Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(N/A) दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए पहली हार्मोनिक आवृत्ति $v_1 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
जहाँ $L$ पाइप की लंबाई है और $v$ ध्वनि की गति है।
इसके $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $v_n = \frac{nv}{2L}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
यहाँ $L = 30.0 \; cm = 0.3 \; m$ और $v = 330 \; m s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए आवृत्तियाँ:
$v_n = \frac{n \times 330}{2 \times 0.3} = \frac{330n}{0.6} = 550n \; Hz$ हैं।
$1.1 \; kHz = 1100 \; Hz$ के स्रोत के लिए,$550n = 1100$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,स्रोत दूसरे हार्मोनिक पर अनुनाद करता है।
यदि पाइप का एक सिरा बंद कर दिया जाए,तो मूल आवृत्ति $v_1 = \frac{v}{4L} = \frac{330}{4 \times 0.3} = \frac{330}{1.2} = 275 \; Hz$ होती है।
एक सिरे पर बंद पाइप में,केवल विषम हार्मोनिक्स मौजूद होते हैं ($v_n = n \times 275$ जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$)।
स्रोत की आवृत्ति $1100 \; Hz$,$n = \frac{1100}{275} = 4$ के अनुरूप होगी।
चूंकि $4$ एक सम संख्या है,यह मोड एक सिरे पर बंद पाइप के लिए संभव नहीं है। इसलिए,कोई अनुनाद नहीं देखा जाएगा।

(B) एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुनाद $l_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ लंबाई पर होता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
दी गई अनुनाद लंबाई $l_1 = 25.5\; cm$ और $l_2 = 79.3\; cm$ है।
दो क्रमिक अनुनाद लंबाई के बीच का अंतर $\Delta l = l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2}$ है।
$\Delta l = 79.3\; cm - 25.5\; cm = 53.8\; cm = 0.538\; m$.
अतः,$\frac{\lambda}{2} = 0.538\; m \implies \lambda = 1.076\; m$.
ध्वनि की गति $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$v = 340\; Hz \times 1.076\; m = 365.84\; m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $347\; m/s$ है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) पाइप की लंबाई,$l = 20 \; cm = 0.2 \; m$.
ध्वनि की गति,$v = 340 \; m/s$.
स्रोत की आवृत्ति,$\nu = 430 \; Hz$.
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ नॉर्मल मोड की आवृत्ति $\nu_n = (2n - 1) \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$.
मान रखने पर: $430 = (2n - 1) \frac{340}{4 \times 0.2} = (2n - 1) \frac{340}{0.8} = (2n - 1) \times 425$.
$2n - 1 = \frac{430}{425} \approx 1.01$.
$2n \approx 2.01 \implies n \approx 1$.
अतः,पहला हार्मोनिक (मूल मोड) अनुनादित होता है।
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ नॉर्मल मोड की आवृत्ति $\nu_n = \frac{nv}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$.
$n = \frac{2l \nu_n}{v} = \frac{2 \times 0.2 \times 430}{340} = \frac{172}{340} \approx 0.5$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए यदि दोनों सिरे खुले हों तो स्रोत पाइप के साथ अनुनाद में नहीं होगा।

(N/A) प्राकृतिक आवृत्ति वाली दोलन प्रणाली को नॉर्मल मोड कहा जाता है।
संभव न्यूनतम प्राकृतिक आवृत्ति को फंडामेंटल मोड या प्रथम हार्मोनिक कहा जाता है।
स्थिर तरंगों के लिए दोनों सिरों पर बंधी तनी हुई डोरी की आवृत्ति:
$v = \frac{n v}{2 L} \quad \dots (1)$
$v = \frac{v}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{n \lambda}{2} \quad \dots (2)$
और $\lambda = \frac{2 L}{n} \quad \dots (3)$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
यदि $n = 1$ है,तो:
$v_1 = \frac{v}{2 L}$,$L = \frac{\lambda_1}{2}$ और $\lambda_1 = 2 L$ प्राप्त होता है। यहाँ $v_1$ को फंडामेंटल या प्रथम हार्मोनिक कहा जाता है।
यदि $n = 2$ है,तो:
$v_2 = \frac{v}{L} = 2 v_1$,$L = \lambda_2$ और $\lambda_2 = L$ प्राप्त होता है। यहाँ $v_2$ को द्वितीय हार्मोनिक कहा जाता है।
यदि $n = 3$ है,तो:
$v_3 = \frac{3 v}{2 L} = 3 v_1$,$L = \frac{3 \lambda_3}{2}$ और $\lambda_3 = \frac{2}{3} L$ प्राप्त होता है। यहाँ $v_3$ को तृतीय हार्मोनिक कहा जाता है।

(N/A) पाइप के अंदर हवा के स्तंभ में समान आवृत्ति और आयाम वाली तथा विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली आपतित और परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण के कारण अप्रगामी तरंगें उत्पन्न होती हैं।
पाइप दो प्रकार के होते हैं:
$(1)$ खुली पाइप: वह पाइप जो दोनों सिरों से खुली हो,उसे खुली पाइप कहते हैं। इस स्थिति में,दोनों खुले सिरों पर प्रस्पंद (antinodes) बनते हैं। उदाहरण: बांसुरी।
$(2)$ बंद पाइप: वह पाइप जो एक सिरे से खुली और दूसरे सिरे से बंद हो,उसे बंद पाइप कहते हैं। इस स्थिति में,खुले सिरे पर प्रस्पंद और बंद सिरे पर निस्पंद (node) बनता है। उदाहरण: आंशिक रूप से पानी से भरी नली।

