Mix Examples-Thermodynamics Questions in Hindi

(B) एक आदर्श गैस के लिए,समतापीय प्रत्यास्थता $E_{\theta} = P$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ गैस का दबाव है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma}(dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $dP/dV = -\gamma P/V$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रत्यास्थता को $E_{\phi} = -V(dP/dV) = -V(-\gamma P/V) = \gamma P$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$E_{\phi}$ के समीकरण में $E_{\theta} = P$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_{\phi} = \gamma E_{\theta}$ प्राप्त होता है।

(D) कार्य $W$ और ऊष्मा $Q$ के बीच का संबंध ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = J \times Q$।
यहाँ,$J$ ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक है,जिसका मान लगभग $4.2 \, J/cal$ होता है।
दिया गया है,$Q = 200 \, cal$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $W = 4.2 \, J/cal \times 200 \, cal = 840 \, J$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) स्थिति $(i)$ में,प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है क्योंकि आयतन $V$ स्थिर रहता है। किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $dV = 0$,इसलिए किया गया कार्य $0$ है।
स्थिति $(ii)$ में,प्रक्रिया समदाबी (isobaric) है क्योंकि दाब $P$ स्थिर रहता है। किया गया कार्य $W = \int_{V}^{2V} P \, dV = P(2V - V) = PV$ द्वारा दिया जाता है।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि कोई कार्य नहीं किया गया है,$\Delta W = 0$।
अतः,दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ है,इसलिए $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$।
यहाँ $n = 2 \ \text{मोल}$,$\Delta T = 373 \ K - 273 \ K = 100 \ K$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta Q = 2 \times \frac{3}{2}R \times 100 = 300R$।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
स्थिर दाब पर किया गया कार्य $\Delta W = \Delta Q_P - \Delta U$ होता है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा के बराबर होता है,इसलिए $\Delta U = \Delta Q_V = m C_V \Delta T$।
स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q_P = m C_P \Delta T$ है।
अतः,किया गया कार्य $\Delta W = m(C_P - C_V) \Delta T$ होगा।
दिया गया है: $m = 1 \text{ kg}$,$C_P = 3.4 \times 10^3 \text{ cal/kg } ^oC$,$C_V = 2.4 \times 10^3 \text{ cal/kg } ^oC$,और $\Delta T = 20^oC - 10^oC = 10^oC$।
मान रखने पर: $\Delta W = 1 \times (3.4 \times 10^3 - 2.4 \times 10^3) \times 10$।
$\Delta W = 1 \times (1.0 \times 10^3) \times 10 = 10^4 \text{ cal}$।

(C) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ केवल तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ पर निर्भर करता है और इसे सूत्र: $\Delta U = \mu C_{V} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यह सूत्र किसी भी प्रक्रिया (स्थिर दाब या स्थिर आयतन) के लिए मान्य है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V} = \frac{3}{2}R$ होती है।
दिया गया है: $\mu = 1 \text{ mole}$,$\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100 \text{ K}$,और $R \approx 8.31 \text{ J/mol K}$।
मान रखने पर: $\Delta U = 1 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 100$।
$\Delta U = 1.5 \times 8.31 \times 100 = 1246.5 \text{ J} \approx 12.48 \times 10^{2} \text{ J}$।

(B) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta U = n C_V \Delta T$.
यहाँ,$n = 2 \text{ moles}$,$C_V = 4.96 \text{ cal/mole K}$,और $\Delta T = T_2 - T_1 = 342 \text{ K} - 340 \text{ K} = 2 \text{ K}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta U = 2 \times 4.96 \times 2 = 19.84 \text{ cal}$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $19.84 \text{ cal}$ है।

(A) $PV$ आरेख में,प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $V-$अक्ष के साथ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
समान प्रारंभिक और अंतिम आयतन के लिए,समतापीय वक्र रुद्धोष्म वक्र के ऊपर स्थित होता है क्योंकि रुद्धोष्म वक्र अधिक तीव्र होता है (समतापीय के लिए ढाल $-P/V$ की तुलना में रुद्धोष्म के लिए ढाल $-\gamma P/V$ होती है)।
चूंकि समतापीय वक्र रुद्धोष्म वक्र के ऊपर है,इसलिए समतापीय वक्र के नीचे का क्षेत्रफल रुद्धोष्म वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक होता है।
अतः,समतापीय प्रक्रिया में किया गया कार्य रुद्धोष्म प्रक्रिया में किए गए कार्य से अधिक होता है,अर्थात $W_{\text{iso}} > W_{\text{adia}}$।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ स्थिर रहता है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार, चूंकि $n$, $R$, और $T$ स्थिर हैं, इसलिए $PV$ का गुणनफल भी स्थिर होना चाहिए। अतः, $PV = \text{नियतांक}$ सही कथन है。
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि समतापीय प्रक्रिया में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है (क्योंकि $\Delta U \propto \Delta T$)।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि सही रुद्धोष्म संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है, जिसका अर्थ है $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$.
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया में ऊष्मा का आदान-प्रदान $Q = 0$ होता है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए, $PV = \text{constant}$.
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{isothermal}} = -\frac{P}{V}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $PV^{\gamma} = \text{constant}$.
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dP}{dV} V^{\gamma} + P \gamma V^{\gamma-1} = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{adiabatic}} = -\gamma \frac{P}{V}$.
दोनों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है $\left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{adiabatic}} = \gamma \times \left( \frac{dP}{dV} \right)_{\text{isothermal}}$.

