SHM of Simple Pendulum Questions in Gujarati

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{L}$.
જો લોલક ઘડિયાળ ધીમી ચાલતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે આવર્તકાળ $T$ જરૂરી મૂલ્ય કરતા વધારે છે.
સમય સુધારવા માટે,આપણે આવર્તકાળ $T$ ઘટાડવાની જરૂર છે.
કારણ કે $T$ એ લંબાઈ $L$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી લંબાઈ $L$ ઘટાડવાથી આવર્તકાળ $T$ ઘટશે.
તેથી,આપણે લોલકની લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.

(C) સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -mgL \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau \approx -mgL \theta$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{-mgL \theta}{mL^2} = -\frac{g}{L} \theta$ છે.
આને $SHM$ સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{g}{L}$ મળે છે.
દોલન કરતી સિસ્ટમ માટે બળ અચળાંક $k$ ને $k = m \omega^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\omega^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $k = m \left(\frac{g}{L}\right)$ મળે છે.
આમ,બળ અચળાંક $k$ એ બોબના દળ $m$ ના સમપ્રમાણમાં અને લોલકની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સૌથી યોગ્ય સંબંધ એ છે કે તે બોબના દળના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે ટ્રોલી $a$ પ્રવેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ $a$ (વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ રીતે) નો સદિશ સરવાળો છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2} = (a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}$ થાય છે.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{(a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}}} = 2 \pi \sqrt{L} \cdot (a^2 + g^2)^{-\frac{1}{4}}$.

(B) સેકન્ડ્સ લોલક માટે,સમયગાળો $T = 2 \ s$ છે.
સમયગાળાનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
$T = 2$ મૂકતા,આપણને $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $1 = \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \pi^2 \frac{l}{g}$ મળે,તેથી $l = \frac{g}{\pi^2}$.
સ્થાન $A$ પર,$g_A = 981 \ cm/s^2$ અને $\pi^2 = 10$ છે,તેથી $l_A = \frac{981}{10} = 98.1 \ cm$.
સ્થાન $B$ પર,લંબાઈ $0.3 \ cm$ ઘટે છે,તેથી $l_B = 98.1 - 0.3 = 97.8 \ cm$.
તે હજુ પણ સેકન્ડ્સ લોલક હોવાથી,સ્થાન $B$ પર પણ $T = 2 \ s$ રહેશે.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_B}{g_B}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 = \pi^2 \frac{l_B}{g_B}$ મળે છે.
તેથી,$g_B = \pi^2 \times l_B = 10 \times 97.8 = 978 \ cm/s^2$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સેકન્ડ લોલક માટે, પૃથ્વી અને ગ્રહ બંને પર આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ છે.
તેથી, $T_e = T_p = 2 \,s$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\ell_e}{g_e} = \frac{\ell_p}{g_p}$, તેથી $\ell_p = \ell_e \left( \frac{g_p}{g_e} \right)$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
આપેલ છે કે $M_p = 2M_e$ અને $R_p = 2R_e$ (કારણ કે વ્યાસ બમણો છે, તેથી ત્રિજ્યા પણ બમણી થાય).
તેથી, $g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$.
આ કિંમત લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $\ell_p = 1 \,m \times \left( \frac{g_e/2}{g_e} \right) = 1 \times 0.5 = 0.5 \,m$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = a \sin \left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} t\right)$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $x = a \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \ rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ s$ થાય.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{g}$ મળે.
$T = 2\sqrt{2}$ અને $g = \pi^{2}$ કિંમતો મૂકતા,$(2\sqrt{2})^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{\pi^{2}}$.
$8 = 4\ell$.
તેથી,$\ell = 2 \ m$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{L}$.
જો આપણે આવર્તકાળ બમણો કરવા માંગતા હોઈએ, તો ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T' = 2T$ છે.
તેથી, $2T = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}$.
નવા સમીકરણને મૂળ સમીકરણ વડે ભાગતા: $\frac{2T}{T} = \frac{2\pi \sqrt{L'/g}}{2\pi \sqrt{L/g}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 = \sqrt{\frac{L'}{L}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $4 = \frac{L'}{L}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $L' = 4L$.
તેથી, આવર્તકાળ બમણો કરવા માટે લંબાઈને ચાર ગણી વધારવી જોઈએ.