(N/A) एक बंद पाइप वह पाइप है जो एक सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुली होती है। बंद सिरा एक निस्पंद (node) के रूप में और खुला सिरा एक प्रस्पंद (antinode) के रूप में कार्य करता है।
मान लीजिए पाइप की लंबाई $L$ है। सीमा शर्तें हैं: $x=0$ पर विस्थापन $y=0$ (निस्पंद) और $x=L$ पर विस्थापन अधिकतम (प्रस्पंद) होता है।
$x=L$ पर प्रस्पंद के लिए शर्त $kL = (n + 1/2)\pi$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
$k = 2\pi / \lambda$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2\pi}{\lambda} L = (n + 1/2)\pi$
$L = (n + 1/2) \frac{\lambda}{2} = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}$
अतः,संभावित तरंगदैर्घ्य $\lambda_n = \frac{4L}{2n+1}$ हैं।
$v = f\lambda$ का उपयोग करते हुए,प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं:
$f_n = \frac{v}{\lambda_n} = (2n + 1) \frac{v}{4L}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
$n=0$ के लिए,मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{4L}$ है।
उच्च आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज हैं: $3f_0, 5f_0, 7f_0, \dots$।

(N/A) एक खुली पाइप में दोनों सिरों पर एंटीनोड्स (प्रस्पंद) उत्पन्न होते हैं। $n$ वें हार्मोनिक के लिए पाइप की लंबाई $L = \frac{n \lambda_n}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ और $\lambda_n$ तरंगदैर्ध्य है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{2L}{n}$ है।
संबंध $v = \nu_n \lambda_n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,आवृत्ति $\nu_n$ है:
$\nu_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{n v}{2L} = n \left( \frac{v}{2L} \right) = n \nu_1$,जहाँ $\nu_1 = \frac{v}{2L}$ मूल आवृत्ति है।
$n=1$ के लिए,$\nu_1 = \frac{v}{2L}$ (प्रथम हार्मोनिक या मूल आवृत्ति)।
$n=2$ के लिए,$\nu_2 = 2 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2 \nu_1$ (द्वितीय हार्मोनिक)।
$n=3$ के लिए,$\nu_3 = 3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 3 \nu_1$ (तृतीय हार्मोनिक)।
चूंकि $n$ कोई भी पूर्णांक मान $(1, 2, 3, \ldots)$ ले सकता है,इसलिए खुली पाइप में सभी हार्मोनिक्स संभव हैं।

(N/A) बंद पाइप एक ऐसी ऑर्गन पाइप है जो एक सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुली होती है। बंद पाइप में,बंद सिरे पर हमेशा एक निस्पंद (node) बनता है और खुले सिरे पर हमेशा एक प्रस्पंद (antinode) बनता है।
खुली पाइप एक ऐसी ऑर्गन पाइप है जो दोनों सिरों पर खुली होती है। खुली पाइप में,दोनों खुले सिरों पर हमेशा एक प्रस्पंद (antinode) बनता है।

(N/A) एक सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुली पाइप के लिए,सीमा शर्तों के अनुसार बंद सिरे पर एक निस्पंद (node) और खुले सिरे पर एक प्रस्पंद (antinode) होना आवश्यक है।
मान लीजिए $L$ पाइप की लंबाई है और $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
$n$-वें हार्मोनिक की तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{4L}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$ (केवल विषम हार्मोनिक्स)।
$n$-वें सामान्य मोड की आवृत्ति $f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{nv}{4L}$ है,जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$।

(A) एक बंद पाइप में (एक सिरा बंद और एक सिरा खुला),बंद सिरा विस्थापन नोड (node) के रूप में और खुला सिरा विस्थापन एंटीनोड (antinode) के रूप में कार्य करता है।
$L$ लंबाई के पाइप के लिए,संभव तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
इससे आवृत्तियाँ $f_n = \frac{v}{\lambda} = (2n - 1) \frac{v}{4L}$ प्राप्त होती हैं।
चूंकि आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति $(f_1 = \frac{v}{4L})$ के विषम गुणज हैं,इसलिए बंद पाइप में केवल विषम हार्मोनिक्स ही संभव हैं।

(C) एक बंद पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ $n$-वें हार्मोनिक को दर्शाता है।
मूल आवृत्ति $(f_1)$ $= 300 \ Hz$ है।
पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n = 2)$ होता है: $f = 3f_1 = 3 \times 300 = 900 \ Hz$।
दूसरा ओवरटोन पाँचवाँ हार्मोनिक $(n = 3)$ होता है: $f = 5f_1 = 5 \times 300 = 1500 \ Hz$।
अतः,दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $1500 \ Hz$ है।