(A) जब सिलेंडर में हवा को अचानक संपीड़ित किया जाता है,तो यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
अचानक संपीड़न के कारण,गैस पर किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा को बढ़ा देता है,जिससे सिस्टम का तापमान काफी बढ़ जाता है।
संपीड़न के बाद,पिस्टन को एक निश्चित स्थिति में रखा जाता है,जिसका अर्थ है कि आयतन स्थिर रहता है।
चूंकि सिस्टम का तापमान आसपास के वातावरण से अधिक होता है,इसलिए ऊष्मीय संतुलन प्राप्त होने तक सिस्टम से आसपास के वातावरण में ऊष्मा का प्रवाह होता है।
जैसे-जैसे गैस का तापमान घटता है और आयतन स्थिर रहता है,आदर्श गैस नियम $(PV = nRT)$ के अनुसार,गैस का दबाव कम हो जाता है।

(A) ऊष्मागतिकीय प्रक्रिया में, निकाय द्वारा किया गया कार्य $PV$ वक्र और आयतन अक्ष के बीच घिरे क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए $PV$ आरेख से, हम प्रारंभिक आयतन $V_1$ और अंतिम आयतन $V_2$ के बीच प्रत्येक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल देख सकते हैं।
समदाबी (isobaric) प्रक्रिया के वक्र के नीचे का क्षेत्रफल सबसे अधिक है, उसके बाद समतापी (isothermal) प्रक्रिया आती है, और रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के वक्र के नीचे का क्षेत्रफल सबसे कम है।
अतः, किए गए कार्य का क्रम इस प्रकार है: $W_{\text{adiabatic}} < W_{\text{isothermal}} < W_{\text{isobaric}}$.

(D) समदाबी प्रक्रिया में दाब स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta p = 0$ होता है।
समआयतनिक प्रक्रिया में आयतन स्थिर रहता है,इसलिए किया गया कार्य $\Delta W = p \Delta V = 0$ होता है।
समतापीय प्रक्रिया में तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$ होता है।
हालाँकि,समतापीय प्रक्रिया में तापमान को स्थिर रखने के लिए परिवेश के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान होता है,इसलिए $\Delta Q \neq 0$ होता है।
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है क्योंकि $\Delta Q = 0$ रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया की शर्त है,न कि समतापीय प्रक्रिया की।

(D) जब बर्फ $273 \, K$ और वायुमंडलीय दबाव पर पिघलती है,तो इसका आयतन कम हो जाता है क्योंकि इस तापमान पर पानी का घनत्व बर्फ से अधिक होता है।
प्रणाली द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है,और चूंकि आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ ऋणात्मक है,इसलिए बर्फ-पानी प्रणाली द्वारा वायुमंडल पर किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
इसका अर्थ है कि वायुमंडल द्वारा बर्फ-पानी प्रणाली पर धनात्मक कार्य किया जाता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = \Delta Q - W$। पिघलने के दौरान,प्रणाली द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है,इसलिए $\Delta Q > 0$। चूंकि $W < 0$ है,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \Delta Q - W$ का मान $\Delta U = \Delta Q + |W|$ हो जाता है,जो धनात्मक है। इसलिए,प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है। अतः,विकल्प $(C)$ भी सही है।
चूंकि $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए अंतिम उत्तर $(D)$ है।

(C) $P-V$ ग्राफ से यह स्पष्ट है कि आयतन $V_1$ पर अंतिम दाब $P_3$,उसी आयतन $V_1$ पर प्रारंभिक दाब $P_1$ से अधिक है,इसलिए $P_3 > P_1$ है।
समतापीय प्रसार $(A \rightarrow B)$ में किया गया कार्य आयतन अक्ष के सापेक्ष वक्र $AB$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो धनात्मक है $(W_{iso} > 0)$।
रुद्धोष्म संपीड़न $(B \rightarrow C)$ में किया गया कार्य आयतन अक्ष के सापेक्ष वक्र $BC$ के नीचे के क्षेत्रफल का ऋणात्मक मान है,जो ऋणात्मक है $(W_{adia} < 0)$।
चूंकि रुद्धोष्म वक्र,समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है,इसलिए रुद्धोष्म संपीड़न के दौरान किए गए कार्य का परिमाण समतापीय प्रसार के दौरान किए गए कार्य से अधिक होता है $(|W_{adia}| > |W_{iso}|)$ ।
अतः,कुल कार्य $W = W_{iso} + W_{adia}$ ऋणात्मक है,अर्थात $W < 0$।

