SHM of Simple Pendulum Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ બે લોલકના આવર્તકાળ છે,અને $\ell_1$ અને $\ell_2$ તેમની લંબાઈ છે.
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સમાન સમય $t$ માં,પ્રથમ લોલક $n_1 = 11$ દોલન કરે છે અને બીજું $n_2 = 9$ દોલન કરે છે.
આમ,$t = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$11 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell_1}{g}} = 9 \times 2\pi \sqrt{\frac{\ell_2}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $121 \times \frac{\ell_1}{g} = 81 \times \frac{\ell_2}{g}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{81}{121}$.

(C) સમક્ષિતિજ સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = l \sin \theta$ છે.
ગોળા (bob) પર લાગતા બળો:
$(i)$ $T$,દોરીમાં તણાવ બળ.
$(ii)$ $Mg$,ગોળાનું વજન બળ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
તણાવ બળ $T$ ના શિરોલંબ અને સમક્ષિતિજ ઘટકો લેતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta = Mg$ --- $(1)$
સમક્ષિતિજ ઘટક (કેન્દ્રગામી બળ): $T \sin \theta = Mr \omega^2 = M(l \sin \theta) \omega^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{M(l \sin \theta) \omega^2}{Mg}$
$\tan \theta = \frac{l \sin \theta \cdot \omega^2}{g}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{l \sin \theta \cdot \omega^2}{g}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{l \omega^2}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{l \cos \theta}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{l \cos \theta}}$
આવર્તકાળ $t = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$t = 2 \pi \sqrt{\frac{l \cos \theta}{g}}$

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \sqrt{L}$.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ છે અને પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = L + 0.44L = 1.44L$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ એ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{1.44L}{L}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
આમ,$T_2 = 1.2T$.
આવર્તકાળમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 1.2T - T = 0.2T$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta T}{T_1} \times 100 = \frac{0.2T}{T} \times 100 = 20\%$ છે.

(B) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ સંબંધ $f_{A}=2 f_{B}$ છે.
આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{A}}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{B}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{g}{l_{A}} = 4 \times \frac{g}{l_{B}}$
$\frac{1}{l_{A}} = \frac{4}{l_{B}}$
તેથી,$l_{A} = \frac{l_{B}}{4}$.
સાદા લોલકની આવૃત્તિ માત્ર લંબાઈ $l$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,તે બોબના દળ $M$ પર આધાર રાખતું નથી.

(A) ધારો કે $O$ એ આધાર બિંદુ છે અને $B$ એ સંતુલન સ્થાન છે. ગોળાને શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે બિંદુ $C$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
$\triangle OAC$ માં,શિરોલંબ અંતર $OA = l \cos \theta$ થાય.
ગોળો $C$ થી $B$ સુધી નીચે આવે ત્યારે કાપેલું શિરોલંબ અંતર $h = OB - OA = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ સંતુલન સ્થાન $B$ પર મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
$h = l(1 - \cos \theta)$ કિંમત મૂકતા:
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(A) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે ટ્રેન $a = 10 \ m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ થાય છે.
જ્યારે ટ્રેન $a = 10 \ m/s^2$ ના પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g'_{eff} = \sqrt{g^2 + (-a)^2} = \sqrt{g^2 + a^2}$ થાય છે.
બંને કિસ્સામાં અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ નું મૂલ્ય સમાન રહેતું હોવાથી,આવર્તકાળ $T$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,આવર્તકાળ $2 \ s$ જ રહેશે.

(C) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ અચળ વેગ (સીધી રેખામાં અચળ ઝડપ) સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
આ કિસ્સામાં,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g$ થાય છે,જે લિફ્ટ સ્થિર હોય ત્યારે હોય તેટલો જ રહે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T$ બદલાતો નથી અને ઘડિયાળ સાચો સમય દર્શાવે છે.
જો લિફ્ટ પ્રવેગિત થાય,તો $g_{eff}$ બદલાય છે $(g_{eff} = g \pm a)$,જેના કારણે ઘડિયાળ સમયમાં આગળ કે પાછળ થઈ જાય છે.

