Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि खुली ऑर्गन पाइप की लंबाई $L_o$ है और बंद ऑर्गन पाइप की लंबाई $L_c$ है।
दिया गया है कि $L_o = 2 L_c$ है।
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2 L_o} = 100 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इससे हमें $\frac{v}{L_o} = 200 \ Hz$ प्राप्त होता है।
$L_o = 2 L_c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{v}{2 L_c} = 200 \ Hz$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\frac{v}{L_c} = 400 \ Hz$ है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4 L_c} = \frac{400}{4} = 100 \ Hz$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति के विषम गुणज $(f_c, 3f_c, 5f_c, \dots)$ होते हैं।
अतः,बंद पाइप के तीसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $3 f_c = 3 \times 100 = 300 \ Hz$ होगी।

(A) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f = 330 \, Hz$ है और हवा में ध्वनि की गति $v = 330 \, m/s$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{330} = 1 \, m = 100 \, cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुनाद की स्थिति $l_n = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
$n=1$ के लिए,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100}{4} = 25 \, cm$ है।
$n=2$ के लिए,$l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{300}{4} = 75 \, cm$ है।
$n=3$ के लिए,$l_3 = \frac{5\lambda}{4} = 125 \, cm$ है (जो नली की लंबाई $120 \, cm$ से अधिक है)।
नली शुरू में $l_2 = 75 \, cm$ पर अनुनाद में है।
जब पानी भरा जाता है,तो हवा के स्तंभ की लंबाई कम हो जाती है। अगला अनुनाद $l_1 = 25 \, cm$ पर प्राप्त होता है।
आवश्यक पानी के स्तंभ की लंबाई $L - l_1 = 120 \, cm - 25 \, cm = 95 \, cm$ या $L - l_2 = 120 \, cm - 75 \, cm = 45 \, cm$ है।
फिर से अनुनाद प्राप्त करने के लिए पानी के स्तंभ की न्यूनतम लंबाई $45 \, cm$ है।

(B) एक खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_0 = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $v = 360\ m/s$ और $l = 1.5\ m$,इसलिए $n_0 = \frac{360}{2 \times 1.5} = \frac{360}{3} = 120\ Hz$.
बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v'}{4l}$ है,जहाँ $v'$ गैस में $30\,^{\circ}C$ पर ध्वनि की गति है।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद करती हैं,इसलिए $n_1 = n_0 = 120\ Hz$.
अतः,$120 = \frac{v'}{4 \times 1.5} \Rightarrow 120 = \frac{v'}{6} \Rightarrow v' = 720\ m/s$.
संबंध $v \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए,गैस में $0\,^{\circ}C$ पर ध्वनि की गति $(v_0)$ और $30\,^{\circ}C$ पर गति $(v')$ के बीच संबंध $v_0 = v' \times \sqrt{\frac{T_0}{T_{30}}}$ है।
यहाँ $T_0 = 273\ K$ और $T_{30} = 273 + 30 = 303\ K$.
$v_0 = 720 \times \sqrt{\frac{273}{303}} = 720 \times \sqrt{0.90099} \approx 720 \times 0.9492 \approx 683.4\ m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $683\ m/s$ है।

(B) जब एक उच्च-दाब पल्स (संपीड़न) एक खुले सिरे पर पहुँचता है,तो यह एक निम्न-दाब पल्स (विरलन) के रूप में परावर्तित होता है क्योंकि खुले सिरे पर दबाव स्थिर (वायुमंडलीय दबाव) रहना चाहिए। अतः,कथन $(II)$ सही है।
जब एक उच्च-दाब पल्स (संपीड़न) एक बंद सिरे पर पहुँचता है,तो यह एक उच्च-दाब पल्स (संपीड़न) के रूप में ही परावर्तित होता है क्योंकि हवा के कण सीमा से आगे नहीं बढ़ सकते,जिससे दबाव बढ़ जाता है। अतः,कथन $(IV)$ सही है।
इसलिए,सही कथन $(II)$ और $(IV)$ हैं।

(A) मान लीजिए कि हवा में ध्वनि की गति $v$ है।
एक सिरे पर बंद पाइप $P_1$ के लिए,पहले हार्मोनिक (मूल आवृत्ति) की आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4l_1}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों सिरों पर खुली पाइप $P_2$ के लिए,तीसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f_2 = \frac{3v}{2l_2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी आवृत्तियाँ समान हैं: $f_1 = f_2$।
अतः,$\frac{v}{4l_1} = \frac{3v}{2l_2}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1}{4l_1} = \frac{3}{2l_2}$।
लंबाई के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$।
इस प्रकार,$P_1$ और $P_2$ की लंबाइयों का अनुपात $1/6 \approx 0.167$ है।

