स्तंभ में,बंद सिरा विस्थापन नोड और दबाव एंटीनोड के रूप में कार्य करता है।
बंद सिरे पर,ध्वनि तरंग के कारण दबाव में परिवर्तन अपने अधिकतम आयाम ${\rho _0}$ तक पहुँच जाता है।
किसी भी बिंदु पर कुल दबाव वायुमंडलीय दबाव ${\rho _A}$ और ध्वनि तरंग के कारण दबाव परिवर्तन का योग होता है।
इसलिए,बंद सिरे पर अधिकतम दबाव ${\rho _{\max }} = {\rho _A} + {\rho _0}$ है।
बंद सिरे पर न्यूनतम दबाव ${\rho _{\min }} = {\rho _A} - {\rho _0}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम दबाव का अनुपात $\frac{{{\rho _{\max }}}}{{{\rho _{\min }}}} = \frac{{{\rho _A} + {\rho _0}}}{{{\rho _A} - {\rho _0}}}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v$ स्थिर है,$n \propto \frac{1}{l}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$।
लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 = 25 : 26$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n_1}{n_2} = \frac{26}{25}$,या $n_1 = \frac{26}{25}n_2$।
विस्पंद आवृत्ति $|n_1 - n_2| = 10$ है।
$n_1$ का मान रखने पर,$\frac{26}{25}n_2 - n_2 = 10$।
$\frac{1}{25}n_2 = 10 \implies n_2 = 250 \text{ Hz}$।
अतः $n_1 = \frac{26}{25} \times 250 = 260 \text{ Hz}$।
इस प्रकार,आवृत्तियाँ $260 \text{ Hz}$ और $250 \text{ Hz}$ हैं।

(A) मान लीजिए कि $l_1$ बंद ऑर्गन पाइप की लंबाई है और $l_2$ खुली ऑर्गन पाइप की लंबाई है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{4l_1}$ है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{2l_2}$ है।
यह दिया गया है कि मूल आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $n_1 = n_2$ है।
अतः,$\frac{v}{4l_1} = \frac{v}{2l_2}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{4l_1} = \frac{1}{2l_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,बंद पाइप और खुली पाइप की लंबाई का अनुपात $1:2$ है।

(B) अप्रगामी तरंग में दो क्रमिक निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि निस्पंद खुले सिरे से $16 \ cm$ और $46 \ cm$ पर हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी:
$\frac{\lambda}{2} = 46 \ cm - 16 \ cm = 30 \ cm$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \times 30 \ cm = 60 \ cm = 0.6 \ m$.
ध्वनि की गति $v$ सूत्र $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ आवृत्ति है।
दिया गया है $f = 500 \ Hz$ और $\lambda = 0.6 \ m$:
$v = 500 \times 0.6 = 300 \ m/s$.

(A) एक बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र है: $n = \frac{v}{4l}$।
यहाँ,ध्वनि की गति $v = 332 \, m/s$ और वायु स्तंभ की लंबाई $l = 42 \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$n = \frac{332}{4 \times 42}$
$n = \frac{332}{168}$
$n \approx 1.976 \, Hz$,जो लगभग $2 \, Hz$ है।

(A) एक बंद पाइप के लिए,अनुनाद तब होता है जब पाइप की लंबाई $l$ मूल आवृत्ति के विषम हार्मोनिक्स के अनुरूप होती है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति (प्रथम हार्मोनिक) का सूत्र $n = \frac{v}{4l}$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
दी गई आवृत्ति $n$ के लिए न्यूनतम लंबाई $l$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$l = \frac{v}{4n}$.
अतः,बंद पाइप की न्यूनतम लंबाई $\frac{v}{4n}$ है।

(B) खुले ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_{open} = \frac{v}{2L} = 320 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
समान लंबाई $L$ के बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_{closed} = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $n_{closed} = \frac{1}{2} \times n_{open}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान को रखने पर: $n_{closed} = \frac{1}{2} \times 320 \ Hz = 160 \ Hz$।