(C) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_{up} = V \sigma g$ લાગે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
ગોળાનું અસરકારક વજન $mg' = mg - F_{up} = V \rho_0 g - V \sigma g$ થાય છે,જ્યાં $\rho_0$ એ ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા છે.
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho_0}\right)$ મળે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\rho = \frac{\sigma}{\rho_0}$ હોવાથી,$g' = g(1 - \rho)$ થાય.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(1 - \rho)}}$ થશે.
મૂળ આવર્તકાળ $T$ સાથે સરખાવતા,આપણને $T' = \frac{T}{\sqrt{1 - \rho}}$ મળે છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,$x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $V = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = m \omega^2$ છે.
$x$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $T = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર $\frac{V}{T}$ લેતા:
$\frac{V}{T} = \frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)}$
$\frac{V}{T} = \frac{x^2}{A^2 - x^2}$

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં ગોળાનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન (સમય $T$) માં,ગોળો મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન $A$ સુધી,ત્યાંથી પાછા મધ્યમાન સ્થાન પર,ત્યારબાદ બીજા અંતિમ સ્થાન $-A$ સુધી અને ફરીથી મધ્યમાન સ્થાન પર પાછો ફરે છે.
એક આવર્તકાળ $T$ માં કાપેલું કુલ અંતર $A + A + A + A = 4A$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T}$.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = (g - a)$ થાય છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g_{eff}}}$ હોવાથી,જેમ $g_{eff}$ ઘટે છે,તેમ આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જ્યારે લિફ્ટ નીચેની તરફ પ્રવેગિત ગતિ કરતી હોય,ત્યારે $g_{eff}$ ન્યૂનતમ થાય છે (ધારી લઈએ કે $a < g$),જેના પરિણામે આવર્તકાળ સૌથી વધુ મળે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L$ એ લોલકની અસરકારક લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે,આવર્તકાળ $T$ એ બોબના દળ પર આધારિત નથી.
લોલકની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ બદલાતા ન હોવાથી,દળમાં ફેરફાર કરવા છતાં આવર્તકાળ સમાન રહેશે.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $2\, s$ રહેશે.