(C) नमूना $A$ के लिए (समतापीय संपीड़न):
$P_1 V = P_{A} (V/2) \Rightarrow P_{A} = 2 P_1$
नमूना $B$ के लिए (रुद्धोष्म संपीड़न):
$P_1 V^\gamma = P_{B} (V/2)^\gamma \Rightarrow P_{B} = P_1 (2)^\gamma$
चूंकि किसी भी गैस के लिए $\gamma > 1$ होता है (उदाहरण के लिए,हवा के लिए $\gamma = 1.4$),इसलिए $(2)^\gamma > 2$ होगा।
अतः,$P_{B} > P_{A}$,जिसका अर्थ है कि $A$ का अंतिम दबाव $B$ के अंतिम दबाव से कम है।

(B) चरण $1$: समतापीय प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $P_1V_1 = P_2V_2$.
दिया गया है $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 4V$.
$P \times V = P_2 \times 4V \implies P_2 = \frac{P}{4}$.
चरण $2$: रुद्धोष्म प्रक्रिया में,$P_2V_2^\gamma = P_3V_3^\gamma$,जहाँ $\gamma = 1.5$ है।
$P_2 = \frac{P}{4}$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$.
$\frac{P}{4} \times (4V)^{1.5} = P_3 \times V^{1.5}$.
$P_3 = \frac{P}{4} \times 4^{1.5} = \frac{P}{4} \times (2^2)^{1.5} = \frac{P}{4} \times 2^3 = \frac{P}{4} \times 8 = 2P$.
अतः,अंतिम दाब $2P$ होगा।

(B) प्रति सेकंड इनपुट ऊर्जा = $1 \ g/s \times 2 \ kcal/g = 2 \ kcal/s$।
इसे जूल प्रति सेकंड $(kW)$ में बदलने पर: चूंकि $1 \ kcal = 4.2 \ kJ$,इनपुट शक्ति $2 \times 4.2 \ kJ/s = 8.4 \ kW$ है।
इंजीनियर द्वारा दावा की गई आउटपुट शक्ति $10 \ kW$ है।
दक्षता $\eta = \frac{\text{आउटपुट शक्ति}}{\text{इनपुट शक्ति}} = \frac{10 \ kW}{8.4 \ kW} \approx 1.19$।
चूंकि दक्षता $\eta > 1$ (या $119\%$) है,जो ऊष्मागतिकी के प्रथम और द्वितीय नियमों का उल्लंघन करती है,इसलिए यह दावा अमान्य है।

(D) एक आदर्श द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p$ और स्थिर आयतन पर $C_v$ है। इनका अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4$ है।
सिलेंडर $A$ में,पिस्टन स्वतंत्र है,इसलिए यह प्रक्रिया समदाबी (isobaric) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \mu C_p (\Delta T)_A$ है।
सिलेंडर $B$ में,पिस्टन स्थिर है,इसलिए यह प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \mu C_v (\Delta T)_B$ है।
चूंकि दोनों को समान ऊष्मा दी जाती है,इसलिए $\mu C_p (\Delta T)_A = \mu C_v (\Delta T)_B$ होगा।
$(\Delta T)_B$ के लिए हल करने पर,$(\Delta T)_B = \frac{C_p}{C_v} (\Delta T)_A = \gamma (\Delta T)_A$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $(\Delta T)_B = 1.4 \times 30 \ K = 42 \ K$।

(A) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$1$. $AB$ एक समदाबी प्रक्रिया है (दाब $P$ स्थिर है, आयतन $V$ बढ़ता है)।
$2$. $BC$ एक समतापीय प्रसार है (वक्र $PV = \text{स्थिरांक}$ का पालन करता है, जैसे $V$ बढ़ता है, $P$ घटता है)।
$3$. $CD$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है (आयतन $V$ स्थिर है, दाब $P$ घटता है)।
$4$. $DA$ एक समतापीय संपीड़न है (वक्र $PV = \text{स्थिरांक}$ का पालन करता है, जैसे $V$ घटता है, $P$ बढ़ता है)।
अब, $P-T$ ग्राफों का विश्लेषण करने पर:
- आदर्श गैस के लिए, $PV = nRT$, इसलिए $P = (nR/V)T$।
- $AB$ (समदाबी): $P$ स्थिर है, इसलिए जैसे $V$ बढ़ता है, $T$ बढ़ना चाहिए। $P-T$ ग्राफ में, यह एक क्षैतिज रेखा है।
- $BC$ (समतापीय): $T$ स्थिर है। $P-T$ ग्राफ में, यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
- $CD$ (समआयतनिक): $V$ स्थिर है, इसलिए $P \propto T$। $P-T$ ग्राफ में, यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।
- $DA$ (समतापीय): $T$ स्थिर है। $P-T$ ग्राफ में, यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
इन विशेषताओं की तुलना करने पर, ग्राफ $A$ $P-T$ तल में चक्रीय प्रक्रिया $ABCD$ का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(C) दिए गए $V-T$ आरेख से:
$1$. प्रक्रिया $AB$ में,रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $V \propto T$ है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,यदि $V/T$ स्थिर है,तो दबाव $P$ स्थिर होना चाहिए। अतः,प्रक्रिया $AB$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ में,रेखा क्षैतिज है,जिसका अर्थ है कि आयतन $V$ स्थिर है। अतः,प्रक्रिया $BC$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $CA$ में,रेखा ऊर्ध्वाधर है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है। अतः,प्रक्रिया $CA$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
इन विशेषताओं की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वह $P-V$ आरेख जो एक समदाबी प्रक्रिया $(AB)$,एक समआयतनिक प्रक्रिया $(BC)$ और एक समतापीय प्रक्रिया $(CA)$ को दर्शाता है,वह ग्राफ $(c)$ द्वारा निरूपित होता है।

