Rotation Motion Basic, Motion of Connected Mass Questions in Hindi

(A) रैखिक वेग सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow v = \overrightarrow \omega \times \overrightarrow r$.
सदिश गुणनफल के लिए सारणिक विधि का उपयोग करते हुए:
$\overrightarrow v = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat i((-2)(-3) - (2)(4)) - \hat j((1)(-3) - (2)(0)) + \hat k((1)(4) - (-2)(0))$
$= \hat i(6 - 8) - \hat j(-3 - 0) + \hat k(4 - 0)$
$= -2\hat i + 3\hat j + 4\hat k$
रैखिक वेग का परिमाण $|\overrightarrow v | = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (4)^2}$
$= \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \text{ इकाई}$.

(C) एक स्थिर अक्ष के परितः एक दृढ़ पिंड की घूर्णी गति में,पिंड का प्रत्येक कण वृत्तीय गति करता है।
घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी कण के लिए,रैखिक वेग $v$ को $v = r\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है।
चूंकि पिंड दृढ़ है,इसलिए सभी कण समान समय अंतराल में समान कोण से घूमते हैं,जिसका अर्थ है कि वे सभी समान कोणीय वेग $\omega$ साझा करते हैं।
हालाँकि,चूंकि घूर्णन अक्ष से दूरी $r$ अलग-अलग कणों के लिए भिन्न होती है,इसलिए रैखिक वेग $v = r\omega$ प्रत्येक कण के लिए अलग होगा।
अतः,सभी कण अलग-अलग रैखिक वेगों के साथ लेकिन समान कोणीय वेग के साथ गति करते हैं।

(D) शुद्ध घूर्णन में,एक दृढ़ पिंड के सभी कण घूर्णन अक्ष के परितः समान कोणीय वेग $\omega$ से घूमते हैं।
संबंध $v = \omega r$ द्वारा दिया गया है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{r}$।
शुद्ध घूर्णन कर रहे एक दृढ़ पिंड के लिए,कोणीय वेग $\omega$ पूरे पिंड का एक गुण है और किसी भी क्षण पर सभी कणों के लिए स्थिर रहता है,चाहे अक्ष से उनकी दूरी $r$ कुछ भी हो।
जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,रैखिक चाल $v$ आनुपातिक रूप से बढ़ती है ताकि अनुपात $\frac{v}{r}$ स्थिर रहे।
इसलिए,$\omega$,$r$ से स्वतंत्र है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) जब कोई गोला अपने व्यास के परितः घूमता है,तो गोले के सभी कण घूर्णन अक्ष के चारों ओर वृत्तीय गति करते हैं।
घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी कण के लिए,कोणीय वेग $\omega$ सभी कणों के लिए समान होता है।
रेखीय वेग $v = r\omega$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि विभिन्न कणों के लिए $r$ अलग-अलग होता है,इसलिए रेखीय चाल $v$ भी अलग-अलग होती है।
वृत्तीय गति में कण का रेखीय त्वरण $a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a_c = \omega^2 r$ अभिकेंद्र त्वरण है और $a_t = \alpha r$ स्पर्शरेखीय त्वरण है। एकसमान घूर्णन के लिए,$\alpha = 0$,इसलिए $a = \omega^2 r$ होता है।
घूर्णन अक्ष (व्यास) पर स्थित कणों के लिए $r = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि उनका रेखीय वेग $v = 0$ और उनका रेखीय त्वरण $a = 0$ होता है।
अतः,व्यास पर स्थित कणों का कोई रेखीय त्वरण नहीं होता है।

(C) शुद्ध घूर्णन में एक वस्तु के लिए,घूर्णन अक्ष वह रेखा है जिसके चारों ओर वस्तु के सभी कण वृत्ताकार पथों में गति करते हैं।
घूर्णन करती वस्तु के किसी भी कण $P$ का वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा उसके वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा होता है।
चूंकि वृत्ताकार पथ घूर्णन अक्ष के लंबवत एक तल में स्थित होता है,इसलिए वेग सदिश $\vec{v}$ (और इस प्रकार इकाई सदिश $\vec{B}$) हमेशा घूर्णन अक्ष (और इस प्रकार इकाई सदिश $\vec{A}$) के लंबवत होता है।
इसलिए,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $|\vec{A}| = 1$,$|\vec{B}| = 1$,और $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए हमें $\vec{A} \cdot \vec{B} = 1 \times 1 \times 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना डोरी में तनाव $T$ है और $m$ द्रव्यमान का नीचे की ओर त्वरण $a$ है। गिरते हुए द्रव्यमान $m$ के लिए गति का समीकरण है: $mg - T = ma$ $(1)$
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले घूमते बेलन के लिए,टॉर्क $\tau = T \cdot R$ है। बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है। $\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha = \frac{a}{R}$ कोणीय त्वरण है,हमें प्राप्त होता है: $T \cdot R = (\frac{1}{2}MR^2) \cdot (\frac{a}{R}) \implies T = \frac{1}{2}Ma$ $(2)$
समीकरण $(2)$ से $T$ का मान $(1)$ में रखने पर: $mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}Ma = a(m + \frac{M}{2})$
$a = \frac{mg}{m + M/2} = \frac{2mg}{2m + M}$.
यदि हम मान लें कि दोनों द्रव्यमान समान हैं $(M = m)$,तो $a = \frac{2mg}{3m} = \frac{2g}{3}$.