(A) एक बंद पाइप में (एक सिरा बंद और एक सिरा खुला),मूल आवृत्ति $f_{1} = \frac{v}{4L}$ होती है।
अनुमत आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज होती हैं: $f_{n} = n f_{1}$,जहाँ $n = 1, 3, 5, 7, \ldots$ है।
इसलिए,बंद पाइप में सम क्रम के हार्मोनिक्स $(n = 2, 4, 6, \ldots)$ अनुपस्थित होते हैं।

(A) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,प्रथम हार्मोनिक (मूल आवृत्ति) की आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $f_1 = 480 \ Hz$,इसलिए $\frac{v}{2L} = 480 \dots (1)$।
$L'$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के लिए,प्रथम हार्मोनिक की आवृत्ति $f_1' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $f_1' = 480 \ Hz$,इसलिए $\frac{v}{4L'} = 480 \dots (2)$।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें $\frac{v}{2L} = \frac{v}{4L'}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$2L' = L$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $L' = L/2$।

(C) दिया गया है: पाइप की लंबाई $L = 20$ $cm = 0.2$ $m$,स्रोत की आवृत्ति $f = 1237.5$ $Hz$,हवा में ध्वनि की गति $v = 330$ $m/s$.
एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति (fundamental frequency) $f_{1} = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $f_{1} = \frac{330}{4 \times 0.2} = \frac{330}{0.8} = 412.5$ $Hz$.
अनुनाद के लिए,स्रोत की आवृत्ति मूल आवृत्ति का विषम गुणज (odd multiple) होनी चाहिए: $f = n f_{1}$,जहाँ $n = 1, 3, 5, ...$
अनुपात की गणना करने पर: $n = \frac{f}{f_{1}} = \frac{1237.5}{412.5} = 3$.
चूंकि $n = 3$ है,इसलिए पाइप $3^{rd}$ हार्मोनिक मोड में अनुनादित होता है।

(N/A) बंद पाइप के खुले सिरे पर ध्वनि तरंग की अधिकतम तीव्रता के लिए (प्रथम मोड में),हमारे पास $L = \frac{\lambda}{4}$ है।
$\therefore \lambda = 4L = 4 \times 0.17 = 0.68 \ m$.
अब,$v = f\lambda = (512)(0.68) = 348.16 \ m/s$.
$(b)$ हवा में ध्वनि की गति $v \propto \sqrt{T}$ होती है।
$\therefore \frac{v_0}{v_{20}} = \sqrt{\frac{T_0}{T_{20}}}$,जहाँ $v_0$ $0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ पर ध्वनि की गति है और $v_{20}$ $20^{\circ} C$ $(293 \ K)$ पर गति है।
$\therefore v_0 = 348.16 \times \sqrt{\frac{273}{293}} \approx 336 \ m/s$.
$(c)$ पारा पानी की तुलना में $13.6$ गुना अधिक सघन है। इसकी सतह पानी की तुलना में ध्वनि तरंगों को बहुत अधिक कुशलता से परावर्तित करती है। इसलिए,जब पानी को पारे से बदल दिया जाता है,तो हमें परावर्तित ध्वनि की तीव्रता अधिक प्राप्त होती है। हालाँकि,ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य और गति समान रहेगी।

(C) अनुनाद नली में,दो क्रमिक अनुनाद स्थितियों के बीच की दूरी ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2} = l_2 - l_1$.
दिया गया है $l_1 = 17.0 \, cm$ और $l_2 = 24.5 \, cm$.
$\frac{\lambda}{2} = 24.5 \, cm - 17.0 \, cm = 7.5 \, cm$.
अतः,$\lambda = 2 \times 7.5 \, cm = 15.0 \, cm = 0.15 \, m$.
वेग $(v)$,आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $v = f \lambda$ है।
दिया गया है $v = 330 \, m/s$,इसलिए $330 = f \times 0.15$.
$f = \frac{330}{0.15} = \frac{33000}{15} = 2200 \, Hz$.

(C) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,प्राकृतिक आवृत्तियाँ इस प्रकार दी जाती हैं:
$f = \frac{(2n+1)v}{4l}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
दिया गया है:
लंबाई $l = 85\, cm = 0.85\, m$
वेग $v = 340\, m/s$
आवृत्ति $f < 1250\, Hz$
मान रखने पर:
$\frac{(2n+1) \times 340}{4 \times 0.85} < 1250$
$\frac{(2n+1) \times 340}{3.4} < 1250$
$(2n+1) \times 100 < 1250$
$2n+1 < 12.5$
$2n < 11.5$
$n < 5.75$
चूँकि $n$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हैं।
अतः,कुल $6$ संभावित प्राकृतिक दोलन हैं।

(D) एक खुले ऑर्गन पाइप के लिए $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \times f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 330 \, m/s$ और $L = 1 \, m$ दिया गया है,इसलिए $f_1 = \frac{330}{2 \times 1} = 165 \, Hz$.
हमें उन हार्मोनिक्स की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f_n \leq 1000 \, Hz$ हो।
$n \times 165 \leq 1000$.
$n \leq \frac{1000}{165} \approx 6.06$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
अतः,कुल $6$ स्वर (हार्मोनिक्स) मौजूद हैं।