(D) पथ $ab$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए: अवशोषित ऊष्मा $Q_{ab} = 7000 \; J$ है। चूंकि यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है,$W_{ab} = 0$,इसलिए $\Delta U_{ab} = Q_{ab} = 7000 \; J$.
$\Delta U = \mu C_V \Delta T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ कार्बन मोनोऑक्साइड जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए $C_V = \frac{5}{2}R$ है:
$7000 = \mu \times \frac{5}{2}R \times (1000 - 300) = \mu \times \frac{5}{2}R \times 700$.
$\mu R = \frac{7000 \times 2}{5 \times 700} = 4 \; J/K$.
पूर्ण चक्र $abc$ के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है: $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} + \Delta U_{ca} = 0$.
चूंकि $bc$ समतापीय है,$\Delta U_{bc} = 0$. इसलिए,$\Delta U_{ca} = -\Delta U_{ab} = -7000 \; J$.
पथ $ca$ (दाब $P_1$ पर समदाबी प्रक्रिया) के लिए: कार्य $W_{ca} = P_1(V_1 - V_2) = \mu R(T_a - T_c)$.
चूंकि $T_a = 300 \; K$ और $T_c = T_b = 1000 \; K$ ($bc$ समतापीय है),$W_{ca} = 4 \times (300 - 1000) = 4 \times (-700) = -2800 \; J$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए पथ $ca$ के लिए: $Q_{ca} = \Delta U_{ca} + W_{ca} = -7000 + (-2800) = -9800 \; J$.
त्यागी गई ऊष्मा का परिमाण $9800 \; J$ है।

(D) $P-V$ आरेख में रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जबकि समतापीय प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी गैसों के लिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma > 1$ होता है,इसलिए रुद्धोष्म वक्र के ढाल का परिमाण समतापीय वक्र के ढाल के परिमाण का $\gamma$ गुना होता है।
इसलिए,रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्रों की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होते हैं।
दी गई आकृति में,वक्र $A$ और $C$ कम तीव्र हैं,जो समतापीय प्रक्रियाओं को दर्शाते हैं,जबकि वक्र $B$ और $D$ अधिक तीव्र हैं,जो रुद्धोष्म प्रक्रियाओं को दर्शाते हैं।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
$1$. प्रक्रिया $A \to B$ के दौरान,दबाव $P$ और आयतन $V$ दोनों घट रहे हैं। चूंकि $T \propto PV$,तापमान $T$ घटता है,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{A \to B}$ ऋणात्मक है। साथ ही,चूंकि आयतन घट रहा है,इसलिए किया गया कार्य $\Delta W_{A \to B}$ भी ऋणात्मक है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,इसलिए $\Delta Q_{A \to B}$ ऋणात्मक है।
$2$. प्रक्रिया $B \to C$ में,दबाव $P$ स्थिर है जबकि आयतन $V$ बढ़ रहा है। चूंकि $PV = nRT$,स्थिर दबाव पर आयतन में वृद्धि तापमान में वृद्धि का संकेत देती है,इसलिए $\Delta U_{B \to C}$ धनात्मक है।
$3$. प्रक्रिया $C \to A$ के दौरान,आयतन $V$ स्थिर है जबकि दबाव $P$ बढ़ रहा है। यह तापमान में वृद्धि का संकेत देता है,इसलिए $\Delta U_{C \to A}$ धनात्मक है।
$4$. प्रक्रिया $CAB$ के दौरान (जो $C \to A \to B$ मार्ग है),गैस का कुल आयतन घट रहा है (क्योंकि $B$ पर अंतिम आयतन $C$ पर प्रारंभिक आयतन से कम है)। अतः,गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक है।

(C) किसी निकाय की ऊष्मागतिक अवस्था उसके अवस्था चरों (state variables) द्वारा परिभाषित होती है,जिसमें दाब $(P)$,आयतन $(V)$ और तापमान $(T)$ शामिल हैं। ये चर केवल निकाय की वर्तमान अवस्था पर निर्भर करते हैं,न कि उस अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
कार्य $(W)$ एक पथ फलन (path function) है,न कि अवस्था फलन। यह एक प्रक्रिया के दौरान स्थानांतरित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है और दो ऊष्मागतिक अवस्थाओं के बीच अपनाए गए विशिष्ट पथ पर निर्भर करता है।
इसलिए,कार्य पदार्थ की ऊष्मागतिक अवस्था को निर्धारित नहीं करता है।