(B) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l_{eff}}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બાળક બેઠેલું હોય છે,ત્યારે તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આધાર બિંદુથી અમુક અંતરે હોય છે.
જ્યારે બાળક ઊભું થાય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપરની તરફ ખસે છે,જે અસરકારક રીતે લોલકની લંબાઈ $(l_{eff})$ ઘટાડે છે.
આમ,$T \propto \sqrt{l_{eff}}$ હોવાથી,$l_{eff}$ માં ઘટાડો થવાને કારણે આવર્તકાળ $T$ માં ઘટાડો થાય છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L_{eff}$ એ નિલંબન બિંદુ અને ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,પાણીથી ભરેલા ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
જેમ જેમ પાણી તળિયેથી બહાર નીકળવાનું શરૂ કરે છે,તેમ બાકી રહેલા પાણીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેની તરફ ખસે છે. આ લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L_{eff}$ માં વધારો કરે છે.
કારણ કે $T \propto \sqrt{L_{eff}}$,તેથી જેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે જાય છે તેમ આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જ્યારે પાણી સંપૂર્ણપણે ખાલી થઈ જાય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ગોળાના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર પાછું આવે છે,તેથી અસરકારક લંબાઈ તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછી આવે છે અને આવર્તકાળ ઘટીને તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછો આવે છે.
તેથી,આવર્તકાળ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટીને મૂળ મૂલ્ય પર પાછો આવે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની અંદર,પદાર્થ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = 0$ છે.
સૂત્રમાં $g_{eff} = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ મળે છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે આવર્તકાળ $\sqrt{g}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,જે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ સૂત્ર મુજબ ગાણિતિક રીતે સાચું છે.
અનંત આવર્તકાળ એ સૂત્રમાં $g_{eff} = 0$ હોવાનું સીધું પરિણામ હોવાથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) $h$ ઊંચાઈ પરથી પડતા પદાર્થ માટે પડવાનો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$t \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{t}{T} = \frac{k_1 / \sqrt{g}}{k_2 / \sqrt{g}} = \text{અચળ}$ મળે છે.
જેহেতু $\frac{t}{T}$ નો ગુણોત્તર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $g$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી સંબંધ કોઈપણ ગ્રહ પર સમાન રહે છે.
આપેલ છે કે પૃથ્વી પર $t = 2T$ છે,તેથી બીજા ગ્રહ પર $t' = 2T'$ થશે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
લંબાઈ $L$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$L = \frac{g T^{2}}{4 \pi^{2}}$
સેકન્ડ લોલક એવું લોલક છે જેનો આવર્તકાળ $T = 2 \, s$ હોય છે.
અહીં $g = 9.8 \, m/s^{2}$ અને $T = 2 \, s$ લેતા:
$L = \frac{9.8 \times (2)^{2}}{4 \times (3.14)^{2}}$
કારણ કે $\pi^{2} \approx 9.8$ છે,તેથી:
$L = \frac{9.8 \times 4}{4 \times 9.8} = 1 \, m$
આમ,સેકન્ડ લોલકની લંબાઈ $1 \, m$ છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વી માટે: $T_e = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_e}} = 3.5 \; s$,જ્યાં $g_e = 9.8 \; m s^{-2}$ છે.
ચંદ્ર માટે: $T_m = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_m}}$,જ્યાં $g_m = 1.7 \; m s^{-2}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m}}$.
$T_m = T_e \times \sqrt{\frac{g_e}{g_m}} = 3.5 \times \sqrt{\frac{9.8}{1.7}}$.
$T_m = 3.5 \times \sqrt{5.7647} \approx 3.5 \times 2.4 = 8.4 \; s$.
આમ,ચંદ્ર પર લોલકનો આવર્તકાળ $8.4 \; s$ છે.

(N/A) સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta$ છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $F \approx -mg \theta = -mg (x/l) = -(mg/l)x$. આને $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = mg/l$ મળે છે. આને $T = 2 \pi \sqrt{m/k}$ માં મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{m / (mg/l)} = 2 \pi \sqrt{l/g}$ મળે છે. આમ,$T$ એ દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે.
$(b)$ મોટા ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta < \theta$ થાય છે. પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta$ એ રેખીય અંદાજ $F = -mg \theta$ કરતા નાનું હોય છે. નાનું પુનઃસ્થાપક બળ ધીમી ગતિ અને લાંબો આવર્તકાળ $T$ તરફ દોરી જાય છે.
$(c)$ હા. કાંડા ઘડિયાળ સ્પ્રિંગ-સંચાલિત યાંત્રિક દોલનો અથવા ક્વાર્ટઝ ક્રિસ્ટલના કંપનોના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,તે મુક્ત પતન દરમિયાન સાચો સમય આપે છે.
$(d)$ મુક્ત પતન કરતી કેબિનમાં,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g - a = g - g = 0$ થાય છે. આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{l/g_{eff}} = \infty$ થાય છે. તેથી,દોલન આવૃત્તિ $f = 1/T = 0$ છે.

(N/A) સાદા લોલકના ગોળા પર બે પ્રવેગ લાગે છે: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = v^2/R)$ જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
પરિણામી પ્રવેગ $(a_{\text{eff}})$ એ આ બે લંબ પ્રવેગોનો સદિશ સરવાળો છે:
$a_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + (v^2/R)^2}$
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $(T)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{a_{\text{eff}}}}$
$a_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + (v^2/R)^2}}}$

