Rotation Motion Basic, Motion of Connected Mass Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि संपर्क बिंदु के परितः छड़ का कोणीय वेग $\omega$ है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ संपर्क बिंदु से $L/2$ की दूरी पर है।
$COM$ के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_0$ दिया गया है।
चूंकि $COM$ संपर्क बिंदु के परितः घूम रहा है,इसलिए इसका वेग $v_{COM} = \omega (L/2)$ है।
इस वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_{COM, y} = \omega (L/2) \cos \theta = v_0$ है।
अतः,$\omega = \frac{2v_0}{L \cos \theta}$।
सतह के संपर्क में रहने वाले छड़ के सिरे का क्षैतिज वेग $v = \omega (L/2) \sin \theta$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$v = \left( \frac{2v_0}{L \cos \theta} \right) \left( \frac{L}{2} \right) \sin \theta = v_0 \tan \theta$।

(B) प्रेक्षक $O$ के सापेक्ष बिंदु $A$ का वेग,द्रव्यमान केंद्र के वेग और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष बिंदु $A$ के वेग का सदिश योग होता है:
$\vec v_A = \vec v_{cm} + \vec v_{A/cm}$
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष बिंदु $A$ का वेग,कोणीय वेग और स्थिति सदिश के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec v_{A/cm} = \vec \omega \times \vec r = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 0 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat i(3 \times 2 - 4 \times 0) - \hat j(0 \times 2 - 4 \times 2) + \hat k(0 \times 0 - 3 \times 2)$
$= 6\hat i + 8\hat j - 6\hat k \text{ m/s}$
अब,द्रव्यमान केंद्र का वेग जोड़ने पर:
$\vec v_A = (2\hat i + 3\hat j) + (6\hat i + 8\hat j - 6\hat k)$
$\vec v_A = (2+6)\hat i + (3+8)\hat j - 6\hat k = 8\hat i + 11\hat j - 6\hat k \text{ m/s}$

(D) दिया गया है: $m = 0.5 \ kg$,$r = 0.2 \ m$,$s = 2.0 \ m$,$t = 8 \ s$,$g = 10 \ m/s^2$.
सबसे पहले,गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करके गिरते हुए द्रव्यमान का त्वरण $a$ ज्ञात करें। चूंकि यह विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $u = 0$.
$2.0 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (8)^2 \Rightarrow 2.0 = 32a \Rightarrow a = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \ m/s^2$.
अब,द्रव्यमान पर लगने वाले बलों पर विचार करें: $mg - T = ma$,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है।
$T = m(g - a) = 0.5 \cdot (10 - \frac{1}{16}) = 0.5 \cdot (\frac{160 - 1}{16}) = 0.5 \cdot \frac{159}{16} = \frac{159}{32} \ N$.
पहिये पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = T \cdot r = I \cdot \alpha$ है,जहाँ $\alpha = \frac{a}{r}$.
$T \cdot r = I \cdot \frac{a}{r} \Rightarrow I = \frac{T \cdot r^2}{a}$.
मान रखने पर: $I = \frac{(159/32) \cdot (0.2)^2}{1/16} = \frac{159}{32} \cdot 0.04 \cdot 16 = \frac{159 \cdot 0.04}{2} = 159 \cdot 0.02 = 3.18 \ kg \cdot m^2$.

(NONE) माना सिरे $A$ की स्थिति $(x, 0)$ और सिरे $B$ की स्थिति $(0, y)$ है। चूंकि छड़ की लंबाई $ell$ है,इसलिए $x^2 + y^2 = ell^2$ है।
यह दिया गया है कि सिरा $A$,$t=0$ पर $x=0$ से नियत वेग $v_0$ से गति करता है,इसलिए $x = v_0 t$ है।
इसे प्रतिबंध समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(v_0 t)^2 + y^2 = ell^2$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $y = \sqrt{\ell^2 - (v_0 t)^2}$ प्राप्त होता है,जो $y, t \ge 0$ के लिए $(y, t)$ तल में एक वृत्तीय चाप को दर्शाता है। अतः,विकल्प $A$ और $C$ गलत हैं।
विकल्प $B$ के लिए,सिरे $B$ का वेग $\vec{v}_B = \dot{y} \hat{j}$ है। छड़ के अनुदिश इस वेग का घटक $v_{B, \text{rod}} = \dot{y} \cos \theta$ है,जहाँ $\cos \theta = y/\ell$ है।
$x^2 + y^2 = ell^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x \dot{x} + 2y \dot{y} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\dot{y} = -\frac{x}{y} v_0$ है।
अतः,$v_{B, \text{rod}} = -\frac{x}{y} v_0 \cdot \frac{y}{\ell} = -\frac{x v_0}{\ell}$ है। यह विकल्प $B$ से मेल नहीं खाता है।
चूंकि छड़ दृढ़ है,छड़ के अनुदिश $B$ का वेग छड़ के अनुदिश $A$ के वेग के बराबर होना चाहिए। $A$ का वेग $v_0$ है जो छड़ के साथ $ heta$ कोण पर है (जहाँ $\sin \theta = x/\ell$ है),इसलिए $v_{A, \text{rod}} = v_0 \sin \theta = v_0 \frac{x}{\ell}$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी कथन सही नहीं है।