(A) अनुनाद स्तंभ के लिए,अनुनाद लंबाई का सूत्र $l_n + x = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ है,जहाँ $x$ अंत सुधार (end correction) है।
पहला अनुनाद $(n=1)$: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4} = 22.7 \, cm$ $(I)$
दूसरा अनुनाद $(n=2)$: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4} = 70.2 \, cm$ $(II)$
समीकरण $(II)$ में से $(I)$ घटाने पर:
$(l_2 + x) - (l_1 + x) = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
$70.2 - 22.7 = 47.5 \, cm = \frac{\lambda}{2}$
तीसरे अनुनाद के लिए $(n=3)$:
$l_3 + x = \frac{5\lambda}{4}$
$l_3 = l_1 + 2 \times (\frac{\lambda}{2}) = 22.7 + 2 \times 47.5 = 22.7 + 95.0 = 117.7 \, cm$.

(A) बंद ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = \frac{3v_{1}}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_{1} = \sqrt{\frac{B}{\rho_{1}}}$ और $B$ बल्क मॉडुलस है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = \frac{2v_{2}}{2L'} = \frac{v_{2}}{L'}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_{2} = \sqrt{\frac{B}{\rho_{2}}}$.
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं,$f_{c} = f_{o}$,इसलिए $\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{B}{\rho_{1}}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{B}{\rho_{2}}}$.
$L'$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $L' = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $L' = \frac{x}{3} L \sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: व्यास $d = 6 \, cm = 0.06 \, m$,आवृत्ति $f = 504 \, Hz$,ध्वनि की गति $v = 336 \, m/s$ है।
अनुनाद नली के लिए अंत सुधार (end correction) $e = 0.3 \times d = 0.3 \times 6 \, cm = 1.8 \, cm$ है।
पहले अनुनाद के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई $l$ शर्त $l + e = \frac{\lambda}{4}$ को पूरा करती है।
हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{336}{504} \, m = \frac{2}{3} \, m = \frac{200}{3} \, cm \approx 66.67 \, cm$ है।
अतः,$l + e = \frac{66.67}{4} = 16.67 \, cm$ है।
$e$ का मान रखने पर,$l + 1.8 = 16.67 \, cm$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$l = 16.67 - 1.8 = 14.87 \, cm$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,पाठ्यांक $14.8 \, cm$ है।

(B) सबसे छोटी बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति पहले हार्मोनिक के अनुरूप होती है,जहाँ पाइप की लंबाई $\ell$,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के एक-चौथाई के बराबर होती है।
$\ell = \frac{\lambda}{4} \Rightarrow \lambda = 4\ell$
आवृत्ति $f$ को संबंध $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
आवृत्ति के सूत्र में $\lambda = 4\ell$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f = \frac{v}{4\ell}$
यहाँ $f = 250\, {Hz}$ और $v = 340\, {ms}^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $\ell$ के लिए हल करने पर:
$250 = \frac{340}{4\ell}$
$4\ell = \frac{340}{250} = 1.36\, {m}$
$\ell = \frac{1.36}{4} = 0.34\, {m}$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$\ell = 0.34 \times 100 = 34\, {cm}$

(C) $L_1$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L_1}$ होती है। प्रथम ओवरटोन आवृत्ति $f_1 = 2 \times f_0 = \frac{2v}{2L_1} = \frac{v}{L_1}$ होती है।
$L_2$ लंबाई वाली बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{4L_2}$ होती है।
दिया गया है कि खुली पाइप की प्रथम ओवरटोन आवृत्ति बंद पाइप की मूल आवृत्ति के बराबर है,इसलिए $f_1 = f_2$ है।
समीकरणों को रखने पर: $\frac{v}{L_1} = \frac{v}{4L_2}$।
इससे $L_1 = 4L_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L_2 = 20 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $L_1 = 4 \times 20 \, cm = 80 \, cm$ होगा।

(C) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{V}{f} = \frac{340}{340} = 1\,m = 100\,cm$ द्वारा दी जाती है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुनाद $L = \frac{n\lambda}{4}$ लंबाई पर होता है,जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$ है।
दी गई लंबाई $L_1 = 125\,cm$,$n = 5$ के अनुरूप है क्योंकि $\frac{5 \times 100}{4} = 125\,cm$ है।
अगली अनुनाद लंबाई $n = 3$ पर होती है,जो $L_2 = \frac{3 \times 100}{4} = 75\,cm$ है।
वायु स्तंभ की लंबाई को $125\,cm$ से $75\,cm$ तक बदलने के लिए आवश्यक पानी की ऊंचाई $h = 125\,cm - 75\,cm = 50\,cm$ है।

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{336}{400} \,m = 0.84 \,m = 84 \,cm$ है।
पहले अनुनाद के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई $\ell_1$ और अंत सुधार $e$ का संबंध है: $\ell_1 + e = \frac{\lambda}{4}$।
मान रखने पर: $20.0 + e = \frac{84}{4} = 21 \,cm$।
अतः,अंत सुधार $e = 21 - 20 = 1 \,cm$।
तीसरे अनुनाद के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई $\ell_3$ का संबंध है: $\ell_3 + e = \frac{5\lambda}{4}$।
$\ell_3 + 1 = 5 \times 21 = 105 \,cm$।
इसलिए,$\ell_3 = 105 - 1 = 104 \,cm$।