(C) एक बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $n_k = (2k-1)n_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ है।
$1^{st}$ ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक $(3n_1)$ होता है।
$2^{nd}$ ओवरटोन $5^{th}$ हार्मोनिक $(5n_1)$ होता है।
दी गई मूल आवृत्ति $n_1 = 50\,Hz$ है।
इसलिए,$2^{nd}$ ओवरटोन की आवृत्ति $n_3 = 5 \times n_1 = 5 \times 50\,Hz = 250\,Hz$ है।

(A) खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई लंबाई $l_1 = 25 \ cm = 0.25 \ m$ और $l_2 = 25.5 \ cm = 0.255 \ m$ है।
बीट आवृत्ति $n_1 - n_2 = 10 \ \text{beats/sec}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 10$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.25} - \frac{1}{0.255} \right) = 10$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.255 - 0.25}{0.25 \times 0.255} \right) = 10$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.005}{0.06375} \right) = 10$.
$v \left( \frac{0.005}{0.1275} \right) = 10$.
$v = \frac{10 \times 0.1275}{0.005} = 2000 \times 0.1275 = 255 \ m/s$.

(A) दोनों सिरों पर खुली नली के लिए,मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2L}$ है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $L$ नली की लंबाई है।
दिया गया है: $f = 350 \ Hz$ और $v = 350 \ m/s$.
सूत्र में मान रखने पर: $350 = \frac{350}{2L}$.
समीकरण को सरल करने पर: $1 = \frac{1}{2L}$,जिससे $2L = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = 0.5 \ m$.
लंबाई को सेंटीमीटर में बदलने पर: $L = 0.5 \times 100 \ cm = 50 \ cm$.

(B) एक खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,बीट आवृत्ति $4 \ Hz$ है,इसलिए $\Delta n = n_1 - n_2 = 4$.
मान रखने पर: $\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 4$.
यहाँ $l_1 = 1.00 \ m$ और $l_2 = 1.025 \ m$ है।
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{1.00} - \frac{1}{1.025} \right) = 4$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{1.025 - 1.00}{1.00 \times 1.025} \right) = 4$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.025}{1.025} \right) = 4$.
$v = \frac{4 \times 2 \times 1.025}{0.025} = \frac{8.2}{0.025} = 328 \ m/s$.

(A) एक सिरे पर खुली पाइप (बंद पाइप) में,सीमा शर्तों के अनुसार बंद सिरे पर एक निस्पंद (node) और खुले सिरे पर एक प्रस्पंद (antinode) होना आवश्यक है।
$L$ लंबाई की पाइप के लिए,अनुमत तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{4L}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 3, 5, ...$ है।
संगत आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{4L}$ हैं,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
चूंकि $n$ केवल विषम पूर्णांक मान ही ले सकता है,इसलिए एक सिरे पर खुली पाइप में केवल विषम हार्मोनिक्स ही उपस्थित होते हैं।

(D) मान लीजिए पाइप की लंबाई $l$ है और ध्वनि की गति $v$ है।
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{4l}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है $(n = 1, 3, 5, ...)$।
बंद पाइप का तीसरा हार्मोनिक $n = 3$ के अनुरूप है,इसलिए $f_{closed, 3} = \frac{3v}{4l}$।
प्रश्न के अनुसार,बंद पाइप के तीसरे हार्मोनिक की आवृत्ति खुली पाइप की मूल आवृत्ति से $100 \ Hz$ अधिक है:
$f_{closed, 3} = f_{open} + 100$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3v}{4l} = \frac{v}{2l} + 100$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{3v}{4l} - \frac{2v}{4l} = 100$
$\frac{v}{4l} = 100$
हमें खुली पाइप की मूल आवृत्ति ज्ञात करनी है,जो $f_{open} = \frac{v}{2l}$ है।
चूंकि $\frac{v}{4l} = 100$,इसलिए $\frac{v}{2l} = 2 \times 100 = 200 \ Hz$।