(D) $m_2$ द्रव्यमान वाले ठोस बेलन के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $(m_2 g)$ और ऊपर की ओर तनाव $(T)$ है। रैखिक त्वरण $a_2$ के लिए गति का समीकरण है:
$m_2 g - T = m_2 a_2$ --- $(1)$
बेलन के केंद्र के परितः टॉर्क का समीकरण है:
$T R = I \alpha_2 = (\frac{1}{2} m_2 R^2) \alpha_2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$T = \frac{1}{2} m_2 R \alpha_2$
$T$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$m_2 g - \frac{1}{2} m_2 R \alpha_2 = m_2 a_2$
$m_2$ से भाग देने पर:
$g - \frac{1}{2} R \alpha_2 = a_2$
$\alpha_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} R \alpha_2 = g - a_2$
$\alpha_2 = \frac{2(g - a_2)}{R}$
चूंकि दिए गए विकल्पों में यह परिणाम नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) $m_2$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस बेलन के लिए जो नीचे की ओर गति कर रहा है,गति का समीकरण $m_2g - T = m_2a_2$ है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है।
बेलन के द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन के लिए,टॉर्क का समीकरण $\tau = I\alpha_2$ है,जहाँ $I = \frac{1}{2}m_2R^2$ ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण है।
टॉर्क तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $TR = I\alpha_2 = (\frac{1}{2}m_2R^2)\alpha_2$ है।
इस प्रकार,$T = \frac{1}{2}m_2R\alpha_2$ है।
चूँकि कोई फिसलन नहीं है,रैखिक त्वरण $a_2$ कोणीय त्वरण $\alpha_2$ से $a_2 = R\alpha_2$ की स्थिति द्वारा संबंधित है।
इसलिए,$\alpha_2 = \frac{a_2}{R}$।

(A) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ इस प्रकार है: $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 0 + 2 \times 6}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4\ m/s$.
द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। रिड्यूस्ड मास $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\ kg$ है।
द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में गतिज ऊर्जा $K_{cm} = \frac{1}{2} \mu v_{rel}^2$ है,जहाँ $v_{rel} = v_2 - v_1 = 6 - 0 = 6\ m/s$.
$K_{cm} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (6)^2 = 12\ J$.
$1\ kg$ ब्लॉक के अधिकतम वेग पर,स्प्रिंग फिर से अपनी प्राकृतिक लंबाई पर होती है और सापेक्ष वेग उलट जाता है $(v_{rel} = -6\ m/s)$.
ग्राउंड फ्रेम में $1\ kg$ ब्लॉक का वेग $v_1 = v_{cm} + v_{1,cm}$ है।
द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में,$m_1v_{1,cm} + m_2v_{2,cm} = 0$,इसलिए $v_{1,cm} = -\frac{m_2}{m_1+m_2} v_{rel} = -\frac{2}{3} \times (-6) = 4\ m/s$.
अतः,$v_{1,max} = v_{cm} + v_{1,cm} = 4 + 4 = 8\ m/s$.

(C) जमीन से टकराने से ठीक पहले प्रत्येक गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \ m/s$ है।
टक्कर के बाद,गेंदों के वापस उछलने का वेग है:
$v_A = e_A v = 0.6 \times 10 = 6 \ m/s$ (ऊपर की ओर)
$v_B = e_B v = 0.4 \times 10 = 4 \ m/s$ (ऊपर की ओर)
चूंकि छड़ कठोर है,इसलिए छड़ की कोणीय चाल $\omega$ वेगों के अंतर को छड़ की लंबाई से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$\omega = \frac{v_A - v_B}{L} = \frac{6 - 4}{0.4} = \frac{2}{0.4} = 5 \ rad/s$.

(C) मान लीजिए $a_{cm}$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है और $\alpha$ द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय त्वरण है। छड़ के उस सिरे का त्वरण जहाँ डोरी जुड़ी है,$a = a_{cm} + \alpha (l/2)$ है।
ब्लॉक $m_1$ के लिए गति का समीकरण: $m_1 g - T = m_1 a$.
छड़ के लिए,बल का समीकरण $T = m a_{cm}$ है और द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण (torque) का समीकरण $T(l/2) = I \alpha = (ml^2/12) \alpha$ है,जिससे $T = (m l / 6) \alpha$ प्राप्त होता है,अतः $a_{cm} = (l/6) \alpha$.
$\alpha = 6 a_{cm} / l$ को $a$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $a = a_{cm} + (l/2)(6 a_{cm} / l) = a_{cm} + 3 a_{cm} = 4 a_{cm}$.
$T = m a_{cm}$ और $a = 4 a_{cm}$ को ब्लॉक के समीकरण में रखने पर: $m_1 g - m a_{cm} = m_1 (4 a_{cm}) \implies m_1 g = (4 m_1 + m) a_{cm}$.
अतः,$a_{cm} = \frac{m_1}{4 m_1 + m} g = \frac{g}{4 + (m/m_1)}$.
$a_{cm}$ को अधिकतम करने के लिए,हमें हर (denominator) $4 + (m/m_1)$ को न्यूनतम करना होगा। जैसे-जैसे $m_1 \to \infty$,$m/m_1 \to 0$,इसलिए $a_{cm, max} = g/4$. अतः,$n = 4$.

(D) $m_2$ द्रव्यमान वाले ठोस बेलन के लिए,नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(m_2 g)$ और ऊपर की ओर तनाव बल $(T)$ कार्य कर रहे हैं।
रैखिक त्वरण $a_2$ के लिए गति का समीकरण है:
$m_2 g - T = m_2 a_2$ --- $(1)$
बेलन के केंद्र के परितः घूर्णन के लिए टॉर्क का समीकरण है:
$T R = I \alpha_2 = \left( \frac{m_2 R^2}{2} \right) \alpha_2$
इसे सरल करने पर:
$T = \frac{m_2 R \alpha_2}{2}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से $T$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$m_2 g - \frac{m_2 R \alpha_2}{2} = m_2 a_2$
$m_2$ से भाग देने पर:
$g - \frac{R \alpha_2}{2} = a_2$
$\alpha_2$ के लिए हल करने पर:
$\frac{R \alpha_2}{2} = g - a_2$
$\alpha_2 = \frac{2(g - a_2)}{R}$
चूंकि दिए गए विकल्पों में यह परिणाम नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) मान लीजिए कि मेज द्वारा छड़ के बाएं सिरे पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ है। छड़ द्रव्यमानहीन है,और $m$ द्रव्यमान का बिंदु केंद्र पर (धुरी से $l/2$ दूरी पर) स्थित है।
छोड़ने के तुरंत बाद,छड़ मेज के कोने (धुरी) के चारों ओर घूमना शुरू कर देती है।
धुरी के चारों ओर टॉर्क $\tau = mg(l/2)$ है।
धुरी के चारों ओर $m$ द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = m(l/2)^2$ है।
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर,$mg(l/2) = m(l/2)^2 \alpha$,जिससे $\alpha = g/(l/2) = 2g/l$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a = \alpha(l/2) = (2g/l)(l/2) = g$ है।
द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $mg - N = ma$।
$a = g$ रखने पर,$mg - N = m(g)$,जिसका अर्थ है कि $N = 0$।