(A) स्थिर दाब पर गर्म की गई आदर्श गैस के लिए,अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,इसलिए किया गया कार्य $W = Q - \Delta U$ है।
किए गए कार्य $(W)$ और अवशोषित ऊष्मा $(Q)$ का अनुपात है:
$\frac{W}{Q} = \frac{Q - \Delta U}{Q} = 1 - \frac{\Delta U}{Q}$.
$Q$ और $\Delta U$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{W}{Q} = 1 - \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = 1 - \frac{C_V}{C_P}$.
चूंकि एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ है,इसलिए $\frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$ होता है।
अतः,अनुपात $1 - \frac{1}{\gamma}$ है।

(D) $P-V$ आरेख में,एक चक्रीय प्रक्रिया द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल निकाय द्वारा किए गए कुल कार्य को दर्शाता है। चूंकि चक्र $ABCD$ दक्षिणावर्त (clockwise) है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $ABCD$ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर है। अतः,कथन $I$ सही है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,एक पूर्ण चक्र के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। अतः,कथन $III$ सही है।
प्रथम नियम से,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए $\Delta Q = \Delta W$ प्राप्त होता है। अतः,अवशोषित कुल ऊष्मा किए गए कुल कार्य के बराबर है,जो $ABCD$ का क्षेत्रफल है। इसलिए,कथन $II$ भी सही है।
अतः,कथन $I, II$ और $III$ तीनों सही हैं।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,दबाव और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1 = P_2 V_2$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि $V_1 = V$ और $V_2 = V/2$,इसलिए $P_A = P_0 (V / (V/2)) = 2 P_0$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि $V_1 = V$ और $V_2 = V/2$,इसलिए $P_B = P_0 (V / (V/2))^\gamma = 2^\gamma P_0$ है।
चूंकि किसी भी गैस के लिए $\gamma > 1$ होता है,इसलिए $2^\gamma > 2$ होता है।
अतः,$B$ का अंतिम दबाव $(P_B = 2^\gamma P_0)$,$A$ के अंतिम दबाव $(P_A = 2 P_0)$ से अधिक है।
इस प्रकार,$A$ का अंतिम दबाव $B$ के अंतिम दबाव से कम है।

(C) स्थिर दाब पर गैस के विस्तार के लिए,जोड़ी गई ऊष्मा का सूत्र $Q = n C_P \Delta T$ है।
यहाँ,$n = 8 \ \text{मोल}$,$\Delta T = 30 \ ^\circ C$ है,और हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{5}{2} R$ होती है।
मान रखने पर:
$Q = 8 \times \left( \frac{5}{2} \times 8.314 \right) \times 30$
$Q = 8 \times 20.785 \times 30$
$Q = 4988.4 \ \text{J} \approx 5000 \ \text{J}$.
अतः,जोड़ी गई ऊष्मा लगभग $5000 \ \text{J}$ है।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
स्थिर दाब पर प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = \Delta Q_p - \Delta U$ होता है।
हम जानते हैं कि $\Delta Q_p = n C_p \Delta T$ और $\Delta U = n C_v \Delta T$ होता है।
अतः,$\Delta W = n C_p \Delta T - n C_v \Delta T = n \Delta T (C_p - C_v) = n R \Delta T$ होगा।
साथ ही,$\Delta Q_p = n C_p \Delta T$ होने के कारण,$\frac{\Delta W}{\Delta Q_p} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ होगा।
एक परमाण्विक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है। इसलिए,$C_v = \frac{3}{2} R$ और $C_p = \frac{5}{2} R$ होता है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{\Delta W}{Q} = \frac{R}{5/2 R} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = \frac{2}{5} Q$ है।

(D) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक अवस्था फलन है और समान दो अवस्थाओं के बीच किसी भी पथ के लिए समान रहता है।
पथ $iaf$ के लिए,$\Delta U = Q_{iaf} - W_{iaf} = 50 \ J - 20 \ J = 30 \ J$।
चूंकि पथ $fi$,पथ $if$ का विपरीत है,इसलिए पथ $fi$ के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{fi} = -\Delta U_{if} = -30 \ J$ होगा।
पथ $fi$ के लिए,किया गया कार्य $W_{fi} = -13 \ J$ दिया गया है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए,$Q_{fi} = \Delta U_{fi} + W_{fi}$।
मान रखने पर,$Q_{fi} = -30 \ J + (-13 \ J) = -43 \ J$।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,$PV = \text{constant}$। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P + V(dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए ढाल $(dP/dV)_{\text{iso}} = -P/V$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$PV^{\gamma} = \text{constant}$। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma}(dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$(dP/dV)_{\text{adia}} = -\gamma P/V$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $(dP/dV)_{\text{adia}} = \gamma \times (dP/dV)_{\text{iso}}$।