(N/A) કોર્કનું પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= A$
કોર્કની ઊંચાઈ $= h$
પ્રવાહીની ઘનતા $= \rho_{l}$
કોર્કની ઘનતા $= \rho$
સંતુલન સ્થિતિમાં, કોર્કનું વજન એ તરતા કોર્ક દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે。
ધારો કે કોર્કને $x$ જેટલા અંતરે થોડું નીચે દબાવવામાં આવે છે. પરિણામે, વધારાનું પ્રવાહી વિસ્થાપિત થાય છે, જે વધારાનું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ (up-thrust) ઉત્પન્ન કરે છે જે પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે。
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -(\text{વિસ્થાપિત વધારાના પ્રવાહીનું વજન})$
$F = -(A \cdot x \cdot \rho_{l} \cdot g)$
સરળ આવર્ત ગતિના બળના નિયમ મુજબ, $F = -kx$, જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે。
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, $k = A \rho_{l} g$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ કોર્કનું દળ છે。
કોર્કનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \cdot h) \cdot \rho$.
$m$ અને $k$ ની કિંમતો આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{A h \rho}{A \rho_{l} g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{h \rho}{\rho_{l} g}}$.

(N/A) સાદું લોલક: એક નાનું ભારે પદાર્થ (ગોળો) જે હલકી,અદબનીય અને લવચીક દોરી વડે સ્થિર (દ્રઢ) આધાર પરથી લટકાવેલું હોય તેવી રચનાને સાદું લોલક કહે છે.
સાદા લોલકનું સમગ્ર દળ લટકાવેલા ગોળાના ગુરુત્વકેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે.
આધાર બિંદુથી ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીના અંતરને લોલકની લંબાઈ $(L)$ કહે છે.
આવર્તકાળ $(T)$ માટેના સૂત્રની તારવણી:
ધારો કે $m$ દળનો એક નાનો ગોળો $L$ લંબાઈની અદબનીય,દળરહિત દોરી સાથે બાંધેલો છે.
દોરીનો બીજો છેડો એક આધાર સાથે જોડાયેલ છે. ધારો કે દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
ગોળા પર બે બળો લાગે છે:
$(1)$ દોરીમાં તણાવબળ $T$.
$(2)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
બળ $mg$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$(1)$ ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક: $mg \cos \theta$ (દોરીની દિશામાં).
$(2)$ સ્પર્શકીય ઘટક: $mg \sin \theta$ (દોરીને લંબ).
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta$ છે. નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં).
તેથી,$F = -mg \theta = -mg (x/L)$,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
$F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = mg/L$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k} = 2\pi \sqrt{m / (mg/L)} = 2\pi \sqrt{L/g}$ થાય છે.

(N/A) સાદું લોલક એટલે એક આદર્શ તંત્ર,જેમાં એક ભારે બિંદુવત દળ (જેને ગોળો કહેવાય છે) એક દ્રઢ આધાર પરથી દળરહિત,અસ્થિતિસ્થાપક અને સંપૂર્ણ લવચીક દોરી વડે લટકાવેલું હોય છે.
જ્યારે ગોળાને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે આવર્ત ગતિ કરે છે.
લોલકની લંબાઈ,જેને $L$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે આધાર બિંદુથી ગોળાના ગુરુત્વકેન્દ્ર સુધીના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(N/A) સાદા લોલકમાં $m$ દળનો ગોળો $l$ લંબાઈની હલકી દોરી વડે લટકાવેલો હોય છે. જ્યારે લોલકને મધ્યમાન સ્થાનથી નાના ખૂણે $\theta$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ ગુરુત્વાકર્ષણના સ્પર્શકીય ઘટક દ્વારા મળે છે.
$1$. પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં),જ્યાં $\theta = \frac{x}{l}$ ($x$ એ રેખીય સ્થાનાંતર છે).
$3$. આ કિંમત મૂકતા,આપણને $F = -mg \left( \frac{x}{l} \right) = -\left( \frac{mg}{l} \right) x$ મળે છે.
$4$. અહીં $m, g,$ અને $l$ અચળ હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto -x$.
$5$. આ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની વ્યાખ્યાયિત શરત છે. આમ,આ ગતિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ કોણીય આવૃત્તિ સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(N/A) સાદા લોલકના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. સમકાલીનતાનો નિયમ: નાના કંપવિસ્તાર માટે,સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $(T)$ તેના કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર હોય છે.
$2$. લંબાઈનો નિયમ: આવર્તકાળ $(T)$ તેની અસરકારક લંબાઈ $(l)$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T \propto \sqrt{l}$.
$3$. ગુરુત્વપ્રવેગનો નિયમ: આવર્તકાળ $(T)$ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T \propto 1/\sqrt{g}$.
$4$. દ્રવ્યમાનનો નિયમ: જો લંબાઈ અચળ રહેતી હોય,તો આવર્તકાળ $(T)$ એ લોલકના ગોળાના દ્રવ્યમાન,આકાર અને પદાર્થથી સ્વતંત્ર હોય છે.