(D) माना $M = 3.0\ kg$ बॉबिन का द्रव्यमान है,$R = 6.0\ cm$ बाहरी त्रिज्या है,$r = 5.0\ cm$ आंतरिक त्रिज्या है और $m = 4.5\ kg$ लटके हुए ब्लॉक का द्रव्यमान है।
बॉबिन के स्थिर संतुलन में रहने के लिए,ढलान के साथ संपर्क बिंदु पर कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए।
बॉबिन पर गुरुत्वाकर्षण बल उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है। इस बल का ढलान के समानांतर घटक $Mg \sin \theta$ है,जो संपर्क बिंदु से $R$ दूरी पर कार्य करता है,जिससे $Mg \sin \theta \cdot R$ टॉर्क उत्पन्न होता है जो बॉबिन को नीचे की ओर घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
डोरी में तनाव लटके हुए ब्लॉक के वजन के बराबर होता है,$T = mg$। यह बल संपर्क बिंदु से $r$ दूरी पर कार्य करता है,जिससे $mg \cdot r$ टॉर्क उत्पन्न होता है जो बॉबिन को ऊपर की ओर घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
संतुलन के लिए: $Mg \sin \theta \cdot R = mg \cdot r$।
मान रखने पर: $(3.0) \cdot g \cdot \sin \theta \cdot (6.0) = (4.5) \cdot g \cdot (5.0)$।
$18 \sin \theta = 22.5$।
$\sin \theta = \frac{22.5}{18} = 1.25$।
चूंकि $\sin \theta$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए बॉबिन इन विशिष्ट परिस्थितियों में स्थिर संतुलन में नहीं रह सकती है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $1$. सबसे पहले,डोरी के तनने से ठीक पहले ब्लॉक का वेग $v$ ज्ञात करें। ब्लॉक $R$ दूरी तक मुक्त रूप से गिरता है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u=0$,$a=g$,और $s=R$,हमें $v = \sqrt{2gR}$ प्राप्त होता है।
$2$. मान लीजिए कि डोरी के तनने के तुरंत बाद ब्लॉक का सामान्य वेग और पुली के किनारे का स्पर्शरेखीय वेग $v'$ है। आवेग $J$ ब्लॉक पर ऊपर की ओर और पुली के किनारे पर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. ब्लॉक के लिए: $-J = mv' - mv = mv' - m\sqrt{2gR} \implies J = m(\sqrt{2gR} - v')$.
$4$. पुली के लिए: कोणीय आवेग $J \cdot R = I\omega$ है,जहाँ $I = \frac{1}{2}mR^2$ और $\omega = \frac{v'}{R}$ है।
$5$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $JR = (\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v'}{R}) \implies J = \frac{1}{2}mv'$.
$6$. $J$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m(\sqrt{2gR} - v') = \frac{1}{2}mv' \implies \sqrt{2gR} = \frac{3}{2}v' \implies v' = \frac{2}{3}\sqrt{2gR}$.
$7$. अब,$J$ ज्ञात करें: $J = \frac{1}{2}m(\frac{2}{3}\sqrt{2gR}) = \frac{m\sqrt{2gR}}{3}$.
$8$. अंत में,$\frac{2m\sqrt{gR}}{J} = \frac{2m\sqrt{gR}}{\frac{m\sqrt{2}\sqrt{gR}}{3}} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$. ज्यामिति की पुन: जांच करने पर,सही उत्तर $3$ है।

(A) मान लीजिए $v_r$ अर्धगोले के सापेक्ष कण का वेग है और $v$ इस क्षण पर अर्धगोले का क्षैतिज वेग है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए रैखिक संवेग का क्षैतिज घटक संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,निकाय स्थिर है,इसलिए कुल क्षैतिज संवेग $0$ है।
कोणीय विस्थापन $\theta$ पर,मेज के सापेक्ष कण का क्षैतिज वेग अर्धगोले की गति की विपरीत दिशा में $(v_r \cos \theta - v)$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$4m(-v) + m(v_r \cos \theta - v) = 0$
$-4mv + mv_r \cos \theta - mv = 0$
$mv_r \cos \theta = 5mv$
$v_r \cos \theta = 5v$
$v_r = \frac{5v}{\cos \theta}$
अर्धगोले के सापेक्ष कण का कोणीय वेग $\omega = \frac{v_r}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_r$ का मान रखने पर,हमें $\omega = \frac{5v}{R \cos \theta}$ प्राप्त होता है।

(A) हम यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $m$ है।
छड़ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा क्षैतिज तल से उसके द्रव्यमान केंद्र की ऊंचाई द्वारा निर्धारित होती है।
छड़ का द्रव्यमान केंद्र तल पर स्थित सिरे से $L/2$ की दूरी पर है।
प्रारंभिक ऊंचाई $h = \frac{L}{2} \sin \alpha$.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgh = mg \frac{L}{2} \sin \alpha$.
जब छड़ क्षैतिज तल पर आती है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है $(U_f = 0)$।
पूरी स्थितिज ऊर्जा तल पर स्थिर सिरे के परितः घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I$ छड़ का उसके एक सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$I = \frac{mL^2}{3}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$U_i = K_f$।
$mg \frac{L}{2} \sin \alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{mL^2}{3} \right) \omega^2$.
$mg \frac{L}{2} \sin \alpha = \frac{mL^2}{6} \omega^2$.
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{6mgL \sin \alpha}{2mL^2} = \frac{3g \sin \alpha}{L}$.
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{L}}$.