(B) जब $L$ लंबाई की एक रॉड को उसके मध्य में क्लैंप किया जाता है,तो अनुदैर्ध्य कंपन के मूल मोड में केंद्र पर एक नोड और मुक्त सिरों पर एंटीनोड होता है।
यह एक स्थिर तरंग के अनुरूप है जहाँ रॉड की लंबाई तरंग दैर्ध्य की आधी होती है: $L = \lambda / 2$.
दिया गया है $L = 100 \,cm = 1 \,m$,इसलिए $\lambda = 2L = 2 \,m$.
ध्वनि की गति $v$ को संबंध $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ आवृत्ति है।
दिया गया है $f = 2.53 \,kHz = 2.53 \times 10^3 \,Hz$.
मान रखने पर: $v = (2.53 \times 10^3 \,Hz) \times (2 \,m) = 5.06 \times 10^3 \,m/s$.
चूंकि $10^3 \,m = 1 \,km$,इसलिए गति $5.06 \,km/s$ है।

(A) एक सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,अनुनाद की स्थिति $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ कंपन की विधा को दर्शाता है।
तरंगदैर्घ्य के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda_n = \frac{4L}{2n - 1}$ प्राप्त होता है।
तीन सबसे कम आवृत्तियों (मूल और पहले दो ओवरटोन) के लिए:
$n = 1$ के लिए: $\lambda_1 = \frac{4L}{2(1) - 1} = 4L$.
$n = 2$ के लिए: $\lambda_2 = \frac{4L}{2(2) - 1} = \frac{4L}{3}$.
$n = 3$ के लिए: $\lambda_3 = \frac{4L}{2(3) - 1} = \frac{4L}{5}$.
अतः,तरंगदैर्घ्य $4L, 4L/3, 4L/5$ हैं।

(A) एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4(L + 0.6r)}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$L$ लंबाई है और $r$ त्रिज्या है।
चूंकि $L \gg r$,अंत सुधार (end correction) $0.6r$ को $L$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है,इसलिए आवृत्ति लगभग $n \approx \frac{v}{4L}$ होती है।
यदि लंबाई $L$ को दोगुना $(L' = 2L)$ और त्रिज्या $r$ को आधा $(r' = r/2)$ कर दिया जाए,तो नई आवृत्ति $n'$ होगी:
$n' = \frac{v}{4(L' + 0.6r')} = \frac{v}{4(2L + 0.6(r/2))} = \frac{v}{4(2L + 0.3r)}$.
चूंकि $L \gg r$,$0.3r$ अभी भी नगण्य है,इसलिए $n' \approx \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{4L} \right) = \frac{n}{2}$.
अतः,आवृत्ति आधी हो जाती है।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे ओवरटोन के लिए,$n=3$,इसलिए आवृत्ति $f_3 = (2(3)+1) \frac{v}{4L} = \frac{7v}{4L}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f_3} = \frac{4L}{7}$ है।
बंद सिरे (जो विस्थापन के लिए नोड के रूप में कार्य करता है) से $x$ दूरी पर विस्थापन आयाम $A(x) = A_{max} \sin(Kx)$ है,जहाँ $K = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
यहाँ,$A_{max} = a$ और $K = \frac{2\pi}{4L/7} = \frac{7\pi}{2L}$ है।
समीकरण में $x = \frac{L}{7}$ रखने पर:
$A(\frac{L}{7}) = a \sin\left(\frac{7\pi}{2L} \cdot \frac{L}{7}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = a(1) = a$.

(B) $l$ लंबाई वाली एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जैसे-जैसे पाइप में पानी डाला जाता है,वायु स्तंभ की लंबाई $l$ कम होती जाती है।
चूंकि $f_0 \propto \frac{1}{l}$,जैसे-जैसे $l$ घटता है,मूल आवृत्ति $f_0$ बढ़ती है।
अंततः,जल स्तर एक ऐसे बिंदु पर पहुँच जाता है जहाँ पानी के अंदर आने की दर नीचे के छेद से बाहर निकलने वाले पानी की दर के बराबर हो जाती है।
इस बिंदु पर,जल स्तर स्थिर हो जाता है,और परिणामस्वरूप,वायु स्तंभ की लंबाई $l$ स्थिर हो जाती है।
इसलिए,मूल आवृत्ति $f_0$ पहले बढ़ती है और फिर स्थिर हो जाती है।

(B) अनुनाद नली के प्रयोग में,पहला अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L_1 = \lambda/4 + e$ होती है,जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है।
दूसरा अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L_2 = 3\lambda/4 + e$ होती है।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$L_2 - L_1 = (3\lambda/4 + e) - (\lambda/4 + e)$
$L_2 - L_1 = 2\lambda/4 = \lambda/2$.
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2(L_2 - L_1)$ है।

(A) $L$ लंबाई के एक सिरे पर बंद पाइप $(COP)$ की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L} = 412 \, Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\frac{v}{L} = 412 \times 4 = 1648 \, Hz$.
जब पाइप को $L' = \frac{L}{2}$ लंबाई के दो समान टुकड़ों में काटा जाता है,तो एक टुकड़ा बंद पाइप $(COP)$ रहता है और दूसरा खुला पाइप $(OOP)$ बन जाता है।
नए बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_{COP} = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L} = 2 \times \frac{v}{4L} = 2 \times 412 = 824 \, Hz$ है।
नए खुले पाइप की मूल आवृत्ति $f_{OOP} = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 1648 \, Hz$ है।
अतः,आवृत्तियाँ $824 \, Hz$ और $1648 \, Hz$ हैं।