(B) સરળ લોલકમાં,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
મધ્યમાન સ્થાને,સ્થિતિ ઉર્જા લઘુત્તમ ($0$ ગણવામાં આવે છે) હોય છે અને ગતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,જ્યારે ગતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય ત્યારે ઝડપ $v$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,લોલકની ઝડપ મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ હોય છે.

(B) ના,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર સાદા લોલકનું દોલન શક્ય નથી.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે.
સૂત્રમાં $g = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{0}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T = \infty$ (અનંત).
આવર્તકાળ અનંત હોવાથી,લોલક કોઈ પણ દોલન પૂર્ણ કરતું નથી.

(N/A) હિંચકા માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્રમાં,$l$ એ હિંચકાની અસરકારક લંબાઈ (આધાર બિંદુથી સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર) દર્શાવે છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આવર્તકાળના સૂત્રમાં દળનો કોઈ પદ ન હોવાથી,આવર્તકાળ હિંચકા પર બેઠેલી વ્યક્તિના દળ પર આધારિત નથી.
તેથી,જો અસરકારક લંબાઈ $l$ અચળ રહે,તો બીજી વ્યક્તિને બેસાડવાથી આવર્તકાળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે。
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આવર્તકાળ $T$ માત્ર લોલકની લંબાઈ અને તે સ્થળના ગુરુત્વપ્રવેગ પર આધાર રાખે છે。
આવર્તકાળ એ લોલકના ગોળાના દળથી સ્વતંત્ર છે。
તેથી, જો ગોળાનું દળ $9$ ગણું વધારવામાં આવે, તો પણ લોલકનો આવર્તકાળ બદલાશે નહીં。

(A) સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T_{1} = 2 \ s$ છે.
સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
અહીં $2\pi$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$T \propto \sqrt{l}$ સંબંધ મળે છે.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $l_{2} = \frac{l_{1}}{3}$ છે,તેથી ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \sqrt{\frac{l_{2}}{l_{1}}} = \sqrt{\frac{l_{1}/3}{l_{1}}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $T_{2} = \frac{T_{1}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ s$ થશે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઘડિયાળ ઝડપથી ચાલતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેનો આવર્તકાળ $T$ જરૂરિયાત કરતા ઓછો છે,જેના કારણે તે આપેલા સમયમાં વધુ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
ઘડિયાળને સાચા સમય પર સેટ કરવા માટે,આપણે આવર્તકાળ $T$ વધારવાની જરૂર છે.
કારણ કે $T \propto \sqrt{L}$,લોલકની લંબાઈ $L$ વધારવાથી આવર્તકાળ $T$ વધશે,જેનાથી ઘડિયાળ ધીમી પડીને સાચા સમય પર આવશે.

(B) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની અસરકારક લંબાઈ છે (આધાર બિંદુથી સિસ્ટમના ગુરુત્વકેન્દ્ર સુધીનું અંતર).
જ્યારે છોકરી બેઠી હોય છે,ત્યારે ગુરુત્વકેન્દ્ર આધાર બિંદુથી અમુક અંતરે હોય છે.
જ્યારે તે ઊભી થાય છે,ત્યારે સિસ્ટમનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ઉપરની તરફ ખસે છે,જે આધાર બિંદુની નજીક આવે છે.
આના પરિણામે લોલકની અસરકારક લંબાઈ $l$ માં ઘટાડો થાય છે.
$T \propto \sqrt{l}$ હોવાથી,$l$ માં ઘટાડો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં ઘટાડો થાય છે.