(B) किसी एक बिंदु द्रव्यमान $m$ पर विचार करें। वर्ग के केंद्र से प्रत्येक द्रव्यमान की दूरी $r = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल द्रव्यमान से जुड़ी दो डोरियों में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
प्रत्येक डोरी केंद्र की ओर जाने वाली त्रिज्या के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है।
केंद्र की ओर प्रत्येक डोरी के तनाव का घटक $T \cos(45^\circ) = \frac{T}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि प्रत्येक द्रव्यमान पर ऐसी दो डोरियां कार्य कर रही हैं,इसलिए कुल त्रिज्यीय बल $2 \times \frac{T}{\sqrt{2}} = T\sqrt{2}$ होगा।
इसे अभिकेंद्री बल $F_c = m{\omega ^2}r$ के बराबर रखने पर:
$T\sqrt{2} = m{\omega ^2} \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)$
$T\sqrt{2} = \frac{m{\omega ^2}l}{\sqrt{2}}$
$T = \frac{m{\omega ^2}l}{2}$

(B) माना डोरी में तनाव $T$ है और डिस्क के द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a$ है।
डिस्क की स्थानांतरण गति के लिए:
$Mg - T = Ma$ $...(i)$
डिस्क के द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए:
$TR = I\alpha$
चूंकि डोरी बिना फिसले खुलती है,इसलिए रैखिक त्वरण $a$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ के बीच संबंध $a = R\alpha$ है,अतः $\alpha = a/R$।
डिस्क की उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2/2$ है।
इन मानों को टॉर्क समीकरण में रखने पर:
$TR = (MR^2/2)(a/R) = (MRa)/2$
$T = Ma/2$ $\Rightarrow a = 2T/M$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$Mg - T = M(2T/M)$
$Mg - T = 2T$
$Mg = 3T$
$T = Mg/3$

(B) रेखीय वेग $\overrightarrow{v}$,कोणीय वेग $\overrightarrow{\omega}$ और स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r}$
$\overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ -5 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\overrightarrow{v} = \widehat{i}(3 \times 6 - 5 \times 4) - \widehat{j}(-5 \times 6 - 5 \times 3) + \widehat{k}(-5 \times 4 - 3 \times 3)$
$\overrightarrow{v} = \widehat{i}(18 - 20) - \widehat{j}(-30 - 15) + \widehat{k}(-20 - 9)$
$\overrightarrow{v} = -2\widehat{i} + 45\widehat{j} - 29\widehat{k}$

(B) एक दृढ़ पिंड में,पिंड पर स्थित किसी भी बिंदु का उसी पिंड पर स्थित किसी अन्य बिंदु के सापेक्ष कोणीय वेग स्थिर होता है और यह दृढ़ पिंड के कोणीय वेग के बराबर होता है।
यहाँ दिया गया है कि दृढ़ पटल का कोणीय वेग $\omega = 2 \ rad/s$ है।
इसलिए,बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ का कोणीय वेग भी $\omega = 2 \ rad/s$ होगा।

(B) कोणीय वेग $\omega = a - bt$ द्वारा दिया गया है।
विरामावस्था में आने के समय $t$ को ज्ञात करने के लिए,हम $\omega = 0$ रखते हैं:
$a - bt = 0 \implies t = \frac{a}{b}$.
कोणीय विस्थापन $\theta$,समय के सापेक्ष कोणीय वेग का समाकलन है:
$\theta = \int_{0}^{t} \omega \, dt = \int_{0}^{a/b} (a - bt) \, dt$.
व्यंजक का समाकलन करने पर:
$\theta = \left[ at - \frac{bt^2}{2} \right]_{0}^{a/b}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = a\left( \frac{a}{b} \right) - \frac{b}{2} \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b} - \frac{b a^2}{2b^2} = \frac{a^2}{b} - \frac{a^2}{2b} = \frac{a^2}{2b}$.

(A) $m$ द्रव्यमान के गिरते हुए पिंड के लिए गति का समीकरण है:
$mg - T = ma$ --- $(i)$
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली घूमती हुई डिस्क के लिए टॉर्क का समीकरण है:
$RT = I\alpha$
चूंकि $I = \frac{1}{2}MR^2$ और $\alpha = \frac{a}{R}$,इसलिए:
$RT = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MRa$
$T = \frac{Ma}{2}$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$mg - \frac{Ma}{2} = ma$
$mg = ma + \frac{Ma}{2} = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$
$a = \frac{2mg}{2m + M}$

(B) सतह चिकनी है,इसलिए संपर्क सतह पर कोई घर्षण नहीं है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a = \frac{F}{m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है और $m$ गोले का द्रव्यमान है।
चूंकि बल $F$ और द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए त्वरण $a$ उस ऊँचाई $h$ से स्वतंत्र है जिस पर बल लगाया जाता है।
इसलिए,त्वरण को अधिकतम करने के लिए $h$ और $R$ के बीच किसी विशेष संबंध की आवश्यकता नहीं है; यह किसी भी $h$ के लिए स्थिर रहता है।

(D) मान लीजिए केंद्र पर लगाया गया बल $F$ है और संपर्क बिंदु $p$ पर घर्षण बल $f$ है।
द्रव्यमान केंद्र की रेखीय गति के लिए: $F - f = Ma$ (जहाँ $a$ रेखीय त्वरण है)।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए: $\tau = I\alpha$,जहाँ $I = \frac{1}{2}MR^2$ ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण है।
अतः,$fR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़क रहा है,$a = \alpha R$.
रेखीय गति के समीकरण में $f = \frac{1}{2}MR\alpha$ रखने पर: $F - \frac{1}{2}MR\alpha = M(\alpha R)$.
$F = \frac{1}{2}MR\alpha + MR\alpha = \frac{3}{2}MR\alpha$.
इसलिए,कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{2F}{3MR}$ है।