(B) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र है: $f = \frac{nv}{2l}$।
दिया गया है:
लंबाई $l = 33 \, cm = 0.33 \, m$
आवृत्ति $f = 1000 \, Hz$
ध्वनि का वेग $v = 330 \, m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$1000 = \frac{n \times 330}{2 \times 0.33}$
$1000 = \frac{n \times 330}{0.66}$
$1000 = n \times 500$
$n = \frac{1000}{500} = 2$
चूंकि $n = 2$ है,इसलिए कंपन की विधा $2^{nd}$ हार्मोनिक है।

(A) एक रेजोनेंस कॉलम (एक सिरे पर बंद) के लिए,रेजोनेंस की लंबाई इस प्रकार दी जाती है:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
जहाँ $e$ एंड करेक्शन (अंतिम सुधार) है।
पहले समीकरण से,$\frac{\lambda}{4} = l_1 + e$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$l_2 + e = 3(l_1 + e)$
$l_2 + e = 3l_1 + 3e$
$l_2 = 3l_1 + 2e$
चूंकि एंड करेक्शन $e$ हमेशा धनात्मक $(e > 0)$ होता है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $l_2 > 3l_1$।

(B) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n+1)V}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन संख्या है। पहले ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,$f_1 = \frac{3V}{4L_1}$ है।
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = \frac{(n+1)V}{2L_2}$ द्वारा दी जाती है। तीसरे ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,$f_3 = \frac{4V}{2L_2} = \frac{2V}{L_2}$ है।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी आवृत्तियाँ समान हैं: $\frac{3V}{4L_1} = \frac{2V}{L_2}$।
लंबाई के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4 \times 2} = \frac{3}{8} = 0.375$।

(B) $\ell$ लंबाई की एक खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{V}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $V$ ध्वनि की गति है。
दो पाइपों के लिए, हमारे पास $n_1 = \frac{V}{2\ell_1}$ और $n_2 = \frac{V}{2\ell_2}$ है。
इसका अर्थ है $\ell_1 = \frac{V}{2n_1}$ और $\ell_2 = \frac{V}{2n_2}$。
जब दोनों पाइपों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो नई पाइप की कुल लंबाई $\ell = \ell_1 + \ell_2$ होती है。
नई पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{V}{2\ell} = \frac{V}{2(\ell_1 + \ell_2)}$ है。
$\ell_1$ और $\ell_2$ के मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $n = \frac{V}{2(\frac{V}{2n_1} + \frac{V}{2n_2})} = \frac{V}{V(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})} = \frac{1}{\frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + n_2}$。

(C) दी गई आवृत्तियाँ $425 \, Hz$,$595 \, Hz$ और $765 \, Hz$ हैं।
इन्हें उनके महत्तम समापवर्तक $(85)$ से विभाजित करने पर,हमें अनुपात प्राप्त होता है: $425:595:765 = 5:7:9$.
चूँकि आवृत्तियाँ विषम पूर्णांकों के अनुपात $(5:7:9)$ में हैं,इसलिए यह पाइप एक बंद ऑर्गन पाइप होनी चाहिए।
बंद पाइप के लिए अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n V}{4l}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है $(n = 1, 3, 5, ...)$।
पहली देखी गई आवृत्ति के लिए,$n = 5$,इसलिए $\frac{5 V}{4l} = 425 \, Hz$.
$V = 340 \, m/s$ रखने पर:
$l = \frac{5 \times 340}{4 \times 425} = \frac{1700}{1700} = 1 \, m$.

(A) अनुनाद नली में,पहला अनुनाद लंबाई $\ell_1 = \frac{\lambda}{4} - e$ पर और दूसरा अनुनाद $\ell_2 = \frac{3\lambda}{4} - e$ पर होता है,जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है।
दोनों लंबाइयों को घटाने पर: $\ell_2 - \ell_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
दिया गया है कि $\ell_1 = 17 \, cm$ और $\ell_2 = 51 \, cm$,इसलिए $\frac{\lambda}{2} = 51 - 17 = 34 \, cm$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \times 34 \, cm = 68 \, cm = 0.68 \, m$.
ध्वनि की गति $v = f \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f = 512 \, Hz$.
$v = 512 \times 0.68 = 348.16 \, m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,ध्वनि की गति $348 \, m/s$ है।

(B) दिया गया है: ध्वनि की गति,$v = 340 \, m \, s^{-1}$.
पाइप की लंबाई,$L = 17 \, cm = 0.17 \, m$.
स्रोत की आवृत्ति,$f = 1.5 \, kHz = 1500 \, Hz$.
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 3, 5, 7, \dots$ हार्मोनिक मोड को दर्शाता है।
$f_n = f$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $1500 = \frac{n \times 340}{4 \times 0.17}$.
$1500 = \frac{n \times 340}{0.68}$.
$1500 = n \times 500$.
$n = \frac{1500}{500} = 3$.
अतः,$3^{\text{rd}}$ हार्मोनिक मोड स्रोत के साथ अनुनाद करता है।