(D) નાના કંપવિસ્તાર '$A$' સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલક માટે,કોઈપણ ખૂણે '$\theta$' પર દોરીમાં તણાવ $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,વેગ 'v' મહત્તમ હોય છે અને '$\theta = 0$' હોય છે,તેથી '$\cos \theta = 1$'. આમ,મહત્તમ તણાવ $T_{\max} = mg + \frac{mv_{\max}^2}{\ell}$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,વેગ $v = A\omega \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$.
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ છે.
તેથી,$v_{\max}^2 = A^2 \frac{g}{\ell}$.
આ કિંમતને $T_{\max}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{\ell} \left( A^2 \frac{g}{\ell} \right) = mg + mg \frac{A^2}{\ell^2} = mg \left( 1 + \frac{A^2}{\ell^2} \right)$.

(A) જ્યારે લોલકનો ગોળો મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થાય ત્યારે દોરીમાં તણાવ મહત્તમ હોય છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,ગોળા પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજનબળ $mg$ છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ તણાવ અને વજનબળના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$T_{\max} - mg = \frac{mV^{2}}{L} \implies T_{\max} = mg + \frac{mV^{2}}{L} \dots (1)$
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,મધ્યમાન સ્થાન પર વેગ $V = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
તેથી,$V = a\sqrt{\frac{g}{L}}$,જેનો અર્થ છે કે $V^{2} = a^{2}\frac{g}{L}$.
$V^{2}$ ની આ કિંમતને $Eq. (1)$ માં મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{L} \left(a^{2}\frac{g}{L}\right) = mg + \frac{mga^{2}}{L^{2}} = mg \left[1 + \left(\frac{a}{L}\right)^{2}\right]$.

(A) સાદા લોલકની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$, તેથી ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2 = \frac{mgA^2}{2l}$ થાય છે.
અહીં કંપવિસ્તાર $A$ અચળ રહે છે અને લંબાઈ $l$ બદલાઈને $l' = \frac{l}{3}$ થાય છે, તેથી નવી ઉર્જા $E'$ એ $E' = \frac{mgA^2}{2(l/3)} = 3 \times \frac{mgA^2}{2l} = 3E$ થશે.
આમ, કુલ ઉર્જા મૂળ ઉર્જા કરતા $3$ ગણી થશે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલકની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$\omega$ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ કંપવિસ્તાર છે.
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે,તેથી $\omega^2 = \frac{g}{L}$.
આ કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$.
આપેલ છે કે $E_A = E_B$,$M_1 = M_2 = M$,અને $L_1 = 2 L_2$:
$\frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_1}\right) A_A^2 = \frac{1}{2} M \left(\frac{g}{L_2}\right) A_B^2$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{A_A^2}{L_1} = \frac{A_B^2}{L_2}$ મળે છે.
$L_1 = 2 L_2$ મૂકતા: $\frac{A_A^2}{2 L_2} = \frac{A_B^2}{L_2}$.
આનાથી $A_A^2 = 2 A_B^2$ અથવા $A_A = \sqrt{2} A_B$ મળે છે.
તેથી,$A_B = \frac{A_A}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $B$ નો કંપવિસ્તાર $A$ ના કંપવિસ્તાર કરતા નાનો છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલકની કુલ ઉર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $\omega^2 = \frac{g}{l}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{2} m (\frac{g}{l}) A^2$ મળે છે.
દળ $(m)$,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$,અને કંપનવિસ્તાર $(A)$ અચળ હોવાથી,કુલ ઉર્જા લોલકની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{l}$.
જો નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{4}$ હોય,તો નવી ઉર્જા $E'$ એ $E' \propto \frac{1}{l/4} = 4 \times (\frac{1}{l}) = 4E$ થશે.
તેથી,કુલ ઉર્જા પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા $4$ ગણી થશે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,$x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $PE = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
અંતિમ સ્થાને,સ્થાનાંતર $x = A$ હોવાથી,$PE = \frac{1}{2} k A^2$ થાય.
સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{Mg}{L} x$ છે,તેથી બળ અચળાંક $k = \frac{Mg}{L}$ થાય.
સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$PE = \frac{1}{2} \left( \frac{Mg}{L} \right) A^2$.
$PE = \frac{MgA^2}{2L}$.