(D) घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = (M/l) dr$ है,जहाँ $M$ छड़ का कुल द्रव्यमान है।
अक्ष से $x$ दूरी पर तनाव $T(x)$ को छड़ के $x$ से $l$ तक के हिस्से को घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करना चाहिए।
$T(x) = \int_{x}^{l} (dm) \omega^2 r = \int_{x}^{l} \left(\frac{M}{l}\right) dr \omega^2 r$
$T(x) = \frac{M \omega^2}{l} \int_{x}^{l} r dr = \frac{M \omega^2}{l} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{x}^{l}$
$T(x) = \frac{M \omega^2}{2l} (l^2 - x^2)$
यह समीकरण नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है। $x = 0$ पर,$T(0) = \frac{1}{2} M \omega^2 l$ है। $x = l$ पर,$T(l) = 0$ है। परवलयाकार क्षय को दर्शाने वाला ग्राफ विकल्प $D$ में दिखाया गया है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाली बाल्टी के लिए गति का समीकरण है:
$mg - T = ma$ --- $(1)$
$M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले बेलन के लिए टॉर्क का समीकरण है:
$\tau = I \alpha = rT$
चूंकि $I = \frac{1}{2}Mr^2$ और $\alpha = \frac{a}{r}$,इसलिए:
$\frac{1}{2}Mr^2 \left(\frac{a}{r}\right) = rT$
$T = \frac{1}{2}Ma$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}Ma$
$mg = a \left(m + \frac{M}{2}\right)$
$mg = a \left(\frac{2m + M}{2}\right)$
$a = \frac{2mg}{M + 2m}$

(D) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का रैखिक त्वरण $a$ है और बेलन का कोणीय त्वरण $\alpha$ है। रैखिक और कोणीय त्वरण के बीच संबंध $a = R\alpha$ है,इसलिए $\alpha = \frac{a}{R}$।
नीचे गिरते हुए $m$ द्रव्यमान के लिए,गति का समीकरण: $mg - T = ma$ ... $(1)$
घूर्णन करते बेलन के लिए,टॉर्क का समीकरण: $\tau = I\alpha$,जहाँ $I = \frac{1}{2}MR^2$ है। अतः,$TR = \frac{1}{2}MR^2 \alpha$।
$\alpha = \frac{a}{R}$ रखने पर,$TR = \frac{1}{2}MR^2 (\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MRa$,जो सरल होकर $T = \frac{1}{2}Ma$ देता है ... $(2)$
समीकरण $(2)$ से $T$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$
$a = \frac{2mg}{M + 2m}$
चूंकि $\alpha = \frac{a}{R}$ है,इसलिए $\alpha = \frac{2mg}{R(M + 2m)}$।
$t=0$ पर विरामावस्था से शुरू करते हुए,$t$ समय पर कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \alpha t = \frac{2mgt}{R(M + 2m)}$ होगा।

(A) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के द्रव के एक छोटे अवयव पर विचार करें।
इस छोटे अवयव का द्रव्यमान $dm = (M/L) dx$ है।
इस अवयव पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) x \omega^2 = (M/L) x \omega^2 dx$ है।
नली के दूसरे सिरे पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करते हैं:
$F = \int_0^L \frac{M}{L} \omega^2 x dx = \frac{M \omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M \omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{ML\omega^2}{2}$.

(A) कोणीय वेग $\omega(t) = \alpha - \beta t$ द्वारा दिया गया है।
जब पिंड रुकता है,तो कोणीय वेग $\omega = 0$ होता है।
$\alpha - \beta t = 0$ रखने पर,रुकने में लगा समय $t = \frac{\alpha}{\beta}$ प्राप्त होता है।
कोणीय विस्थापन $\theta$ समय के सापेक्ष कोणीय वेग का समाकलन है: $\theta = \int_{0}^{t} \omega(t) dt$.
$\omega(t)$ का व्यंजक रखने पर: $\theta = \int_{0}^{\alpha/\beta} (\alpha - \beta t) dt$.
समाकलन करने पर: $\theta = [\alpha t - \frac{1}{2} \beta t^2]_{0}^{\alpha/\beta}$.
सीमाओं को रखने पर: $\theta = \alpha(\frac{\alpha}{\beta}) - \frac{1}{2} \beta (\frac{\alpha}{\beta})^2 = \frac{\alpha^2}{\beta} - \frac{\alpha^2}{2\beta} = \frac{\alpha^2}{2\beta}$.
अतः,रुकने से पहले इसके द्वारा तय किया गया कोण $\frac{\alpha^2}{2\beta}$ है।

(B) माना $M = 2\,kg$ लटकाया गया द्रव्यमान है,$R = 0.1\,m$ फ्लाईव्हील की त्रिज्या है,और $I = 0.1\,kg\cdot m^2$ इसका जड़त्व आघूर्ण है।
माना $a$ द्रव्यमान का रैखिक त्वरण है और $T$ डोरी में तनाव है।
नीचे गिरते द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण: $Mg - T = Ma$ ...$(1)$
फ्लाईव्हील पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = T \cdot R = I \alpha$ है,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
चूंकि डोरी फिसलती नहीं है,$a = R \alpha$,इसलिए $T = \frac{I \alpha}{R}$ ...$(2)$
समीकरण $(1)$ में $T$ और $a$ का मान रखने पर:
$Mg - \frac{I \alpha}{R} = M(R \alpha)$
$Mg = \alpha \left( \frac{I}{R} + MR \right) = \alpha \left( \frac{I + MR^2}{R} \right)$
$\alpha = \frac{MgR}{I + MR^2}$
मान रखने पर: $\alpha = \frac{2 \times 9.8 \times 0.1}{0.1 + 2 \times (0.1)^2} = \frac{1.96}{0.1 + 0.02} = \frac{1.96}{0.12} \approx 16.33\,rad/s^2$.