(C) यह कुंड की नली (Kundt's tube) का प्रयोग है,जिसका उपयोग अप्रगामी तरंगों (standing waves) को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। नली में उत्पन्न अप्रगामी तरंग के कारण रेत (या पाउडर) निस्पंद बिंदुओं (nodes) पर जमा हो जाती है।
लगातार ढेरों के बीच की दूरी अनुदैर्ध्य तरंगों की तरंगदैर्ध्य के आधे $(\frac{\lambda}{2})$ के बराबर होती है।
दिया गया है कि $300 \,cm$ की लंबाई में $20$ ढेर हैं,इसलिए $20 \times \frac{\lambda}{2} = 300 \,cm$।
$\therefore 10 \lambda = 300 \,cm = 3 \,m$
$\lambda = 0.3 \,m$
ध्वनि की आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$f = \frac{300 \,m/s}{0.3 \,m} = 1000 \,Hz = 1 \,kHz$.

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y(x, t) = y_0 \sin \left( \frac{2\pi}{L} x \right) \sin \left( \frac{2\pi}{L} x + \frac{\pi}{4} \right)$ है।
अप्रगामी तरंग के सामान्य रूप से तुलना करने पर $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{L}$,जिससे $\lambda = L = 1.2 \,m$ प्राप्त होता है।
दोनों सिरों पर बंद पाइप के लिए,अनुमत तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{2L}{n}$ होती है। $n=2$ के लिए,$\lambda = L = 1.2 \,m$,जो तरंग समीकरण के अनुरूप है।
$x=0$ पर,$y(0, t) = y_0 \sin(0) \sin(\pi/4) = 0$,इसलिए $x=0$ पर एक निस्पंद है।
$x=L/2$ पर,$y(L/2, t) = y_0 \sin(\pi) \sin(\pi + \pi/4) = 0$,जिसका अर्थ है कि $x=L/2$ पर भी एक निस्पंद है।
मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{\lambda_{max}} = \frac{v}{2L} = \frac{300}{2 \times 1.2} = \frac{300}{2.4} = 125 \,Hz$ है।
चूंकि $125 \,Hz \neq 137.5 \,Hz$,इसलिए विकल्प $(d)$ गलत है।

(C) दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $L$ पाइप की लंबाई है।
चूंकि पाइप की लंबाई $L$ स्थिर रहती है,इसलिए आवृत्ति $f$ ध्वनि की गति $v$ के सीधे आनुपातिक होती है $(f \propto v)$।
मान लीजिए $v_1$ और $f_1$ $23^{\circ} C$ पर ध्वनि की गति और आवृत्ति हैं,और $v_2$ और $f_2$ गर्म दिन पर ध्वनि की गति और आवृत्ति हैं।
दिया गया है $f_1 = 450 \,Hz$ और $v_2 = v_1 + 0.04 v_1 = 1.04 v_1$।
आनुपातिकता $\frac{f_2}{f_1} = \frac{v_2}{v_1}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f_2 = f_1 \times \frac{v_2}{v_1} = 450 \times 1.04 = 468 \,Hz$.

(B) छड़ में अनुदैर्ध्य तरंगों की गति $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ घनत्व है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{7.8 \times 10^{10}}{2600}} = \sqrt{3 \times 10^7} = \sqrt{30 \times 10^6} \approx 5477.2 \,m/s \approx 5480 \,m/s$.
चूंकि छड़ बीच में क्लैंप की गई है,मध्य बिंदु एक नोड (विस्थापन नोड) के रूप में कार्य करता है और मुक्त सिरे एंटीनोड के रूप में कार्य करते हैं।
केंद्र में क्लैंप की गई छड़ के मूल कंपन मोड के लिए,छड़ की लंबाई $L$ तरंग दैर्ध्य के आधे $\lambda/2$ के बराबर होती है (क्योंकि दो लगातार एंटीनोड के बीच की दूरी $\lambda/2$ होती है)।
इस प्रकार,$L = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2L = 2 \times 1.0 \,m = 2.0 \,m$.
आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{5480}{2} = 2740 \,Hz$ है।

(B) ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $\lambda$ पाइप की लंबाई द्वारा निर्धारित तरंगदैर्ध्य है।
एक निश्चित पाइप के लिए, $\lambda$ स्थिर रहता है।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस संबंध से, $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f \propto v$, इसलिए $f \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
उच्चतम पिच (आवृत्ति) प्राप्त करने के लिए, मोलर द्रव्यमान $M$ न्यूनतम होना चाहिए।
मोलर द्रव्यमान की तुलना करने पर: वायु $(\approx 29 \text{ g/mol})$, हाइड्रोजन $(2 \text{ g/mol})$, ऑक्सीजन $(32 \text{ g/mol})$, और कार्बन डाइऑक्साइड $(44 \text{ g/mol})$।
चूंकि हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है, इसलिए जब पाइप हाइड्रोजन से भरी होती है तो आवृत्ति सबसे अधिक होती है।

