Rotation Motion Basic, Motion of Connected Mass Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में एक स्थिर $Z$-अक्ष के परितः घूम रहा है। पिंड का कोई भी कण $P$,$Z$-अक्ष के लंबवत तल में वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
मान लीजिए कि समय $t=0$ पर कण $P$ की कोणीय स्थिति $\theta_{0}$ है और समय $t$ पर यह $\theta_{0}+\theta$ है। इस प्रकार,समय $t$ में कोणीय विस्थापन $\theta$ है।
$1$. कोणीय वेग $(\omega)$: कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की समय दर को कोणीय वेग कहते हैं।
$\omega = \frac{d\theta}{dt}$। चूंकि इसकी दिशा स्थिर $Z$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए इसे अदिश के रूप में लिया जा सकता है।
$2$. कोणीय त्वरण $(\alpha)$: कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर को कोणीय त्वरण कहते हैं।
$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$। इसी प्रकार,इसे भी अदिश के रूप में लिया जा सकता है।
रेखीय गति के समीकरण (स्थिर त्वरण $a$ के लिए):
$v = v_{0} + at$
$x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})$
घूर्णन गति के समीकरण (स्थिर कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए):
$\omega = \omega_{0} + \alpha t$
$\theta = \theta_{0} + \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^{2}$
$\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha(\theta - \theta_{0})$
सादृश्यता तालिका:
| रेखीय गति | घूर्णन गति |
| :--- | :--- |
| विस्थापन $(x)$ | कोणीय विस्थापन $(\theta)$ |
| प्रारंभिक वेग $(v_{0})$ | प्रारंभिक कोणीय वेग $(\omega_{0})$ |
| अंतिम वेग $(v)$ | अंतिम कोणीय वेग $(\omega)$ |
| त्वरण $(a)$ | कोणीय त्वरण $(\alpha)$ |

(A) किसी निकाय की स्वतंत्रता की कोटि को उन स्वतंत्र निर्देशांकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो निकाय की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक होते हैं।
एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णी गति करने वाले एक दृढ़ पिंड के लिए,पिंड का अभिविन्यास पूरी तरह से एक एकल निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है,जो उस अक्ष के सापेक्ष घूर्णन कोण $\theta$ है।
चूंकि गति का वर्णन करने के लिए केवल एक स्वतंत्र चर $\theta$ की आवश्यकता होती है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $1$ है।

(B) किसी दृढ़ पिंड की घूर्णन गति के लिए रैखिक चर $\vec{r}$,$\vec{v}$ और $\vec{a}$ सभी कणों के लिए अलग-अलग होते हैं; वे समान नहीं होते हैं।
विभिन्न कणों के स्थिति सदिश $\vec{r}$ अलग-अलग होते हैं। इसलिए,रैखिक वेग $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ भी प्रत्येक कण के लिए अलग होता है।
हालाँकि कोणीय वेग $\vec{\omega}$ सभी कणों के लिए समान होता है,लेकिन रैखिक त्वरण $|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{v^2}{r})^2 + (r\alpha)^2}$ घूर्णन अक्ष से दूरी $r$ पर निर्भर करता है। चूंकि प्रत्येक कण के लिए $r$ अलग होता है,इसलिए रैखिक त्वरण सभी कणों के लिए समान नहीं होता है।

(B) घूर्णन गति कर रहे एक दृढ़ पिंड में,सभी कण समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमते हैं।
दिया गया है: $\omega = 10 \, rad/s$।
घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित कण का रैखिक वेग $v = r \omega$ द्वारा दिया जाता है।
अक्ष से $r = 10 \, cm$ की दूरी पर स्थित कण के लिए:
$v = 10 \, cm \times 10 \, rad/s = 100 \, cm/s$।

(B) रैखिक वेग $v$,कोणीय वेग $\omega$ और त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $v = r \omega$ है।
प्रथम कण के लिए: $v_1 = 10 \ cm \ s^{-1}$ और $r_1 = 2 \ cm$ है।
अतः,$\omega = \frac{v_1}{r_1} = \frac{10}{2} = 5 \ rad \ s^{-1}$।
घूर्णन गति करते हुए एक दृढ़ पिंड में,सभी कण घूर्णन अक्ष के परितः समान कोणीय वेग $\omega$ से घूमते हैं।
इसलिए,$4 \ cm$ की दूरी पर स्थित कण का कोणीय वेग भी $5 \ rad \ s^{-1}$ ही होगा।