(D) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f = 256\, Hz$ है। यह एक खुली पाइप के तीसरे सामान्य मोड के साथ $1\, beat/s$ उत्पन्न करता है। इसलिए,तीसरे सामान्य मोड की आवृत्ति $f_3 = 256 \pm 1\, Hz$,यानी $255\, Hz$ या $257\, Hz$ है।
खुली पाइप के लिए,$N$ वें सामान्य मोड की आवृत्ति $f_N = \frac{N v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N=3$,$v = 340\, m/s$,और $L$ पाइप की लंबाई है।
स्थिति $1$: $255 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{510} = 2\, m = 200\, cm$.
स्थिति $2$: $257 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{514} \approx 1.98\, m = 198\, cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$200\, cm$ सही उत्तर है।

(A) प्रथम अनुनाद के लिए,प्रभावी लंबाई $L_1 = \ell_1 + e$ है,जहाँ $\ell_1 = 10 \, cm$ और $e = 1 \, cm$ है।
अतः,$L_1 = 10 + 1 = 11 \, cm$ है।
चूँकि $L_1 = \frac{\lambda}{4}$,इसलिए $\lambda = 4 \times 11 = 44 \, cm$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अनुनाद के लिए,प्रभावी लंबाई $L_2 = \ell_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें $L_2 = 3 \times 11 = 33 \, cm$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\ell_2 = 33 - e = 33 - 1 = 32 \, cm$ होगा।

(C) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ भुजाओं का द्रव्यमान है।
जब ट्यूनिंग फोर्क की भुजाओं को घिसा जाता है,तो द्रव्यमान $m$ कम हो जाता है,जिससे आवृत्ति $n$ बढ़ जाती है।
अनुनाद नली में,अनुनाद की स्थिति $n = \frac{v}{4(L+e)}$ होती है,जहाँ $L$ वायु स्तंभ की लंबाई है और $e$ अंत सुधार (end correction) है।
चूंकि $n$ बढ़ता है,इसलिए ध्वनि की गति $v$ स्थिर रहने पर अनुनाद की स्थिति बनाए रखने के लिए $(L+e)$ पद को कम होना चाहिए।
अतः,वायु स्तंभ की लंबाई $L$ को कम किया जाना चाहिए,न कि बढ़ाया जाना चाहिए।
इस प्रकार,कथन $1$ असत्य है और कथन $2$ सत्य है।

(D) अनुनाद नली के लिए,अनुनाद की स्थिति $L + e = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ है,जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है।
दिया गया है $L_1 = 16\,cm$ और $L_2 = 50\,cm$,$f = 500\,Hz$ के लिए।
$L_2 - L_1 = \frac{\lambda}{2} \implies 50 - 16 = 34\,cm = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 68\,cm = 0.68\,m$.
ध्वनि की गति $v = f \lambda = 500 \times 0.68 = 340\,m/s$.
अब,$L_1 + e = \frac{\lambda}{4} \implies 16 + e = \frac{68}{4} = 17 \implies e = 1\,cm = 0.01\,m$.
जब नली को पानी से बाहर निकाला जाता है,तो यह $L = 60.5\,cm + 2e = 60.5 + 2(1) = 62.5\,cm = 0.625\,m$ लंबाई की एक खुली ऑर्गन पाइप के रूप में कार्य करती है।
खुली पाइप की अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n v}{2L}$ होती हैं।
$n=1$ के लिए,$f_1 = \frac{340}{2 \times 0.625} = \frac{340}{1.25} = 272\,Hz$.
$n=2$ के लिए,$f_2 = 2 \times f_1 = 544\,Hz$.

(B) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = 264 \, Hz$ है। ध्वनि का वेग $v = 330 \, m/s$ है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $n = \frac{(2k-1)v}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
मूल लंबाई $(k=1)$ $L_1 = \frac{v}{4n} = \frac{330}{4 \times 264} = 0.3125 \, m = 31.25 \, cm$ है।
संभावित अनुनाद लंबाई $L = (2k-1) \times 31.25 \, cm$ है।
$k=1$ के लिए,$L = 31.25 \, cm$ है।
$k=2$ के लिए,$L = 3 \times 31.25 = 93.75 \, cm$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$93.75 \, cm$ सही उत्तर है।

(A) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज होती हैं,जो $f_n = (2n + 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ और $f_0 = 1500\, Hz$ है।
हमें उन ओवरटोन्स की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f_n \leq 20,000\, Hz$ हो।
$(2n + 1) \times 1500 \leq 20,000$
$2n + 1 \leq \frac{20,000}{1500} = 13.33$
$2n \leq 12.33 \implies n \leq 6.16$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
यहाँ,$n=0$ मूल आवृत्ति के अनुरूप है।
ओवरटोन्स $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ के अनुरूप हैं।
इस प्रकार,कुल $6$ ओवरटोन्स सुने जा सकते हैं।