(D) અંતિમ સ્થાને સાદા આવર્ત દોલકની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
આ કિંમતને સ્થિતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{g}{L}}\right)^2 A^2$
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$
$P.E. = \frac{mgA^2}{2L}$

(C) હિંચકો ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $(h_{min} = 0.75 \,m)$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $(h_{max} = 2 \,m)$ વચ્ચે $S.H.M$ કરે છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે,અને સૌથી નીચા બિંદુએ આ સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
અસરકારક ઊભી સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર ઊંચાઈ) $h = h_{max} - h_{min} = 2 \,m - 0.75 \,m = 1.25 \,m$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} mv^2 = mgh$
$v^2 = 2gh$
$v^2 = 2 \times 10 \,m/s^2 \times 1.25 \,m$
$v^2 = 25 \,m^2/s^2$
$v = 5 \,m/s$.

(A) નાના દોલનો કરતા સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{mg}{L} x$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $PE = \frac{1}{2} k x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ ની સરખામણી $F = -\frac{mg}{L} x$ સાથે કરતા,આપણને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{L}$ મળે છે.
અંતિમ સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x$ એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
આ કિંમતોને સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $PE = \frac{1}{2} \left( \frac{mg}{L} \right) A^{2} = \frac{mgA^{2}}{2L}$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,$\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ મળે,જે દર્શાવે છે કે $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$.
નવી લંબાઈ $\ell_2 = \frac{\ell_1}{3}$ આપેલ હોવાથી,નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $\omega_1$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_1/3}} = \sqrt{3}$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
અહીં દળ $(m)$ અને કંપવિસ્તાર $(A)$ અચળ હોવાથી,$E \propto \omega^2$ થાય.
તેથી,$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.
આમ,નવી કુલ ઉર્જા $E_2 = 3 E_1$ થશે.

(B) કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર સાદા લોલકની દોરીમાં તણાવ $T$ ત્રિજ્યાવર્તી બળ સંતુલન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$
નાના દોલનો માટે,$\cos \theta \approx 1$ અને વેગ $v$ એ મધ્યમાન સ્થિતિ $(\theta = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે.
આમ,મહત્તમ તણાવ $T_{\max}$ મધ્યમાન સ્થિતિ પર જોવા મળે છે:
$T_{\max} = mg + \frac{mv_{\max}^2}{l}$
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે.
$S$.$H$.$M$. માં મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega$ છે.
તણાવના સમીકરણમાં $v_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m(A\omega)^2}{l}$
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 \omega^2}{l}$
કારણ કે $\omega^2 = \frac{g}{l}$,તેથી આપણને મળે છે:
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 (g/l)}{l}$
$T_{\max} = mg + \frac{m A^2 g}{l^2}$
$T_{\max} = mg \left[1 + \left(\frac{A}{l}\right)^2\right]$

(B) દોલનની પથ લંબાઈ એ બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર છે, જે $2a$ જેટલું હોય છે, જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે, $2a = 16 \,cm$, તેથી કંપવિસ્તાર $a = 8 \,cm$.
લોલકની લંબાઈ $l = 1 \,m$ છે.
સાદા લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = \pi^2 \,m/s^2$ અને $l = 1 \,m$ મૂકતા, આપણને $\omega = \sqrt{\frac{\pi^2}{1}} = \pi \,rad/s$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મહત્તમ વેગ $v_{max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $v_{max} = 8 \,cm \times \pi \,rad/s = 8\pi \,cm/s$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 0.4 \ m$,મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = 4 \ m/s$ (સૌથી નીચેના બિંદુએ).
જ્યારે દોરી સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે,ત્યારે તે શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સૌથી નીચેના બિંદુથી લોલકના ગોળાની ઊંચાઈ $h = L - L \cos \theta = L(1 - \cos 60^{\circ})$ દ્વારા મળે છે.
$h = 0.4(1 - 0.5) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \ m$.
સૌથી નીચેના બિંદુ અને $\theta$ ખૂણે રહેલા બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2} m v_{max}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + mgh$
$v^{2} = v_{max}^{2} - 2gh$
$v^{2} = (4)^{2} - 2 \times 10 \times 0.2$
$v^{2} = 16 - 4 = 12$
$v = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m/s$.