(C) वृत्तीय गति में,कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है।
यह दिशा वृत्तीय पथ के तल के लंबवत होती है।
इस दिशा का निर्धारण दाहिने हाथ के नियम (right-hand rule) द्वारा किया जाता है,जहाँ दाहिने हाथ की उंगलियों को घूर्णन की दिशा में मोड़ने पर अंगूठा घूर्णन अक्ष की दिशा को इंगित करता है।

(B) पृथ्वी की कोणीय चाल कम होती है।
पृथ्वी के लिए कोणीय चाल:
$\omega_{e} = \frac{2 \pi}{24 \times 3600} \text{ rad/s}$.
घड़ी की घंटे वाली सुई के लिए कोणीय चाल:
$\omega_{h} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$.
दोनों की तुलना करने पर:
$\frac{\omega_{e}}{\omega_{h}} = \frac{12 \times 3600}{24 \times 3600} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\omega_{e} = \frac{1}{2} \omega_{h}$,जिसका अर्थ है कि $\omega_{e} < \omega_{h}$।

(A) दरवाजे को एक $rigid$ $body$ (दृढ़ पिंड) माना जाता है। एक दृढ़ पिंड में,बाहरी बल के प्रभाव में उसके घटक कणों के बीच की सापेक्ष दूरी स्थिर रहती है। जब हम दरवाजे को खोलने या बंद करने के लिए किसी विशिष्ट बिंदु (हैंडल) पर बल लगाते हैं,तो उत्पन्न टॉर्क पूरे पिंड को एक निश्चित अक्ष (कब्जों) के चारों ओर घुमाता है। चूंकि कण दृढ़ता से जुड़े होते हैं,इसलिए एक बिंदु पर लगाया गया बल प्रभावी रूप से पूरे पिंड में संचारित हो जाता है,जिससे प्रत्येक व्यक्तिगत कण पर बल लगाने की आवश्यकता नहीं होती है।

(N/A) घूर्णन गति कर रही वस्तु के किसी कण के लिए,घूर्णन अक्ष से $\vec{r}$ स्थिति सदिश पर स्थित कण का रैखिक वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के बराबर होता है।
यह संबंध इस प्रकार है: $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$.

(N/A) घूर्णन करते हुए पिंड का कोणीय वेग $\omega$,समय $t$ के सापेक्ष कोणीय स्थिति $\theta$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ में,$\theta-t$ आरेख का ढाल (slope) कोणीय वेग $\omega$ को दर्शाता है।
रेखा का ढाल धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $\frac{d\theta}{dt} > 0$ है।
परिपाटी के अनुसार,कोणीय स्थिति में धनात्मक परिवर्तन ($\theta$ में वृद्धि) वामावर्त (anti-clockwise) घूर्णन के अनुरूप होता है।
अतः,पिंड वामावर्त दिशा में घूम रहा है।

(A) माना $m_1 = 1\, kg$ और $m_2 = 0.5\, kg$ है। घिरनी का द्रव्यमान $M = 2\, kg$ और त्रिज्या $R = 0.1\, m$ है।
$m_1$ ब्लॉक के लिए जो $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है:
$m_1 g - T_1 = m_1 a \implies 10 - T_1 = a$ $...(I)$
$m_2$ ब्लॉक के लिए जो $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है:
$T_2 - m_2 g = m_2 a \implies T_2 - 5 = 0.5 a$ $...(II)$
घिरनी के घूर्णन के लिए:
$(T_1 - T_2) R = I \alpha = (\frac{1}{2} M R^2) (\frac{a}{R}) = \frac{1}{2} M R a$
$T_1 - T_2 = \frac{1}{2} M a = \frac{1}{2} (2) a = a$ $...(III)$
समीकरण $(I), (II),$ और $(III)$ को जोड़ने पर:
$(10 - T_1) + (T_2 - 5) + (T_1 - T_2) = a + 0.5 a + a$
$5 = 2.5 a$
$a = \frac{5}{2.5} = 2\, m/s^2$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,भार की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी निकाय की कुल गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है (पहिये की घूर्णन गतिज ऊर्जा + भार की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा)।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $mgh$
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$
चूंकि डोरी फिसलती नहीं है,इसलिए भार का रैखिक वेग $v$ और पहिये का कोणीय वेग $\omega$ आपस में $v = \omega r$ द्वारा संबंधित हैं।
ऊर्जा समीकरण में $v = \omega r$ रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m(\omega r)^2$
$mgh = \frac{1}{2} (I + mr^2) \omega^2$
$\omega^2$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{2 mgh}{I + mr^2}$