(A) रिम पर बल $F$ द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F R$ है।
केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः एक समान डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$F R = (\frac{1}{2} M R^2) \alpha$
$\alpha = \frac{F R}{\frac{1}{2} M R^2} = \frac{2F}{M R}$.
रिम पर स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \alpha R$ द्वारा दिया जाता है।
$\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$a_t = (\frac{2F}{M R}) R = \frac{2F}{M}$.
अतः,स्पर्शरेखीय त्वरण $\frac{2F}{M}$ है।

(D) माना बाल्टी का रैखिक त्वरण $a$ है और रस्सी में तनाव $T$ है।
$m$ द्रव्यमान की बाल्टी के लिए,गति का समीकरण है: $mg - T = ma$ --- $(1)$
$M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या के बेलन के लिए,टॉर्क $\tau = I\alpha$ है,जहाँ $I = \frac{1}{2}Mr^2$ बेलन का जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha = \frac{a}{r}$ कोणीय त्वरण है।
टॉर्क $\tau = Tr$ भी होता है।
टॉर्क के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $Tr = (\frac{1}{2}Mr^2)(\frac{a}{r}) = \frac{1}{2}Mra$.
अतः,$T = \frac{1}{2}Ma$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से $T$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}Ma = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$
$a = \frac{2mg}{M + 2m}$

(B) माना प्रत्येक रस्सी में तनाव $T$ है और प्रत्येक द्रव्यमान $m$ का नीचे की ओर त्वरण $a$ है।
प्रत्येक द्रव्यमान $m$ के लिए,गति का समीकरण है: $mg - T = ma$ ... $(1)$
बेलन के लिए,दो रस्सियों के कारण कुल बल आघूर्ण (टॉर्क) $\tau = 2TR$ है।
बेलन का अपने अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है।
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है: $2TR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
चूँकि $a = \alpha R$,इसलिए $\alpha = \frac{a}{R}$.
टॉर्क समीकरण में $\alpha$ का मान रखने पर: $2TR = \frac{1}{2}MR^2(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}MRa$.
अतः,$2T = \frac{1}{2}Ma$,या $T = \frac{1}{4}Ma$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ से $T$ का मान $(1)$ में रखने पर: $mg - \frac{1}{4}Ma = ma$.
$mg = ma + \frac{1}{4}Ma = a(m + \frac{M}{4}) = a(\frac{4m + M}{4})$.
इसलिए,$a = \frac{4mg}{M + 4m}$.

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,दो द्रव्यमानों की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी निकाय की गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $2 \times (mgh) = 2mgh$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = घूमते हुए बेलन की गतिज ऊर्जा + नीचे गिरते हुए दो द्रव्यमानों की गतिज ऊर्जा।
$K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2 + 2 \times (\frac{1}{2} m v^2)$.
एक ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2} M R^2$. साथ ही,$v = R \omega$.
$K.E. = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 + m (R \omega)^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega^2 + m R^2 \omega^2 = R^2 \omega^2 (\frac{M}{4} + m) = R^2 \omega^2 (\frac{M + 4m}{4})$.
ऊर्जा को बराबर करने पर: $2mgh = R^2 \omega^2 (\frac{M + 4m}{4})$.
$8mgh = R^2 \omega^2 (M + 4m)$.
$\omega^2 = \frac{8mgh}{R^2 (M + 4m)}$.
$\omega = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{8mgh}{M + 4m}}$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गिरते हुए भार द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा निकाय की गतिज ऊर्जा (पहिये की घूर्णन गतिज ऊर्जा और भार की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$
चूंकि डोरी पहिये पर लिपटी हुई है,इसलिए भार का रैखिक वेग $v$ और पहिये का कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = r\omega$ है।
ऊर्जा समीकरण में $v = r\omega$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}m(r\omega)^2$
$mgh = \frac{1}{2}(I + mr^2)\omega^2$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{2mgh}{I + mr^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{2mgh}{I + mr^2}}$

(D) दिया गया है: ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 2\,kg$,पहिये की त्रिज्या $R = 0.5\,m$,दूरी $S = 5\,m$,समय $t = 2\,s$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$5 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2)^2$
$5 = 2a \implies a = 2.5\,m/s^2$.
पहिये से लटके ब्लॉक का त्वरण $a = \frac{g}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$2.5 = \frac{10}{1 + \frac{I}{2 \cdot (0.5)^2}}$
$1 + \frac{I}{2 \cdot 0.25} = \frac{10}{2.5}$
$1 + \frac{I}{0.5} = 4$
$\frac{I}{0.5} = 3$
$I = 3 \cdot 0.5 = 1.5\,kg \cdot m^2$.

(B) छड़ $O$ पर कब्जेदार है। मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ है। द्रव्यमान केंद्र $L/2$ पर है। ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर स्थितिज ऊर्जा $U = mg(L/2) \cos \theta$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है: $mg(L/2)(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} I \omega^2$,जहाँ $I = \frac{mL^2}{3}$ है।
$I$ का मान रखने पर: $mg(L/2)(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2 \implies \omega^2 = \frac{3g}{L}(1 - \cos \theta)$।
स्थिति $(2)$ के लिए,$\theta = 60^{\circ}$,$\cos 60^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\omega_2^2 = \frac{3g}{L}(1 - 0.5) = \frac{1.5g}{L}$।
स्थिति $(4)$ के लिए,$\theta = 180^{\circ}$,$\cos 180^{\circ} = -1$,इसलिए $\omega_4^2 = \frac{3g}{L}(1 - (-1)) = \frac{6g}{L}$।
$\omega_4^2$ और $\omega_2^2$ की तुलना करने पर: $\frac{\omega_4^2}{\omega_2^2} = \frac{6g/L}{1.5g/L} = 4$।
अतः,$\omega_4 = 2 \omega_2$।