(A) સિક્કો પ્લેટ પર સ્થિર છે અને તેની સાથે ગતિ કરે છે. $S.H.M.$ માં પ્લેટનો પ્રવેગ $a = \omega^{2} x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે પ્લેટ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ ઉપરની તરફ હોય છે. જ્યારે પ્લેટ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે.
જ્યારે પ્લેટનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ કરતા વધી જાય ત્યારે સિક્કો પ્લેટ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે.
દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુએ,નીચેની તરફનો પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે,જે $a_{max} = \omega^{2} A$ દ્વારા મળે છે.
સિક્કો સંપર્ક ગુમાવે તે માટેની શરત $a_{max} \geq g$ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર જેના પર સંપર્ક ગુમાવાય છે તે $A = \frac{g}{\omega^{2}}$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -Mg \sin \theta \approx -Mg \theta$ થાય છે (નાના ખૂણા માટે).
અહીં $\theta = \frac{x}{L}$ હોવાથી,બળ $F = -\frac{Mg}{L} x$ મળે છે.
આને $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને બળ અચળાંક $k = \frac{Mg}{L}$ મળે છે.
સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $U = \frac{1}{2} (\frac{Mg}{L}) A^2 = \frac{MgA^2}{2L}$.

(C) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
લોલકો એક જ જગ્યાએ હોવાથી,$g$ અચળ રહેશે.
તેથી,$f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,જેનો અર્થ છે કે $f^2 \propto \frac{1}{L}$ અથવા $L \propto \frac{1}{f^2}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 : f_2 = 4 : 3$ આપેલ છે,તેથી $\frac{f_1}{f_2} = \frac{4}{3}$.
તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{f_2^2}{f_1^2} = \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$.
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $9: 16$ છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે નિલંબન બિંદુ '$a$' પ્રવેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g + a}}$ મળે છે.
અહીં $g + a > g$ હોવાથી,છેદની કિંમત વધે છે,જેના કારણે મૂળ આવર્તકાળ $T$ ની સરખામણીમાં નવો આવર્તકાળ $T'$ ઘટે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1$ છે અને લંબાઈ $l_1$ છે,અને અંતિમ આવર્તકાળ $T_2$ છે અને લંબાઈ $l_2$ છે.
આપણે આવર્તકાળને બમણો કરવો છે,તેથી $T_2 = 2 T_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
$T_2 = 2 T_1$ મૂકતા:
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{l_2}{l_1} \Rightarrow l_2 = 4 l_1$
તેથી,જ્યારે સાદા લોલકની લંબાઈ મૂળ લંબાઈ કરતા ચાર ગણી કરવામાં આવે ત્યારે તેનો આવર્તકાળ બમણો થાય છે.

(C) સાદા લોલક માટે,આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
તેથી,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$ અને $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T_1^2 = 4 \pi^2 \frac{l_1}{g}$ અને $T_2^2 = 4 \pi^2 \frac{l_2}{g}$ મળે.
આના પરથી,લંબાઈને $l_1 = \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2}$ અને $l_2 = \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
હવે,$(l_1 - l_2)$ લંબાઈના લોલક માટે,આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1 - l_2}{g}}$ થશે.
$l_1$ અને $l_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{g} \left( \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2} - \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2} \right)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{g}{g \cdot 4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \cdot \frac{1}{2 \pi} \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.
$T = \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે આવર્તકાળ $T$ એ લંબાઈ $l$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $T \propto \sqrt{l}$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ ગોળાના દળ,કદ કે ઘનતા પર આધાર રાખતો નથી.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ અને પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
ધારો કે નવી લંબાઈ $l_2$ અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2T$ છે.
સમપ્રમાણતા $T \propto \sqrt{l}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2T}{T} = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$.
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{l_2}{l}$ મળે.
તેથી,નવી લંબાઈ $l_2 = 4l$ થાય.