(B) दिया गया है कि फ्लाईव्हील विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
घूर्णी गति के समीकरण $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
पहली सेकंड $(t = 1 \, s)$ के लिए,तय किया गया कोण $\theta_1 = 5 \, rad$ है:
$5 = 0(1) + \frac{1}{2} \alpha (1)^2 \implies \alpha = 10 \, rad/s^2$.
अब,पहले दो सेकंड $(t = 2 \, s)$ में तय किया गया कुल कोण ज्ञात करते हैं:
$\theta_2 = 0(2) + \frac{1}{2} (10) (2)^2 = 5 \times 4 = 20 \, rad$.
अगले सेकंड में ($t = 1$ से $t = 2$ तक) तय किया गया कोण $2 \, s$ में कुल कोण और $1 \, s$ में कोण के बीच का अंतर है:
$\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = 20 - 5 = 15 \, rad$.

(D) $m = 2\,kg$ द्रव्यमान वाले गिरते हुए ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $mg - T = ma$ ...........$(1)$
$M = 4\,kg$ द्रव्यमान वाली घूमती डिस्क के लिए टॉर्क का समीकरण: $TR = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$ ...........$(2)$
चूंकि डोरी फिसलती नहीं है,ब्लॉक का रैखिक त्वरण $a$ और डिस्क का कोणीय त्वरण $\alpha$ इस प्रकार संबंधित हैं: $a = R\alpha$ या $\alpha = \frac{a}{R}$ ...........$(3)$
समीकरण $(3)$ को $(2)$ में रखने पर: $TR = \frac{1}{2}MR^2(\frac{a}{R}) \implies T = \frac{1}{2}Ma$
यहाँ $M = 4\,kg$ और $m = 2\,kg$ दिया गया है,इसलिए $T = \frac{1}{2}(4)a = 2a$
$T = 2a$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $mg - 2a = ma \implies (2)(10) - 2a = 2a$
$20 = 4a \implies a = 5\,m/s^2$
अब,तनाव $T$ की गणना करने पर: $T = 2a = 2(5) = 10\,N$.

(A) द्रव्यमान $m_1$ की स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि $m_1$ और $m_2$ की गतिज ऊर्जा और घिरनी की घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,साथ ही $m_2$ की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ,$m_1$ दूरी $h$ नीचे गिरता है,$m_2$ दूरी $h$ ऊपर उठता है,$v$ द्रव्यमानों की चाल है जब वे एक-दूसरे को पार करते हैं,और $\omega = \frac{v}{R}$ घिरनी की कोणीय चाल है।
समीकरण में $\omega = \frac{v}{R}$ रखने पर:
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} v^2 \left(m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}\right)$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$
अतः,चाल $v$,$\sqrt{\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$ के समानुपाती है।

(D) प्रारंभिक कोणीय गति,$\omega_0 = 0 \, rad/s$.
अंतिम कोणीय गति,$\omega = 100 \, rev/s = 100 \times 2\pi \, rad/s = 200\pi \, rad/s$.
समय,$t = 4 \, s$.
घूर्णन गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करते हुए:
$200\pi = 0 + \alpha(4) \Rightarrow \alpha = 50\pi \, rad/s^2$.
अब,घुमाया गया कोण $\theta$,$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ द्वारा दिया जाता है:
$\theta = 0(4) + \frac{1}{2} (50\pi) (4)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times 50\pi \times 16 = 400\pi \, rad$.
अतः,घुमाया गया कोण $400\pi$ रेडियन है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि,निकाय (ब्लॉक + डिस्क) की गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा में हानि = $m g h$
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} m v^2$
डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m r^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4} m v^2$
ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $m g h = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2$
$m g h = \frac{3}{4} m v^2$
$v^2 = \frac{4 g h}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4 g h}{3}} = 2 \sqrt{\frac{g h}{3}}$

(D) दिया गया कोणीय वेग $\omega = \frac{k}{\theta}$ है।
चूँकि $\omega = \frac{d\theta}{dt}$,इसलिए $\frac{d\theta}{dt} = \frac{k}{\theta}$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\theta d\theta = k dt$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर $\theta = 0$ की प्रारंभिक स्थिति के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{\theta} \theta d\theta = \int_{0}^{t} k dt$।
इससे $\frac{\theta^2}{2} = kt$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के लिए हल करने पर,$\theta^2 = 2kt$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \sqrt{2kt}$।