(A) रेखीय वेग $(v)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच का संबंध $v = r\omega$ है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी है।
चूंकि पृथ्वी एक दृढ़ पिंड के रूप में घूमती है,इसलिए पृथ्वी पर सभी बिंदुओं के लिए कोणीय वेग $(\omega)$ समान होता है।
हालाँकि,घूर्णन अक्ष से दूरी $(r)$ भूमध्य रेखा पर अधिकतम $(r = R_e)$ होती है और जैसे-जैसे हम ध्रुवों की ओर बढ़ते हैं,यह कम होती जाती है ($r = R_e \cos \phi$,जहाँ $\phi$ अक्षांश है)।
इसलिए,रेखीय वेग $(v)$ भूमध्य रेखा पर अधिकतम होता है और ध्रुवों पर शून्य होता है।

(D) $m$ द्रव्यमान के लिए,गति का समीकरण है: $mg - T = ma$ $(1)$
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले बेलन के लिए,टॉर्क का समीकरण है: $\tau = I\alpha$,जहाँ $I = \frac{1}{2}MR^2$ और $\alpha = \frac{a}{R}$ है।
अतः,$TR = (\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) \implies T = \frac{1}{2}Ma$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर: $mg - \frac{1}{2}Ma = ma \implies mg = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2})$.
इस प्रकार,रैखिक त्वरण $a = \frac{2mg}{M + 2m}$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{a}{R} = \frac{2mg}{R(M + 2m)}$ है।
चूंकि निकाय विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $t$ समय पर कोणीय वेग $\omega = \alpha t = \frac{2mgt}{R(M + 2m)}$ होगा।

(D) जब कोई वस्तु स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ बिना फिसले लुढ़कती है,तो द्रव्यमान केंद्र एक स्थिर रैखिक वेग $v = R_{cm}\omega$ के साथ चलता है।
वलय के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी कण के लिए,कण द्वारा अनुभव किया गया अभिकेंद्री बल $F = m\omega^2r$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वलय स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ लुढ़क रही है,इसलिए केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = m\omega^2r$ है।
आंतरिक सतह पर स्थित कण के लिए,त्रिज्या $R_1$ है,इसलिए $F_1 = m\omega^2R_1$ है।
बाहरी सतह पर स्थित कण के लिए,त्रिज्या $R_2$ है,इसलिए $F_2 = m\omega^2R_2$ है।
बलों का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{m\omega^2R_1}{m\omega^2R_2} = \frac{R_1}{R_2}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब कोई दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करता है,तो पिंड का प्रत्येक कण एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।
प्रत्येक वृत्ताकार पथ का केंद्र घूर्णन अक्ष पर स्थित होता है और प्रत्येक वृत्ताकार पथ का तल घूर्णन अक्ष के लंबवत होता है।
यह स्थिति तब भी सत्य होती है चाहे अक्ष पिंड के अंदर से गुजर रही हो या बाहर स्थित हो,बशर्ते कि अक्ष संदर्भ फ्रेम में स्थिर हो।
अतः,घूर्णन की परिभाषा के अनुसार,यदि अक्ष स्थिर है,तो सभी कण उस अक्ष के चारों ओर वृत्ताकार गति करते हैं।

(C) रैखिक वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{v} = \hat{i}((4)(3) - (5)(-2)) - \hat{j}((3)(3) - (5)(1)) + \hat{k}((3)(-2) - (4)(1))$
$\vec{v} = \hat{i}(12 + 10) - \hat{j}(9 - 5) + \hat{k}(-6 - 4)$
$\vec{v} = 22\hat{i} - 4\hat{j} - 10\hat{k}$
अतः,रैखिक वेग सदिश $(22, -4, -10) \text{ m/s}$ है।

(C) चूंकि पिंड एक दृढ़ पिंड है,इसलिए घूर्णन गति के दौरान इसके सभी कणों का कोणीय वेग $\omega$ समान होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,तीन कण $A$,$B$ और $C$ घूर्णन अक्ष (मूल बिंदु $O$) से क्रमशः $r_1$,$r_2$ और $r_3$ दूरी पर हैं और वे समान कोणीय वेग $\omega$ से घूमते हैं।
किसी कण का रेखीय वेग $v$,$v = r\omega$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
कण $A$ के लिए,रेखीय वेग $v_1 = r_1\omega$ है।
कण $B$ के लिए,रेखीय वेग $v_2 = r_2\omega$ है।
कण $C$ के लिए,रेखीय वेग $v_3 = r_3\omega$ है।
चूंकि $r_1$,$r_2$ और $r_3$ अलग-अलग हैं,इसलिए रेखीय वेग $v_1$,$v_2$ और $v_3$ भी अलग-अलग होते हैं।
अतः,घूर्णन अक्ष से अलग-अलग दूरी पर स्थित दृढ़ पिंड के कण समान कोणीय वेग से लेकिन अलग-अलग रेखीय वेग से गति करते हैं।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 1.5 \ m$,कोणीय त्वरण $\alpha = 10 \ rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = (\frac{60}{\pi}) \ rpm$,समय $t = 2.0 \ s$।
सबसे पहले,$\omega_0$ को $rad/s$ में बदलें:
$\omega_0 = \frac{60}{\pi} \times \frac{2\pi}{60} = 2 \ rad/s$।
घूर्णन गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega = \omega_0 + \alpha t$:
$\omega = 2 + (10 \times 2) = 2 + 20 = 22 \ rad/s$।
कोणीय विस्थापन के लिए घूर्णन गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$:
$\theta = (2 \times 2) + \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 4 + (5 \times 4) = 4 + 20 = 24 \ rad$।

(C) चूँकि दोनों पहिये समाक्षीय रूप से जुड़े हुए हैं,वे समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमते हैं।
मान लीजिए कि छोटे पहिये की त्रिज्या $R$ है और बड़े पहिये की त्रिज्या $2R$ है।
पहिये से जुड़ी डोरी द्वारा तय की गई दूरी $s = r\theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\theta$ घूर्णन कोण है।
समान समय अंतराल के लिए,दोनों पहिये समान कोण $\theta$ से घूमते हैं।
छोटे पहिये पर डोरी $A$ के लिए: $x = R\theta$.
बड़े पहिये पर डोरी $B$ के लिए: $y = (2R)\theta$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $y/x = (2R\theta) / (R\theta) = 2$.
अतः,$y = 2x$.