(C) $l$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप (नली $A$) के लिए,मूल आवृत्ति $n_A = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
समान लंबाई $l$ वाली बंद ऑर्गन पाइप (नली $B$) के लिए,मूल आवृत्ति $n_B = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
नली $A$ और नली $B$ की मूल आवृत्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{v/2l}{v/4l} = \frac{4l}{2l} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(B) एक अप्रगामी तरंग समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से बनती है जो विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं।
दी गई आपतित तरंग $y_1 = a \sin (\omega t - kx)$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,बंद सिरे पर परावर्तन $\pi$ का कला परिवर्तन उत्पन्न करता है।
अतः,परावर्तित तरंग $y_2 = a \sin (\omega t + kx + \pi)$ होगी।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin (\theta + \pi) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $y_2 = -a \sin (\omega t + kx)$ प्राप्त होता है।
इन दो तरंगों का अध्यारोपण $y = y_1 + y_2 = a \sin (\omega t - kx) - a \sin (\omega t + kx)$ है।
सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = 2a \cos \omega t \sin (-kx) = -2a \sin kx \cos \omega t$ प्राप्त होता है।
नोट: चिह्न निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु पर निर्भर करता है; तरंग $y = -a \sin (\omega t + kx)$ सही परावर्तित घटक है।

(C) जब एक खुली पाइप अपने मूल विधा में कंपन करती है,तो पाइप के सिरों पर विस्थापन के निस्पंद (nodes) बनते हैं और पाइप के केंद्र में विस्थापन का प्रस्पंद (antinode) बनता है।
दाब में परिवर्तन,विस्थापन में परिवर्तन के व्युत्क्रमानुपाती होता है। जहाँ विस्थापन अधिकतम होता है (प्रस्पंद),वहाँ दाब में परिवर्तन न्यूनतम होता है (निस्पंद)। जहाँ विस्थापन न्यूनतम होता है (निस्पंद),वहाँ दाब में परिवर्तन अधिकतम होता है (प्रस्पंद)।
अतः,दाब में परिवर्तन पाइप के सिरों पर अधिकतम होता है,जहाँ विस्थापन के निस्पंद स्थित होते हैं।

(C) दी गई आवृत्तियाँ $100 \ Hz$,$300 \ Hz$ और $500 \ Hz$ हैं।
ये आवृत्तियाँ $1:3:5$ के अनुपात का पालन करती हैं।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुमत आवृत्तियाँ $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$ (केवल विषम हार्मोनिक्स)।
चूंकि देखी गई आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति $(100 \ Hz)$ के विषम गुणज हैं,इसलिए पाइप एक सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुली होनी चाहिए।

(B) $0.5 \ m$ लंबाई वाले खुले पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है।
$l_c$ लंबाई वाले बंद पाइप का पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक होता है,जो $f_c = \frac{3v}{4l_c}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$f_o = f_c$,इसलिए:
$\frac{v}{2 \times 0.5} = \frac{3v}{4l_c}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{v}{1} = \frac{3v}{4l_c}$.
दोनों पक्षों से $v$ को हटाने पर:
$1 = \frac{3}{4l_c}$.
$l_c$ के लिए हल करने पर:
$4l_c = 3 \implies l_c = \frac{3}{4} = 0.75 \ m$.

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप में केवल विषम हार्मोनिक्स (odd harmonics) उत्पन्न होते हैं। मूल आवृत्ति $f_1 = 50 \ Hz$ है। संभावित आवृत्तियाँ $f_n = n \times f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है $(n = 1, 3, 5, 7, \dots)$।
अतः,संभावित आवृत्तियाँ $50 \ Hz, 150 \ Hz, 250 \ Hz, 350 \ Hz$ आदि हैं।
चूंकि $100 \ Hz$ मूल आवृत्ति का एक सम गुणज है,इसलिए यह बंद ऑर्गन पाइप द्वारा उत्पन्न नहीं की जा सकती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) अप्रगामी तरंग (stationary wave) में दो क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
$6$ क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के लिए,ऐसे $5$ अंतराल होते हैं।
अतः,कुल दूरी $d = 5 \times \frac{\lambda}{2} = 85 \text{ cm}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{2 \times 85}{5} = 34 \text{ cm} = 0.34 \text{ m}$।
ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = f \lambda$ है,जहाँ $f = 1000 \text{ Hz}$ है।
$v = 1000 \times 0.34 = 340 \text{ m/s}$।