(A) मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो खूंटी $P$ तक की त्रिज्या क्षैतिज के साथ बनाती है। काज $O$ से खूंटी की क्षैतिज दूरी $x = 2r \sin \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो व्यास ऊर्ध्वाधर के साथ बनाता है।
यह दिया गया है कि खूंटी $v_0$ की अचर चाल से क्षैतिज रूप से चलती है,इसलिए $v_0 = \frac{dx}{dt}$।
समय $t$ के सापेक्ष $x = 2r \sin \theta$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 2r \cos \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$
चूंकि $\omega = \frac{d\theta}{dt}$,इसलिए:
$v_0 = 2r \cos \theta \cdot \omega$
$\omega = \frac{v_0}{2r \cos \theta}$
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\cos 60^{\circ} = 0.5$।
मान रखने पर:
$\omega = \frac{v_0}{2r \cdot 0.5} = \frac{v_0}{r}$।

(B) कण की स्थितिज ऊर्जा $V(r) = \frac{kr^2}{2}$ द्वारा दी गई है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(\frac{kr^2}{2}) = -kr$ है।
बल का परिमाण $F = kr$ है। यह बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
बल को अभिकेंद्र बल के बराबर करने पर: $kr = \frac{mv^2}{r}$।
$r = R$ पर,हमें $kR = \frac{mv^2}{R}$ प्राप्त होता है,जिससे $v^2 = \frac{kR^2}{m}$ मिलता है,अतः $v = \sqrt{\frac{k}{m}} R$। इस प्रकार,कथन $(B)$ सत्य है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \sqrt{\frac{k}{m}} R$ और $r = R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = m \left( \sqrt{\frac{k}{m}} R \right) R = \sqrt{mk} R^2$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,कथन $(C)$ सत्य है।
अतः,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।

(A) माना प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है और अंतिम कोणीय वेग $\omega$ है। घूर्णी गति का समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ है।
पहले भाग के लिए,$24$ चक्कर के बाद वेग $\frac{\omega_0}{3}$ हो जाता है।
$(\frac{\omega_0}{3})^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(24 \times 2\pi) \implies \frac{\omega_0^2}{9} - \omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies -\frac{8}{9}\omega_0^2 = 48\pi\alpha \implies \alpha = -\frac{\omega_0^2}{54\pi}$.
अब,$\frac{\omega_0}{3}$ से $0$ (विराम) तक की गति के लिए,माना अतिरिक्त चक्कर $\theta_2$ हैं।
$0^2 = (\frac{\omega_0}{3})^2 + 2\alpha(\theta_2 \times 2\pi) \implies 0 = \frac{\omega_0^2}{9} + 2(-\frac{\omega_0^2}{54\pi})(2\pi\theta_2)$.
$0 = \frac{\omega_0^2}{9} - \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \frac{\omega_0^2}{9} = \frac{\omega_0^2}{13.5}\theta_2 \implies \theta_2 = \frac{13.5}{9} = 3$.
अतः,पंखा $3$ और चक्कर लगाएगा।

(A) रैखिक वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 5 & -6 & 6 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{v} = \hat{i} [(-4)(6) - (1)(-6)] - \hat{j} [(3)(6) - (1)(5)] + \hat{k} [(3)(-6) - (-4)(5)]$
$\vec{v} = \hat{i} [-24 + 6] - \hat{j} [18 - 5] + \hat{k} [-18 + 20]$
$\vec{v} = -18 \hat{i} - 13 \hat{j} + 2 \hat{k}$

(A) मान लीजिए डिस्क की कोणीय गति $\omega$ है और बॉब का रैखिक वेग $v$ है। चूंकि कोई फिसलन नहीं है,$v = R\omega$ होगा।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: बॉब की स्थितिज ऊर्जा में कमी = बॉब की गतिज ऊर्जा में वृद्धि + डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है।
समीकरण में $I$ और $v = R\omega$ का मान रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}m(R\omega)^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)\omega^2$
$mgh = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{4}mR^2\omega^2$
$mgh = \frac{3}{4}mR^2\omega^2$
$gh = \frac{3}{4}R^2\omega^2$
$\omega^2 = \frac{4gh}{3R^2}$
$\omega = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{gh}{3}}$.