(D) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का छड़ का एक सूक्ष्म खंड लें।
इस खंड का द्रव्यमान $dm = \frac{m}{l} dx$ है।
इस खंड को घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dm) \omega^2 x = \frac{m}{l} \omega^2 x dx$ है।
यह बल खंड के सिरों पर तनाव के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है,अर्थात $dF = T(x) - T(x+dx) = -dT$।
$x$ से $l$ तक समाकलन करने पर (जहाँ $x=l$ पर तनाव $T=0$ है):
$\int_{T(x)}^{0} -dT = \int_{x}^{l} \frac{m}{l} \omega^2 x dx$।
$T(x) = \frac{m \omega^2}{l} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x}^{l} = \frac{m \omega^2}{l} \left( \frac{l^2 - x^2}{2} \right)$।
अतः,$T = \frac{1}{2} \frac{m \omega^2}{l} (l^2 - x^2)$।

(A) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के द्रव के एक छोटे अवयव पर विचार करें।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \frac{M}{L} dx$ है।
इस अवयव के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dm) x \omega^2 = \frac{M}{L} \omega^2 x dx$ है।
बाहरी सिरे पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल $F$,$x = 0$ से $x = L$ तक इन बलों का समाकलन है:
$F = \int_{0}^{L} dF = \int_{0}^{L} \frac{M}{L} \omega^2 x dx$
$F = \frac{M \omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{M \omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{M \omega^2 L}{2}$.

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,$m$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा और डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} I\omega^{2}$
डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^{2}$ और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$mgh = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} MR^{2} \right) \left( \frac{v}{R} \right)^{2}$
$mgh = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{4} Mv^{2}$
$mgh = v^{2} \left( \frac{2m + M}{4} \right)$
$v^{2} = \frac{4mgh}{2m + M}$
$v = \sqrt{\frac{4mgh}{2m + M}}$

(D) कोणीय वेग $\vec{\omega}$ एक अक्षीय सदिश है। इसकी दिशा हमेशा वृत्ताकार गति के तल के लंबवत होती है,जो घूर्णन अक्ष के अनुरूप होती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को घूर्णन की दिशा में मोड़ा जाए,तो अंगूठा कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा को इंगित करता है। यह दी गई आकृति में स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है,जहाँ सदिश $\vec{\omega}$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश स्थित है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,बॉब की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी कुल गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि (बॉब की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा + डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा) के बराबर होती है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $mgh$
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि डोरी डिस्क पर लिपटी हुई है,बॉब का रैखिक वेग $v$ और डिस्क का कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = r\omega$ है।
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mr^2$ है।
ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mr^2) \omega^2$
$v = r\omega$ प्रतिस्थापित करने पर: $mgh = \frac{1}{2} m(r\omega)^2 + \frac{1}{4} mr^2 \omega^2$
$mgh = \frac{1}{2} mr^2 \omega^2 + \frac{1}{4} mr^2 \omega^2 = \frac{3}{4} mr^2 \omega^2$
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{4gh}{3r^2}$
$\omega = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{4gh}{3}}$

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{g} = \Delta KE$
$(m_{1} - m_{2}) gh = \frac{1}{2} m_{1} v^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
चूंकि डोरी फिसलती नहीं है,इसलिए $v = \omega R$। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(m_{1} - m_{2}) gh = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) (\omega R)^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
$(m_{1} - m_{2}) gh = \frac{\omega^{2}}{2} [(m_{1} + m_{2}) R^{2} + I]$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{2(m_{1} - m_{2}) gh}{(m_{1} + m_{2}) R^{2} + I}}$

(N/A) दृढ़ पिंड कणों की एक ऐसी प्रणाली है जिसमें किन्हीं भी दो कणों के बीच की दूरी बाहरी बलों के प्रभाव में भी स्थिर रहती है।
$1$. एक दृढ़ पिंड में,उसके सभी घटक कणों की सापेक्ष स्थिति समय के साथ नहीं बदलती है।
$2$. हालांकि दृढ़ पिंड एक आदर्श अवधारणा (theoretical concept) है,लेकिन वास्तविक दुनिया की वस्तुओं जैसे स्टील के बीम या पहियों को कई व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए दृढ़ पिंड के रूप में माना जा सकता है।
$3$. विरूपण योग्य ठोस के विपरीत,एक दृढ़ पिंड को संकुचित,खींचा या मरोड़ा नहीं जा सकता है।
$4$. उदाहरण के लिए: घूमता हुआ पहिया,लट्टू या स्टील का बीम। कई यांत्रिक समस्याओं में,हम छोटे विरूपण,कंपन या झुकने को नजरअंदाज कर देते हैं और इन वस्तुओं को दृढ़ पिंड के रूप में मानते हैं।

(N/A) दृढ़ पिंड को कणों की एक ऐसी प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें किन्हीं दो कणों के बीच की दूरी बाहरी बलों के लागू होने के बावजूद अपरिवर्तित रहती है।
एक दृढ़ पिंड का आकार और माप निश्चित होता है जो बाहरी बलों के प्रभाव में नहीं बदलता है।
ठोस पिंड पदार्थ की वह अवस्था है जिसका आकार और आयतन निश्चित होता है,लेकिन बाहरी बल लगाने पर इसे विरूपित (खींचा,संकुचित या मोड़ा) किया जा सकता है।
मुख्य अंतर यह है कि दृढ़ पिंड एक आदर्श अवधारणा है जिसमें विरूपण शून्य होता है,जबकि ठोस पिंड एक वास्तविक वस्तु है जो कुछ हद तक प्रत्यास्थता या सुघट्यता प्रदर्शित करती है,जिसका अर्थ है कि इसमें विरूपण हो सकता है।
व्यवहार में,कोई भी वास्तविक वस्तु पूर्णतः दृढ़ नहीं होती है; पर्याप्त बड़े बलों के तहत सभी ठोस पिंडों में कुछ न कुछ विरूपण अवश्य होता है।