(B) मान लीजिए छड़ का द्रव्यमान $M$ और लंबाई $\ell = 1 \ m$ है। छड़ निचले सिरे पर टिकी हुई है। जब यह गिरती है,तो द्रव्यमान केंद्र द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी $\Delta U = Mg \Delta h = Mg \left( \frac{\ell}{2} \right)$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $I = \frac{M \ell^2}{3}$ हिंज के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} \left( \frac{M \ell^2}{3} \right) \omega^2 = Mg \frac{\ell}{2}$.
सरल करने पर,हमें $\frac{1}{6} M \ell^2 \omega^2 = \frac{1}{2} Mg \ell$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega^2 = \frac{3g}{\ell}$.
मुक्त सिरे की रैखिक गति $V = \omega \ell$ है। इसलिए,$V^2 = \omega^2 \ell^2 = \left( \frac{3g}{\ell} \right) \ell^2 = 3g \ell$.
$g = 9.8 \ m/s^2$ और $\ell = 1 \ m$ मान रखने पर:
$V = \sqrt{3 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{29.4} \ m/s$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $v_1 = 54 \ km/h = 54 \times \frac{5}{18} \ m/s = 15 \ m/s$।
त्रिज्या $r = 50 \ cm = 0.5 \ m$।
चक्करों की संख्या $n = 20$।
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 20 \times 2\pi \ rad = 40\pi \ rad$।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{v_1}{r} = \frac{15}{0.5} = 30 \ rad \ s^{-1}$।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0$।
समीकरण $\omega_2^2 = \omega_1^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (30)^2 + 2 \times \alpha \times 40\pi$
$\alpha = -\frac{900}{80\pi} \approx -3.58 \ rad \ s^{-2}$।
रैखिक दूरी $d = n \times (2\pi r) = 20 \times 2 \times 3.14 \times 0.5 = 62.8 \ m$।

(C) नीचे गिरते हुए द्रव्यमान $m$ के लिए,गति का समीकरण है: $mg - T = ma$ $(1)$
घूमते हुए बेलन के लिए,टॉर्क का समीकरण है: $\tau = I\alpha = I(a/r) = T \cdot r$,जिससे प्राप्त होता है $T = \frac{Ia}{r^2}$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर: $mg - \frac{Ia}{r^2} = ma$
$mg = a(m + \frac{I}{r^2}) = a(\frac{mr^2 + I}{r^2})$
अतः,त्वरण $a = \frac{mgr^2}{I + mr^2}$
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2ah$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$:
$v^2 = 2 \cdot (\frac{mgr^2}{I + mr^2}) \cdot h$
$v = \sqrt{\frac{2mghr^2}{I + mr^2}}$

(C) माना डोरी में तनाव $T$ है और द्रव्यमान $m$ का त्वरण $a$ है।
नीचे गिरते द्रव्यमान $m$ के लिए गति का समीकरण: $mg - T = ma$ => $T = m(g - a)$ --- $(1)$
घूर्णन करती घिरनी के लिए,बलाघूर्ण $\tau = I\alpha = TR$ है।
चूंकि घिरनी एक समान डिस्क है,इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है।
डोरी के न फिसलने के कारण,कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{a}{R}$ है।
इन मानों को बलाघूर्ण समीकरण में रखने पर: $(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{a}{R}) = TR$ => $\frac{1}{2}Ma = T$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर: $m(g - a) = \frac{1}{2}Ma$ प्राप्त होता है।
यदि हम मान लें कि घिरनी का द्रव्यमान $M$ द्रव्यमान $m$ के बराबर है,तो $m(g - a) = \frac{1}{2}ma$ होगा।
$m$ से भाग देने पर: $g - a = \frac{a}{2}$ => $g = \frac{3a}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्वरण $a = \frac{2}{3}g$ है।

(C) चूंकि मेज की अक्ष ऊर्ध्वाधर है,इसलिए इसका कोणीय वेग $\vec{\omega}_T$ ऊर्ध्वाधर दिशा में है।
फ्लाई व्हील की अक्ष क्षैतिज है,इसलिए इसका कोणीय वेग $\vec{\omega}_F$ क्षैतिज दिशा में है।
परिणामी कोणीय वेग $\vec{\omega}_R$ इन दो लंबवत कोणीय वेगों का सदिश योग है:
$\vec{\omega}_R = \vec{\omega}_F + \vec{\omega}_T$
चूंकि $\vec{\omega}_F$ और $\vec{\omega}_T$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी कोणीय वेग का परिमाण है:
$|\vec{\omega}_R| = \sqrt{\omega_F^2 + \omega_T^2}$
$|\vec{\omega}_R| = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000}$
$|\vec{\omega}_R| = 20\sqrt{5}\ rad/s$
परिणामी सदिश $\vec{\omega}_R$ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले तल में स्थित है,जहाँ $\theta = \tan^{-1}(\frac{\omega_T}{\omega_F}) = \tan^{-1}(\frac{20}{40}) = \tan^{-1}(0.5)$।