(C) विराम अवस्था $(\omega_0 = 0)$ से शुरू होने वाली घूर्णी गति के लिए गतिकी समीकरण $\theta(t) = \frac{1}{2} \alpha t^2$ है।
$n^{\text{th}}$ सेकंड में तय किया गया कोण $\theta_n = \theta(n) - \theta(n-1) = \frac{1}{2} \alpha [n^2 - (n-1)^2] = \frac{1}{2} \alpha (2n - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
$2^{\text{nd}}$ सेकंड के लिए $(n=2)$:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha (2(2) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (3) = 1.5 \alpha$.
$3^{\text{rd}}$ सेकंड के लिए $(n=3)$:
$\theta^{\prime} = \frac{1}{2} \alpha (2(3) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (5) = 2.5 \alpha$.
अतः अनुपात $\frac{\theta}{\theta^{\prime}} = \frac{1.5 \alpha}{2.5 \alpha} = \frac{1.5}{2.5} = \frac{3}{5}$ है।

(A) दिया गया संबंध $v = r \omega$ है।
घूर्णन करते हुए एक दृढ़ पिंड में,सभी कण घूर्णन अक्ष के परितः समान कोणीय वेग $\omega$ से घूमते हैं।
यद्यपि किसी कण का रैखिक वेग $v$ अक्ष से उसकी दूरी $r$ पर निर्भर करता है ($v = r \omega$ के अनुसार),कोणीय वेग $\omega$ पूरे दृढ़ पिंड के घूर्णन का एक गुण है।
इसलिए,पिंड के सभी कणों के लिए $\omega$ स्थिर रहता है,चाहे अक्ष से उनकी दूरी $r$ कुछ भी हो।
अतः,$\omega$,$r$ पर निर्भर नहीं करता है।

(A) पहिये का प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_{0} = 0 \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग,$\omega = 10 \ rad/s$.
लिया गया समय,$t = 5 \ s$.
घूर्णी गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर:
$\omega = \omega_{0} + \alpha t$
$10 = 0 + \alpha \times 5$
$\alpha = \frac{10}{5} = 2 \ rad/s^{2}$.
अब,कुल कोणीय विस्थापन $\theta$ ज्ञात करने के लिए घूर्णी गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$\theta = \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
$\theta = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^{2}$
$\theta = 0 + 25 = 25 \ rad$.

(D) दरवाजे को खोलने या बंद करने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ स्थिर रहता है और यह बल $F$ तथा कब्जे से दूरी $d$ के गुणनफल के बराबर होता है: $\tau = F \times d$
यहाँ, मुक्त सिरे पर $(d = 1.6 \,m)$ $1 \,N$ बल लगाने पर टॉर्क $\tau = 1 \,N \times 1.6 \,m = 1.6 \,N-m$ प्राप्त होता है।
अब, कब्जे से $d' = 0.4 \,m$ की दूरी पर आवश्यक बल $F'$ ज्ञात करने के लिए: $F' = \frac{\tau}{d'} = \frac{1.6 \,N-m}{0.4 \,m} = 4 \,N$.

(D) कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा निर्धारित करने के लिए,हम दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हैं।
इस नियम के अनुसार,यदि हम अपने दाएं हाथ की उंगलियों को पंखे के घूमने की दिशा में मोड़ते हैं,तो अंगूठा कोणीय वेग सदिश की दिशा को इंगित करता है।
दिए गए चित्र में,ऊपर से देखने पर पंखा घड़ी की दिशा (क्लॉकवाइज) में घूम रहा है।
चूंकि धुरी $Z$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए घूर्णन $XY$-समतल में हो रहा है।
दाएं हाथ के नियम को लागू करने पर,अंगूठा नीचे की ओर इशारा करता है,जो ऋणात्मक $Z$-दिशा में है।
इसलिए,कोणीय वेग की दिशा $-\hat{k}$ के अनुदिश है।