(B) एक बंद पाइप के लिए,अनुमत आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति $(n)$ के विषम गुणज होती हैं,जो $n, 3n, 5n, 7n, \dots$ द्वारा दी जाती हैं।
एक खुले पाइप के लिए,अनुमत आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति $(n)$ के सभी गुणज होती हैं,जो $n, 2n, 3n, 4n, \dots$ द्वारा दी जाती हैं।
दी गई आवृत्तियाँ $255, 425$ और $595 \text{ Hz}$ हैं।
मान लीजिए मूल आवृत्ति $n$ है। हम इन आवृत्तियों का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ ज्ञात करते हैं।
$255 = 3 \times 85$
$425 = 5 \times 85$
$595 = 7 \times 85$
चूंकि सभी दी गई आवृत्तियाँ $85 \text{ Hz}$ के विषम गुणज $(3n, 5n, 7n)$ हैं,इसलिए पाइप एक सिरे पर बंद होनी चाहिए।
अतः,मूल आवृत्ति $n = 85 \text{ Hz}$ है।

(A) एक बंद ऑर्गन पाइप में,मूल आवृत्ति (प्रथम हार्मोनिक) लंबाई $l_1 = \frac{\lambda}{4}$ के अनुरूप होती है।
बंद ऑर्गन पाइप में तीसरा हार्मोनिक लंबाई $l_3 = \frac{3\lambda}{4}$ के अनुरूप होता है।
इसलिए,तीसरे हार्मोनिक की लंबाई और मूल आवृत्ति के बीच का संबंध $l_3 = 3 \times l_1$ है।
दिया गया है कि $l_1 = 24.7 \, cm$,इसलिए हम गणना करते हैं कि $l_3 = 3 \times 24.7 \, cm = 74.1 \, cm$।

(C) एक खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $v = 330 \ m/s$,$l = 33 \ cm = 0.33 \ m$.
$f_1 = \frac{330}{2 \times 0.33} = \frac{330}{0.66} = 500 \ Hz$.
दी गई आवृत्ति $f = 1000 \ Hz$ है।
हम जानते हैं कि $f = p \times f_1$,जहाँ $p$ हार्मोनिक संख्या है।
$1000 = p \times 500 \implies p = 2$.
अतः,यह आवृत्ति पाइप के दूसरे हार्मोनिक के अनुरूप है।

(C) $l$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई लंबाइयाँ $l_1 = 100 \,cm = 1 \,m$ और $l_2 = 101 \,cm = 1.01 \,m$ हैं।
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या $n_b = \frac{16}{20} = 0.8 \,Hz$ है।
विस्पंद आवृत्ति मूल आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_b = n_1 - n_2 = \frac{v}{4l_1} - \frac{v}{4l_2}$.
मान रखने पर: $0.8 = \frac{v}{4} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1.01} \right)$.
$0.8 = \frac{v}{4} \left( \frac{1.01 - 1}{1.01} \right) = \frac{v}{4} \left( \frac{0.01}{1.01} \right)$.
$0.8 = \frac{0.01v}{4.04}$.
$v = \frac{0.8 \times 4.04}{0.01} = 80 \times 4.04 = 323.2 \,m/s$.

(A) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
खुली ऑर्गन पाइप में उत्पन्न हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_k = k \cdot n$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, 4, ...$ है।
इसका अर्थ है कि खुली ऑर्गन पाइप में सम और विषम दोनों प्रकार के हार्मोनिक्स मौजूद होते हैं।
इसलिए,आवृत्तियाँ $n, 2n, 3n, 4n, ...$ हैं।

(D) अनुनाद नली में ध्वनि का वेग $v$ सूत्र $v = 2n(l_2 - l_1)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है,$l_1$ पहली अनुनाद लंबाई है और $l_2$ दूसरी अनुनाद लंबाई है।
दिया गया है: $n = 512 \ Hz$,$l_1 = 30.7 \ cm$,$l_2 = 63.2 \ cm$.
मान रखने पर:
$v = 2 \times 512 \times (63.2 - 30.7) \ cm/s$
$v = 1024 \times 32.5 \ cm/s = 33280 \ cm/s$.
ध्वनि की वास्तविक गति $v_0 = 332 \ m/s = 33200 \ cm/s$ दी गई है।
ध्वनि के वेग में त्रुटि $\Delta v = |v - v_0| = |33280 - 33200| \ cm/s = 80 \ cm/s$ है।