(D) पहले अनुनाद के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई $L = l + e$ है,जहाँ $l$ मापी गई लंबाई है और $e$ अंत सुधार (end correction) है।
पहले ट्यूनिंग फोर्क के लिए: $f_1 = 512\,Hz$,$l_1 = 11\,cm$.
अनुनाद की स्थिति $L_1 = \frac{\lambda_1}{4} = \frac{v}{4f_1} \Rightarrow 11 + e = \frac{v}{4 \times 512} \quad (1)$ है।
दूसरे ट्यूनिंग फोर्क के लिए: $f_2 = 256\,Hz$,$l_2 = 27\,cm$.
अनुनाद की स्थिति $L_2 = \frac{\lambda_2}{4} = \frac{v}{4f_2} \Rightarrow 27 + e = \frac{v}{4 \times 256} \quad (2)$ है।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{11 + e}{27 + e} = \frac{256}{512} = \frac{1}{2}$
$22 + 2e = 27 + e \Rightarrow e = 5\,cm$.
$e = 5$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$11 + 5 = \frac{v}{4 \times 512} \Rightarrow 16 = \frac{v}{2048}$
$v = 16 \times 2048 = 32768\,cm/s = 327.68\,m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,वेग $328\,ms^{-1}$ है।

(C) रेजोनेंस ट्यूब प्रयोग में,ध्वनि की गति $\nu$,आवृत्ति $f$ और दो क्रमिक अनुनाद लंबाइयों $\ell_1$ और $\ell_2$ के अंतर से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\nu = 2f(\ell_2 - \ell_1)$.
दिया गया है:
आवृत्ति $f = 480\, Hz$
$\ell_1 = 30\, cm = 0.30\, m$
$\ell_2 = 70\, cm = 0.70\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$\nu = 2 \times 480 \times (0.70 - 0.30)$
$\nu = 960 \times 0.40$
$\nu = 384\, m/s$.

(A) बंद पाइप में अनुनाद के लिए शर्त $L_n = \frac{(2n-1)v}{4f}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अनुनाद का क्रम है,$v$ ध्वनि की गति है और $f$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है।
सर्दियों में पहले अनुनाद के लिए $(n=1)$: $L_1 = \frac{v_w}{4f} = 18\,cm$.
गर्मियों में दूसरे अनुनाद के लिए $(n=2)$: $L_2 = \frac{3v_s}{4f} = x\,cm$.
चूँकि गर्मियों में तापमान सर्दियों की तुलना में अधिक होता है,इसलिए गर्मियों में ध्वनि की गति $(v_s)$ सर्दियों $(v_w)$ की तुलना में अधिक होती है,अर्थात $v_s > v_w$.
पहले अनुनाद से,हमारे पास $v_w = 4f \times 18 = 72f$ है।
दूसरे अनुनाद समीकरण में $v_s > v_w$ प्रतिस्थापित करने पर: $x = \frac{3v_s}{4f} > \frac{3v_w}{4f} = 3 \times 18 = 54\,cm$.
अतः,$x > 54$.

(D) $L = 0.5\,m$ लंबाई वाले एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $f_c = \frac{(2n-1)v}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
मान रखने पर: $f_c = \frac{(2n-1) \times 340}{4 \times 0.5} = (2n-1) \times 170\,Hz$.
इससे प्राप्त आवृत्तियाँ: $170\,Hz, 510\,Hz, 850\,Hz, \dots$
$L = 0.5\,m$ लंबाई वाले दोनों सिरों पर खुले पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $f_o = \frac{mv}{2L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $m = 1, 2, 3, \dots$
मान रखने पर: $f_o = \frac{m \times 340}{2 \times 0.5} = m \times 340\,Hz$.
इससे प्राप्त आवृत्तियाँ: $340\,Hz, 680\,Hz, 1020\,Hz, \dots$
दोनों आवृत्तियों के समूहों की तुलना करने पर,ऐसी कोई सामान्य आवृत्ति नहीं है जिस पर दोनों पाइप अनुनाद कर सकें।

(A) $l$ लंबाई वाली एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n = \frac{v}{2l}$
दिया गया है:
ध्वनि का वेग $v = 350\, m/s$
पाइप की लंबाई $l = 0.5\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$n = \frac{350}{2 \times 0.5}$
$n = \frac{350}{1}$
$n = 350\, Hz$
अतः,मूल आवृत्ति $350\, Hz$ है।

(D) बंद पाइप के लिए अनुनाद की स्थिति $L_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4} + e$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ अंत सुधार (end correction) है।
दो क्रमिक अनुनाद लंबाई $L_1$ और $L_2$ के लिए,अंतर $\frac{\lambda}{2} = L_2 - L_1$ होता है।
दिया गया है $L_1 = 33.4 \, cm = 0.334 \, m$ और $L_2 = 101.8 \, cm = 1.018 \, m$.
$\frac{\lambda}{2} = 1.018 - 0.334 = 0.684 \, m$.
अतः,$\lambda = 2 \times 0.684 = 1.368 \, m$.
ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = f \lambda$ है।
$v = 256 \times 1.368 = 350.208 \, ms^{-1}$.
निकटतम मान लेने पर,$v \approx 350 \, ms^{-1}$।

(B) दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,प्रथम हार्मोनिक की आवृत्ति:
$f = \frac{v}{2L} = 480 \, Hz$
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,प्रथम हार्मोनिक की आवृत्ति:
$f' = \frac{v}{4L'} = 480 \, Hz$
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क समान है,$f = f'$,इसलिए:
$\frac{v}{2L} = \frac{v}{4L'}$
समीकरण को सरल करने पर:
$4L' = 2L$
$L' = \frac{2L}{4} = \frac{L}{2}$
अतः,एक सिरे पर बंद पाइप की लंबाई $\frac{L}{2}$ होनी चाहिए।