(D) माना कि छड़ एक तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र के परितः घूम रही है। सिरे $A$ का वेग न्यूनतम होने के लिए,छड़ के लंबवत $A$ का वेग घटक शून्य होना चाहिए।
$B$ का छड़ के लंबवत वेग घटक $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ} = 3 \times 0.5 = 1.5 \ m/s$ है।
सूत्र $v_{B\perp} = v_{A\perp} + \omega L$ का उपयोग करते हुए,और $v_{A\perp} = 0$ रखने पर:
$1.5 = 0 + \omega \times 0.5$
$\omega = \frac{1.5}{0.5} = 3 \ rad/s$.
दिए गए विकल्पों में $3 \ rad/s$ उपलब्ध नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है,कोणीय मंदन $\propto \sqrt{\omega}$।
अतः,$-\frac{d\omega}{dt} = k\sqrt{\omega}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
पुनर्व्यवस्थित और समाकलन करने पर: $-\int_{\omega_0}^{\omega} \omega^{-1/2} d\omega = \int_{0}^{t} k dt$।
$-[2\sqrt{\omega}]_{\omega_0}^{\omega} = kt \Rightarrow 2(\sqrt{\omega_0} - \sqrt{\omega}) = kt$।
$\sqrt{\omega} = \sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2}$।
जब $\omega = 0$ हो,तो कुल समय $\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$।
औसत कोणीय गति $\langle \omega \rangle = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \omega dt$।
चूंकि $\sqrt{\omega} = \sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2}$,इसलिए $\omega = (\sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2})^2 = \omega_0 + \frac{k^2t^2}{4} - kt\sqrt{\omega_0}$।
$\omega$ का $0$ से $\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{\tau} (\omega_0 + \frac{k^2t^2}{4} - kt\sqrt{\omega_0}) dt = [\omega_0 t + \frac{k^2t^3}{12} - \frac{kt^2}{2}\sqrt{\omega_0}]_{0}^{\tau}$।
$\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$ रखने पर:
$= \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{k} + \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{3k} - \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{k} = \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{3k}$।
अंततः,$\langle \omega \rangle = \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}/3k}{2\sqrt{\omega_0}/k} = \frac{\omega_0}{3}$।

(B) माना डोरी में तनाव $T$ है,पिंड का त्वरण $a$ है और बेलन का कोणीय त्वरण $\alpha$ है।
भार $mg$ नीचे की दिशा में कार्य करता है।
नीचे गिरते हुए $m$ द्रव्यमान के पिंड के लिए गति का समीकरण है:
$mg - T = ma \quad \dots(1)$
खोखले बेलन के घूर्णन के लिए,बल आघूर्ण $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = TR = I\alpha$
चूंकि खोखले बेलन का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ है और रेखीय त्वरण तथा कोणीय त्वरण के बीच संबंध $a = R\alpha$ (या $\alpha = a/R$) है:
$TR = (mR^2)(a/R)$
$T = ma \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$mg - ma = ma$
$mg = 2ma$
$a = g/2$

(D) माना रस्सी में तनाव $T$ है और ब्लॉक का त्वरण $a$ है।
ब्लॉक के लिए: $mg - T = ma \Rightarrow 2g - T = 2a \Rightarrow T = 2(g - a) = 2(10 - a) = 20 - 2a$.
घिरनी के लिए: टॉर्क $\tau = T \cdot R = I \alpha$.
चूंकि $I = \frac{1}{2}MR^2$ और $a = R\alpha$,हमारे पास $T \cdot R = (\frac{1}{2}MR^2) \cdot (\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}Ma$ है।
दिया गया है $M = 2 \ kg$,इसलिए $T = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a = a$.
$T$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $20 - 2a = a \Rightarrow 3a = 20 \Rightarrow a = \frac{20}{3} \ m/s^2$.

(A) मान लीजिए $M = 3 \ kg$ फ्लाईव्हील का द्रव्यमान है,$R = 5 \ m$ इसकी त्रिज्या है,और $m = 3 \ kg$ लटकता हुआ द्रव्यमान है। फ्लाईव्हील का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^{2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,लटकते हुए द्रव्यमान द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,प्रणाली (फ्लाईव्हील + द्रव्यमान) द्वारा प्राप्त कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}I\omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
चूंकि $v = \omega R$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$। $I$ और $\omega$ का मान रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} + \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}$
दिया गया है $m = 3 \ kg, M = 3 \ kg, h = 3 \ m, g = 10 \ m/s^{2}$:
$3 \times 10 \times 3 = \frac{1}{4}(3)v^{2} + \frac{1}{2}(3)v^{2} = \frac{3}{4}v^{2} + \frac{2}{4}(3)v^{2} = \frac{9}{4}v^{2}$
$90 = \frac{9}{4}v^{2} \implies v^{2} = 40 \ m^{2}/s^{2}$.
फ्लाईव्हील की गतिज ऊर्जा $K.E._{flywheel} = \frac{1}{2}I\omega^{2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{4}Mv^{2}$.
$K.E._{flywheel} = \frac{1}{4} \times 3 \times 40 = 30 \ J$.