(C) क्रमिक अनुनाद आवृत्तियाँ $f_1 = 425 \, Hz, f_2 = 595 \, Hz,$ और $f_3 = 765 \, Hz$ दी गई हैं।
क्रमिक अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = f_2 - f_1 = 595 - 425 = 170 \, Hz$ और $f_3 - f_2 = 765 - 595 = 170 \, Hz$ है।
यदि पाइप बंद है,तो आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति $(f_0)$ के विषम गुणज में होती हैं $(f_0, 3f_0, 5f_0, \dots)$। क्रमिक आवृत्तियों के बीच का अंतर $2f_0 = 170 \, Hz$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f_0 = 85 \, Hz$ है।
मानों की जाँच करने पर: $85 \times 5 = 425, 85 \times 7 = 595, 85 \times 9 = 765$। ये $85 \, Hz$ के विषम गुणज हैं,जो पुष्टि करते हैं कि यह एक बंद ऑर्गन पाइप है। अतः,मूल आवृत्ति $85 \, Hz$ है।

(C) माना कि बंद पाइप की लंबाई $l_c = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है और खुली पाइप की लंबाई $l_o$ है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4 l_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
खुली पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n v}{2 l_o}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है। पहला ओवरटोन $n=2$ है और दूसरा ओवरटोन $n=3$ है। अतः,खुली पाइप के दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o,2} = \frac{3 v}{2 l_o}$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,बंद पाइप की मूल आवृत्ति खुली पाइप के दूसरे ओवरटोन की आधी है:
$f_c = \frac{1}{2} f_{o,2}$
व्यंजक रखने पर:
$\frac{v}{4 l_c} = \frac{1}{2} \left( \frac{3 v}{2 l_o} \right)$
$\frac{v}{4 \times 10} = \frac{3 v}{4 l_o}$
$\frac{1}{40} = \frac{3}{4 l_o}$
$4 l_o = 120$
$l_o = 30 \, cm$.

(B) चित्र से,हम कंपन के प्रकारों की पहचान करते हैं:
$p$: बंद ऑर्गन पाइप,मूल विधा ($1^{\text{st}}$ हार्मोनिक)। आवृत्ति $n_p = \frac{v}{4l}$।
$q$: खुली ऑर्गन पाइप,मूल विधा ($1^{\text{st}}$ हार्मोनिक)। आवृत्ति $n_q = \frac{v}{2l}$।
$r$: खुली ऑर्गन पाइप,दूसरा हार्मोनिक ($2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक)। आवृत्ति $n_r = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l}$।
$s$: बंद ऑर्गन पाइप,तीसरा हार्मोनिक ($3^{\text{rd}}$ हार्मोनिक)। आवृत्ति $n_s = \frac{3v}{4l}$।
अब,अनुपात $n_p: n_q: n_r: n_s$ की गणना करते हैं:
$n_p: n_q: n_r: n_s = \frac{v}{4l} : \frac{v}{2l} : \frac{v}{l} : \frac{3v}{4l}$
$\frac{4l}{v}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n_p: n_q: n_r: n_s = 1 : 2 : 4 : 3$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) अनुनाद लंबाइयाँ $l_1 = 15 \, cm = 0.15 \, m$ और $l_2 = 48 \, cm = 0.48 \, m$ दी गई हैं।
एक सिरे पर बंद अनुनाद नली के लिए,अनुनाद की शर्तें हैं:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2}$
$0.48 \, m - 0.15 \, m = \frac{\lambda}{2}$
$0.33 \, m = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 0.66 \, m$
ध्वनि का वेग $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = 500 \, Hz$ है।
$v = 500 \times 0.66 = 330 \, m/s$.

(B) एक अनुनाद नली (दोनों सिरों पर खुली) में,हार्मोनिक्स $f_n = n \times f_1$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
दिए गए हार्मोनिक्स $300, 600, 750, 900 \,Hz$ हैं।
चूंकि $900 \,Hz$ छठा हार्मोनिक है $(f_6 = 6f_1 = 900 \,Hz)$,इसलिए $f_1 = 150 \,Hz$ प्राप्त होता है।
हार्मोनिक्स का क्रम $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ के लिए $n \times 150 \,Hz$ है।
इनकी गणना करने पर: $150, 300, 450, 600, 750, 900 \,Hz$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए मान $300, 600, 750, 900 \,Hz$ हैं।
अतः,लुप्त आवृत्तियाँ $150 \,Hz$ और $450 \,Hz$ हैं।

(B) $L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n+1)v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है।
तीसरे ओवरटोन के लिए,$n=3$,इसलिए आवृत्ति $f_3 = \frac{(2 \times 3 + 1)v}{4L} = \frac{7v}{4L}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f_3} = \frac{4L}{7}$ है।
दिया गया है $L = 105 \,cm$,इसलिए $\lambda = \frac{4 \times 105}{7} = 60 \,cm$ है।
स्थिर तरंग में,प्रेशर नोड वे बिंदु होते हैं जहाँ दबाव में परिवर्तन शून्य होता है। एक बंद पाइप में,विस्थापन नोड (जो एक प्रेशर एंटीनोड है) बंद सिरे पर होता है,और विस्थापन एंटीनोड (जो एक प्रेशर नोड है) खुले सिरे पर होता है।
बंद सिरे से प्रेशर नोड (विस्थापन एंटीनोड) की स्थितियाँ $x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$ द्वारा दी जाती हैं।
बंद सिरे से पहला प्रेशर नोड $x = \frac{\lambda}{4} = \frac{60}{4} = 15 \,cm$ की दूरी पर है।