(C) रैखिक गति के लिए: $Mg - 2T = Ma$
घूर्णी गति के लिए: $2TR = I\alpha$
यहाँ,$I = \frac{MR^2}{2}$ और $\alpha = \frac{a}{R}$ है।
इन मानों को टॉर्क समीकरण में रखने पर: $2TR = (\frac{MR^2}{2})(\frac{a}{R}) \implies 2TR = \frac{MRa}{2} \implies T = \frac{Ma}{4}$।
रैखिक गति के समीकरण में $T$ का मान रखने पर: $Mg - 2(\frac{Ma}{4}) = Ma \implies Mg - \frac{Ma}{2} = Ma \implies Mg = \frac{3Ma}{2} \implies a = \frac{2}{3}g$।
अब,तनाव $T$ ज्ञात करते हैं: $T = \frac{M}{4}(\frac{2}{3}g) = \frac{Mg}{6}$।

(A) रैखिक वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{v} = \hat{i}((-2)(1) - (3)(1)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(1)) + \hat{k}((1)(1) - (-2)(1))$
$\vec{v} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 3) + \hat{k}(1 + 2)$
$\vec{v} = -5\hat{i} - \hat{j}(-2) + 3\hat{k}$
$\vec{v} = -5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$

(D) घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = (m/l) dr$ है।
इस अवयव को घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dT = dm \omega^2 r = (m/l) \omega^2 r dr$ है।
अक्ष से $x$ दूरी पर तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ से $l$ तक समाकलन करते हैं:
$T = \int_x^l dT = \int_x^l \frac{m}{l} \omega^2 r dr$
$T = \frac{m \omega^2}{l} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_x^l$
$T = \frac{m \omega^2}{2l} (l^2 - x^2)$

(A) $m_1$ से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,छड़ को $\omega_0$ कोणीय वेग से घुमाने के लिए किया गया कार्य $W$ उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{2} [m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2] \omega_0^2$
कार्य $W$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dW}{dx} = \frac{1}{2} \omega_0^2 [2 m_1 x + 2 m_2 (L - x)(-1)] = 0$
$m_1 x - m_2 (L - x) = 0$
$m_1 x - m_2 L + m_2 x = 0$
$(m_1 + m_2) x = m_2 L$
$x = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2}$

(C) एक दृढ पिण्ड में,सभी कण एक ही अक्ष के परितः समान कोणीय वेग $\omega$ से घूमते हैं।
चूँकि रैखिक वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच का संबंध $v = r\omega$ है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से कण की दूरी है।
एक दृढ पिण्ड के लिए,सभी कणों के लिए $\omega$ नियत रहता है।
इसलिए,$v \propto r$।
इसका अर्थ यह है कि घूर्णन अक्ष से अलग-अलग दूरी पर स्थित कणों की रैखिक चाल अलग-अलग होगी,लेकिन उन सभी की कोणीय चाल समान होगी।

(C) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \ rad/s$.
कोणीय मंदन $\alpha = 4 \ rad/s^2$.
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (40\pi)^2 - 2(4)\theta$
$8\theta = 1600\pi^2$
$\theta = 200\pi^2 \ rad$.
चक्करों की संख्या $n$,$\theta = 2\pi n$ द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi^2}{2\pi} = 100\pi$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$n = 100 \times 3.14 = 314$ चक्कर।

(D) कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ को एक अक्षीय सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है।
दाएं हाथ के नियम (right-hand rule) के अनुसार,इसकी दिशा हमेशा वस्तु के घूर्णन अक्ष (axis of rotation) के अनुदिश होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) जब एक पतली वलय को उसके केंद्र के परितः घुमाया जाता है,तो वलय का प्रत्येक कण त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर एक अपकेंद्रीय बल का अनुभव करता है।
यह त्रिज्यीय बल वलय के पदार्थ के भीतर एक तनाव (tensile stress) उत्पन्न करता है।
इस तनाव के कारण वलय की परिधि बढ़ जाती है,जिसके परिणामस्वरूप वलय की त्रिज्या $R$ में वृद्धि होती है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली रील (ठोस बेलन) के लिए,गुरुत्व के अधीन नीचे गिरते समय उसका त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{R^2}{2}$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $a = \frac{g}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}g$.

(A) मान लीजिए $L$ लंबाई,$M$ द्रव्यमान और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक समान छड़ एक सिरे से स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूम रही है।
घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें।
इस अवयव का द्रव्यमान $dm = (M/L) dx$ है।
इस अवयव के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dm) \omega^2 x = (M/L) \omega^2 x dx$ है।
$x$ दूरी पर तन्य बल $F(x)$ छड़ के $x$ से $L$ तक के हिस्से को घुमाने के लिए आवश्यक बल है।
$F(x) = \int_x^L (M/L) \omega^2 r dr = (M/L) \omega^2 [r^2/2]_x^L = (M \omega^2 / 2L) (L^2 - x^2)$.
Tensile stress (तन्य प्रतिबल) $\sigma(x)$ को $F(x)/A$ द्वारा दिया जाता है।
$\sigma(x) = (M \omega^2 / 2AL) (L^2 - x^2)$.
यह समीकरण नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है जहाँ $\sigma$,$x = 0$ पर अधिकतम है और $x = L$ पर $\sigma = 0$ है।
यह ग्राफ $A$ में दिखाए गए वक्र से मेल खाता है।

(A) मान लीजिए कि वेज का वेग $v$ है और वेज के सापेक्ष गेंद का वेग $v_r$ है।
$1$. क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग का संरक्षण:
चूँकि कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए कुल क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है। प्रारंभ में निकाय स्थिर है,इसलिए अंतिम कुल क्षैतिज संवेग शून्य होना चाहिए।
$m v_{ball,x} + m v = 0 \implies v_{ball,x} = -v$
$2$. यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण:
गेंद की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी गेंद और वेज की गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
$m g R \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v_b^2$
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करके हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v = (\frac{gR}{3\sqrt{2}})^{1/2}$