(C) જ્યારે સમાન લંબાઈના બે લોલક મધ્યમાન સ્થાને એકબીજાને ઓળંગે છે,ત્યારે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય છે.
જો એક લોલક મધ્યમાન સ્થાને જમણી તરફ ગતિ કરતું હોય,તો તેનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેની કળા $\phi_1 = 0$ અથવા $\pi$ છે.
જો બીજું લોલક તે જ મધ્યમાન સ્થાને ડાબી તરફ ગતિ કરતું હોય,તો તેની ગતિ $x = A \sin(\omega t + \pi)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,બંને ગતિઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = \pi - 0 = \pi \text{ rad}$ અથવા $180^{\circ}$ થાય છે.

(N/A) ના,કૃત્રિમ ઉપગ્રહમાં સાદા લોલકવાળી ઘડિયાળનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી. સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. કૃત્રિમ ઉપગ્રહમાં પદાર્થો ભારહીનતાની સ્થિતિ અનુભવે છે,જેનો અર્થ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g_{eff})$ $0$ છે. જેમ $g_{eff} \to 0$ થાય,તેમ આવર્તકાળ $T \to \infty$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે લોલક દોલન કરશે નહીં અને ઘડિયાળ કામ કરવાનું બંધ કરી દેશે.

(B) સરળ લોલકની દોરીમાં શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે તણાવ $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થાને,$\theta = 0^{\circ}$ હોવાથી,$\cos \theta = 1$ (મહત્તમ મૂલ્ય) થાય છે.
વળી,મધ્યમાન સ્થાને વેગ $v$ પણ મહત્તમ હોય છે.
આમ,$mg \cos \theta$ અને $\frac{mv^2}{l}$ બંને પદો મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ હોવાથી,કુલ તણાવ $T$ મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ હોય છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_m)$ એ પૃથ્વી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_e)$ કરતા આશરે $1/6$ ગણો હોવાથી,$g_m < g_e$ થાય છે.
સંબંધ $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ મુજબ,જેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,તેમ આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
તેથી,જ્યારે સાદા લોલકને પૃથ્વીની સપાટી પરથી ચંદ્રની સપાટી પર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો આવર્તકાળ વધે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ $T^2 \to l$ માટે: બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $T^2 = \frac{4\pi^2}{g} l$. અહીં $T^2 \propto l$ હોવાથી, ગ્રાફ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા મળશે. તેથી, $(a-i)$.
$(b)$ $T^2 \to g$ માટે: $T^2 = \frac{4\pi^2 l}{g}$ પરથી, $T^2 \propto \frac{1}{g}$ મળે છે. આ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે. તેથી, $(b-iii)$.
$(c)$ $T \to l$ માટે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ પરથી, $T \propto \sqrt{l}$ મળે છે. આ પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે. તેથી, $(c-ii)$.
આમ, સાચી જોડ $(a-i, b-iii, c-ii)$ છે.

(B) સાદા લોલક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના કોણીય સ્થાનાંતર માટે,$\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં).
આમ,પુનઃસ્થાપક બળ $F \approx -mg \theta$ બને છે.
કારણ કે $\theta = x/l$,તેથી આપણને $F \approx -(mg/l)x$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે પુનઃસ્થાપક બળ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને સંતુલન સ્થિતિ તરફ લાગે છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ માટેની શરત છે.

(A) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સેકન્ડ લોલક માટે પૃથ્વી અને ચંદ્ર બંને પર $T$ અચળ $(2 \ s)$ હોવાથી,$T \propto \sqrt{\frac{l}{g}}$ થાય.
તેથી,$\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{l_m}{g_m} \cdot \frac{g_e}{l_e}}$.
અહીં $T_e = T_m = 2 \ s$ આપેલ છે,તેથી $1 = \sqrt{\frac{l_m}{l_e} \cdot \frac{g_e}{g_m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{l_m}{l_e} \cdot \frac{g_e}{g_m}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g_m = \frac{g_e}{6}$,તેથી $\frac{g_e}{g_m} = 6$.
$l_e = 1 \ m$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા $1 = \frac{l_m}{1} \cdot 6$ મળે.
આમ,$l_m = \frac{1}{6} \ m$ થાય.