(B) ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4\ell}$ (बंद पाइप के लिए) या $n = \frac{v}{2\ell}$ (खुली पाइप के लिए) द्वारा दी जाती है। दोनों स्थितियों में,$n \propto v$ है।
चूंकि गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,आवृत्ति $n$ निरपेक्ष तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $n \propto \sqrt{T}$।
यहाँ $T_1 = 27^{\circ}C = 300\,K$ और $T_2 = 90^{\circ}C = 363\,K$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
$\frac{n_2}{400} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$।
$n_2 = 400 \times 1.1 = 440\,Hz$।

(B) $L$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n V}{2L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
दिया गया है: लंबाई $L = 40\,cm = 0.4\,m$,ध्वनि की गति $V = 360\,ms^{-1}$।
दूसरे हार्मोनिक के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$f_2 = \frac{2 \times 360}{2 \times 0.4} = \frac{360}{0.4} = 900\,Hz$.

(D) अनुनाद आवृत्तियों का अनुपात $1:3:5$ यह दर्शाता है कि ऑर्गन पाइप एक सिरे पर बंद है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n V}{4 \ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए $(n = 1, 3, 5, ...)$।
पाँचवाँ हार्मोनिक $n = 5$ के अनुरूप है।
दिया गया है: $f_5 = 405 \, Hz$,$V = 324 \, ms^{-1}$,और $n = 5$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $405 = \frac{5 \times 324}{4 \ell}$।
$\ell$ के लिए हल करने पर: $\ell = \frac{5 \times 324}{4 \times 405}$।
$\ell = \frac{1620}{1620} = 1 \, m$।

(C) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{open}} = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है।
$L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{closed}} = \frac{V}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप और बंद पाइप की मूल आवृत्तियों का अनुपात:
$\frac{n_{\text{open}}}{n_{\text{closed}}} = \frac{\frac{V}{2L}}{\frac{V}{4L}} = \frac{4L}{2L} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4\ell_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell_1 = 150 \ cm = 1.5 \ m$ है।
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2\ell_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell_2 = 350 \ cm = 3.5 \ m$ है।
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|f_c - f_o| = 7$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $|\frac{v}{4 \times 1.5} - \frac{v}{2 \times 3.5}| = 7$.
$|\frac{v}{6} - \frac{v}{7}| = 7$.
$|\frac{7v - 6v}{42}| = 7$.
$\frac{v}{42} = 7$.
$v = 42 \times 7 = 294 \ m/s$.

(A) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$f_1 = 30 \,Hz$ और $v = 330 \,m/s$,इसलिए $L_1 = \frac{330}{4 \times 30} = \frac{330}{120} = 2.75 \,m$ है।
पानी डालने के बाद,वायु स्तंभ की नई लंबाई $L_2$ है। नई आवृत्ति $f_2 = 110 \,Hz$ है।
$L_2 = \frac{330}{4 \times 110} = \frac{330}{440} = 0.75 \,m$ है।
वायु स्तंभ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_1 - L_2 = 2.75 - 0.75 = 2.0 \,m = 200 \,cm$ है।
डाले गए पानी का आयतन $V = A \times \Delta L = 2 \,cm^2 \times 200 \,cm = 400 \,cm^3$ है।
चूंकि पानी का घनत्व $1 \,g/cm^3$ है,इसलिए पानी का द्रव्यमान $400 \,g$ है।

(D) मान लीजिए $L_1$ बंद ऑर्गन पाइप की लंबाई है और $L_2$ खुले ऑर्गन पाइप की लंबाई है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है।
खुले ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{2L_2}$ द्वारा दी जाती हैं, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
खुले ऑर्गन पाइप का प्रथम अधिस्वरक $n = 2$ के अनुरूप है, इसलिए $f_{o1} = \frac{2v}{2L_2} = \frac{v}{L_2}$।
प्रश्न के अनुसार, बंद पाइप की मूल आवृत्ति खुले पाइप की प्रथम अधिस्वरक आवृत्ति के बराबर है:
$f_c = f_{o1}$
$\frac{v}{4L_1} = \frac{v}{L_2}$
$L_2 = 4L_1$
दिया गया है कि $L_2 = 60 \,cm$, इसलिए:
$60 \,cm = 4L_1$
$L_1 = \frac{60}{4} \,cm = 15 \,cm$।
अतः, बंद पाइप की लंबाई $15 \,cm$ है।

(A) खुली ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है, $v$ ध्वनि का वेग है और $L$ पाइप की लंबाई है।
पहली पाइप के लिए: $L_1 = 0.6 \,m$, $n_1 = 6$.
$f_1 = \frac{6 \times 333}{2 \times 0.6} = \frac{1998}{1.2} = 1665 \,Hz$.
दूसरी पाइप के लिए: $L_2 = 0.9 \,m$, $n_2 = 5$.
$f_2 = \frac{5 \times 333}{2 \times 0.9} = \frac{1665}{1.8} = 925 \,Hz$.
आवृत्तियों का अंतर $\Delta f = |f_1 - f_2| = |1665 - 925| = 740 \,Hz$ है।