(C) जैसे-जैसे डोरी शाफ्ट के चारों ओर लपटती है,डोरी की स्वतंत्र रूप से गति करने वाली लंबाई कम हो जाती है। किसी भी कोण $\theta$ पर कण से स्पर्शरेखा बिंदु तक की दूरी $r = r_0 - a\theta$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि डोरी में तनाव बल कण के वेग के लंबवत कार्य करता है,इसलिए शाफ्ट के केंद्र के परितः टॉर्क शून्य है। इस प्रकार,शाफ्ट के केंद्र के परितः कण का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
हालाँकि,एक सरल दृष्टिकोण यह है कि कण का वेग $v$ स्थिर रहता है क्योंकि तनाव बल हमेशा वेग सदिश के लंबवत होता है।
प्रारंभ में,$v = r_0\omega_0$.
$\theta$ कोण पर,दूरी $r = r_0 - a\theta$ है,और कोणीय वेग $\omega$ है।
चूंकि $v$ स्थिर है,$v = r\omega = (r_0 - a\theta)\omega$.
$v$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $r_0\omega_0 = (r_0 - a\theta)\omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \frac{r_0\omega_0}{r_0 - a\theta} = \frac{\omega_0}{1 - \frac{a\theta}{r_0}}$.

(A) मान लीजिए खंभे की लंबाई $L = 5\, m$ है और इसका द्रव्यमान $m = 3\, kg$ है। खंभा क्षैतिज के साथ $\theta = 37^{\circ}$ का कोण बनाता है।
खंभा स्थानांतरणीय और घूर्णी संतुलन में है।
मान लीजिए $N_1$ क्षैतिज सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है,$f$ आधार पर घर्षण बल है,$N_2$ चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है,और $mg$ खंभे के द्रव्यमान केंद्र (मध्य बिंदु) पर कार्य करने वाला भार है।
स्थानांतरणीय संतुलन के लिए:
क्षैतिज बल: $f = N_2$
ऊर्ध्वाधर बल: $N_1 = mg = 3 \times 10 = 30\, N$
घूर्णी संतुलन के लिए,हम आधार बिंदु (मान लीजिए $A$) के परितः आघूर्ण (torque) लेते हैं:
$\tau_{net} = 0$
$mg \times (\frac{L}{2} \cos 37^{\circ}) - N_2 \times (L \sin 37^{\circ}) = 0$
$mg \times \frac{5}{2} \times \frac{4}{5} = N_2 \times 5 \times \frac{3}{5}$
$30 \times 2 = N_2 \times 3$
$60 = 3 N_2 \Rightarrow N_2 = 20\, N$
चूंकि $f = N_2$,इसलिए घर्षण बल $f = 20\, N$ होगा।

(A) स्पूल के स्थिर रहने के लिए,इसे स्थानांतरणीय और घूर्णी संतुलन दोनों में होना चाहिए।
$1$. स्थानांतरणीय संतुलन: स्पूल पर कुल बल शून्य होना चाहिए। क्षैतिज बलों पर विचार करते हुए,लगाए गए बल का घटक $F \cos \theta$ जमीन के साथ संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाले स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ द्वारा संतुलित होना चाहिए।
$f_s = F \cos \theta$
$2$. घूर्णी संतुलन: जमीन के साथ संपर्क बिंदु के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए। बल $F$ केंद्र से $r$ दूरी पर लगाया जाता है। स्पूल घूर्णन न करे,इसके लिए केंद्र के परितः टॉर्क संतुलित होना चाहिए। संपर्क बिंदु पर घर्षण $f_s$ (केंद्र से $R$ दूरी पर) के कारण टॉर्क को बल $F$ (केंद्र से $r$ दूरी पर) के कारण टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
$f_s \times R = F \times r$
टॉर्क समीकरण में $f_s = F \cos \theta$ रखने पर:
$(F \cos \theta) \times R = F \times r$
दोनों पक्षों को $F \times R$ से विभाजित करने पर:
$\cos \theta = \frac{r}{R}$
अतः,क्रांतिक कोण है:
$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{r}{R} \right)$

(A) माना $m_0$ द्रव्यमान का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है। $m_0$ द्रव्यमान के लिए गति का समीकरण है:
$m_0g - T = m_0a$ ... $(1)$
बेलन के घूर्णन के लिए,टॉर्क $\tau = I\alpha$ है,जहाँ $I = \frac{1}{2}mr^2$ बेलन का जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha = \frac{a}{r}$ कोणीय त्वरण है।
$Tr = I\alpha = \left(\frac{1}{2}mr^2\right) \left(\frac{a}{r}\right)$
$T = \frac{1}{2}ma$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ से $T$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$m_0g - \frac{1}{2}ma = m_0a$
$m_0g = m_0a + \frac{1}{2}ma = a\left(m_0 + \frac{m}{2}\right)$
$a = \frac{m_0g}{m_0 + \frac{m}{2}} = \frac{2m_0g}{2m_0 + m}$