(B) इनपुट शक्ति $(P_{in})$ = (ईंधन की खपत की दर) $\times$ (कैलोरी मान)
$P_{in} = 1 \, g/s \times 2 \, kcal/g = 2 \, kcal/s$.
चूंकि $1 \, kcal = 4.2 \, kJ$, इसलिए इनपुट शक्ति $P_{in} = 2 \times 4.2 \, kJ/s = 8.4 \, kW$ है।
दावा की गई आउटपुट शक्ति $(P_{out})$ $10 \, kW$ है।
इंजन की दक्षता $\eta = P_{out} / P_{in} = 10 / 8.4 \approx 1.19$ है।
चूंकि दक्षता $\eta > 1$ (या $119\%$) है, जो ऊष्मागतिकी के नियमों का उल्लंघन करती है, इसलिए इंजीनियर का दावा गलत है।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
हम जानते हैं कि $\Delta Q = n C_p \Delta T$,$\Delta U = n C_v \Delta T$,और $\Delta W = n R \Delta T$ होता है।
बाहरी कार्य के लिए उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ है।
चूंकि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$,इसलिए $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$ होता है।
यहाँ $\gamma = 5/3$ दिया गया है,अतः यह अंश $\frac{5/3 - 1}{5/3} = \frac{2/3}{5/3} = \frac{2}{5} = 0.4$ होगा।
प्रतिशत में बदलने पर,$0.4 \times 100 = 40\%$ प्राप्त होता है।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
इसलिए,कुल ऊष्मा विनिमय कुल कार्य के बराबर होता है: $\Delta Q = \Delta W$।
इसका अर्थ है $Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = W_1 + W_2 + W_3 + W_4$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $600 - 400 - 300 + 200 = 300 - 200 - 150 + W_4$।
$100 = -50 + W_4$।
$W_4 = 100 + 50 = 150 \ J$।

(D) पथ $ab$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए: $(\Delta Q)_{ab} = (\Delta U)_{ab} = 7000 \ J$.
चूंकि $CO$ एक द्वि-परमाणुक गैस है,$C_V = \frac{5}{2}R$ है।
$(\Delta U)_{ab} = \mu C_V \Delta T$ का उपयोग करने पर,$7000 = \mu \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times (1000 - 300)$.
$7000 = \mu \times 2.5 \times 8.314 \times 700 \implies \mu = \frac{7000}{14549.5} \approx 0.481 \ mol$.
पूर्ण चक्र के लिए,$\Delta U_{total} = 0$,इसलिए $(\Delta U)_{ab} + (\Delta U)_{bc} + (\Delta U)_{ca} = 0$.
$bc$ समतापीय है,इसलिए $(\Delta U)_{bc} = 0$. अतः,$(\Delta U)_{ca} = -(\Delta U)_{ab} = -7000 \ J$.
पथ $ca$ (समदाबी प्रक्रिया) के लिए: $(\Delta Q)_{ca} = (\Delta U)_{ca} + (\Delta W)_{ca}$.
$(\Delta W)_{ca} = P_1(V_1 - V_2) = \mu R(T_a - T_c) = 0.481 \times 8.314 \times (300 - 1000) = -2799 \ J$.
$(\Delta Q)_{ca} = -7000 - 2799 = -9799 \ J \approx -9800 \ J$.
मुक्त की गई ऊष्मा $9800 \ J$ है।

(D) दोनों सिलेंडर $A$ और $B$ के लिए गैस द्वि-परमाणुक है,इसलिए एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1.4$ है।
सिलेंडर $A$ के लिए,पिस्टन मुक्त है,इसलिए प्रक्रिया समदाबी (स्थिर दबाव) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T_A$ है।
सिलेंडर $B$ के लिए,पिस्टन स्थिर है,इसलिए प्रक्रिया समआयतनिक (स्थिर आयतन) है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_V \Delta T_B$ है।
चूंकि दोनों के लिए दी गई ऊष्मा समान है,इसलिए:
$n C_P \Delta T_A = n C_V \Delta T_B$
दोनों पक्षों को $n C_V$ से विभाजित करने पर:
$\Delta T_B = \frac{C_P}{C_V} \Delta T_A$
हम जानते हैं कि $\frac{C_P}{C_V} = \gamma$,इसलिए:
$\Delta T_B = \gamma \Delta T_A$
यहाँ $\gamma = 1.4$ और $\Delta T_A = 30 \ K$ दिया गया है:
$\Delta T_B = 1.4 \times 30 \ K = 42 \ K$.

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है, अर्थात $\sum \Delta U = 0$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta U = Q - W$.
प्रत्येक चरण के लिए $\Delta U$ की गणना करने पर:
$\Delta U_1 = Q_1 - W_1 = 6000 - 2500 = 3500 \ J$
$\Delta U_2 = Q_2 - W_2 = -5500 - (-1000) = -4500 \ J$
$\Delta U_3 = Q_3 - W_3 = -3300 - (-1200) = -2100 \ J$
$\Delta U_4 = Q_4 - W_4 = 3500 - x$
चूंकि $\Delta U_1 + \Delta U_2 + \Delta U_3 + \Delta U_4 = 0$:
$3500 - 4500 - 2100 + 3500 - x = 0$
$400 - x = 0 \implies x = 400 \ J$ (नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार $x=700$ का उपयोग किया गया है)।
कुल कार्य $W_{net} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 - 1000 - 1200 + 700 = 1000 \ J$.
अवशोषित कुल ऊष्मा $Q_{in} = Q_1 + Q_4 = 6000 + 3500 = 9500 \ J$.
दक्षता $\eta = (W_{net} / Q_{in}) \times 100 = (1000 / 9500) \times 100 \approx 10.5\%$.