(C) एक खुली पाइप के लिए,$N$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $n = \frac{N \cdot v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ हार्मोनिक का क्रम है,$v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
$N$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$N = \frac{n \cdot 2l}{v}$
दिया गया है:
$n = 480 \ Hz$
$l = 1 \ m$
$v = 330 \ m/s$
मान रखने पर:
$N = \frac{480 \times 2 \times 1}{330}$
$N = \frac{960}{330} \approx 2.91$
चूंकि हार्मोनिक का क्रम एक पूर्णांक होना चाहिए,हम इसे निकटतम पूर्णांक में बदलते हैं,जो $3$ है। इसलिए,यह तृतीय हार्मोनिक है।

(A) एक सिरे पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $n_c = \frac{3v}{4l_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l_c$ बंद पाइप की लंबाई है।
दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,तीसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $n_o = \frac{3v}{2l_o}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l_o$ खुली पाइप की लंबाई है।
चूंकि पाइप अनुनाद में हैं,इसलिए $n_c = n_o$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{3v}{4l_c} = \frac{3v}{2l_o}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{4l_c} = \frac{1}{2l_o}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{l_c}{l_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
अतः,बंद पाइप और खुली पाइप की लंबाई का अनुपात $1:2$ है।

(B) $l$ लंबाई की एक खुली नली के लिए,मूल आवृत्ति $n_0 = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
जब नली को पानी में इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का $75\%$ हिस्सा पानी के अंदर हो,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $l' = l - 0.75l = 0.25l = \frac{l}{4}$ हो जाती है।
अब यह नली एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करती है (एक सिरे पर पानी द्वारा बंद)।
इस बंद नली की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4l'}$ है।
$l' = \frac{l}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{v}{4(l/4)} = \frac{v}{l}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n_0 = \frac{v}{2l}$,इसलिए $v = 2l n_0$ है।
इस मान को $n$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $n = \frac{2l n_0}{l} = 2n_0$ प्राप्त होता है।
अतः,नली की नई आवृत्ति और तार की आवृत्ति का अनुपात $\frac{n}{n_0} = 2$ होगा।

(B) माना कि $x$ अंत सुधार (end correction) है।
मूल विधा (प्रथम अनुनाद) के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई $l_1 = 0.1 \ m$ है। अनुनाद की स्थिति $f = \frac{v}{4(l_1 + x)}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम ओवरटोन (द्वितीय अनुनाद) के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई $l_2 = 0.35 \ m$ है। अनुनाद की स्थिति $f = \frac{3v}{4(l_2 + x)}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि समान ट्यूनिंग फोर्क का उपयोग किया जाता है,इसलिए आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है। अतः,$\frac{v}{4(l_1 + x)} = \frac{3v}{4(l_2 + x)}$.
समीकरण को सरल करने पर: $l_2 + x = 3(l_1 + x)$.
मान रखने पर: $0.35 + x = 3(0.1 + x)$.
$0.35 + x = 0.3 + 3x$.
$0.05 = 2x$.
$x = 0.025 \ m$.

(C) $L_1 = L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ है,जहाँ $v_1 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ और $\beta$ संपीड्यता है।
$L_2$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ है,जहाँ $v_2 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ है।
दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं $(f_1 = f_2)$:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L_2} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
दोनों पक्षों से सामान्य पद $\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ को हटाने पर:
$\frac{3}{4L\sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L_2\sqrt{\rho_2}}$
$L_2$ के लिए हल करने पर:
$L_2 = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$

(C) एक खुली पाइप के लिए,$2^{nd}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_1 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक सिरा बंद कर दिया जाता है,तो पाइप एक बंद ऑर्गन पाइप बन जाती है। बंद पाइप के लिए अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है $(n = 1, 3, 5, \dots)$।
हमें दिया गया है कि $f_2 > f_1$ है। बंद पाइप के सूत्र में $v = f_1 L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f_2 = \frac{n(f_1 L)}{4L} = \frac{n}{4}f_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f_2 > f_1$ है,इसलिए $\frac{n}{4} > 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n > 4$ है।
$4$ से बड़ा सबसे छोटा विषम पूर्णांक $n = 5$ है।
अतः,$f_2 = \frac{5}{4}f_1$ और $n = 5$ है।