(B) मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ है। छड़ का निचला सिरा प्रारंभ में मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। छड़ का द्रव्यमान केंद्र $(0, L/2)$ पर है।
जैसे ही छड़ गिरती है,द्रव्यमान केंद्र ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे फर्श पर $(0,0)$ बिंदु पर आ जाता है।
मान लीजिए एक बिंदु $P$ छड़ के निचले सिरे से $x$ दूरी पर है।
प्रारंभ में,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(0, x)$ हैं।
जब छड़ गिरती है और फर्श पर क्षैतिज हो जाती है,तो निचला सिरा मूल बिंदु से $L$ दूरी पर होता है और द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर होता है।
अंतिम क्षैतिज स्थिति में,बिंदु $P$ मूल बिंदु (द्रव्यमान केंद्र की स्थिति) से $(L-x)$ दूरी पर है।
बिंदु $P$ के लिए $r$ त्रिज्या का वृत्ताकार पथ बनाने के लिए,द्रव्यमान केंद्र से इसकी दूरी स्थिर रहनी चाहिए।
प्रारंभ में,द्रव्यमान केंद्र से $P$ की दूरी $r = |L/2 - x|$ है।
अंत में,जब छड़ क्षैतिज होती है,तो द्रव्यमान केंद्र से $P$ की दूरी $r = |L - x - L/2| = |L/2 - x|$ है।
पथ के एक चौथाई वृत्त होने के लिए,ऊर्ध्वाधर विस्थापन क्षैतिज विस्थापन के बराबर होना चाहिए। बिंदु $P$ $x$ ऊंचाई से शुरू होता है और प्रारंभिक आधार से $L-x$ क्षैतिज दूरी पर समाप्त होता है।
$x = L/2 - x$ (द्रव्यमान केंद्र से दूरी) रखने पर,हमें $2x = L/2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = L/4$।

(A) मान लीजिए सीढ़ी के सिरों के निर्देशांक $(x, 0)$ और $(0, y)$ हैं। तब $x^2 + y^2 = L^2$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$।
दिया गया है $dx/dt = -v$ (फर्श पर सिरे की गति),इसलिए $x(-v) + y(dy/dt) = 0 \Rightarrow dy/dt = xv/y = v \cot \alpha$।
सीढ़ी का कोणीय वेग $\omega = |d\alpha/dt|$ है। चूँकि $x = L \cos \alpha$,$dx/dt = -L \sin \alpha (d\alpha/dt) = -v$।
अतः,$\omega = v / (L \sin \alpha)$।
कोणीय त्वरण $\alpha_{ang} = d\omega/dt = (d\omega/d\alpha) \cdot (d\alpha/dt)$।
$d\omega/d\alpha = -(v / L \sin^2 \alpha) \cos \alpha$।
चूँकि $d\alpha/dt = -\omega = -v / (L \sin \alpha)$,हमारे पास $\alpha_{ang} = [-(v \cos \alpha) / (L \sin^2 \alpha)] \cdot [-v / (L \sin \alpha)] = (v^2 \cos \alpha) / (L^2 \sin^3 \alpha)$ है।
$\alpha = 45^o$ पर: $\alpha_{ang} = (v^2 \cos 45^o) / (L^2 \sin^3 45^o) = (v^2 \cdot (1/\sqrt{2})) / (L^2 \cdot (1/\sqrt{2})^3) = (v^2 / \sqrt{2}) / (L^2 / 2\sqrt{2}) = 2v^2 / L^2$।

(C) मान लीजिए कि छड़ की लंबाई $L$ है। $A$ पर लगाया गया आवेग $J$ निकाय के द्रव्यमान केंद्र $C$ के परितः एक रैखिक आवेग और कोणीय आवेग उत्पन्न करता है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं,द्रव्यमान केंद्र $C$,$AB$ के मध्य बिंदु पर स्थित है।
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक वेग $v_{cm}$ इस प्रकार है: $J = M_{total} v_{cm} = (2m) v_{cm}$,इसलिए $v_{cm} = \frac{J}{2m}$।
$C$ के परितः कोणीय आवेग $J \times \frac{L}{2} = I_{cm} \omega$ है,जहाँ $I_{cm} = m(\frac{L}{2})^2 + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{mL^2}{2}$ है।
अतः,$\frac{JL}{2} = \frac{mL^2}{2} \omega$,जिससे $\omega = \frac{J}{mL}$ प्राप्त होता है।
कण $A$ का वेग $v_A = v_{cm} + \omega r_A = \frac{J}{2m} + (\frac{J}{mL})(\frac{L}{2}) = \frac{J}{2m} + \frac{J}{2m} = \frac{J}{m}$ है।

(A) मान लीजिए तख्ते का द्रव्यमान $M$ है और गोले का द्रव्यमान $m$ है। तख्ते का त्वरण $a_p$ और गोले के केंद्र का त्वरण $a_s$ है।
जब तख्ते को $F$ बल से दाईं ओर खींचा जाता है,तो गोले पर आगे की दिशा में (दाईं ओर) घर्षण बल $f$ कार्य करता है,जो लुढ़कने (rolling) के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करता है।
गोले के लिए: $f = m a_s$ और $\tau = f R = I \alpha = (\frac{2}{5} m R^2) \alpha$। बिना फिसले गति के लिए,$a_s = R \alpha$,इसलिए $f R = \frac{2}{5} m R^2 (\frac{a_s}{R}) = \frac{2}{5} m a_s R$,जिसका अर्थ है $f = \frac{2}{5} m a_s$।
हालाँकि,गोले पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = m a_s$ है। यह तभी संभव है जब गोला त्वरित हो रहा हो। तख्ते पर पीछे की दिशा में घर्षण बल $f$ कार्य करता है। तख्ते के लिए समीकरण $F - f = M a_p$ है।
चूंकि $f = m a_s$,हमारे पास $a_s = \frac{f}{m}$ है। शुद्ध लुढ़कने की शर्त $f = \frac{2}{5} m a_s$ है,इसलिए घर्षण बल $f$ का मान $\frac{2}{7} F \frac{m}{M+m}$ (लगभग) होता है। $a_s$ और $a_p$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $a_s < a_p$ है क्योंकि गोला केवल घर्षण बल द्वारा त्वरित हो रहा है,जबकि तख्ता बाहरी बल $F$ और घर्षण बल के अंतर द्वारा त्वरित हो रहा है।