(N/A) કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \text{ rad/s}$ છે.
$t=0$ સમયે,ગોળો $\theta = \theta_0$ પર છે. કોણીય સ્થાન $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$ છે.
જે ક્ષણે દોરી તૂટે છે,$\theta = \frac{\theta_0}{2}$,તેથી $\frac{\theta_0}{2} = \theta_0 \cos(2\pi t_1) \implies \cos(2\pi t_1) = \frac{1}{2} \implies 2\pi t_1 = \frac{\pi}{3} \implies t_1 = \frac{1}{6} \text{ s}$.
આ ક્ષણે વેગના ઘટકો $v_x = l\omega \sin(\frac{\theta_0}{2})$ (ક્ષૈતિજ) અને $v_y = l\omega \cos(\frac{\theta_0}{2})$ (નીચેની તરફ) છે.
$\theta_0$ નાનું હોવાથી,$v_x \approx l\omega(\frac{\theta_0}{2})$ અને $v_y \approx l\omega$ થાય.
આ ક્ષણે જમીનથી ગોળાની ઊંચાઈ $h = H + l(1 - \cos(\frac{\theta_0}{2})) \approx H + l(1 - 1) = H$ છે.
શિરોલંબ ગતિ $h = v_y t + \frac{1}{2}gt^2$ છે,તેથી $H = (l\omega)t + \frac{1}{2}gt^2$.
$t$ માટે ઉકેલતા જમીન પર પડવાનો સમય મળે છે. $A$ થી ક્ષૈતિજ અંતર $x = l \sin(\frac{\theta_0}{2}) + v_x t = l(\frac{\theta_0}{2}) + (l\omega \frac{\theta_0}{2})t$ થાય.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં,ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ થાય છે. લિફ્ટ મુક્ત પતન કરતી હોવાથી $a = g$,તેથી $g_{eff} = g - g = 0$ થાય છે.
આ કિંમત આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ મળે છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે,એટલે કે $f = \frac{1}{T}$.
તેથી,$f = \frac{1}{\infty} = 0 \text{ Hz}$.

(D) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય ત્યારે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લોલકના ગોળા પર નીચેની તરફ આભાસી બળ (pseudo force) લાગે છે.
અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા મળે છે.
$g_{eff} = \frac{3g}{2}$ મૂકતા,આપણને $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{3g/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$ મળે છે.
આને મૂળ આવર્તકાળ $T$ સાથે સરખાવતા,$T' = \sqrt{\frac{2}{3}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}) = \sqrt{\frac{2}{3}} T$ થાય છે.

(C) સાદા લોલકના આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $l = 2 \ m$ અને આવર્તકાળ $T = 2 \ s$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{g}}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$1 = \pi \sqrt{\frac{2}{g}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 = \pi^{2} \left(\frac{2}{g}\right)$
$g$ ને કર્તા બનાવતા:
$g = 2 \pi^{2} \ m/s^{2}$.