(C) बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है।
सातवें ओवरटोन $(n=7)$ के लिए,$f_{c} = (2 \times 7 + 1) \frac{v}{4\ell} = \frac{15v}{4\ell}$ है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है।
सातवें ओवरटोन $(n=7)$ के लिए,$f_{o} = (7 + 1) \frac{v}{2\ell} = \frac{8v}{2\ell} = \frac{4v}{\ell} = \frac{16v}{4\ell}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{15v/4\ell}{16v/4\ell} = \frac{15}{16}$ है।
दिया गया अनुपात $\left(\frac{a-1}{a}\right) = \frac{15}{16}$ है,पदों की तुलना करने पर हमें $a = 16$ प्राप्त होता है।

(A) अनुनाद स्तंभ प्रयोग में, ट्यूनिंग फोर्क को नली के खुले सिरे के ऊपर रखा जाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि ध्वनि तरंगें नली में प्रभावी ढंग से आगे बढ़ें, ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को ऊर्ध्वाधर तल में रखा जाता है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$ शर्त $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ को पूरा करती है, जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है और $n = 1, 2, 3, ...$ है।
पहला अनुनाद $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$ पर होता है और दूसरा अनुनाद $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ पर होता है।
इनको घटाने पर, हमें $L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, दो अनुनाद वायु स्तंभों की लंबाई के बीच का अंतर हवा में ध्वनि की तरंग दैर्ध्य के आधे के बराबर होता है।

(D) अनुनाद नली प्रयोग में,पहला अनुनाद लंबाई $l_1 \approx \lambda/4 - e$ पर होता है,जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है। चूंकि $e > 0$,इसलिए $l_1$,$\lambda/4$ से थोड़ा छोटा होता है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
पहले अनुनाद पर,वायु-स्तंभ छोटा होता है,जिसका अर्थ है कि दूसरे अनुनाद की तुलना में डंपिंग प्रभाव कम होता है,जिसके परिणामस्वरूप ध्वनि की तीव्रता अधिक होती है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स को आमतौर पर ऊर्ध्वाधर तल में रखा जाता है ताकि ध्वनि तरंगें नली में नीचे की ओर संचारित हो सकें।
कथन $(C)$ गलत है क्योंकि ट्यूनिंग फोर्क के प्रोंग्स के कंपन का आयाम आमतौर पर $1 \ mm$ के आसपास होता है,न कि $1 \ cm$।

(A) जब एक उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) एक खुले सिरे पर पहुँचता है,तो यह निम्न-दबाव पल्स (विरलन) के रूप में परावर्तित होता है क्योंकि खुले सिरे पर दबाव स्थिर (वायुमंडलीय दबाव) रहना चाहिए। इस प्रकार,एक निम्न-दबाव पल्स वापस यात्रा करता है।
जब एक उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) एक बंद सिरे पर पहुँचता है,तो यह उच्च-दबाव पल्स (संपीड़न) के रूप में परावर्तित होता है क्योंकि हवा के कण सीमा के पार नहीं जा सकते,जिससे दबाव बढ़ जाता है। इस प्रकार,एक उच्च-दबाव पल्स वापस यात्रा करता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$(B)$ यदि दूसरा सिरा खुला है तो निम्न-दबाव पल्स पाइप में ऊपर की ओर यात्रा करना शुरू करता है (सही)।
$(D)$ यदि दूसरा सिरा बंद है तो उच्च-दबाव पल्स पाइप में ऊपर की ओर यात्रा करना शुरू करता है (सही)।
इसलिए,सही संयोजन $(B, D)$ है।

(B) $L_1$ और $L_2$ लंबाई पर दो क्रमिक अनुनादों के लिए,आधी तरंगदैर्ध्य $\lambda/2 = L_2 - L_1$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda/2 = 83.9 \text{ cm} - 50.7 \text{ cm} = 33.2 \text{ cm}$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \times 33.2 \text{ cm} = 66.4 \text{ cm}$. (कथन $C$ सत्य है)।
ध्वनि की गति $v = f \lambda = 500 \text{ Hz} \times 0.664 \text{ m} = 332 \text{ m s}^{-1}$ है। (कथन $A$ सत्य है)।
पहले अनुनाद के लिए,$L_1 + e = \lambda/4$,जहाँ $e$ अंत सुधार है।
$50.7 \text{ cm} + e = 66.4 \text{ cm} / 4 = 16.6 \text{ cm}$.
$e = 16.6 \text{ cm} - 50.7 \text{ cm} = -34.1 \text{ cm}$.
नोट: प्रश्न की संरचना बताती है कि $L_1$ और $L_2$ दूसरे और तीसरे हार्मोनिक (या उच्च) हैं क्योंकि $L_1$ काफी बड़ा है। अंत सुधार $e$ आमतौर पर छोटा और धनात्मक होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$A$ और $C$ सही हैं।