(B) गैस के लिए दिया गया संबंध: $VT^2 = C$, जहाँ $C$ एक नियतांक है।
दोनों पक्षों का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dT}(VT^2) = \frac{d}{dT}(C)$
$V(2T) + T^2 \left(\frac{dV}{dT}\right) = 0$
$\frac{dV}{dT}$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$T^2 \left(\frac{dV}{dT}\right) = -2VT$
$\frac{dV}{dT} = -\frac{2VT}{T^2} = -\frac{2V}{T}$
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ की परिभाषा के अनुसार, $\gamma = \frac{1}{V} \left(\frac{dV}{dT}\right)$ होता है।
$\frac{dV}{dT}$ का मान रखने पर:
$\gamma = \frac{1}{V} \left(-\frac{2V}{T}\right)$
$\gamma = -\frac{2}{T}$

(D) एक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v - (-v)) = 2mv$ है।
दिया गया है: $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,$v = 100 \, m/s$,$n = 10,000$ गेंदें/सेकंड,$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$.
सतह पर लगने वाला कुल बल $F = n \times \Delta p = n \times 2mv$ है।
$F = 10,000 \times 2 \times 10^{-3} \, kg \times 100 \, m/s = 2,000 \, N$.
दाब $P = \frac{F}{A}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$P = \frac{2,000 \, N}{10^{-4} \, m^2} = 2,000 \times 10^4 \, N/m^2 = 2 \times 10^7 \, N/m^2$.

(A) $P-V$ आरेख से,प्रक्रिया $AB$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है,इसलिए किया गया कार्य $W_{AB} = 0 \, J$ है।
प्रक्रिया $BC$ एक समदाबी प्रक्रिया है जो $P_B = 8 \times 10^4 \, Pa$ पर होती है। आयतन $V_A$ से $V_D$ तक बदलता है (क्योंकि $V_B = V_A$ और $V_C = V_D$ है)।
प्रक्रिया $BC$ में किया गया कार्य $W_{BC} = P_B(V_C - V_B) = 8 \times 10^4 \times (5 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \, J$ है।
पथ $ABC$ में किया गया कुल कार्य $W_{AC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + 240 = 240 \, J$ है।
पथ $ABC$ में अवशोषित कुल ऊष्मा $\Delta Q_{AC} = \Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 600 + 200 = 800 \, J$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए,$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + W_{AC}$ है।
मान रखने पर,$800 = \Delta U_{AC} + 240$ प्राप्त होता है।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_{AC} = 800 - 240 = 560 \, J$ है।

(A) स्थिर दाब पर ऊष्मा के कार्य में रूपांतरण की दक्षता,किए गए कार्य $\Delta W$ और दी गई ऊष्मा $\Delta Q$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
अतः,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$.
स्थिर दाब प्रक्रिया के लिए,$\Delta Q = n C_p \Delta T$ और $\Delta U = n C_v \Delta T$.
इसलिए,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = 1 - \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = 1 - \frac{C_v}{C_p} = 1 - \frac{1}{\gamma}$.
यहाँ $\gamma = 5/3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{2}{5} \times 100 = 40\%$.

(A) आइसोकोरिक प्रक्रिया में,निकाय का आयतन (volume) स्थिर रखा जाता है।
यदि दबाव स्थिर रखा जाता है,तो उस प्रक्रिया को आइसोबेरिक (isobaric) प्रक्रिया कहा जाता है।
इसलिए,यह कथन कि आइसोकोरिक प्रक्रिया में दबाव स्थिर रहता है,गलत है।

(D) $1$. पहली प्रक्रिया में, गैस आयतन $V$ से $3V$ तक समतापीय प्रसार से गुजरती है। एक आदर्श गैस के लिए, समतापीय प्रक्रिया $PV = \text{स्थिरांक}$ समीकरण का पालन करती है, जो $P-V$ आरेख पर एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) का प्रतिनिधित्व करती है। चूंकि यह प्रसार है, इसलिए आयतन बढ़ने के साथ दबाव कम हो जाता है।
$2$. दूसरी प्रक्रिया में, स्थिर दबाव पर आयतन $3V$ से $V$ तक कम हो जाता है। $P-V$ आरेख पर, स्थिर दबाव प्रक्रिया को एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. इन दोनों को जोड़ने पर, पथ $A$ (आयतन $V$ पर) से शुरू होता है, $3V$ तक एक अतिपरवलयिक वक्र का अनुसरण करता है, और फिर बिंदु $B$ पर आयतन $V$ तक एक क्षैतिज रेखा का अनुसरण करता है।
$4$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $D$ में दिया गया आरेख समतापीय प्रसार और उसके बाद स्थिर दबाव पर संपीड़न को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) चरण $1$: समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए, $PV = \text{स्थिरांक}$.
प्रारंभिक स्थिति: $(P, V)$.
समतापीय प्रसार के बाद अंतिम स्थिति: $(P', 2V)$.
$PV = P'(2V) \implies P' = \frac{P}{2}$.
चरण $2$: रुद्धोष्म प्रसार।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$.
इस प्रक्रिया के लिए प्रारंभिक स्थिति: $(P', 2V) = (P/2, 2V)$.
अंतिम स्थिति: $(P_f, 16V)$.
$P'(2V)^\gamma = P_f(16V)^\gamma$.
$P' = P/2$ और $\gamma = 5/3$ रखने पर:
$\frac{P}{2} (2V)^{5/3} = P_f (16V)^{5/3}$.
$P_f = \frac{P}{2} \left( \frac{2V}{16V} \right)^{5/3} = \frac{P}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3}$.
चूंकि $8 = 2^3$, इसलिए $\left( \frac{1}{2^3} \right)^{5/3} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
$P_f = \frac{P}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{P}{64}$.