(B) સેકન્ડ લોલક એવું લોલક છે જેનો આવર્તકાળ $2 \, s$ હોય છે.
તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
એક અંતિમ સ્થાનથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધી જવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળના અડધા $(T/2)$ જેટલો હોય છે.
અહીં $T = 2 \, s$ હોવાથી,લાગતો સમય $2 \, s / 2 = 1 \, s$ થાય છે.
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરીને,કણ અંતિમ સ્થાન ($1/4$ દોલન) સુધી જાય છે,પાછો મધ્યમાન સ્થાન ($1/2$ દોલન) પર આવે છે,અને પછી બીજી બાજુ જાય છે.
$5/8$ દોલન એ $1/2 + 1/8$ દોલન જેટલું છે.
ફેઝ (કળા) ના સંદર્ભમાં,$1/2$ દોલન એ $\pi$ રેડિયનના ફેઝ ફેરફારને અનુરૂપ છે.
બાકીનું $1/8$ દોલન એ $\frac{1}{8} \times 2\pi = \frac{\pi}{4}$ રેડિયનના ફેઝ ફેરફારને અનુરૂપ છે.
જો કે,પ્રશ્ન $5/8$ ચક્રને અનુરૂપ સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય પૂછે છે. સંદર્ભ વર્તુળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$.
$5/8$ ચક્ર માટે,ફેઝ એંગલ $\phi = \frac{5}{8} \times 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.
કણ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતો હોવાથી,આપણે મધ્યમાન સ્થાનના સંદર્ભમાં ફેઝ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
સમય $t$ એ $\omega t = \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
આમ,$t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{5\pi/4}{2\pi/T} = \frac{5}{8} T$.
તેથી,$\alpha = 5$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta \ell}{\ell}$ મળે છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ $0.1\, \%$ વધે છે,તેથી $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$.
પ્રતિ દિવસ સમયમાં થતી ભૂલ $(\Delta T)$ ની ગણતરી $\Delta T = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right) \times T_{total}$ તરીકે કરવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{total} = 24 \times 3600 \, s$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 86400 = 43.2 \, s$.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળને કારણે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ બદલાય છે.
$m g_{\text{eff}} = m g - F_B$,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$F_B = V \sigma g$,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $\sigma = \frac{\rho}{4}$,જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,તેથી $F_B = V \frac{\rho}{4} g = \frac{m g}{4}$.
આમ,$m g_{\text{eff}} = m g - \frac{m g}{4} = \frac{3 m g}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $g_{\text{eff}} = \frac{3 g}{4}$.
દોરાની નવી લંબાઈ $l_1 = l + \frac{l}{3} = \frac{4l}{3}$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{4l/3}{3g/4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{16l}{9g}} = \frac{4}{3} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$.
તેથી,$T_1 = \frac{4}{3} T$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,આવર્તકાળ $T_{0} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ ઘટાડીને $\ell' = \frac{\ell}{16}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ થાય છે:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell'}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell / 16}{g}}$.
$T' = \frac{1}{\sqrt{16}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}})$.
$T' = \frac{1}{4} T_{0}$.

(D) સાદા લોલકની આવૃત્તિ માટેનું સમીકરણ: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,આપણને મળે: $f^2 = \frac{1}{4 \pi^2} \cdot \frac{g}{\ell}$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $f^2 = \left( \frac{g}{4 \pi^2} \right) \cdot \left( \frac{1}{\ell} \right)$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = f^2$,$x = 1/\ell$,$m = \frac{g}{4 \pi^2}$,અને $c = 0$.
આમ,$f^2$ અને $1/\ell$ વચ્ચેનું સમીકરણ સુરેખ સંબંધ દર્શાવે છે,તેથી $f^2$ (ઓર્ડિનેટ પર) અને $1/\ell$ (એબ્સિસ પર) વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હશે.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $L_1 = 121 \ cm = 1.21 \ m$ અને $L_2 = 100 \ cm = 1.0 \ m$.
ધારો કે લાંબા લોલકના દોલનોની સંખ્યા $n_1$ છે અને ટૂંકા લોલકના દોલનોની સંખ્યા $n_2$ છે.
તેઓ ફરીથી મધ્યમાન સ્થિતિમાં સમાન કળામાં હોય તે માટે,કુલ સમય સમાન હોવો જોઈએ: $n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 (2 \pi \sqrt{\frac{1.21}{g}}) = n_2 (2 \pi \sqrt{\frac{1.0}{g}})$.
$n_1 (1.1) = n_2 (1.0)$.
$1.1 n_1 = n_2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{n_2}{n_1} = \frac{1.1}{1} = \frac{11}{10}$.
કારણ કે $n_2$ અને $n_1$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી ટૂંકા લોલક $(n_2)$ માટે ન્યૂનતમ દોલનોની સંખ્યા $11$ છે અને લાંબા લોલક $(n_1)$ માટે $10$ છે.