(C) दी गई अनुनाद आवृत्तियाँ $f_1 = 425 \, Hz$,$f_2 = 595 \, Hz$ और $f_3 = 765 \, Hz$ हैं।
इन आवृत्तियों का अनुपात लेने पर: $425 : 595 : 765 = 5 : 7 : 9$.
चूंकि क्रमिक अनुनाद आवृत्तियों का अनुपात विषम पूर्णांकों $(5:7:9)$ के अनुपात में है,यह इंगित करता है कि पाइप एक बंद ऑर्गन पाइप है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n V}{4 \ell}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक $(1, 3, 5, \dots)$ है।
पहली देखी गई आवृत्ति $f_1 = 425 \, Hz$ के लिए,$n = 5$ है (क्योंकि $425/85 = 5$)।
अतः,$\frac{5 V}{4 \ell} = 425 \, Hz$.
दिया गया है $V = 340 \, m/s$,मान रखने पर: $\frac{5 \times 340}{4 \ell} = 425$.
$\frac{1700}{4 \ell} = 425 \Rightarrow \frac{425}{\ell} = 425$.
इसलिए,$\ell = 1 \, m$।

(B) बंद ऑर्गन पाइप के लिए $m^{th}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = \frac{(2m+1)V}{4L_{c}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ प्रथम ओवरटोन के लिए $m=1$ रखने पर,$f_{c} = \frac{3V}{4L_{c}}$ प्राप्त होता है।
खुले ऑर्गन पाइप के लिए $m^{th}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = \frac{(m+1)V}{2L_{o}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ प्रथम ओवरटोन के लिए $m=1$ रखने पर,$f_{o} = \frac{2V}{2L_{o}} = \frac{V}{L_{o}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $f_{c} = f_{o}$:
$\frac{3V}{4L_{c}} = \frac{V}{L_{o}}$
लंबाई का अनुपात $L_{c}:L_{o}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{L_{c}}{L_{o}} = \frac{3}{4}$
अतः,उनकी लंबाई का अनुपात $3:4$ है।

(A) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f = 330\,Hz$ है और ध्वनि की गति $v = 330\,m/s$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{330} = 1\,m = 100\,cm$ है।
एक बंद ऑर्गन पाइप (अनुनाद ट्यूब) के लिए,अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ हो,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
ट्यूब की कुल लंबाई $L = 120\,cm$ है,इसलिए वायु स्तंभ की लंबाई $l$ का मान $120\,cm$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
$n=1$ के लिए,$l_1 = \frac{100}{4} = 25\,cm$ है।
$n=2$ के लिए,$l_2 = \frac{3 \times 100}{4} = 75\,cm$ है।
$n=3$ के लिए,$l_3 = \frac{5 \times 100}{4} = 125\,cm$ है (जो $120\,cm$ से अधिक है,इसलिए यह संभव नहीं है)।
पानी के स्तंभ की लंबाई $h = L - l$ द्वारा दी जाती है।
पानी के स्तंभ की न्यूनतम लंबाई प्राप्त करने के लिए,हमें वायु स्तंभ की वह अधिकतम लंबाई $l$ लेनी होगी जो $120\,cm$ से कम हो।
अतः,$l = 75\,cm$ लेने पर,पानी के स्तंभ की न्यूनतम लंबाई $h = 120\,cm - 75\,cm = 45\,cm$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया है:
ध्वनि की गति,$v = 330 \, m/s$
पाइप की लंबाई,$L = 30 \, cm = 0.3 \, m$
स्रोत की आवृत्ति,$f_n = 1.1 \, kHz = 1100 \, Hz$
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति इस प्रकार है:
$f_n = \frac{n v}{2L}$
$n$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$n = \frac{2 L f_n}{v}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n = \frac{2 \times 0.3 \times 1100}{330}$
$n = \frac{0.6 \times 1100}{330}$
$n = \frac{660}{330} = 2$
अतः,$2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक मोड स्रोत के साथ अनुनाद करता है।

(C) खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $L$ पाइप की लंबाई है।
दी गई लंबाई $L_1 = 50 \, cm = 0.5 \, m$ और $L_2 = 50.5 \, cm = 0.505 \, m$ है।
बीट आवृत्ति मूल आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_1 - f_2 = 3 \, Hz$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{v}{2 \times 0.5} - \frac{v}{2 \times 0.505} = 3$.
$v - \frac{v}{1.01} = 3$.
$v \left( 1 - \frac{1}{1.01} \right) = 3$.
$v \left( \frac{1.01 - 1}{1.01} \right) = 3$.
$v \left( \frac{0.01}{1.01} \right) = 3$.
$v = \frac{3 \times 1.01}{0.01} = 3 \times 101 = 303 \, m/s$.