(D) તરતી વસ્તુના નાના શિરોલંબ દોલનો માટે $S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{h'}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h'$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થની ઊંડાઈ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે લાકડાનું કદ $V = a \times b \times c$ છે.
લાકડાનું દળ $= V \times d \times \rho_w = (abc) \times d \times \rho_w$ (જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે).
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = b \times c \times h'$.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $= (bc h') \times \rho_w \times g$.
બંનેને સરખાવતા: $(abc) \times d \times \rho_w \times g = (bc h') \times \rho_w \times g$.
$h'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h' = ad$ મળે છે.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{ad}{g}}$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આધારબિંદુ અને ગોળાના ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,પાણીથી ભરેલા દડાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
જેમ જેમ પાણી નાના છિદ્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ બાકી રહેલા પાણીનું ગુરુત્વકેન્દ્ર નીચેની તરફ ખસે છે,જેનાથી લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L$ વધે છે,પરિણામે આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ દડો લગભગ ખાલી થઈ જાય છે,તેમ ગુરુત્વકેન્દ્ર ફરીથી દડાના ભૌમિતિક કેન્દ્ર તરફ ઉપરની તરફ ખસવા લાગે છે.
પરિણામે,અસરકારક લંબાઈ $L$ ઘટે છે અને તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછી આવે છે.
તેથી,આવર્તકાળ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે,અને અંતે તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલું જ થઈ જાય છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર લિફ્ટમાં,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે,તેથી $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લોલક દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $g_{eff} = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime}$ એ $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}}$ દ્વારા મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{3l}{4g}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$.
કારણ કે $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,તેથી $T^{\prime} = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ થાય છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{\ell}$.
જો ઘડિયાળ ઝડપથી ચાલતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેનો આવર્તકાળ $T$ ખૂબ ઓછો છે (તે ખૂબ ઝડપથી દોલનો પૂર્ણ કરે છે).
સમય સુધારવા માટે,આપણે આવર્તકાળ $T$ વધારવાની જરૂર છે.
કારણ કે $T$ એ લંબાઈ $\ell$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી લંબાઈ $\ell$ વધારવાથી આવર્તકાળ $T$ વધશે.
આવર્તકાળ એ ગોળાના દળ અને દોલનના કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર છે (નાના ખૂણાઓ માટે).

(A) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ છે.
આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{9}{16} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે છે.
તેથી,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{16}{9}$ થાય.

(B) સ્થિર લિફ્ટમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \sqrt{3} \ s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{4g/3}}$ દ્વારા મળે છે.
$T^{\prime}$ ને $T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{T^{\prime}}{T} = \sqrt{\frac{g}{4g/3}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
$T = \sqrt{3} \ s$ ની કિંમત મૂકતા,$T^{\prime} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ મળે છે.

(B) સ્થિર લિફ્ટમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ દોરીની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3l}{4g}}$ દ્વારા મળે છે.
આને $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} T$ મળે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે.
પાણીમાં,ગોળા પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે. અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff}' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(10^3 \ kg/m^3)$ છે અને $\sigma$ એ ગોળાની ઘનતા $(\frac{9}{8} \times 10^3 \ kg/m^3)$ છે.
$g_{eff}' = g(1 - \frac{10^3}{\frac{9}{8} \times 10^3}) = g(1 - \frac{8}{9}) = g(\frac{1}{9})$.
હવે,પાણીમાં આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}}$ થાય.
$T_1 = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = 3T$.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{L/g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આધારબિંદુ અને તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,પાણીથી ભરેલા ગોળાનું $CM$ ગોળાના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
જેમ જેમ નીચેના છિદ્રમાંથી પાણી બહાર નીકળે છે,તેમ બાકી રહેલા પાણીનું $CM$ નીચેની તરફ ખસે છે,જેનાથી લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L$ વધે છે,પરિણામે આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ જેમ ગોળો લગભગ ખાલી થાય છે,તેમ બાકી રહેલા પાણીનું $CM$ ફરીથી ઉપરની તરફ ગોળાના કેન્દ્ર તરફ ખસે છે.
આના કારણે અસરકારક લંબાઈ $L$ ઘટે છે,જેના પરિણામે આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ પહેલા વધશે અને પછી ઘટશે.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
અહીં,$l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 l}{g}$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$T^2 = k \cdot l$,જ્યાં $k = \frac{4 \pi^2}{g}$ એક અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y^2 = 4ax$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T$ અને લંબાઈ $l$ વચ્ચેનો આલેખ પરવલયનો એક ભાગ છે.

(C) આપેલ છે: લોલકની લંબાઈ $l = 2 \ m$,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 60^{\circ}$,દળ $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
જ્યારે લોલકનો બોબ સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = l \sin \theta$ થાય છે.
બોબ સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતા બળો તણાવ $T$ અને વજન $mg$ છે.
તણાવનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $T \cos \theta = mg$ ... $(i)$
તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T \sin \theta = m r \omega^2 = m (l \sin \theta) \omega^2$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{m l \sin \theta \omega^2}{mg}$
$\tan \theta = \frac{l \omega^2 \sin \theta}{g}$
કારણ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{l \omega^2}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{l \cos \theta}$
કિંમતો મૂકતા: $\omega^2 = \frac{10}{2 \times \cos 60^{\circ}} = \frac{10}{2 \times 0.5} = \frac{10}{1} = 10$
$\omega = \sqrt{10} = \sqrt{4 \times 2.5} = 2 \sqrt{2.5} \ rad/s$.