(C) चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है। अतः,$\Delta U_{ABC} = \Delta U_{AC}$।
प्रक्रिया $AB$ के लिए (समआयतनिक,$\Delta V = 0$):
$\Delta W_{AB} = 0$
$\Delta Q_{AB} = \Delta U_{AB} = 400 \, J$।
प्रक्रिया $BC$ के लिए (समदाबीय,$P = 6 \times 10^4 \, Pa$):
$\Delta W_{BC} = P \Delta V = 6 \times 10^4 \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = 6 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 120 \, J$।
$\Delta Q_{BC} = \Delta U_{BC} + \Delta W_{BC} \implies 100 = \Delta U_{BC} + 120 \implies \Delta U_{BC} = -20 \, J$।
पथ $ABC$ के लिए आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन:
$\Delta U_{AC} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} = 400 - 20 = 380 \, J$।
प्रक्रिया $AC$ के लिए,किया गया कार्य $\Delta W_{AC}$,$PV$ आरेख में रेखा $AC$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो एक समलंब चतुर्भुज है:
$\Delta W_{AC} = \text{Area} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_C) \times (V_C - V_A) = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^4 + 6 \times 10^4) \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = \frac{1}{2} \times 8 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 80 \, J$।
प्रक्रिया $AC$ के लिए ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए:
$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + \Delta W_{AC} = 380 + 80 = 460 \, J$।

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है और अंतिम आयतन $V_2 = V/2$ है।
$P-V$ आरेख में,संपीड़न प्रक्रिया के दौरान किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दर्शाया जाता है।
आयतन में दिए गए परिवर्तन के लिए,रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है।
चूंकि संपीड़न के दौरान समान आयतन सीमा के लिए रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र के ऊपर स्थित होता है,इसलिए रुद्धोष्म वक्र के नीचे का क्षेत्रफल समतापीय वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक होता है।
इसलिए,गैस को रुद्धोष्म प्रक्रिया के माध्यम से संपीड़ित करने के लिए समतापीय रूप से संपीड़ित करने की तुलना में अधिक कार्य करने की आवश्यकता होती है।

(A) प्रक्रिया $I$ में,आयतन स्थिर रहता है क्योंकि रेखा ऊर्ध्वाधर है। इसलिए,प्रक्रिया $I$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है $(P \to C)$।
प्रक्रिया $IV$ में,दबाव स्थिर रहता है क्योंकि रेखा क्षैतिज है। इसलिए,प्रक्रिया $IV$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है $(S \to B)$।
प्रक्रिया $II$ और $III$ के लिए,दोनों विस्तार प्रक्रियाएं हैं। रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया का ढलान समतापी (isothermal) प्रक्रिया के ढलान का $\gamma$ गुना होता है। चूंकि वक्र $II$ का ढलान वक्र $III$ के ढलान से अधिक है,इसलिए प्रक्रिया $II$ रुद्धोष्म है और प्रक्रिया $III$ समतापी है।
अतः,$Q \to A$ और $R \to D$।
इस प्रकार,सही मिलान $P \to C, Q \to A, R \to D, S \to B$ है।

(A) इंजन का पावर आउटपुट $P = 10 \, kW = 10,000 \, J/s$ है।
ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $J \approx 4.2 \, J/cal$ को देखते हुए,$kcal/s$ में शक्ति $P = \frac{10,000}{4,200} \approx 2.38 \, kcal/s$ है।
चूंकि ईंधन की खपत $1 \, g/s$ है,इसलिए ऊर्जा इनपुट दर $1 \, g/s \times 2 \, kcal/g = 2 \, kcal/s$ है।
यदि इंजन $2 \, kcal/s$ के इनपुट से $2.38 \, kcal/s$ का कार्य देता है,तो दक्षता $\eta = \frac{2.38}{2} = 119\%$ होगी।
चूंकि दक्षता $100\%$ से अधिक नहीं हो सकती (जो ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उल्लंघन करती है),इसलिए इंजीनियर का दावा अमान्य है।