(B) कंपित तार की मूल आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \frac{m}{L}$ है।
दिया गया है: $T = 240 \, N$,$m = 3 \times 10^{-3} \, kg$,$L = 8 \, m$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{3 \times 10^{-3}}{8} \, kg/m$.
मान रखने पर: $f_n = \frac{n}{2 \times 8} \sqrt{\frac{240}{3 \times 10^{-3} / 8}} = \frac{n}{16} \sqrt{\frac{240 \times 8}{3 \times 10^{-3}}} = \frac{n}{16} \sqrt{640000} = \frac{n}{16} \times 800 = 50n \, Hz$.
श्रव्य सीमा $120 \, Hz \leq 50n \leq 12020 \, Hz$ है।
$50$ से विभाजित करने पर: $2.4 \leq n \leq 240.4$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ का मान $3$ से $240$ तक हो सकता है।
ऐसी आवृत्तियों की संख्या $240 - 3 + 1 = 238$ है।

(A) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $n \propto \frac{1}{\ell}$।
चूंकि छोटी लंबाई वाली पाइप की आवृत्ति अधिक होती है,मान लीजिए कि $\ell_1 = 20\,cm$ लंबाई वाली पाइप की आवृत्ति $n_1$ है और $\ell_2 = 20.5\,cm$ लंबाई वाली पाइप की आवृत्ति $n_2$ है।
दिया गया है कि $n_1 - n_2 = 5\,Hz$,इसलिए $n_1 = n_2 + 5$।
संबंध $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ का उपयोग करते हुए,हम मान रखते हैं:
$\frac{n_2 + 5}{n_2} = \frac{20.5}{20}$
$20(n_2 + 5) = 20.5 n_2$
$20 n_2 + 100 = 20.5 n_2$
$0.5 n_2 = 100$
$n_2 = \frac{100}{0.5} = 200\,Hz$।
इसलिए,$n_1 = 200 + 5 = 205\,Hz$।
अतः,आवृत्तियाँ $205\,Hz$ और $200\,Hz$ हैं।

(A) एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4(L + 0.6r)}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$L$ लंबाई है और $r$ त्रिज्या है।
चूंकि $L \gg r$,अंत सुधार (end correction) $0.6r$ को अक्सर उपेक्षित किया जाता है,जिससे सूत्र $n \approx \frac{v}{4L}$ हो जाता है।
यदि लंबाई $L$ को दोगुना $(L' = 2L)$ और त्रिज्या $r$ को आधा $(r' = r/2)$ कर दिया जाए,तो नई आवृत्ति $n'$ होगी:
$n' = \frac{v}{4(L' + 0.6r')} = \frac{v}{4(2L + 0.6(r/2))} = \frac{v}{4(2L + 0.3r)}$.
चूंकि $L \gg r$,हम $2L + 0.3r \approx 2L$ मान सकते हैं।
इसलिए,$n' \approx \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{4L} \right) = \frac{n}{2}$.
अतः,आवृत्ति आधी हो जाती है।

(B) एक सिरे पर बंद अनुनाद नली के लिए,अनुनाद लंबाई $L_1$ और $L_2$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और अंत सुधार $e$ से इस प्रकार संबंधित हैं:
$L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
$L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{L_2 + e}{L_1 + e} = 3$
$L_2 + e = 3L_1 + 3e$
$L_2 - 3L_1 = 2e$
$e = \frac{L_2 - 3L_1}{2}$
दिया गया है $L_1 = 10\, cm$ और $L_2 = 32\, cm$:
$e = \frac{32 - 3(10)}{2} = \frac{32 - 30}{2} = \frac{2}{2} = 1\, cm$.

(A) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = v / (2L)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब पाइप को उसकी आधी लंबाई $(L/2)$ तक पानी में डुबोया जाता है,तो पानी उस बिंदु पर एक बंद सिरे के रूप में कार्य करता है।
इस प्रकार,वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $L' = L/2$ हो जाती है।
चूंकि पाइप अब एक सिरे पर बंद (पानी द्वारा) और दूसरे सिरे पर खुली है,यह $L' = L/2$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के रूप में व्यवहार करती है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f' = v / (4L')$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $L' = L/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f' = v / (4 * (L/2)) = v / (2L)$ प्राप्त होता है।
इसे मूल आवृत्ति $f = v / (2L)$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $f' = f$।

(C) दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \frac{V}{2l}$
दिया गया है:
ध्वनि का वेग $V = 340\, m/s$
पाइप की लंबाई $l = 34\, cm = 0.34\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$f = \frac{340}{2 \times 0.34}$
$f = \frac{340}{0.68}$
$f = 500\, Hz$
अतः,मूल आवृत्ति $500\, Hz$ है।

(A) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\, m/s}{340\, Hz} = 1\, m = 100\, cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद लंबाई $l = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$n=1$ के लिए,$l_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{100\, cm}{4} = 25\, cm$ है।
$n=2$ के लिए,$l_2 = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 100\, cm}{4} = 75\, cm$ है।
$n=3$ के लिए,$l_3 = \frac{5\lambda}{4} = \frac{5 \times 100\, cm}{4} = 125\, cm$ है।
चूँकि नली की कुल ऊँचाई $120\, cm$ है,इसलिए केवल $l_1 = 25\, cm$ और $l_2 = 75\, cm$ ही संभव हैं।
पानी की न्यूनतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हमें अनुनाद के लिए हवा के स्तंभ की अधिकतम संभव लंबाई लेनी होगी,जो कि $l_2 = 75\, cm$ है।
पानी की न्यूनतम ऊँचाई $= \text{कुल ऊँचाई} - l_2 = 120\, cm - 75\, cm = 45\, cm$।