(B) ધારો કે બોબનું દળ $m$ છે અને દોરીની લંબાઈ $l$ છે. કોઈપણ ખૂણે $\phi$ પર દોરીમાં તણાવ $T = mg \cos \phi + \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થિતિ પર,$\phi = \theta$ અને $v = 0$,તેથી ન્યૂનતમ તણાવ $T_{min} = mg \cos \theta$ છે.
સૌથી નીચા બિંદુ પર,$\phi = 0$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mg(l - l \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $mv^2 = 2mgl(1 - \cos \theta)$.
મહત્તમ તણાવ $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$ છે.
આપેલ છે કે $T_{max} = 4 T_{min}$,તેથી $mg(3 - 2 \cos \theta) = 4mg \cos \theta$.
$3 - 2 \cos \theta = 4 \cos \theta \implies 6 \cos \theta = 3 \implies \cos \theta = 0.5$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.5)$.

(A) વ્યવહારમાં,એક સાદું લોલક એક ભારે પરંતુ નાના કદના ધાતુના ગોળાનું બનેલું હોય છે જે હલકી,અસ્થિતિસ્થાપક અને લવચીક દોરી વડે લટકાવેલું હોય છે.
તે સરળ આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરે છે જો:
$(I)$ ગોળાનું કદ લોલકની દોરીની લંબાઈની સરખામણીમાં અવગણ્ય હોય,જે આપણને ગોળાને બિંદુવત દળ તરીકે ગણવાની મંજૂરી આપે છે.
$(II)$ કોણીય કંપવિસ્તાર (મધ્યમાન સ્થિતિ અને અંતિમ બિંદુએ દોરી વચ્ચેનો ખૂણો) નાનો હોય,સામાન્ય રીતે $10^{\circ}$ કરતા ઓછો,જેથી $\sin \theta \approx \theta$ અંદાજ સાચો ઠરે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l = 1 \,m$ અને $g = 10 \,m/s^2$ (અથવા $\pi^2 \approx 10$) લેતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{10}} \approx 2 \,s$ મળે છે.
સરળ લોલક માટે,અંતિમ સ્થાનથી મધ્યમાન સ્થાન $(B)$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $\frac{T}{4}$ છે.
બંને ગોળાઓ તેમના સંબંધિત અંતિમ સ્થાનોથી મુક્ત કરવામાં આવતા હોવાથી,તેઓ બંને $t = \frac{T}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \,s$ સમયે મધ્યમાન સ્થાન $B$ પર પહોંચશે.
તેથી,બંને ગોળાઓ $0.5 \,s$ પછી મધ્યમાન સ્થાન $B$ પર અથડાશે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ છે.
આપેલ છે કે $T' = T/2$,તેથી $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$.
$T'$ ના સમીકરણને $T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{g}{g+a}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{g}{g+a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $g + a = 4g$,તેથી $a = 3g$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
લોલક $A$ માટે: તે $20 \ s$ માં $10$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T_A = \frac{20}{10} = 2 \ s$.
$2\pi \sqrt{\frac{l_A}{g}} = 2 \quad (1)$
લોલક $B$ માટે: તે $10 \ s$ માં $8$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T_B = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \ s$.
$2\pi \sqrt{\frac{l_B}{g}} = \frac{5}{4} \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2\pi \sqrt{l_A/g}}{2\pi \sqrt{l_B/g}} = \frac{2}{5/4}$
$\sqrt{\frac{l_A}{l_B}} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{l_A}{l_B} = \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{64}{25}$

(A) આપેલ છે: દળ $m = 40 \ g = 0.04 \ kg$,વીજભાર $q = 2 \times 10^{-6} \ C$,$g = 10 \ ms^{-2}$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4.2 \times 10^4 \ NC^{-1}$.
પ્રથમ,વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ શોધીએ:
$a = \frac{qE}{m} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 4.2 \times 10^4}{0.04} = 2.1 \ ms^{-2}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચેની તરફ હોવાથી અને વીજભાર ધન હોવાથી,બળ નીચેની તરફ લાગશે,તેથી અસરકારક પ્રવેગ $g_e = g + a = 10 + 2.1 = 12.1 \ ms^{-2}$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,$T = \frac{44}{20} = 2.2 \ s$.
તેથી,$2.2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{10}} \Rightarrow \sqrt{l} = \frac{2.2 \sqrt{10}}{2\pi}$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની હાજરીમાં,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{12.1}} = 2\pi \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{12.1}}$.
$\sqrt{l}$ ની કિંમત મૂકતા,$T' = 2\pi \left( \frac{2.2 \sqrt{10}}{2\pi \sqrt{12.1}} \right) = 2.2 \sqrt{\frac{10}{12.1}} = 2.2 \times \frac{\sqrt{10}}{1.1 \sqrt{10}} = 2 \ s$.
$15$ દોલનો માટે લાગતો સમય $t = 15 \times T' = 15 \times 2 = 30 \ s$.