(A) दिया गया है: $m_1 = 0.4 \ kg$,$m_2 = 0.35 \ kg$,$R = 0.02 \ m$,$s = 0.81 \ m$,$t = 9 \ s$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$:
$0.81 = 0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (9)^2$
$0.81 = \frac{81}{2} \cdot a \implies a = 0.02 \ m/s^2$.
द्रव्यमानों के लिए गति के समीकरण:
$m_1g - T_1 = m_1a$
$T_2 - m_2g = m_2a$
घिरनी के लिए टॉर्क का समीकरण:
$(T_1 - T_2)R = I \alpha = I \cdot \frac{a}{R} \implies T_1 - T_2 = \frac{Ia}{R^2}$.
द्रव्यमानों के समीकरणों को जोड़ने पर:
$(m_1 - m_2)g - (T_1 - T_2) = (m_1 + m_2)a$
$(m_1 - m_2)g - \frac{Ia}{R^2} = (m_1 + m_2)a$
$I = \frac{R^2}{a} [(m_1 - m_2)g - (m_1 + m_2)a]$
$I = \frac{(0.02)^2}{0.02} [(0.4 - 0.35)(9.8) - (0.4 + 0.35)(0.02)]$
$I = 0.02 [0.05 \times 9.8 - 0.75 \times 0.02]$
$I = 0.02 [0.49 - 0.015] = 0.02 \times 0.475 = 0.0095 \ kg \cdot m^2 = 9.5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$.

(C) मान लीजिए रिम की त्रिज्या $r$ है। घिरनी का जड़त्व आघूर्ण $I$ रिम और दो छड़ों से बना है।
$I = I_{\text{rim}} + 2 \times I_{\text{rod}}$
$I = Mr^2 + 2 \times \left( \frac{M(2r)^2}{12} \right) = Mr^2 + 2 \times \left( \frac{4Mr^2}{12} \right) = Mr^2 + \frac{2}{3}Mr^2 = \frac{5}{3}Mr^2$.
मान लीजिए ब्लॉकों का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T_1, T_2$ है।
गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$Mg - T_2 = Ma$ ... $(1)$
$T_1 - mg = ma$ ... $(2)$
$(T_2 - T_1)r = I \alpha = I \left( \frac{a}{r} \right) \implies T_2 - T_1 = \frac{I}{r^2} a = \frac{5}{3}Ma$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$,और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(M - m)g = (M + m + \frac{5}{3}M)a$
$(M - m)g = (\frac{8}{3}M + m)a$
$a = \frac{(M - m)g}{\frac{8}{3}M + m}$.

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$2m$ द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी निकाय की गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर है।
$2m$ द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में कमी = $(2m)gh$.
$m$ द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि = $mgh$.
स्थितिज ऊर्जा में कुल कमी = $(2m)gh - mgh = mgh$.
यह ऊर्जा दोनों द्रव्यमानों की गतिज ऊर्जा और घिरनी की घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल गतिज ऊर्जा = $K_{m} + K_{2m} + K_{pulley} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(2m)v^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $I = \frac{1}{2}Mr^2 = \frac{1}{2}(30m)r^2 = 15mr^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$,इसलिए $K_{pulley} = \frac{1}{2}(15mr^2)(\frac{v^2}{r^2}) = 7.5mv^2$.
ऊर्जा को बराबर करने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mv^2 + 7.5mv^2 = 9mv^2$.
$v^2 = \frac{gh}{9} = \frac{10 \times 3.6}{9} = 4$.
$v = 2 \ m/s$.

(B) एक डोरी को काटने के तुरंत बाद,छड़ शेष डोरी के निलंबन बिंदु के परितः घूमने लगती है। इस बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\tau$,द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले भार $mg$ के कारण है,जो धुरी बिंदु से $l/2$ की दूरी पर है।
$\tau = mg \cdot \frac{l}{2}$
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I = \frac{ml^2}{3}$ छड़ का एक सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \alpha$
$\alpha = \frac{3g}{2l}$
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a_c = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \cdot \frac{3g}{2l} = \frac{3g}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरण गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg - T = m a_c$
$T = mg - m \left(\frac{3g}{4}\right)$
$T = mg - \frac{3mg}{4} = \frac{mg}{4}$