(N/A) घूर्णी गति एक दृढ़ पिंड की वह गति है जिसमें उसके सभी कण वृत्ताकार पथों पर चलते हैं और इन सभी वृत्ताकार पथों के केंद्र एक निश्चित सीधी रेखा पर स्थित होते हैं,जिसे घूर्णन अक्ष (axis of rotation) कहा जाता है।
मुख्य विशेषताएं:
$1$. पिंड का प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है।
$2$. इन वृत्तों के केंद्र संरेखीय होते हैं,जो घूर्णन अक्ष का निर्माण करते हैं।
$3$. घूर्णन अक्ष स्थिर या गतिशील हो सकता है।
उदाहरण:
छत के पंखे पर विचार करें। जब यह घूमता है,तो पंखों पर स्थित प्रत्येक बिंदु एक केंद्रीय ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर वृत्ताकार पथ में गति करता है। चूंकि इन सभी वृत्ताकार पथों के केंद्र पंखे की रॉड (घूर्णन अक्ष) पर स्थित होते हैं,इसलिए यह घूर्णी गति का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। अन्य उदाहरणों में कुम्हार का चाक,लट्टू और मैरी-गो-राउंड शामिल हैं।

(N/A) एक दृढ़ पिंड की एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन में,पिंड का प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है जो अक्ष के लंबवत एक तल में स्थित होता है और जिसका केंद्र अक्ष पर होता है।
आकृति में,संदर्भ फ्रेम के $Z$-अक्ष के परितः एक दृढ़ पिंड की घूर्णी गति दिखाई गई है। मान लीजिए $P_{1}$ दृढ़ पिंड का एक कण है,जिसे स्वेच्छा से चुना गया है और यह निश्चित अक्ष से $r_{1}$ दूरी पर है। कण $P_{1}$ $r_{1}$ त्रिज्या के एक वृत्त का वर्णन करता है जिसका केंद्र $C_{1}$ निश्चित अक्ष पर है। वृत्त अक्ष के लंबवत एक तल में स्थित है।
दृढ़ पिंड का एक अन्य कण $P_{2}$ निश्चित अक्ष से $r_{2}$ दूरी पर है। कण $P_{2}$ $r_{2}$ त्रिज्या के एक वृत्त में गति करता है जिसका केंद्र $C_{2}$ अक्ष पर है।
$P_{1}$ और $P_{2}$ द्वारा वर्णित वृत्त अलग-अलग तलों में स्थित हो सकते हैं,लेकिन ये दोनों तल निश्चित अक्ष के लंबवत होते हैं।
अक्ष पर स्थित किसी भी कण जैसे $P_{3}$ के लिए,$r_{3} = 0$ होता है। जब पिंड घूमता है तो ऐसा कोई भी कण स्थिर रहता है।
लट्टू (spinning top) के घूर्णन में,अक्ष निश्चित नहीं हो सकती है जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। मान लीजिए कि लट्टू एक निश्चित स्थान पर घूमता है।

(B) एक दृढ़ पिंड को एक आदर्श पिंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें किन्हीं दो कणों के बीच की दूरी,उस पर लगाए गए बाहरी बल की परवाह किए बिना,स्थिर रहती है।
एक दृढ़ पिंड में,उसके घटक कणों की सापेक्ष स्थिति बाहरी बलों की क्रिया के तहत नहीं बदलती है।
हालाँकि कोई भी वास्तविक पिंड पूरी तरह से दृढ़ नहीं होता है,लेकिन कई वस्तुओं (जैसे स्टील की गेंद या लकड़ी का ब्लॉक) को यांत्रिकी के उद्देश्य से दृढ़ पिंड माना जा सकता है।

(A) शुद्ध स्थानांतरण गति में,दृढ़ पिंड का प्रत्येक कण एक समानांतर पथ पर गति करता है।
इसका अर्थ यह है कि किसी भी क्षण पर,पिंड के सभी कणों का वेग सदिश समान होता है।
इसलिए,किसी भी क्षण पर पिंड के प्रत्येक कण का वेग समान होता है।

(N/A) घूर्णन गति किसी पिंड की वह गति है जिसमें उसके सभी कण एक निश्चित रेखा,जिसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है,के चारों ओर वृत्ताकार पथ में गति करते हैं।
$1$. घूर्णन गति: जब कोई दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है,तो पिंड का प्रत्येक कण एक ऐसे वृत्त में गति करता है जिसका केंद्र अक्ष पर स्थित होता है और जिसकी त्रिज्या अक्ष से कण की लंबवत दूरी होती है।
$2$. घूर्णन अक्ष: घूर्णन अक्ष वह निश्चित सीधी रेखा है जिसके चारों ओर एक दृढ़ पिंड घूमता है। पिंड के सभी कण इस रेखा के चारों ओर वृत्ताकार गति करते हैं। उदाहरण के लिए,पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है।

(A) जब एक लट्टू किसी सतह पर घूमता है,तो वह एक अक्ष के परितः घूर्णन गति करता है।
यह घूर्णन अक्ष लट्टू की नोक (जो जमीन के संपर्क में है) और लट्टू के केंद्र से होकर गुजरता है।
चूंकि लट्टू की नोक जमीन के संपर्क में होती है और घूमने के दौरान एक बिंदु पर स्थिर रहती है,इसलिए संपर्क बिंदु स्थिर रहता है।
हालाँकि,घूर्णन अक्ष (नोक और केंद्र से गुजरने वाली रेखा) प्रिसिशन (precession) के कारण समय के साथ अपना अभिविन्यास बदलती रहती है।
इसलिए,बिंदु (नोक) स्थिर रहता है,जबकि रेखा (घूर्णन अक्ष) स्थिर नहीं रहती है।