(B) ધારો કે લોલકના ગોળાનું દળ $m$ છે અને દોરીની લંબાઈ $l$ છે. દોરીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આધારબિંદુથી $l/2$ અંતરે છે.
જ્યારે લોલકને $90^{\circ}$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m g (l/2) = (1/2) m v^2$.
આના પરથી $v^2 = g l$ મળે છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ $T$ એ વજન $m g$ ને સંતુલિત કરે છે અને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m v^2 / r$ પૂરું પાડે છે,જ્યાં $r = l/2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આધારબિંદુથી અંતર છે.
તેથી,$T = m g + (m v^2) / (l/2)$.
સમીકરણમાં $v^2 = g l$ મૂકતા:
$T = m g + (2 m / l) \cdot (g l) = m g + 2 m g = 3 m g$.
આમ,દોરીની લઘુત્તમ મજબૂતી $3 m g$ હોવી જોઈએ.

(D) જ્યારે પદાર્થને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે. તેથી, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = v^2/r)$ શૂન્ય છે。
પદાર્થ પર લાગતા બળો તેના વજન $(mg)$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને દોરીમાં તણાવ $(T)$ જે દોરીની દિશામાં લાગે છે。
આપણે વજન $(mg)$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ: એક દોરીની દિશામાં $(mg \cos 30^{\circ})$ અને બીજો દોરીને લંબ $(mg \sin 30^{\circ})$。
જેহেতু દોરી ખેંચાયેલી રહે છે અને પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે, તેથી મુક્ત કરવાના સમયે ત્રિજ્યાવર્તી ગતિ ન હોવા માટે દોરીની દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ $(T - mg \cos 30^{\circ} = 0)$。
પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ એ દોરીને લંબ ઘટક છે, જે $F_{net} = mg \sin 30^{\circ}$ છે。
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $F_{net} = ma$:
$ma = mg \sin 30^{\circ}$
$a = g \sin 30^{\circ}$
અહીં $g = 10 \,ms^{-2}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ આપેલ છે:
$a = 10 \times 0.5 = 5.0 \,ms^{-2}$。

(A) સાદા લોલકના આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
આપેલ છે: $T = 4 \ s$ અને $g = \pi^2 \ ms^{-2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{\pi^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = 4\pi^2 \cdot \frac{\ell}{\pi^2}$
$16 = 4\ell$
$\ell = \frac{16}{4} = 4 \ m$.
તેથી,લોલકની લંબાઈ $4 \ m$ છે.

(C) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે આવૃત્તિ એ લોલકની લંબાઈના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$f \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_1 = \ell$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 8 \,Hz$ છે.
જ્યારે દોરીને તેના મધ્યબિંદુએ ક્લેમ્પ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી લંબાઈ $\ell_2 = \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
હવે, નવી આવૃત્તિ $f_2$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1$ નો ગુણોત્તર મેળવીએ:
$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}} = \sqrt{\frac{\ell}{\ell / 2}} = \sqrt{2}$
તેથી, નવી આવૃત્તિ $f_2$ થશે:
$f_2 = \sqrt{2} \times f_1 = \sqrt{2} \times 8 \,Hz \approx 1.414 \times 8 \,Hz = 11.312 \,Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $11.28 \,Hz$ મળે છે.

(A) સાદું લોલક એ દળરહિત અને અસ્થિતિસ્થાપક દોરી વડે લટકાવેલ બિંદુવત દળ (બોબ) ધરાવે છે.
સમતલમાં દોલન કરતા સાદા લોલક માટે,બોબનું સ્થાન એક જ યામ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે,જે દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવે છે તે ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,દોલન કરતા સાદા લોલક માટે સ્વતંત્રતાના અંશોની સંખ્યા $1$ છે.