(C) लटकते हुए द्रव्यमान $m$ की स्थानांतरण गति के लिए:
$mg - T = ma$ --- $(1)$
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली घिरनी की घूर्णन गति के लिए:
$T \cdot R = I \alpha$
चूंकि डोरी फिसलती नहीं है,द्रव्यमान का रैखिक त्वरण $a$ और घिरनी का कोणीय त्वरण $\alpha$ का संबंध $a = \alpha R$ है,इसलिए $\alpha = \frac{a}{R}$।
एकसमान वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ होता है।
इन मानों को टॉर्क समीकरण में रखने पर:
$T \cdot R = (\frac{1}{2}mR^2) \cdot (\frac{a}{R})$
$T = \frac{1}{2}ma$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$mg - \frac{1}{2}ma = ma$
$mg = ma + \frac{1}{2}ma = \frac{3}{2}ma$
$a = \frac{2}{3}g$

(A) माना $m$ द्रव्यमान का रेखीय त्वरण $a$ है और बेलन का कोणीय त्वरण $\alpha$ है। चूंकि डोरी फिसलती नहीं है,इसलिए $a = R\alpha$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{a}{R}$।
नीचे गिरते हुए $m$ द्रव्यमान के लिए,गति का समीकरण है: $mg - T = ma$ . . . $(i)$
खोखले बेलन के घूर्णन के लिए,बल आघूर्ण $\tau = I\alpha$ तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T \times R = I\alpha$
चूंकि खोखले बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ होता है,इसलिए:
$T \times R = (mR^2) \times \left( \frac{a}{R} \right)$
$T = ma$ . . . (ii)
समीकरण (ii) का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$mg - ma = ma$
$mg = 2ma$
$a = \frac{g}{2}$

(B) माना रिंग का द्रव्यमान $m$ है और ब्लॉक का द्रव्यमान $M$ है। प्रणाली को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए प्रारंभिक कुल संवेग शून्य है।
चूंकि सभी सतहें चिकनी हैं और कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए प्रणाली का क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है।
जैसे ही रिंग वक्र छड़ पर नीचे फिसलती है,यह छड़ पर एक क्षैतिज बल लगाती है,जिससे ब्लॉक $M$ विपरीत दिशा में गति करता है।
माना सबसे निचले बिंदु पर रिंग का क्षैतिज वेग $v_m$ है और ब्लॉक $M$ का वेग $V_M$ है।
क्षैतिज संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_m - M V_M = 0$,जिसका अर्थ है $v_m = (M/m) V_M$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $mgH = \frac{1}{2} m v_m^2 + \frac{1}{2} M V_M^2$.
ऊर्जा समीकरण में $V_M = (m/M) v_m$ रखने पर: $mgH = \frac{1}{2} m v_m^2 + \frac{1}{2} M (m/M)^2 v_m^2 = \frac{1}{2} m v_m^2 (1 + m/M)$.
$v_m$ के लिए हल करने पर: $v_m = \sqrt{\frac{2gH}{1 + m/M}}$.
चूंकि $(1 + m/M) > 1$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $v_m < \sqrt{2gH}$.

(A) गोले और तख्ते के बीच संपर्क बिंदु पर बिना फिसले लुढ़कने की स्थिति यह है कि उनके वेग समान होने चाहिए।
मान लीजिए $v_p$ तख्ते का दाईं ओर वेग है और $v_c$ गोले के द्रव्यमान केंद्र का बाईं ओर वेग है।
गोले के निचले बिंदु का वेग $v_c - R\omega$ (बाईं ओर) है।
बिना फिसले गति के लिए,गोले के निचले बिंदु का वेग तख्ते के वेग के बराबर होना चाहिए।
दाईं दिशा को धनात्मक लेने पर:
तख्ते के सापेक्ष,गोले पर संपर्क बिंदु का वेग शून्य होना चाहिए।
संपर्क बिंदु का वेग = $v_c$ (बाईं) + $R\omega$ (बाईं) = $v_p$ (दाईं)।
विस्थापन के संदर्भ में:
$s_c + R\Delta\theta = s_p$
$75 + 150 \Delta\theta = 100$
$150 \Delta\theta = 100 - 75 = 25$
$\Delta\theta = \frac{25}{150} = \frac{1}{6} \text{ rad}$.

(B) मान लीजिए द्रव्यमान $m_1 = 2m$ और $m_2 = m$ हैं। द्रव्यमान केंद्र से उनकी दूरियाँ क्रमशः $r_1 = d$ और $r_2 = 2d$ हैं,ताकि $m_1 r_1 = m_2 r_2$ $(2m \cdot d = m \cdot 2d)$ हो।
दोनों तारे द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर समान कोणीय वेग $\omega$ से घूमते हैं।
कोणीय संवेग $L = I\omega = mr^2\omega$ है।
भारी तारे $(2m)$ के लिए: $L_1 = (2m)d^2\omega = 2md^2\omega$ है।
हल्के तारे $(m)$ के लिए: $L_2 = m(2d)^2\omega = 4md^2\omega$ है।
इस प्रकार,$L_2 > L_1$,जिसका अर्थ है कि हल्के तारे का कोणीय संवेग अधिक है।
रैखिक गति $v = r\omega$ है। भारी तारे के लिए,$v_1 = d\omega$ है। हल्के तारे के लिए,$v_2 = 2d\omega$ है। इस प्रकार,$v_2 > v_1$,इसलिए हल्के तारे की रैखिक गति अधिक है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है। $K_1 = \frac{1}{2}(2m)(d\omega)^2 = md^2\omega^2$ है। $K_2 = \frac{1}{2}(m)(2d\omega)^2 = 2md^2\omega^2$ है। इस प्रकार,$K_2 > K_1$,इसलिए हल्के तारे की गतिज ऊर्जा अधिक है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।