(N/A) शुद्ध स्थानांतरीय गति एक प्रकार की गति है जिसमें एक दृढ़ पिंड के सभी कण किसी भी दिए गए समय पर समान वेग के साथ एक ही दिशा में गति करते हैं।
इस प्रकार की गति में,पिंड के प्रत्येक कण का विस्थापन समान होता है।
यदि कोई पिंड शुद्ध स्थानांतरीय गति करता है,तो वह किसी भी अक्ष के परितः घूर्णन नहीं करता है।
उदाहरण के लिए,एक चिकने नत समतल पर बिना घूमे नीचे फिसलने वाला ब्लॉक शुद्ध स्थानांतरीय गति कर रहा है।

(N/A) $1$. कोणीय स्थिति: घूर्णन करते हुए दृढ़ पिंड में किसी कण की कोणीय स्थिति को उस कोण $\theta$ द्वारा परिभाषित किया जाता है जो वह किसी दिए गए समय $t$ पर घूर्णन के तल में एक संदर्भ रेखा (आमतौर पर $x$-अक्ष) के साथ बनाता है।
$2$. कोणीय विस्थापन: जब कोई कण $\Delta t$ समयांतराल में स्थिति $P$ से $P^{\prime}$ तक जाता है,तो उसकी कोणीय स्थिति में हुए परिवर्तन को कोणीय विस्थापन कहा जाता है,जिसे $\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. कोणीय चाल: औसत कोणीय चाल $\langle \omega \rangle$ को कोणीय विस्थापन और समयांतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,$\langle \omega \rangle = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$। तात्क्षणिक कोणीय चाल $\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$ होती है।
चित्र में,एक दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष $Oz$ के परितः घूम रहा है। सभी कण इस अक्ष के लंबवत वृत्ताकार पथों में गति करते हैं। $r$ त्रिज्या और $C$ केंद्र वाले $P$ बिंदु पर स्थित कण के लिए,$\Delta t$ समय में कोणीय विस्थापन $\angle PCP^{\prime} = \Delta \theta$ है।

कोणीय वेग $(\vec{\omega})$ को एक सदिश राशि के रूप में परिभाषित किया गया है क्योंकि इसमें परिमाण और एक विशिष्ट दिशा दोनों होते हैं।
कोणीय वेग सदिश की दिशा दाएं हाथ के पेंच के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है: यदि आप अपने दाहिने हाथ की उंगलियों को वस्तु के घूर्णन की दिशा में मोड़ते हैं, तो फैला हुआ अंगूठा कोणीय वेग सदिश $(\vec{\omega})$ की दिशा को इंगित करता है।
वैकल्पिक रूप से, यदि एक दाएं हाथ के पेंच को वस्तु के घूर्णन की दिशा में घुमाया जाता है, तो जिस दिशा में पेंच आगे बढ़ता है, वह कोणीय वेग सदिश की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है।
जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है, कोणीय वेग सदिश हमेशा घूर्णन की धुरी के अनुदिश होता है। वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में घूमने वाली वस्तु के लिए, कोणीय वेग बाहर की ओर (धनात्मक) निर्देशित होता है, और दक्षिणावर्त (clockwise) घूर्णन के लिए, यह अंदर की ओर (ऋणात्मक) निर्देशित होता है।

(N/A) मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड एक स्थिर अक्ष (मान लीजिए $Z$-अक्ष) के चारों ओर एक स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूम रहा है।
मान लीजिए कि दृढ़ पिंड का एक कण $P$ घूर्णन अक्ष से $r_{\perp}$ की लंबवत दूरी पर है।
जैसे-जैसे पिंड घूमता है,कण $P$ त्रिज्या $r_{\perp}$ के एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है,जिसका केंद्र $C$ घूर्णन अक्ष पर स्थित होता है।
एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में,कण वृत्त की परिधि के साथ $\Delta s$ चाप लंबाई तय करता है,जो $\Delta \theta$ कोणीय विस्थापन के अनुरूप है।
चाप की लंबाई,त्रिज्या और कोण के बीच का संबंध $\Delta s = r_{\perp} \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों को $\Delta t$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{\Delta s}{\Delta t} = r_{\perp} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $\Delta t \to 0$ होता है,अनुपात $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ रैखिक गति $v$ बन जाता है,और $\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ कोणीय वेग $\omega$ बन जाता है।
अतः,संबंध $v = r_{\perp} \omega$ है।
सदिश रूप में,इसे $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\vec{r}$ घूर्णन अक्ष पर किसी भी बिंदु के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश है।

(A) यदि किसी दृढ़ पिंड का प्रत्येक कण वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो कहा जाता है कि पिंड एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन कर रहा है।
ये वृत्ताकार पथ एक ही सीधी रेखा पर केंद्रित होते हैं,जिसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है।
इसे सत्यापित करने के लिए,यह देखना आवश्यक है कि गति के दौरान इस निश्चित रेखा से प्रत्येक कण की दूरी स्थिर रहती है।
इसके अतिरिक्त,प्रत्येक कण के लिए गति का तल इस निश्चित रेखा के लंबवत होना चाहिए।

(C) एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन करने वाले दृढ़ पिंड का कोणीय वेग $\vec{\omega}$ एक सदिश राशि है।
इसका परिमाण कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा दाहिने हाथ के नियम (right-hand rule) द्वारा निर्धारित की जाती है।
यदि आप अपने दाहिने हाथ की उंगलियों को घूर्णन की दिशा में मोड़ते हैं,तो आपका अंगूठा कोणीय वेग सदिश की दिशा को इंगित करता है।
इसलिए,कोणीय वेग की दिशा हमेशा घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है।

(N/A) एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन कर रही वस्तु के लिए,कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ घूर्णन अक्ष की दिशा में होता है।
$1$. परिमाण: यदि वस्तु कोणीय त्वरण $(\alpha = d\omega/dt \neq 0)$ का अनुभव करती है,तो कोणीय वेग का परिमाण $\omega$ समय के साथ बदलता है। यदि घूर्णन एकसमान है,तो परिमाण स्थिर रहता है।
$2$. दिशा: चूंकि घूर्णन अक्ष स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा स्थिर रहती है (यह हमेशा दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित स्थिर घूर्णन अक्ष की दिशा में ही रहती है)।