(D) एक खुली ऑर्गन पाइप जिसकी लंबाई $\ell$ है,के लिए $p^{th}$ मोड की आवृत्ति $f_{open} = p \frac{v}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
एक बंद ऑर्गन पाइप जिसकी लंबाई $\ell$ है,के लिए $p^{th}$ मोड की आवृत्ति $f_{closed} = (2p - 1) \frac{v}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप और बंद पाइप की $p^{th}$ मोड आवृत्ति का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{f_{open}}{f_{closed}} = \frac{p \frac{v}{2\ell}}{(2p - 1) \frac{v}{4\ell}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{f_{open}}{f_{closed}} = \frac{p}{2\ell} \times \frac{4\ell}{2p - 1} = \frac{2p}{2p - 1}$
अतः,अनुपात $\frac{2p}{2p - 1}$ है।

(C) बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 256\, Hz$ और लंबाई $L_1 = 25.4\, cm = 0.254\, m$ दी गई है।
$256 = \frac{v}{4 \times 0.254} \implies v = 256 \times 4 \times 0.254 = 260.096\, m/s$.
जब लंबाई $2\, mm = 0.2\, cm$ बढ़ाई जाती है,तो नई लंबाई $L_2 = 25.4 + 0.2 = 25.6\, cm = 0.256\, m$ हो जाती है।
नई आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4L_2} = \frac{260.096}{4 \times 0.256} = \frac{260.096}{1.024} = 254\, Hz$.
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या $|n_1 - n_2| = |256 - 254| = 2\, Hz$ होगी।

(A) दी गई लंबाई $L_{1} = 50 \, cm = 0.5 \, m$ और $L_{2} = 50.5 \, cm = 0.505 \, m$ है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $L_{2} > L_{1}$,इसलिए आवृत्ति $n_{1} > n_{2}$ होगी।
बीट आवृत्ति $n_{1} - n_{2} = 3 \, Hz$ है।
आवृत्ति के लिए व्यंजक रखने पर: $\frac{v}{2L_{1}} - \frac{v}{2L_{2}} = 3$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{0.505} \right) = 3$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.505 - 0.5}{0.5 \times 0.505} \right) = 3$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.005}{0.2525} \right) = 3$.
$v \left( \frac{0.005}{0.505} \right) = 3$.
$v = \frac{3 \times 0.505}{0.005} = 3 \times 101 = 303 \, m/s$.

(A) $l$ लंबाई वाले ओपन ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ वायु स्तंभ में ध्वनि का वेग है।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,ध्वनि का वेग $v$ संबंध $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ के अनुसार बढ़ता है।
हालांकि तापीय प्रसार के कारण पाइप की लंबाई $l$ में थोड़ी वृद्धि हो सकती है,लेकिन ध्वनि के वेग $v$ में होने वाली वृद्धि बहुत अधिक महत्वपूर्ण होती है।
चूंकि $f \propto v$ और $f \propto \frac{1}{l}$,इसलिए $v$ में होने वाली वृद्धि $l$ में होने वाली मामूली वृद्धि के प्रभाव पर हावी हो जाती है,जिससे कुल मिलाकर मूल आवृत्ति $f$ में वृद्धि होती है।
अतः,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है।

(C) एक सिरे पर बंद अनुनाद स्तंभ ट्यूब के लिए,अनुनाद लंबाई $l_1, l_2, l_3, \dots$ को $l_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दो क्रमिक अनुनाद लंबाई के बीच का अंतर $\Delta l = l_{n+1} - l_n = \frac{\lambda}{2}$ होता है।
यहाँ $l_1 = 9.75 \; cm$ और $l_2 = 31.25 \; cm$ दिया गया है,इसलिए अंतर $\Delta l = 31.25 \; cm - 9.75 \; cm = 21.50 \; cm = 0.215 \; m$ है।
अतः,$\frac{\lambda}{2} = 0.215 \; m$,जिसका अर्थ है $\lambda = 0.43 \; m$।
ध्वनि की गति $v$ को $v = f \lambda$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान $f = 800 \; Hz$ और $\lambda = 0.43 \; m$ रखने पर,हमें $v = 800 \times 0.43 = 344 \; m/s$ प्राप्त होता है।

(B) गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है।
यह मानते हुए कि गैस और हवा के लिए $\gamma$ और $P$ समान हैं,हमारे पास $\frac{v_{gas}}{v_{air}} = \sqrt{\frac{\rho_{air}}{\rho_{gas}}}$ है।
दिया गया है कि $\rho_{gas} = 2 \rho_{air}$,इसलिए $\frac{v_{gas}}{300} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$v_{gas} = \frac{300}{\sqrt{2}} = 150 \sqrt{2} \; m/s$.
$L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ और दूसरा हार्मोनिक $f_2 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L}$ है।
आवृत्ति का अंतर $\Delta f = f_2 - f_1 = \frac{v}{2L}$ है।
मान रखने पर,$\Delta f = \frac{150 \sqrt{2}}{2(1)} = 75 \sqrt{2} \approx 75 \times 1.414 = 106.05 \; Hz$.
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $106 \; Hz$ है।